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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I Aula 15: A Regra de L'Hôpital – Integrais Impróprias Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO A REGRA DE L’HOPITAL INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 1 PRÓXIMOS PASSOS Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO No cálculo de limites, por vezes, nos deparamos com formas indeterminadas do tipo . 0 0 0 x x x 42 lim 0 0 0 Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Primeira forma da regra de L’Hôpital Considere as funções f(x) e g(x), tais que, para um certo valor real c, temos Se f’(c) e g’(c) existem, então desde que . )()( cgcf cg cf xg xf cx ' ' )( )( lim 0' cg Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO . x x x 42 lim 0 42)( xxf xxg )( 0402)0( f 0)0( g Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO . x x x 42 lim 0 42 1 )(' x xf 1)(' xg 4 1 402 1 )0(' f 1)0(' g 4 1 1 4 1 42 lim 0 x x x Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Segunda forma da regra de L’Hôpital Considere as funções f(x) e g(x) deriváveis em um intervalo I e que, para um certo valor, c desse intervalo. f(c) = g(c). Considere, também, que para tem-se se . Então, podemos concluir que se o limite à direita existir. . Ix 0)( xg ax )(' )(' lim )( )( lim xg xf xg xf cxcx Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO . x x x x x xx 2 4 1 42 1 lim4 42 lim 020 64 1 2 404 1 2 44 1 lim 2 4 1 42 1 lim4 42 lim 33 0 020 x x x x x x x xx Pela primeira forma da regra de L’Hôpital, derivando novamente as expressões e calculando seus valores para x = 0. Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Voltando às integrais... Calcular a área sob o gráfico da função para x variando de 2 a . Se x tende ao infinito, então a área também não tenderá? Não porque a função tende a zero. . 2 1 )( x xf dx x 1 2 2 para determinar essa área, vamos resolver a integral definida dx x b 1 2 2 2 111 1 2 2 2 bx dx x b b Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Voltando às integrais... Calcular a área sob o gráfico da função para x variando de 2 a . Se x tende ao infinito, então a área também não tenderá? Não porque a função tende a zero. . 2 1 )( x xf A área será dada por: 2 1 2 1 0 2 11 lim 1 lim 1 2 22 2 b dx x dx x b b b Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e . 2 ln )( x x xf b dx x x 1 2 ln integração por partes xu ln dxxdv 2 dx x du 1 x v 1 Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e . 2 ln )( x x xf 1 1ln 1 1 1 1lnln11 )(ln 111 )(ln ln 11 1 1 1 2 bb b bb b xx x dx xxx xdx x x bb b b b Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e . 2 ln )( x x xf 10 ln lim 1lim 1 lim ln lim 1 1ln lim ln lim ln 1 21 2 b b bb b bb b dx x x dx x x b bbb b b b Unidade V: Técnicas de integração: Regra de L’Hopital Cálculo Diferencial e Integral I AULA 15: TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Determine a área delimitada pelo eixo x e pela função com x entre 1 e . 2 ln )( x x xf regra de L’Hôpital 0 1 1 lim ln lim b b b bb 1 ln 1 2 dx x x Assuntos da próxima aula: 1. Integrais Impróprias – Convergência.
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