APRESENTACAO DA AULA 5

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 5: Modelagem e Otimização 
Unidade II: Aplicações de Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 
MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Unidade II: Aplicações de Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Modelagem: 
Representar o comportamento de um fenômeno de interesse por meio de 
funções matemáticas. 
 
Otimização: 
Utilizar recursos matemáticos para minimizar ou maximizar determinadas 
variáveis das funções que modelam o fenômeno. 
Modelagem e Otimização 
Trata-se de organizar estrategicamente os conhecimentos adquiridos até aqui, 
com o objetivo de se obter a melhor solução para um determinado problema. 
Unidade II: Aplicações de Derivadas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo 
de forma a obter uma caixa com maior volume possível. 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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Modelagem: 
Construir uma função que calcule o volume da 
caixa em função de x. 
 
V(x) = (60-2x).(40-2x) . x 
V(x) = (2400-120x-80x+4x2). x 
V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x 
Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60com x 40cm, descubra como dobrá-
lo de forma a obter uma caixa com maior volume possível. 
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Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x 
 
Como temos uma função que calcula o volume 
da caixa para valores de x, nos resta descobrir 
para qual valor de x o volume é máximo. 
 
Recaímos em um problema de máximos e 
mínimos de função. 
Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo 
de forma a obter uma caixa com maior volume possível. 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x 
 
Otimização : V’(x) = 12x2 - 400x + 2400 
 
 
Pontos candidatos: 
 V’(x) = 12x2 - 400x + 2400 = 0 
 
Resolvendo a eq. do 2º grau: 
x = 25,48 ou x = 7,85cm 
Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo 
de forma a obter uma caixa com maior volume possível. 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 
Modelagem: V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x 
 
Otimização : V’(x) = 12x2 - 400x + 2400 
 
Pontos candidatos: x = 25,48 ou x = 7,85 cm 
Como a solução de x=25,48 não é fisicamente 
possível (um dos lados é 40cm), o maior volume é 
obtido ao se construir a caixa com altura de 
7,85cm. 
 volume máximo: 8450,45cm3 
Situação Problema: dado um retângulo de papelão de 60cm x 40cm, descubra como dobrá-lo 
de forma a obter uma caixa com maior volume possível. 
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Situação Problema: construir moldes cilíndricos utilizando chapas metálicas. Fixando 
o consumo máximo de material em 500cm2, quais devem ser as dimensões (altura e 
raio) para que seu volume seja máximo (considerar a parede e as 2 bases)? 
Modelagem: 
Construir uma função que calcule o volume do cilindro em função do raio ou da 
altura para uma área fixa de 500 cm2. 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 
𝐴 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ = 2𝜋𝑟 𝑟 + ℎ = 500 
substituindo h por ℎ =
250
𝜋𝑟
− 𝑟 , temos 
𝑽 𝒓 = 𝝅𝒓𝟐(
𝟐𝟓𝟎
𝝅𝒓
− 𝒓) 
h 
r 
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Modelagem: 𝑉 𝑟 = 𝜋𝑟2
250
𝜋𝑟
− 𝑟 = 250𝑟 − 𝜋𝑟3 
 
Otimização: 𝑉′ 𝑟 = 250 − 3𝜋𝑟2 = 0 
 
 
h 
r 
Situação Problema: construir moldes cilíndricos utilizando chapas metálicas. Fixando 
o consumo máximo de material em 500cm2, quais devem ser as dimensões (altura e 
raio) para que seu volume seja máximo (considerar a parede e as 2 bases)? 
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Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada 
a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de 
Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a 
potência máxima? Qual o valor da potência máxima? 
Modelagem: Temos que criar uma função da potência em função da resistência. 
 
 
 
 
 
 
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Modelagem: 
 
Otimização: 
 
Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada 
a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de 
Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a 
potência máxima? Qual o valor da potência máxima? 
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AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 
Modelagem: 
 
Otimização: 
 
Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada 
a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de 
Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a 
potência máxima? Qual o valor da potência máxima? 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 5: MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 
Modelagem: 
 
Otimização: 
 
Situação Problema: uma bateria de 12v e resistência interna de 2 ohm é ligada 
a um circuito com resistência variável R. A sua corrente varia segundo a lei de 
Ohm ( ) e a potência é dada por RI2. Qual é a resistência que fornece a 
potência máxima? Qual o valor da potência máxima? 
Assuntos da próxima aula: 
1. Integral Indefinida; 
2. Integrais Imediatas e Integração por 
substituição.