Lista5 Calculo II Eng. Comp

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IFSP - INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAC¸A˜O, CIEˆNCIA E TECNOLOGIA DE SA˜O PAULO
CAMPUS BIRIGUI
Curso: Engenharia da Computac¸a˜o.
Componente Curricular: Ca´lculo Diferencial e Integral II
Docente Responsa´vel: Prof. Dr. Re´gis Leandro Braguim Sta´bile.
Lista 5
1) Calcule
∫∫∫
E
(x2 + yx) dV, onde
E = { (x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 2, −3 ≤ y ≤ 0, −1 ≤ z ≤ 1 }.
2) Calcule as integrais iteradas abaixo
a)
∫ 1
0
∫ z
0
∫ x+z
0
6xz dx dy dz
b)
∫ 2
1
∫ x
0
∫ 1−y
0
x3y2z dz dy dx
c)
∫ 3
0
∫ 1
0
∫√1−z2
0
zey dz dy dx
d)
∫ 1
0
∫ z
0
∫ y
0
ze−y
2
dx dy dz
3) Calcule
∫∫∫
E
6xy dV, onde E esta´ abaixo do plano z = 1 +x+ y e acima da regia˜o do plano xy limitada pelas
curvas y =
√
x, y = 0 e x = 1. Fac¸a um esboc¸o do so´lido.
4) Calcule
∫∫∫
E
x dV, onde E e´ limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e 3x + 2y + z = 6. Fac¸a um esboc¸o
do so´lido.
5) Calcule
∫∫∫
E
xz dV, onde E e´ o tetraedro de ve´rtices (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Fac¸a um esboc¸o do
so´lido.
6) Calcule
∫∫∫
E
(x+2y) dV, onde E e´ o so´lido limitado pelo cilindro parabo´lico y = x2 e pelos planos x = z, x = y
e z = 0. Fac¸a um esboc¸o do so´lido.
7) Calcule
∫∫∫
E
x dV, onde E e´ o so´lido limitado pelo parabolo´ide x = 4y2 + 4z2 e pelo plano x = 4. Fac¸a um
esboc¸o do so´lido.
8) Calcule
∫∫∫
E
z dV, onde E e´ o so´lido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 3x e z = 0,
no primeiro octante.
9) Use integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pleos planos coordenados e pelo plano
2x+ 3y + 6z = 12.
10) Use integral tripla para determinar o volume do so´lido limitado pelo cilindro parabo´lico x = y2 e pelos
planos z = 0 e x+ z = 1.
2
11) Use integral tripla para determinar o volume do so´lido contido entre os parabolo´ides z = x2 + y2 e z =
18− x2 − y2.
12) Esboce o so´lido cujo volume e´ dado pela integral
∫ 2
0
∫ 2−y
0
∫ 4−y2
0
dx dz dy
13) Fac¸a o esboc¸o do so´lido cujo volume e´ dado pelas integrais triplas abaixo
a)
∫ 2pi
0
∫ 2
0
∫ 4−r2
0
r dz dr dθ
b)
∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
∫ 1
0
ρ2 sinφ dρ dθ dφ
c)
∫ pi/3
0
∫ 2pi
0
∫ secφ
0
ρ2 sinφ dρ dθ dφ
13) Utilizando coordenadas cil´ındricas, calcule as integrais triplas dadas abaixo
a)
∫∫∫
E
√
x2 + y2 dV,onde E e´ a regia˜o contida dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre os planos z = −5 e z = 4.
b)
∫∫∫
E
(x3 + xy2) dV, onde E e´ o so´lido do primeiro octante que esta´ abaixo do parabolo´ide z = 1− x2 − y2.
14) Utilizando coordenadas esfe´ricas, calcule as integrais triplas dadas abaixo
a)
∫∫∫
E
(x2 + y2 + z2) dV, onde E e´ a bola unita´ria x2 + y2 + z2 ≤ 1
b)
∫∫∫
E
(x2+y2) dV, onde E e´ a regia˜o hemisfe´rica que esta´ acima do plano xy e abaixo da esfera x2+y2+z2 = 1
c)
∫∫∫
E
e(x
2+y2+z2)2 dV,onde E e´ o so´lido que esta´ entre as esferas x2 +y2 +z2 = 1 e x2 +y2 +z2 = 4 no primeiro
octante.
15) Determine o volume do so´lido E que esta´ acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2+y2+z2 = 1.