10ª Lista de Cálculo Diferencial e Integral I Pontos críticos, máximos e mínimos

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10ª Lista de Cálculo Diferencial e Integral I – Pontos críticos, máximos e mínimos
01. Seja f(x) = -x4 + 8x2 + 9. Mostrar que f satisfaz as condições do Teorema de Rolle no
intervalo [-3, 3] e determinar os valores de c  ]a, b[ que satisfaçam f’(c) = 0.
02. Em cada um dos casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso
afirmativo, achar um número c em ]a, b[, tal que f’(c) = 
ab
afbf

 )()(
.
a) f(x) = 1/x; a = 2, b = 3 b) f(x) = x3; a = 0, b = 4 c) f(x) = x2/3; a = -2 e b = 2
03. Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem:
a) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = x2 – 3x + 8 c) f(x) = x3 + 2x2 + 5x + 3
d) f(x) = x4 + 4x3 e) f(x) = sen x f) f(x) = sen x – cos x
g) f(x) = (x2 – 9)2/3 h) f(x) = 
42 x
x
04. Determinar os intervalos no quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
a) f(x) = 2x – 1 b) f(x) = 3 – 5x c) f(x) = 3x2 + 6x + 7
d) f(x) = x3 + 2x2 – 4x + 2 e) f(x) = x/2 + sen(x) f) f(x) = e-x
g) f(x) = x.e-x h) f(x) = 
1
2
x
x
05. Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e mínimos relativos das
seguintes funções:
a) f(x) = x2 – 4x – 1 b) f(x) = x3 – x2 – x c) f(x) = 2x3 – 9x2 + 2
d) f(x) = x4/3 – 4x1/3 e) f(x) = (x2 – 3).ex f) f(x) = 
4
4x - x3 + x2
g) f(x) = 
x
x 1 h) f(x) = x + 2
1
x
06. Mostrar que y = 
x
xalog tem seu valor máximos em x = e para todos os números a > 1.
07. Encontrar, se existirem, os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções,
utilizando o critério da derivada segunda.
a) f(x) = 7x2 – 6x + 3 b) f(x) = -x2 + 4x c) f(x) = 
3
3x + 3x2 – 7x + 9
d) f(x) = 6x2/3 – 2x e) f(x) = 
4
4
2 x
x
08. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem
concavidade voltada para cima ou para baixo.
a) f(x) = -x3 + 5x2 – 6x b) f(x) = 3x4 – 10x3 – 12x2 + 10x + 9 c) f(x) = 
4
1
x
d) f(x) = 2x.e-3x e) f(x) = x2.ex
Gabarito
01. 0, -2, 2 02. a) 6 b) 
3
34 c) não existe 
03. a) não existe b) 3/2 c) não existe d) 0 e -3 e) π/2 + kπ 
f) 3π/4 + kπ g) 0, 3 e -3 h) não existe 
04. a) ]-∞, ∞[ crescente b) ]-∞, ∞[ decrescente c) [-1, ∞[ crescente; ]-∞, -1]
decrescente 
d) ]-∞, -2] U [2/3, ∞[ crescente; [-2, 2/3] decrescente
e) 


   kk 2
3
4,2
3
2
decrescente; 


   kk 2
3
2,2
3
2
crescente
f) ]-∞, ∞[ decrescente g) ]-∞, 1] crescente; [1, ∞[ decrescente
h) ]-∞, 0] U [2, ∞[ crescente; [0, 1[ U ]1, 2] decrescente.
05. a) ]-∞, 2] decrescente; [2, ∞[ crescente; mínimo relativo em x = 2.
b) ]-∞, -1/3] crescente; [-1/3, 1] decrescente; [1, ∞[ crescente; máximo relativo em x = -1/3 e
mínimo relativo em x = 1.
c) ]-∞, 0] crescente; [0, 3] decrescente; [3, ∞[ crescente; máximo relativo em x = 0 e mínimo
relativo em x = 3.
d) ]-∞, 0[ U ]0, 1] decrescente; [1, ∞[ crescente; mínimo relativo em x = 1.
e) ]-∞, -3] crescente; [-3, 1] decrescente; [1, ∞[ crescente; máximo relativo em x = -3 e mínimo
relativo em x = 1.
f) ) ]-∞, 0] decrescente; [0, 1] crescente; [1, 2] decrescente; [2, ∞[ crescente; máximo relativo
em x = 1 e mínimo relativo em x = 0 e x = 2.
g) [0, ∞[ crescente; não há extremos relativos.
h) ]-∞, 0] decrescente; [0, 3 2 ] decrescente; [ 3 2 , ∞[ crescente; mínimo relativo em x =
3 2 .
07. a) f tem um valor mínimo relativo em x = 3/7.
b) f tem um valor máximo relativo em x = 2.
c) f tem um valor mínimo relativo em x = 1 e um valor máximo relativo em x = -7.
d) f tem um valor mínimo relativo em x = 0 e um valor máximo relativo em x = 8.
e) f tem um valor mínimo relativo em x = -2 e um valor máximo relativo em x = 2.
08. a) (5/3, f(5/3)); ]-∞, 5/3[ côncava para cima; ]5/3, ∞[ côncava para baixo.
b) (-1/3, f(-1/3)) e (2, f(2)); ]-∞, -1/3[ U ]2, ∞[ côncava para cima; ]-1/3, 2[ côncava para baixo.
c) não existe; ]-∞, -4[ côncava para baixo; ]-4, ∞[ côncava para cima.
d) (1/3, f(1/3)); ]-∞, 1/3[ côncava para baixo; ]1/3, ∞[ côncava para cima.
e) (-2 ± 2 , f(-2 ± 2 )); ]-∞, -2 - 2 [ U ] (-2 + 2 , ∞[ côncava para cima; ] -2 - 2 , -2
+ 2 [ côncava para baixo.