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CCE0005 – Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Aula 14: Cônicas – parábola Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola PARÁBOLA 1 PRÓXIMOS PASSOS Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Considere: • o plano cartesiano xy; • uma reta d; • um ponto fixo F não pertencente a reta. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Considere: • o plano cartesiano xy; • uma reta d; • um ponto fixo F não pertencente a reta; • o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste plano que são equidistantes de d e F é denominado parábola. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Considere: • o plano cartesiano xy; • uma reta d; • um ponto fixo F não pertencente a reta; • o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste plano que são equidistantes de d e F é denominado parábola; • F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta perpendicular a d que passa por F e o vértice V é o ponto da parábola que cruza o eixo. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Considere: • o plano cartesiano xy; • uma reta d; • um ponto fixo F não pertencente a reta; • O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste plano que são equidistantes de d e F é denominado parábola; • F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta perpendicular a d que passa por F e o vértice é o ponto da parábola que cruza o eixo. • Note que: • d(V,F)=d(V,A) • PP’ é perpendicular a d Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Considere: • o plano cartesiano xy; • uma reta d; • um ponto fixo F não pertencente a reta; • O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste plano que são equidistantes de d e F é denominado parábola; • F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta perpendicular a d que passa por F e o vértice é o ponto da parábola que cruza o eixo. • Note que: • d(V,F)=d(V,A) • PP’ é perpendicular a d Vamos ver como se constrói a parábola? Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Considere: • o plano cartesiano xy; • uma reta d; • um ponto fixo F não pertencente a reta. • o lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste plano que são equidistantes de d e F é denominado parábola; • F é o foco, d é a reta diretriz, o eixo é a reta perpendicular a d que passa por F e o vértice é o ponto da parábola que cruza o eixo. • Note que: • d(V,F)=d(V,A) • PP’ é perpendicular a d Vamos construir a equação da parábola? Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Considere: • O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste plano que são equidistantes de d e F é denominado parábola. • Pela definição P só pertence à parábola se: d(P, F) = d(P, P’) ou Ι PFΙ = Ι PP’Ι Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) • Pela definição P só pertence à parábola se: d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι 𝑃 − 𝐹 = 𝑥, 𝑦 − 𝑝 2 𝑃 − 𝑃′ = 0, 𝑦 + 𝑝 2 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola 𝑃 − 𝐹 = 𝑥, 𝑦 − 𝑝 2 𝑃 − 𝑃′ = 0, 𝑦 + 𝑝 2 𝑥2+ (y − 𝑝 2 )2= (y + 𝑝 2 )2 Dispensando a raiz quadrada dos dois lados... Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) • Pela definição P só pertence à parábola se: d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola 𝑃 − 𝐹 = 𝑥, 𝑦 − 𝑝 2 𝑃 − 𝑃′ = 0, 𝑦 + 𝑝 2 𝑥2+ (y − 𝑝 2 )2= (y + 𝑝 2 )2 𝑥2+ 𝑦2 − 𝑝𝑦 + 𝑝 4 2 = 𝑦2 + py + 𝑝 4 2 Desenvolvendo dos dois lados... Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) • Pela definição P só pertence à parábola se: d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola 𝑃 − 𝐹 = 𝑥, 𝑦 − 𝑝 2 𝑃 − 𝑃′ = 0, 𝑦 + 𝑝 2 𝑥2+ (y − 𝑝 2 )2= (y + 𝑝 2 )2 𝑥2+ 𝑦2 − 𝑝𝑦 + 𝑝 4 2 = 𝑦2 + py + 𝑝 4 2 𝑥2 = 2𝑝𝑦 Equação reduzida da parábola Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) • Pela definição P só pertence à parábola se: d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Da equação x²=2py observa-se que 2py sempre será positivo ou nulo, pois é igual a x²≥0. Portanto, os sinais de p e y são sempre iguais (para dar positivo). Se p>0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Se p<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. p p Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola 𝑃 − 𝐹 = 𝑥 − 𝑝 2 , 𝑦 𝑃 − 𝑃′ = 𝑥 + 𝑝 2 , 0 Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) • Pela definição P só pertence à parábola se: d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola 𝑃 − 𝐹 = 𝑥 − 𝑝 2 , 𝑦 𝑃 − 𝑃′ = 𝑥 + 𝑝 2 , 0 𝑦2 = 2𝑝𝑥 analogamente Parábola com vértice na origem (0,0) e eixo vertical (y) • Pela definição P só pertence à parábola se: d(P, F) = d(P, P’) ou Ι FPΙ = Ι PP’Ι Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Da mesma forma do caso anterior: se p>0, a parábola terá concavidade voltada para a direita. se p<0, a parábola terá concavidade voltada para a esquerda. y x o x y o x 0 p 0 x 0 p 0 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Parábola com vértice fora da origem e eixo vertical P(x’, y’) coordenadas em relação aos eixos X’VY’ P(x, y) coordenadas em relação ao eixos XOY O gráfico nos mostra que x’ = x – h e y’ = y – k Equação da parábola em relação aos eixos X’VY’ x’² = 2py’ Equação da parábola em relação aos eixos XOY (x-h)²=2p (y-k) Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Parábola com vértice fora da origem e eixo horizontal De modo análogo: (y – k)² = 2p (x – h) Cálculo Vetorial e Geometria Analítica AULA 14: PARÁBOLA Cônicas: parábola Cônicas: circunferência (círculo) Dicas, textos, vídeos e cursos: O uso do GeoGebra poderá ajudá-lo(a) muito na manipulação das cônicas. www.geogebra.org Assuntos da próxima aula: 1. Hipérbole.
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