Lista3 Calculo II Eng. Comp

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IFSP - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAC¸A˜O, CIEˆNCIA E TECNOLOGIA DE SA˜O PAULO
CAMPUS BIRIGUI
Curso: Engenharia da Computac¸a˜o.
Componente Curricular: Ca´lculo Diferencial e Integral II
Docente Responsa´vel: Prof. Dr. Re´gis Leandro Braguim Sta´bile.
Lista 3
1) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direc¸a˜o dada pelo aˆngulo θ:
a) f(x, y) = x2y3 − y4, P = (2, 1), θ = pi/4
b) f(x, y) = ye−x, P = (0, 4), θ = pi/3
c) f(x, y) = x sin(xy), P = (2, 0), θ = pi/4
2) Seja f : R2 → R dada por
f(x, y) = y lnx
a) Determine ∇f(1,−3)
b) Determine D−→u f(1,−3), onde −→u =
(− 45 , 35)
3) Determine D−→u f(x0, y0), onde
a) f(x, y) = 1 + 2x
√
y, −→u = (4,−3), (x0, y0) = (3, 4)
b) f(x, y) = ln(x2 + y2), −→u = (−1, 2), (x0, y0) = (2, 1)
c) f(x, y) = x4 − x2y3, −→u = (1, 3), (x0, y0) = (2, 1)
d) f(x, y) = tan−1(xy), −→u = (5, 10), (x0, y0) = (1, 2)
e) f(x, y) = x4y3 − 2xy2, −→u = (1, 1), (x0, y0) = (1, 0)
4) Determine a taxa de variac¸a˜o ma´xima de f no ponto dado e indique a direc¸a˜o em que isso ocorre
a) f(x, y) = y
2
x , P = (2, 4)
b) f(x, y) = xe−y + ye−x, P = (1, 0)
c) f(x, y) = sin(xy), P = (1, 0)
d) f(x, y, z) = x+yz , P = (1, 1,−1)
e) f(x, y) =
√
x2 + y2 + z2, P = (3, 6,−2)
5) Mostre que uma func¸a˜o diferencia´vel f decresce mais rapidamente na direc¸a˜o oposta do vetor gradiente, ou
seja, na direc¸a˜o do vetor −∇f .
6) A temperatura em um ponto (x, y, z) e´ dada por
T (x, y, z) = 200e−x
2−3y2−9z2
2
a) Determine a taxa de variac¸a˜o da temperatura no ponto P = (2,−1, 2) em direc¸a˜o ao ponto Q = (3,−3, 3)
b) Qual e´ a direc¸a˜o de maior crescimento da temperatura em P?
c) Qual e´ a taxa ma´xima de crescimento em P?
7) Suponha que em alguma regia˜o do espac¸o o potencial ele´trico V seja dado por V (x, y, z) = 5x2 − 3xy+ xyz.
a) Determine a taxa de variac¸a˜o do potencial ele´trico em P = (3, 4, 5), na direc¸a˜o do vetor −→v = −→i +−→j −−→k .
b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente em P?
c) Qual e´ a taxa ma´xima de variac¸a˜o em P?
8) Sejam f(x, y) e g(x, y) func¸o˜es diferencia´veis e a, b constantes reais. Prove que
a) ∇(af + bg) = a∇f + b∇g.
b) ∇(fg) = f∇g + g∇f.
9) Determine, quando existirem, os pontos cr´ıticos das func¸o˜es dadas abaixo e em seguida classifique-os em
pontos de ma´ximo local, mı´nimo local ou pontos de sela.
a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2.
b) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y.
c) f(x, y) = xy − 2x− y.
d) f(x, y) = ex cos y.
e) f(x, y) = ey(y2 − x2)
f) f(x, y) = y cosx, y ∈ R, x ∈ [0, 2pi].
10) Mostre que f(x, y) = x2 + 4y2 − 4xy + 2 tem infinitos pontos cr´ıticose que em todos eles temos que o
determinante D da matriz Hessiana e´ igual a 0.
11) Determine a menor distaˆncia entre o ponto (2, 1,−1) e o plano x+ y − z = 1.
12) Determine os valores de ma´ximo e de mı´nimo absolutos de f no conjunto D em cada caso abaixo:
a) f(x, y) = 1 + 4x− 5y, onde D e´ a regia˜o triangular fechada com ve´rtices (0, 0), (2, 0)e(0, 3).
b) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, onde D = {(x, y)R2| | x |≤ 1 e | y |≤ 1}.
c) f(x, y) = x2y, onde D = {(x, y)R2|x ≥ 0, y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 3.}
13) Encontre dois nu´meros positivos cuja soma seja 12 e cuja soma dos quadrados e´ a menor poss´ıvel.