Vetores08 04 16

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Licenciatura em Matemática
Prof. Gustavo Jorge Pereira
Vetores
BIRIGUI - SP
2016
Lista de Figuras
1.1 Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Classe de Equipolência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Vetores LI e LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Sequência (
−→u ,−→v ) e LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Sequência (
−→u ,−→v ) e LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Sequência (
−→u ,−→v ,−→w ) e LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Sequência (
−→u ,−→v ,−→w ) e LI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6 Sequência (
−→u ,−→v ,−→w ,−→r ) e LD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.7 Dois vetores coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.8 Vetores coplanares e não coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.9 Combinação linear de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Sumário
1 Noções Intuitivas 3
1.1 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Operação de vetores 8
2.1 Soma de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Produto de escalar por vetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Base 12
3.1 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Combinação linear de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Base vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Referências Bibliográficas 22
Capítulo 1
Noções Intuitivas
Um ponto do plano é representado por um par ordenado (x, y). Sejam A(0, 0), B(1, 1), C(−2, 2),
D(−1, 3), E(0, 3), F (1, 2) pontos do plano, represente esses pontos no plano cartesiano e determine o
comprimento dos segmentos AB, CD, EF , BA, DC.
Figura 1.1: Plano Cartesiano
A distância é uma grandeza escalar. Grandezas escalares são representadas por um número e
uma unidade. Por exemplo: 5kg, 10m, 2h, 3s. Observe os segmentos representado no plano cartesiano
acima, qual é o tamanho dos segmentos AB,CD, DC, BA.
Agora responda as perguntas: O que é Direção? O que é Sentido?
3
CAPÍTULO 1. NOÇÕES INTUITIVAS 4
1.1 Vetor
Antes de definir o conceito de vetor vamos entender o que é um segmento orientado
Definição 1. Seja (A,B) um par ordenado formado por dois pontos do espaço. Um segmento orientado
é um par ordenado (A,B) com um início e fim, sendo que A é chamada de origem e B de extremidade.
Observação 1. Se A 6= B, então os segmentos orientados (A,B) e (B,A) são diferentes. O segmento
orientado(A,A), (C,C), (D,D) são exemplos de segmentos orientados nulos.
Definição 2. Sejam (A,B) e (C,D) segmentos orientados não nulos.
1. Dizemos que (A,B) e (C,D) têm tamanho iguais se os segmento AB e CD têm mesmo comprimento.
2. Os segmentos (A,B) e (C,D) são de mesma direção ou paralelos se os segmentos geométricos AB
e CD são paralelos.
Agora, vamos definir quando dois segmentos orientados (A,B) e (C,D) têm mesmo sentido. Primeira-
mente, suponhamos que (A,B) e (C,D) tenha mesma direção, assim
Definição 3. Sejam AB e CD dois segmentos distintos
1. Uma vez que os segmentos AB e CD são distintos, dizemos que os segmentos orientados (A,B) e
(C,D) têm mesmo sentido se as retas que ligam as origens e as extremidades dos segmentos AB e
CD têm interseção vazia. Caso contrário, isto é AC ∩ BD 6= ∅, dizemos que (A,B) e (C,D) têm
sentido contrário.
2. Para o caso em que os segmentos AB e CD são colineares, vamos tomar um novo segmento orientado
(A′, B′) de mesma direção de (A,B) de modo que A′, B′ não pertença ao segmento AB. Agora,
verifique se os segmentos (A′, B′) e (C,D) têm mesmo sentido. Se sim, dizemos que (A,B) e (C,D)
têm mesmo sentido. Se não, dizemos que eles tem sentidos contrário.
Exercício 1. Verifique que os segmentos orientados (A,B) e (B,A), com A 6= B têm mesmo tamanho,
mesma direção, mas sentido contrário.
CAPÍTULO 1. NOÇÕES INTUITIVAS 5
Definição 4. Sejam (A,B) e (C,D) dois segmentos orientados distintos e não nulos. Dizemos que (A,B)
é equipolente a (C,D) e denotamos por: (A,B) ∼ (C,D), se eles tiverem mesmo tamanho, mesma direção
e mesmo sentido.
Observação 2. Um segmento orientado nulo só é equipolente a outro segmento orientado nulo.
A relação de equipolência é uma relação de equivalência, de fato:
Proposição 1. A relação de equipolência satisfaz as seguintes propriedades:
1. (A,B) ∼ (A,B);
2. (A,B) ∼ (C,D)⇒ (C,D) ∼ (A,B);
3. (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E,F )⇒ (A,B) ∼ (E,F ).
Assim, podemos definir o que é uma Classe de Equipolência
Exercício 2. Se (A,B) ∼ (P,Q) e (C,D) ∼ (P,Q) mostre que (A,B) ∼ (C,D).
Definição 5. Seja (A,B) um segmento orientado qualquer. Chama-se Classe de Equipolência de (A,B)
ao conjunto de todos os segmentos orientado que são equipolêntes a (A,B).
Observe a figura abaixo e enumere colorindo as classes de equipolências.
Figura 1.2: Classe de Equipolência
CAPÍTULO 1. NOÇÕES INTUITIVAS 6
Definição 6. Um V etor é uma classe de equipoleˆncia de segmentos orientados.
Observação 3. O vetor cujo o representante é segmento (A,B) será indicado por
−−→
AB = −→v . O conjunto
de todos os vetores é denotado por V 3.
Definição 7. Dois vetores
−−→
AB e
−−→
CD são iguais se, e somente se, (A,B) ∼ (C,D).
Definição 8. Vetor nulo é o vetor que tem como representante um segmento orientado nulo, isto é,
(A,A) e é indicado por
−→
0 .
Definição 9. Seja
−→u = −−→AB. Chama-se vetor oposto de −→u o vetor que tem como seu representante o
segmento orientado(B,A), isto é, −−→u = −−→BA.
Observação 4. −−−→AB = −−→BA.
Exercício 3. Mostre que −(−−→u ) = −→u
Exercício 4. Prove que
−→u = −−→u ⇔ −→u = −→0.
Definição 10. Norma ou módulo de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus representantes.
Notação, seja
−→u um vetor qualquer ||−→u || é chamado de norma do vetor −→u . Um vetor é chamado de
unitário se sua norma for igual a 1.
CAPÍTULO 1. NOÇÕES INTUITIVAS 7
Definição 11. Versor de um vetor não nulo
−→u é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de
−→u .
Definição 12. Sejam
−→u , −→v e −→w vetores quaisquer.
1. Dizemos que
−→u e −→w são colineares (paralelos) se tiverem mesma direção.
2. Dizemos que
−→u , −→v e −→w são coplanares se seus representantes pertencem a um mesmo plano.
Capítulo 2
Operação de vetores
Neste capítulo apresentaremos a definição de soma de vetor e multiplicação de vetor por um
escalar.
2.1 Soma de Vetores
Vamos definir no espaço V 3 uma operação chamada de adição de vetores de modo que para
cada par (−→u ,−→v ) será associado ao novo vetor −→u +−→v .
Definição 13. Sejam os vetores
−→u = −−→AB e −→v = −−→BC. A soma desses vetores forma um novo vetor
−→s = −→u +−→v om origem em A e término em C.
E se os vetores
−→u e −→v tiver a mesma origem, como será a soma deles? Nesse caso considere
−→u = −−→AB e −→v = −→AC, determine a soma dos vetores −→u e −→v
8
CAPÍTULO 2. OPERAÇÃO DE VETORES 9
Sejam
−→u ,−→v e −→w vetores quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:
1. Comutativa:
−→u +−→v = −→v +−→u
2. Associativa: (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w )
3. Elemento neutro: Existe um vetor, chamado de nulo, tal que para todo vetor v tem-se:
−→v +−→0 = −→v .
4. Oposto: Qualquer que seja
−→w existe um vetoroposto, denotado por −−→w , tal que: −→w +(−−→w ) = −→0 .
Diferença de vetores: Sejam Os vetores
−→u = −−→AB e −→v = −→AC. A diferença dos vetores −→u e −→v forma
um novo vetor
−→
d com origem em C e término em B.
CAPÍTULO 2. OPERAÇÃO DE VETORES 10
Subtração dos vetores
−→u e −→v através de seus representantes. Sabemos que −→u = −−→CD, pois
(A,B) ∼ (C,D) e −→v = −−→BD, pois (A,C) ∼ (B,D), logo
Exercício 5. Sejam
−→u ,−→v ,−→w ,−→x ,−→y, e −→z vetores quaisquer.
1. Se
−→u +−→v = −→u +−→w , então −→v = −→w .
2. Se
−→x +−→z = −→y +−→z , então −→x = −→y .
Dica: Utilize as propriedades da adição de vetores.
2.2 Produto de escalar por vetor.
Nessa seção vamos aprender o conceito de multiplicação de um número real por um vetor.
Definição 14. Sejam α um número real qualquer e −→v um vetor.
1. Se α = 0 ou −→v = −→0 então α−→v = −→0 .
2. Se α 6= 0 e −→v 6= −→0 , o vetor α−→v é caracterizado por:
• α−→v �−→v (α−→v é paralelo a −→v .)
CAPÍTULO 2. OPERAÇÃO DE VETORES 11
• α−→v e −→v tem mesmo sentido se α > 0 (alpha é positivo), caso contrário (α < 0) então α−→v e −→v terá
sentido opostos.
• ‖ α−→v ‖=| α | . ‖ −→v ‖ (a norma do produto escalar ao vetor é igual ao produto do módulo de alpha
com a norma do vetor
−→v ).
Observação 5. Se β (beta) é um número real, a notação
−→v
β
é igual a
1
β
−→.v . Se −→v 6= −→0 , então o vetor
−→v
‖ −→v ‖ é chamado de de versor de
−→v .
Exercício 6. Mostre que o verso de um vetor tem norma igual a um, isto é, o versor é sempre unitário.
Quaisquer que sejam os números reais α e β e quaisquer que sejam os vetores −→u e −→v , valem as
igualdades:
1. α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→v
2. (β + α)−→u = β−→u + α−→u
3. 1−→v = −→v
4. α(β−→v ) = (αβ)−→v = β(α−→v )
Capítulo 3
Base
Antes de definir base de vetores vamos definir os conceitos de sequência de vetores linearmente
independente, linearmente dependente e combinação linear.
Definição 15. Diz-se que um vetor
−→v é paralelo a uma reta r se existir um representante (A,B) de −→v
tal que o segmento AB esteja contido em r.
Definição 16. Diz-se que um vetor
−→v é paralelo a um plano pi se existir um representante (A,B) de −→v
tal que o segmento AB esteja contido em pi.
3.1 Dependência e independência linear
Definição 17. Uma sequência (−→v ) de um único vetor −→v ∈ V 3 é linearmente depentente (LD) se −→v = −→0 .
Caso contrário, se
−→v 6= −→0 , então a sequência (−→v ) é linearmente independente (LI).
12
CAPÍTULO 3. BASE 13
Figura 3.1: Vetores LI e LD
Definição 18. Uma sequência (−→u ,−→v ) de vetores de V 3 é linearmente dependente (LD) se −→u e −→v são
paralelos a uma mesma reta. Caso contrário eles são LI.
Figura 3.2: Sequência (
−→u ,−→v ) e LD
Figura 3.3: Sequência (
−→u ,−→v ) e LD
Definição 19. Uma sequência (−→u ,−→v ,−→w ), de vetores de V 3 é Linearmente dependente (LD) se −→u ,−→v e
−→w são paralelos a um mesmo plano. Caso contrário, eles são LI.
CAPÍTULO 3. BASE 14
Figura 3.4: Sequência (
−→u ,−→v ,−→w ) e LD
Figura 3.5: Sequência (
−→u ,−→v ,−→w ) e LI
Definição 20. Uma sequência com quatro vetores ou mais é LD, por definição.
Figura 3.6: Sequência (
−→u ,−→v ,−→w ,−→r ) e LD
Observação 6. Dois Vetores, não colineares, são sempre coplanares
CAPÍTULO 3. BASE 15
Figura 3.7: Dois vetores coplanares
Observação 7. Trê vetores podem ser coplanar ou não coplanar.
Figura 3.8: Vetores coplanares e não coplanares
Observação 8. Já sabemos que dois vetores, não colineares, são sempre coplanares. Como
−→
AE = a−→u tem
a mesma direção de
−→u e −→AF = b−→v tem a mesma direção de −→v , então o vetor −→r = −→AG = a−→u + b−→v tem
a mesma direação de
−→w = −→u +−→v , ou seja, −→r = a−→u + b−→v .
Figura 3.9: Combinação linear de vetores
CAPÍTULO 3. BASE 16
3.2 Combinação linear de vetores
Definição 21. Sejam
−→v1,−→v2 ,−→v3 e −→u vetores de V 3 e a1, a2, a3 escalares (números reais). Chama-se
combinação linear dos vetores
−→v1 ,−→v2,−→v3 o vetor
−→u = a1−→v1 + a2−→v2 + a3−→v3.
Observe que
−→u é gerado pelos vetores −→v1 ,−→v2 ,−→v3.
Agora veremos alguns resultados que nos diz quando que uma sequência de vetores é LD ou LI.
Proposição 2. Uma sequência (−→v1 ,−→v2, . . . ,−→vn), n ≥ 2 é LD se, e somente se, algum vetor da sequência
for gerado pelos demais.
Exemplo 1. A sequência de vetores (
−→
0 ,−→v1 ,−→v2, . . . ,−→vn) é LD, pois o vetor nulo é gerado pelos vetores
−→v1 ,−→v2 , . . . ,−→vn, isto é,
−→
0 = 0−→v1 + 0−→v2 + . . .+ 0−→vn.
Exemplo 2. A sequência de vetores (−→v1 ,−→v2), em que −→v1 = (1, 2) e −→v2 = (1
2
, 1) é LD, pois −→v1 = 2−→v2 e
−→v2 = 1
2
−→v1 .
Proposição 3. Umas sequência (−→v1,−→v2 , . . . ,−→vn) é LD se, e somente se, existirem escalares a1, a2, . . . , an
NÃO TODOS NULOS, tal que
a1
−→v1 + a2−→v2 + · · ·+ an−→vn = −→0 .
Exemplo 3. A sequência de vetores (
−→
0 ,−→v ,−−→v ) é LD, pois o vetor −→0 é gerado pelos vetores desta
sequência em que dois escalares são nulos e um escalar diferente de zero, ou seja,
−→
0 = 1.
−→
0 + 0.−→v + 0.(−−→v ).
Exemplo 4. A sequência de vetores (−→u ,−→v , 2−→v +−→u ) é LD, pois o vetor −→0 é gerado pelos vetores desta
sequência em que todos os escalares são diferentes de zero (não nulos), ou seja,
−→
0 = −2−→v + (−1)−→u + 1(2−→v +−→u )
Proposição 4. Sejam (−→v1,−→v2 , . . . ,−→vn) e a1, a2, . . . , an escalares. Diz-se que a sequência (−→v1,−→v2 , . . . ,−→vn)
é LI, se ela NÃO FOR LD, isto é, a combinação linear dos vetores é
a1
−→v1 + a2−→v2 + · · ·+ an−→vn = −→0 .
com TODOS ESCALARES IGUAIS A ZERO, ou seja, a1 = a2 = · · · an = 0.
CAPÍTULO 3. BASE 17
Exemplo 5. A Sequência de vetores de vetores (−→v1,−→v2 ,−→v3) em que −→v1 = (1, 0, 0), −→v2 = (1, 1, 0) e −→v3 =
(1, 0, 1) é LI.
Exercício 7. Prove que se a sequência de vetores (−→u ,−→v ,−→w ) é LI, então a sequência de vetores (−→u +
−→v ,−→u +−→w ,−→v +−→w ) é LI.
CAPÍTULO 3. BASE 18
Exercício 8. Prove que a sequência de vetores (−→u − 2−→v + −→w , 2−→u + −→v + 3−→w ,−→u + 8−→v + 3−→w ) é LD
quaisquer que sejam os vetores
−→u ,−→v e −→w .
CAPÍTULO 3. BASE 19
3.3 Base vetorial
Definição 22. Sejam
−→e1 ,−→e2 ,−→e3 vetores de V 3 e a1, a2, a3escalares. Diz-se que β = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) é uma
base de V 3 se β for LI e qualquer vetor −→v ∈ V 3 for gerado por β, isto é,
−→v = a1−→v1 + a2−→v2 + a3−→v3 .
Exemplo 6. Verifique se β = (−→v1 ,−→v2 ,−→v3) em que −→v1 = (1, 0, 0), −→v2 = (1, 1, 0) e −→v3 = (1, 0, 1) forma uma
base de R3.
CAPÍTULO 3. BASE 20
Exercício 9. Mostre que β = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) em que −→e1 = (1, 0, 0), −→e2 = (0, 1, 0) e −→e3 = (0, 0, 1) forma uma
base de R3.
CAPÍTULO 3. BASE 21
Exercício 10. Mostre que β = (−→e1 ,−→e2) em que −→e1 = (1, 0) forma uma base de R2.
Referências Bibliográficas
[1] BOULOS, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria analitica. 3. ed. rev. e ampl. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2005. 385 p.
[2] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Bo-
oks, 2006. 292 p.
22