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APRESENTACAO DA AULA 14

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Aula 14: Cônicas – parábola 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
PARÁBOLA 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Considere: 
 
• o plano cartesiano xy; 
 
• uma reta d; 
 
• um ponto fixo F não pertencente a reta. 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Considere: 
 
• o plano cartesiano xy; 
• uma reta d; 
• um ponto fixo F não pertencente a reta; 
• o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola. 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Considere: 
 
• o plano cartesiano xy; 
• uma reta d; 
• um ponto fixo F não pertencente a reta; 
• o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola; 
• F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta 
perpendicular a d que passa por F e o 
vértice V é o ponto da parábola que cruza o 
eixo. 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Considere: 
 
• o plano cartesiano xy; 
• uma reta d; 
• um ponto fixo F não pertencente a reta; 
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola; 
• F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta 
perpendicular a d que passa por F e o 
vértice é o ponto da parábola que cruza o 
eixo. 
• Note que: 
• d(V,F)=d(V,A) 
• PP’ é perpendicular a d 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Considere: 
 
• o plano cartesiano xy; 
• uma reta d; 
• um ponto fixo F não pertencente a reta; 
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola; 
• F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta 
perpendicular a d que passa por F e o vértice é 
o ponto da parábola que cruza o eixo. 
• Note que: 
• d(V,F)=d(V,A) 
• PP’ é perpendicular a d 
 
Vamos ver como se constrói a parábola? 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Considere: 
 
• o plano cartesiano xy; 
• uma reta d; 
• um ponto fixo F não pertencente a reta. 
• o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola; 
• F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta 
perpendicular a d que passa por F e o vértice é 
o ponto da parábola que cruza o eixo. 
• Note que: 
• d(V,F)=d(V,A) 
• PP’ é perpendicular a d 
 
Vamos construir a equação da parábola? 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Considere: 
 
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano que são equidistantes de d e F é 
denominado parábola. 
• Pela definição P só pertence à parábola se: 
 
 
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι PFΙ = Ι PP’Ι 
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) 
 
• Pela definição P só pertence à parábola se: 
 
 
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
 
 
 
 
𝑃 − 𝐹 = 𝑥, 𝑦 −
𝑝
2
 𝑃 − 𝑃′ = 0, 𝑦 +
𝑝
2
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
𝑃 − 𝐹 = 𝑥, 𝑦 −
𝑝
2
 𝑃 − 𝑃′ = 0, 𝑦 +
𝑝
2
 
𝑥2+ (y −
𝑝
2
)2= (y +
𝑝
2
)2 
Dispensando a raiz 
quadrada dos dois lados... 
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) 
 
• Pela definição P só pertence à parábola se: 
 
 
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
𝑃 − 𝐹 = 𝑥, 𝑦 −
𝑝
2
 𝑃 − 𝑃′ = 0, 𝑦 +
𝑝
2
 
𝑥2+ (y −
𝑝
2
)2= (y +
𝑝
2
)2 
𝑥2+ 𝑦2 − 𝑝𝑦 +
𝑝
4
2
= 𝑦2 + py +
𝑝
4
2
 
Desenvolvendo 
dos dois lados... 
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) 
 
• Pela definição P só pertence à parábola se: 
 
 
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
𝑃 − 𝐹 = 𝑥, 𝑦 −
𝑝
2
 𝑃 − 𝑃′ = 0, 𝑦 +
𝑝
2
 
𝑥2+ (y −
𝑝
2
)2= (y +
𝑝
2
)2 
𝑥2+ 𝑦2 − 𝑝𝑦 +
𝑝
4
2
= 𝑦2 + py +
𝑝
4
2
 
𝑥2 = 2𝑝𝑦 
Equação reduzida da parábola 
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) 
 
• Pela definição P só pertence à parábola se: 
 
 
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
 Da equação x²=2py observa-se que 2py sempre será positivo ou nulo, pois é igual a x²≥0. 
 Portanto, os sinais de p e y são sempre iguais (para dar positivo). 
 
 Se p>0, a parábola tem concavidade voltada para cima. 
 Se p<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
p 
p 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
𝑃 − 𝐹 = 𝑥 −
𝑝
2
, 𝑦 𝑃 − 𝑃′ = 𝑥 +
𝑝
2
, 0 
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) 
 
• Pela definição P só pertence à parábola se: 
 
 
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
𝑃 − 𝐹 = 𝑥 −
𝑝
2
, 𝑦 𝑃 − 𝑃′ = 𝑥 +
𝑝
2
, 0 
𝑦2 = 2𝑝𝑥 
analogamente 
Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) 
 
• Pela definição P só pertence à parábola se: 
 
 
d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Da mesma forma do caso anterior: 
 se p>0, a parábola terá concavidade voltada para a direita. 
 se p<0, a parábola terá concavidade voltada para a esquerda. 
y 
x 
o 
x 
y 
o x  0 
p  0 
x  0 
p  0 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
Parábola com vértice fora da origem e eixo vertical 
P(x’, y’) coordenadas em relação aos eixos X’VY’ 
P(x, y) coordenadas em relação ao eixos XOY 
 
O gráfico nos mostra que x’ = x – h e y’ = y – k 
 
Equação da parábola em relação aos eixos X’VY’ 
 
 x’² = 2py’ 
 
Equação da parábola em relação aos eixos XOY 
 
(x-h)²=2p (y-k) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
 
Parábola com vértice fora da origem e eixo horizontal 
 
De modo análogo: 
 
(y – k)² = 2p (x – h) 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 14: PARÁBOLA 
Cônicas: parábola 
 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Dicas, textos, vídeos e cursos: 
 
 
 
 
O uso do GeoGebra poderá ajudá-lo(a) muito na manipulação das cônicas. 
www.geogebra.org 
 
Assuntos da próxima aula: 
1. Hipérbole.

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