APRESENTACAO DA AULA 15

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 15: A Regra de L'Hôpital – Integrais Impróprias 
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
A REGRA DE L’HOPITAL 
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
No cálculo de limites, por vezes, nos deparamos com formas indeterminadas do tipo 
 
 
. 
 
0
0

 0
x
x
x
42
lim
0


0
0
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Primeira forma da regra de L’Hôpital 
Considere as funções f(x) e g(x), tais que, para um certo valor real c, temos 
 
 
 
Se f’(c) e g’(c) existem, então 
 
 
desde que 
 
. 
 
)()( cgcf 
 
 cg
cf
xg
xf
cx '
'
)(
)(
lim 

  0' cg
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
 
. 
 
x
x
x
42
lim
0


42)(  xxf xxg )(
0402)0( f 0)0( g
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
 
. 
 
x
x
x
42
lim
0


42
1
)('


x
xf
1)(' xg
4
1
402
1
)0(' 

f
1)0(' g
4
1
1
4
1
42
lim
0




 x
x
x
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Segunda forma da regra de L’Hôpital 
Considere as funções f(x) e g(x) deriváveis em um intervalo I e que, para um certo valor, 
c desse intervalo. f(c) = g(c). 
 
Considere, também, que para tem-se se . 
Então, podemos concluir que 
 
 
se o limite à direita existir. 
 
. 
 
Ix 0)( xg ax 
)('
)('
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
cxcx 

Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
 
. 
 
x
x
x
x
x
xx 2
4
1
42
1
lim4
42
lim
020






   
64
1
2
404
1
2
44
1
lim
2
4
1
42
1
lim4
42
lim
33
0
020












x
x
x
x
x
x
x
xx
Pela primeira forma da regra de 
L’Hôpital, derivando novamente as 
expressões e calculando seus 
valores para x = 0. 
 
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Voltando às integrais... 
Calcular a área sob o gráfico da função para x variando de 2 a . 
 
Se x tende ao infinito, então a área também não tenderá? 
Não porque a função tende a zero. 
 
. 
 
2
1
)(
x
xf 

dx
x
 
1
2 2

para determinar essa área, vamos resolver a integral definida 
dx
x
b
 
1
2 2
2
111
 
1
2
2 2






 bx
dx
x
b
b
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Voltando às integrais... 
Calcular a área sob o gráfico da função para x variando de 2 a . 
 
Se x tende ao infinito, então a área também não tenderá? 
Não porque a função tende a zero. 
 
. 
 
2
1
)(
x
xf 

A área será dada por: 
2
1
2
1
0
2
11
lim
 
1
lim 
1
2 22 2












b
dx
x
dx
x
b
b
b
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e 
. 
 
2
ln
)(
x
x
xf 


b
dx
x
x
1 2
ln
integração por partes 
xu ln
dxxdv 2
dx
x
du
1

x
v
1

Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e 
. 
 
2
ln
)(
x
x
xf 

1
1ln
1
1
1
1lnln11
)(ln
111
)(ln
ln
11
1
1
1 2
























































 
bb
b
bb
b
xx
x
dx
xxx
xdx
x
x
bb
b
b
b
Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital 
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AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e 
. 
 
2
ln
)(
x
x
xf 

10
ln
lim
1lim
1
lim
ln
lim
1
1ln
lim
ln
lim
ln
1 21 2
















b
b
bb
b
bb
b
dx
x
x
dx
x
x
b
bbb
b
b
b
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Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
 
 
Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e 
. 
 
2
ln
)(
x
x
xf 

regra de L’Hôpital 
0
1
1
lim
ln
lim 

b
b
b
bb
1
ln
1 2


dx
x
x
Assuntos da próxima aula: 
1. Integrais Impróprias – Convergência.