APRESENTACAO DA AULA 7

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Aula 7: Prática de representação da reta II 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Conteúdo desta aula 
RESUMO 
1 
EXERCÍCIOS 
2 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
 Em forma de coordenadas temos o vetor AP = tv 
 
 
 
 
 
Resumo – EQUAÇÕES EM R3 
t = (x – x1)/a 
t = (y – y1)/b 
t = (z – z1)/c 
(x – x1) = (y – y1) = (z – z1) 
 a b c 
Eqs. Simétricas 
(x – x1, y – y1, z –z1) = (ta , tb, tc) 
Equivalente ao sistema de equações paramétricas 
x = x1 + ta 
y = y1 + tb 
z = z1 + tc 
 
, onde m = 
𝒃
𝒂
 e n= 𝒃
𝒂
𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 , todos conhecidos: 
, onde p= 
𝒄
𝒂
 e q= 𝒄
𝒂
𝒙𝟏 + 𝒛𝟏 , todos conhecidos: 
Y=mx+n 
Z=px+q 
Eqs. reduzidas em x 
 Eq. Vetorial 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
Determine as retas r que contêm o ponto A(2,-1,1) e que interceptam, a 450, a reta s: 
𝑥 = 1 + 2𝑡
𝑦 = −1
𝑧 = 𝑡
 
 
s 
r1 
r2 
A 
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Formas de representação da reta 
Considere as retas: 
𝑟1: 
𝑥−5
3
=
𝑦+1
2
=
−𝑧+1
1
 𝑒 𝑟2: 
𝑥 = 6 + 3𝑡
𝑦 = 1 − 2𝑡
𝑧 = 𝑡
 
Determine as equações simétricas da reta r3 , que passa pelo ponto de interseção de r1 e r2 , e seja 
paralela a reta definida pelos pontos: A(0, 1, 2) e B(1, 4, 5) 
 
 
r1 r2 A 
B 
r3 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados. 
O que significa uma reta paralela ao eixo x? 
Significa que: 
• y e z possuem valores constantes (cy e cz) 
• a reta é paralela a 𝑖 = (1, 0, 0) 
• todos os pontos da reta serão do tipo (x, cy, cz) 
x 
y 
z 
o 
i 
cy 
cz 
 
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 𝑐𝑦
𝑧 = 𝑐𝑧
 
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AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
O que significa uma reta paralela ao eixo y? 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados. 
Significa que: 
• x e z possuem valores constantes (cx e cz) 
• a reta é paralela a 𝑗 = (0, 1, 0) 
• todos os pontos da reta serão do tipo (cx, y, cz) 
x 
y 
z 
o j 
cx 
cz 
 
𝑥 = 𝑐𝑥
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 𝑐𝑧
 
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AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
O que significa uma reta paralela ao eixo z? 
 
Mostre, para todas as representações de uma reta genérica, como ficam os casos particulares 
em que as retas são paralelas aos eixos coordenados. 
Significa que: 
• x e y possuem valores constantes (cx e cy) 
• a reta é paralela a 𝑘 = (0, 0, 1) 
• todos os pontos da reta serão do tipo (cx, cy, z) 
x 
y 
z 
o 
k 
cy 
cx 
𝑥 = 𝑐𝑥
𝑦 = 𝑐𝑦
𝑧 = 𝑡
 
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AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
Para facilitar o raciocínio, vamos imaginar um triângulo ABC e a mediana relativa ao lado BC, criando 
o ponto M. 
Como o objetivo do exercício é montar a eq. da reta que passa por A e M, 
podemos começar descobrindo as coordenadas de M. 
 
Como a mediana divide o lado BC ao meio, M é o ponto médio entre B e C, 
ou seja, 
 
M = ((2,-1,-6) + (-4, 5, 2))/2 = (-2, 4, -4)/2 = (-1, 2, -2) 
𝐀 𝐁 
𝐂 
𝐌 
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Formas de representação da reta 
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-1,2,-2) 
 
1) Eq. Vetorial 
 precisamos de um ponto da reta e de um vetor. 
 o ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) 
 o vetor pode ser 𝐴𝑀 ou 𝑀𝐴. Escolhido 𝐴𝑀. 
 𝐴𝑀 = M - A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0) 
 
 P = A + t 𝑣 
 
 (x, y, z) = (1, 0, -2) + t (-2, -2, 0) 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
𝐀 𝐁 
𝐂 
𝐌 
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Formas de representação da reta 
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-1,2,-2) 
 
2) Eqs. Paramétricas 
 precisamos de um ponto da reta e de um vetor. 
 o ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) 
 o vetor pode ser 𝐴𝑀 ou 𝑀𝐴. Escolhido 𝐴𝑀. 
 𝐴𝑀 = M - A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0) 
 
 x = 1 - 2t 
 y = 2t 
 z = -2 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
𝐀 𝐁 
𝐂 
𝐌 
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Formas de representação da reta 
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-1,2,-2) 
 
3) Eqs. Simétricas 
 precisamos de um ponto da reta e de um vetor. 
 o ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) 
 o vetor pode ser 𝐴𝑀 ou 𝑀𝐴. Escolhido 𝐴𝑀. 
 𝐴𝑀 = M - A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0) 
 
 
 com z constante = -2, pois c = 0 
 
𝑥 − 1
−2
= 
𝑦 − 0
2
 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
𝐀 𝐁 
𝐂 
𝐌 
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AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
Agora precisamos construir uma reta que passe por A(1,0,-2) e M(-1,2,-2) 
 
3) Eqs. Reduzidas em x 
 precisamos de um ponto da reta e de um vetor. 
 o ponto, podemos escolher A ou M. Escolhido A(1,0,-2) 
 o vetor pode ser 𝐴𝑀 ou 𝑀𝐴. Escolhido 𝐴𝑀. 
 𝐴𝑀 = M - A = (-1,2,-2) - (1,0,-2) = (-2,2,0) 
 
 
 
 
m = 2/-2 = -1 
n = (2/-2) . 1 + 0 = -1 
y = -x – 1 
p= 0/-2 = 0 
q = (0/-2) . 1 -2 = -2 
z = -2 
Seja o triângulo de vértices A(1,0,-2), B(2,-1,-6) e C(-4,5,2). 
Estabelecer as equações da reta suporte da mediana do triângulo ABC relativa ao lado BC. 
 
𝐀 𝐁 
𝐂 
𝐌 
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AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
Para especificarmos a reta r3, precisaremos de um ponto da reta e de um vetor que estabelece a sua direção. 
 
Analisando o problema, o ponto de r3 será a interseção de r1 com r2 e o vetor será obtido pelos pontos A e B, 
já que r3 é paralela à reta que passa por A e B. 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas abaixo. 
 
 
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AULA 7: PRÁTICA DE REPRESENTAÇÃO DA RETA II 
Formas de representação da reta 
O ponto de interseção de duas retas é o único ponto que pertence ao mesmo tempo a r1 ea r2, ou seja, 
precisamos conhecer o ponto que atenda às duas equações (r1 e r2) 
 
Então, precisamos substituir os valores de uma na outra e acharmos o ponto que atenda às 2 equações. 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas abaixo. 
 
 
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Formas de representação da reta 
(6 + 3𝑡) − 5
3
= 
(1 − 2𝑡) + 1
2
= 
−𝑡 + 1
1
 
Substituindo r2 em r1: 
3𝑡 + 1
3
= 
2 − 2𝑡
2
= 
−𝑡 + 1
1
 
Se existir um valor de t que atenda, 
encontramos o ponto de interseção. 
Do contrário as retas são paralelas e 
não existe interseção. 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas abaixo. 
 
 
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Formas de representação da reta 
Vamos analisar a 1ª igualdade: 
3𝑡 + 1
3
= 
2 − 2𝑡
2
 
6t+2 = 6 – 6t 
12t = 4 
t = 1/3 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas abaixo. 
 
 
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Formas de representação da reta 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas abaixo. 
 
 
Vamos verificar o ponto de interseção aplicando t=1/3 em r2: 
x = 6+3/3 
y = 1-2/3 
z = 1/3 
x = 7 
y = 1/3 
z = 1/3 
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Formas de representação da reta 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas abaixo. 
 
 
Agora vamos verificar se o ponto encontrado também pertence a r1: 
7 − 5
3
= 
1/3 + 1
2
= 
−1/3 + 1
1
 
2
3
= 
4/3
2
= 
2/3
1
 
2
3
= 
2
3
= 
2
3
 ok! 
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Formas de representação da reta 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas abaixo. 
 
 
Agora vamos especificar a direção de r3, que é definida pelo vetor 𝑨𝑩 = B - A = (1,4,5) - (0,1,2) 
 
𝑨𝑩 = (1, 3, 3) 
C(7, 1/3, 1/3) 
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Formas de representação da reta 
Determine as equações simétricas da reta r3, sabendo que ela é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(0,1,2) e B(1,4,5) e passa por C, que é a interseção das retas r1 e r2 fornecidas abaixo. 
 
 
Agora só resta escrever as equações simétricas da reta r3: 
C(7, 1/3, 1/3) 
𝑨𝑩 = (1, 3, 3) 
(x – x1) = (y – y1) = (z – z1) 
 a b c 
(x – 7) = (y – 1/3) = (z – 1/3) 
 1 3 3 
(x – 7) = (3y – 1) = (3z – 1) 
 1 9 9 
Assuntos da próxima aula: 
1. Representação do plano.