AULA 2 REPRESENTAÇÃO DE VETORES

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Aula 2: Representação de Vetores 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Conteúdo desta aula 
DECOMPOSIÇÃO DE 
 VETORES EM R² 
1 
COMBINAÇÃO LINEAR 
 DE VETORES EM R² 
2 
REPRESENTAÇÃO 
DE VETORES 
3 
PARALELISMO DE 
VETORES 
4 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
MÓDULO DE 
VETORES 
5 
VETOR UNITÁRIO 
6 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 2: REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
Representação de Vetores no R2 
Sejam dois vetores 𝑢 = (x1, y1) e 𝑣 = (x2, y2), não colineares. 
 
Um vetor 𝑤 qualquer, coplanar a 𝑢 e 𝑣 , pode ser escrito através da 
decomposição de u e v. 
 
Isto significa que podemos escolher dois escalares k1 e k2 de tal forma que: 
 𝒘 = k1. 𝒖 + k2.𝒗 
Decomposição de vetores em R2 
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Representação de Vetores no R2 
𝒘 = k1. 𝒖 + k2.𝒗 (visão geométrica) 
 
𝒖 
𝒗 
k1. 𝒖 
k2. 𝒗 
 
Decomposição de vetores em R2 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Representação de Vetores no R2 
k1. 𝒖 
k2. 𝒗 
 
𝒘 
𝒖 
k1. 𝒖 
k2.𝒖 
 
Decomposição de vetores em R2 
𝒘 = k1. 𝒖 + k2.𝒗 (visão geométrica) 
 
𝒖 
𝒗 
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Representação de Vetores no R2 
Quando se representa um vetor 𝑤 qualquer por uma expressão do tipo k1. 𝑢 + k2. 𝑣 , 
pode-se dizer que w é uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣 . 
 
 Neste caso, o par 𝑢 e 𝑣 (não colineares) é denominado base do plano. 
 
 Qualquer par de vetores não colineares {u,v} podem constituir uma base 
no plano. 
Combinação linear de vetores em R2 
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Representação de Vetores no R2 
𝒖 
v 
k1. 𝒖 k2.𝒖 
{u, v} formam uma base, 
geram qualquer vetor do plano 
 
Combinação linear de vetores em R2 
VISÃO GEOMÉTRICA: 𝒘 = k1. 𝒖 + k2. 𝒗 
 
𝒘 
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Representação de Vetores no R2 
VISÃO GEOMÉTRICA: 𝒘 = k1. 𝒖 + k2. 𝒗 
 
 i =(1,0) 
 j = (0,1) 
x.i 
y.j 
 { i, j } base canônica 
Combinação linear de vetores em R2 
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Combinação linear de vetores em R2 
Representação de Vetores no R2 
Dada a base canônica: {i, j} onde i=(1,0) e j = (0,1) cria-se uma correspondência biunívoca entre os 
vetores do plano e as ordenadas (x,y). 
 
u = (x,y) u = x.i + y.j 
= x.(1,0) + y.(0,1) = 
=(x.1+y.0,x.0+y.1) = 
=(x,y) 
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Representação de Vetores no R2 
EXEMPLOS: 
 
1. u = 3i + 2j = 3.(1,0) + 2.(0,1) = (3,2) 
2. v = -5i - 0j = -5.(1,0) - 0.(0,1) = (-5,0) 
3. w = i + j = 1.(1,0) + 1.(0,1) = (1,1) 
4. v = - i + 2j = -1.(1,0) + 2(0,1) = (-1,2) 
5. w =-7j = 0.(1,0) -7.(0,1) = (0,-7) 
6. u =(1/3)i = 1/3.(1,0) + 0.(0,1) = (1/3, 0) 
 
Combinação linear de vetores em R2 
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Representação de Vetores no R2 
𝒊 = (1 , 0, 0) 
 
𝒋 = (0, 1, 0) 
 
𝒌 = (0, 0, 1) 
 
𝒗 = x. 𝒊 + y. 𝒋 + z. 𝒌 = (x,y,z) 
 
 (EXPRESSÃO ANALÍTICA) 
Base canônica em R3: {i, j, k} 
Y 
X 
Z 
𝒊 
𝒋 
𝒌 
Combinação linear de vetores em R2 
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Representação de Vetores no R2 
Exemplos de Vetores no R³ 
 
1. v = 2 i – 3 j + 5 k 
2. w = -4 j – 2 k 
3. u = - k 
4. (2 , -1 , 3) 
5. (0 , 2 , 6) 
 
 
Combinação linear de vetores em R2 
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Exemplos: 
Seja o vetor v igual a: 
 
v = (2,3,4) e u =(6,9,12). Temos v = 3 .u. Logo, v // u; 
v = (2,3) e u = (-4,-6). Temos v = -2.u. Logo, v // u; 
v = (1,1,1) e u =(7,7,7). Temos v = 7.u. Logo, v // u; 
v = (8,-6,12) e u =(4,-3,6). Temos v = (1/2). u. Logo, v // u; 
v = (8,-6) e u =(4,-3). Temos v = (1/2). u. Logo, v // u 
v = (0,0,0) e u =(4,7,-1). Temos v = 0.u. Logo, v // u; 
Condição de Paralelismo de Vetores: v = k. u 
Combinação linear de vetores em R2 
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Representação de Vetores no R2 
Representa o tamanho do vetor 
a(xa,ya) 
b(xb yb) 
yb - ya 
xb - xa 
𝑢 
𝑢 = (b-a) = (xb-xa,yb-ya) 
 
Por Pitágoras (triângulo retângulo) 
 
| 𝑢 | = (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2+(𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2 
Módulos de vetores 
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𝑢 = (b-a) = (xb-xa,yb-ya) 
| 𝑢 | = (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎)2+(𝑦𝑏 − 𝑦𝑎)2 
 
𝒗 = 𝑢 / |𝑢| 
 
|𝒗| = 1 
yb - ya 
a(xa,ya) 
b(xb yb) 
xb - xa 
𝑢 
𝒗 
Vetor unitário 
 Vetor com módulo 1 
Pode-se obter um vetor unitário a partir de outro (versor): basta dividi-lo por seu módulo 
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Representação de Vetores no R2 
 Vetor com módulo 1 
Pode-se obter um vetor unitário a partir de outro (versor): basta dividi-lo por seu módulo 
a(2,1) 
b(6,4) 
4-1=3 
6-2=4 
𝑢 
𝑢 = (b-a) = (6-2,4-1) = (4,3) 
| 𝑢 | = 42 + 32 = 25 = 5 
 
𝒗 = 𝑢 / |𝑢| = (4,3) / 5 = ( 
4
5
 ,
3
5
 ) 
 
|𝒗| = 
4
5
 
2
+
3
5
 
2
 = 
16
25
 +
9
25
 = 1 
 
𝒗 
Vetor unitário 
Assuntos da próxima aula: 
1. Produto Escalar; 
2. Produto Vetorial; 
3. Produto Misto.