prepara - calculo diferencial 1

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e Integral I 
Alexandre Antunes 
CONTEÚDO DESTA AULA 
- Derivadas 
- Aplicações de Derivadas 
- Integração 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I 
Prof. Alexandre J. M. Antunes 
Derivadas – Regra da Cadeia 
1ª Questão: Encontre as derivadas utilizando a regra da cadeia. 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 2 
Fazendo a substituição 
𝑢(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 
Temos, 
𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 2 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 2. 𝑢 𝑥 . 𝑢 𝑥 ′ 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Derivadas – Regra da Cadeia 
1ª Questão: Encontre as derivadas utilizando a regra da cadeia. 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥 2 
𝑓′ 𝑥 = 2. (𝑥3 + 2𝑥). [𝑥3 + 2𝑥]′ ⇒ 𝒇′ 𝒙 = 𝟐. 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 . (𝟑𝒙 + 𝟐) 
Fazendo a substituição 
𝑢(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 
Temos, 
𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 2 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 2. 𝑢 𝑥 . 𝑢 𝑥 ′ 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Derivadas – Regra da Cadeia 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
1ª Questão: Encontre as derivadas utilizando a regra da cadeia. 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥;3 
Fazendo a substituição, 
𝑢 𝑥 = 2𝑥 − 3 
Temos, 
𝑢 𝑥 = 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑒[𝑢 𝑥 ] ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒[𝑢 𝑥 ]. [𝑢 𝑥 ]′ 
Derivadas – Regra da Cadeia 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
1ª Questão: Encontre as derivadas utilizando a regra da cadeia. 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥;3 
𝑓′ 𝑥 = 𝑒[2𝑥;3]. [2𝑥 − 3]′⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒2𝑥;3. 2 ⇒ 𝒇′ 𝒙 = 𝟐. 𝒆𝟐𝒙;𝟑 
Fazendo a substituição, 
𝑢 𝑥 = 2𝑥 − 3 
Temos, 
𝑢 𝑥 = 2𝑥 − 3 ⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑒[𝑢 𝑥 ] ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒[𝑢 𝑥 ]. [𝑢 𝑥 ]′ 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
2ª Questão: Seja 𝑓 𝑥 = 2𝑥. Use a definição para encontrar a inclinação 
da reta tangente no ponto 1, 2 . Determine as equações das retas 
tangente e normal, nesse ponto. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
2ª Questão: Seja 𝑓 𝑥 = 2𝑥. Use a definição para encontrar a inclinação 
da reta tangente no ponto 1, 2 . Determine as equações das retas 
tangente e normal, nesse ponto. 
𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)
𝑕
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = 1 
 
𝑓′ 1 = lim
ℎ →0
𝑓 1 + 𝑕 − 𝑓(1)
𝑕
= lim
ℎ →0
2(1:ℎ) − 21
𝑕
= lim
ℎ →0
2.2ℎ − 2
𝑕
= 
 
= lim
ℎ →0
2. (2ℎ − 1)
𝑕
= 2. lim
ℎ →0
2ℎ − 1
𝑕
= 2. log𝑒 2 = 2. ln 2 ∴ 𝑓
′ 1 = 2. ln 2 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
2ª Questão: Seja 𝑓 𝑥 = 2𝑥. Use a definição para encontrar a inclinação 
da reta tangente no ponto 1, 2 . Determine as equações das retas 
tangente e normal, nesse ponto. 
𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)
𝑕
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = 1 
 
𝑓′ 1 = lim
ℎ →0
𝑓 1 + 𝑕 − 𝑓(1)
𝑕
= lim
ℎ →0
2(1:ℎ) − 21
𝑕
= lim
ℎ →0
2.2ℎ − 2
𝑕
= 
 
= lim
ℎ →0
2. (2ℎ − 1)
𝑕
= 2. lim
ℎ →0
2ℎ − 1
𝑕
= 2. log𝑒 2 = 2. ln 2 ∴ 𝑓
′ 1 = 2. ln 2 
Colocando o 2 em 
evidência! 
2.2ℎ − 2 = 2. (2ℎ − 1) 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
2ª Questão: Seja 𝑓 𝑥 = 2𝑥. Use a definição para encontrar a inclinação 
da reta tangente no ponto 1, 2 . Determine as equações das retas 
tangente e normal, nesse ponto. 
𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)
𝑕
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = 1 
 
𝑓′ 1 = lim
ℎ →0
𝑓 1 + 𝑕 − 𝑓(1)
𝑕
= lim
ℎ →0
2(1:ℎ) − 21
𝑕
= lim
ℎ →0
2.2ℎ − 2
𝑕
= 
 
= lim
ℎ →0
2. (2ℎ − 1)
𝑕
= 2. lim
ℎ →0
2ℎ − 1
𝑕
= 2. log𝑒 2 = 2. ln 2 ∴ 𝑓
′ 1 = 2. ln 2 
lim
ℎ →0
2ℎ − 1
𝑕
= log𝑒 2 = ln 2 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
2ª Questão: Seja 𝑓 𝑥 = 2𝑥. Use a definição para encontrar a inclinação 
da reta tangente no ponto 1, 2 . Determine as equações das retas 
tangente e normal, nesse ponto. 
𝑈𝑠𝑎𝑟 𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ →0
𝑓 𝑎 + 𝑕 − 𝑓(𝑎)
𝑕
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 = 1 
 
𝑓′ 1 = lim
ℎ →0
𝑓 1 + 𝑕 − 𝑓(1)
𝑕
= lim
ℎ →0
2(1:ℎ) − 21
𝑕
= lim
ℎ →0
2.2ℎ − 2
𝑕
= 
 
= lim
ℎ →0
2. (2ℎ − 1)
𝑕
= 2. lim
ℎ →0
2ℎ − 1
𝑕
= 2. log𝑒 2 = 2. ln 2 ∴ 𝑓
′ 1 = 2. ln 2 
R: A inclinação da reta tangente a função em 𝑥 = 1 é 
 
𝒇′ 𝟏 = 𝟐. 𝒍𝒏𝟐 
Derivadas – Reta Normal 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Sabemos do CVGA que 𝒎𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍.𝒎𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 = −𝟏, ou seja,𝒎𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = −
𝟏
𝒎𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆
 
 Dessa forma, 
𝑚𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2. 𝑙𝑛 2 
 
𝒎𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 = −
𝟏
2. ln 2
 
 
Tangente: 𝑦 − 2 = 2. ln 2 . 𝑥 − 1 
 
Normal: 𝒚 − 𝟐 = −
𝟏
𝟐.𝒍𝒏 𝟐
. (𝒙 − 𝟏) 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
3ª Questão: Encontre as derivadas abaixo: 
a) 𝑦 = 𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
3ª Questão: Encontre as derivadas abaixo: 
a) 𝑦 = 𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5 Precisamos encontrar 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5) 
 
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥7 + 5.12𝑥4 − 4.4𝑥3 + 3.10𝑥2 − 6. 𝑥 
 
𝒇′ 𝒙 = 𝟖𝒙𝟕 + 𝟔𝟎𝒙𝟒 − 𝟏𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
3ª Questão: Encontre as derivadas abaixo: 
a) 𝑦 = 𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5 Precisamos encontrar 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥8 + 12𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 6𝑥 + 5) 
 
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥7 + 5.12𝑥4 − 4.4𝑥3 + 3.10𝑥2 − 6. 𝑥 
 
𝒇′ 𝒙 = 𝟖𝒙𝟕 + 𝟔𝟎𝒙𝟒 − 𝟏𝟔𝒙𝟑 + 𝟑𝟎𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 
Precisamos encontrar 𝑓′ 𝑥 = 𝐷𝑥𝑓(𝑥) 
𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 − 𝑥 = 𝑒𝑥 − 1 ⇒ 𝒇′ 𝒙 = 𝒆𝒙 − 𝟏 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 𝑥 no 
ponto (1, 1). 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 𝑥 no 
ponto (1, 1). 
A equação da reta pode ser escrita na forma 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0), onde 
𝑥0, 𝑦0 = (1, 1) e 𝑚 = 𝑓
′ 1 (coeficiente da reta tangente em 𝑥 = 1). 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 𝑥 no 
ponto (1, 1). 
A equação da reta pode ser escrita na forma 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0), onde 
𝑥0, 𝑦0 = (1, 1) e 𝑚 = 𝑓
′ 1 (coeficiente da reta tangente em 𝑥 = 1). 
Precisamos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 , ou seja, 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 𝑥) 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 𝑥 no 
ponto (1, 1). 
A equação da reta pode ser escrita na forma 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0), onde 
𝑥0, 𝑦0 = (1, 1) e 𝑚 = 𝑓
′ 1 (coeficiente da reta tangente em 𝑥 = 1). 
Precisamos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 , ou seja, 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 𝑥) 
Podemos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 de duas formas: 
𝑓′ 𝑥 = 
𝑥 ′. 𝑥 + 𝑥. 𝑥 ′, 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜
 𝑥. 𝑥
1
2
′
= 𝑥 1:
1
2
′
= 𝑥
3
2
′
, 𝑚𝑎𝑛𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎
 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 𝑥 no 
ponto (1, 1). 
A equação da reta pode ser escrita na forma 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0), onde 
𝑥0, 𝑦0 = (1, 1) e 𝑚 = 𝑓
′ 1 (coeficiente da reta tangente em 𝑥 = 1). 
Precisamos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 , ou seja, 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 𝑥) 
Podemos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 de duas formas: 
𝑓′ 𝑥 = 
𝑥 ′. 𝑥 + 𝑥. 𝑥 ′, 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜𝑥. 𝑥
1
2
′
= 𝑥 1:
1
2
′
= 𝑥
3
2
′
, 𝑚𝑎𝑛𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎
 
4ª Questão: Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 𝑥 no 
ponto (1, 1). 
A equação da reta pode ser escrita na forma 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0), onde 
𝑥0, 𝑦0 = (1, 1) e 𝑚 = 𝑓
′ 1 (coeficiente da reta tangente em 𝑥 = 1). 
Precisamos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 , ou seja, 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 𝑥) 
Podemos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 de duas formas: 
𝑓′ 𝑥 = 
𝑥 ′. 𝑥 + 𝑥. 𝑥 ′, 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜
 𝑥. 𝑥
1
2
′
= 𝑥 1:
1
2
′
= 𝑥
3
2
′
, 𝑚𝑎𝑛𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎
 
𝑓′ 𝑥 = 𝑥
3
2
′
=
3
2
. 𝑥
3
2;1 =
3
2
. 𝑥
1
2 =
3
2
. 𝑥 𝑒𝑚 1, 1 , 𝑓′ 𝑥 =
3
2
 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
4ª Questão: Ache uma equação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑥 𝑥 no ponto (1, 1). 
A equação da reta pode ser escrita na forma 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0), onde 
𝑥0, 𝑦0 = (1, 1) e 𝑚 = 𝑓
′ 1 (coeficiente da reta tangente em 𝑥 = 1). 
Precisamos encontrar 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 , ou seja, 𝑚 = 𝑓′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥 𝑥) 
𝑓′ 𝑥 = 𝑥
3
2
′
=
3
2
. 𝑥
3
2;1 =
3
2
. 𝑥
1
2 =
3
2
. 𝑥 𝑒𝑚 1, 1 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝒇′ 𝒙 =
𝟑
𝟐
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 é 𝒚 − 𝟏 =
𝟑
𝟐
. (𝒙 − 𝟏) 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
• Note que em qualquer instante, o volume 
da água pode ser expresso em termos 
do volume de um cone: 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉. 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
• Note que em qualquer instante, o volume 
da água pode ser expresso em termos 
do volume de um cone: 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉. 
• Dizer que “o tanque se enche de água à 
taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛”, significa: 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐. 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
• Note que em qualquer instante, o volume 
da água pode ser expresso em termos 
do volume de um cone: 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉. 
• Dizer que “o tanque se enche de água à 
taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛”, significa: 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐. 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 
𝒉 = 𝟓. 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
• Note que em qualquer instante, o volume 
da água pode ser expresso em termos 
do volume de um cone: 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉. 
• Dizer que “o tanque se enche de água à 
taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛”, significa: 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐. 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 
𝒉 = 𝟓. 
• Precisamos expressar 𝑟 em 
função de 𝑕!!! 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• Precisamos expressar 𝑟 em função de 𝑕!!! 
 Usando semelhança de triângulos, temos: 
𝑟
𝑕
=
4
16
 ⇒ 
𝑟
𝑕
=
1
4
 ⇒ 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 ⇒ 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅(
𝟏
𝟒
. 𝒉 )𝟐𝒉 ⇒ 𝑽 =
𝟏
𝟑
.
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐𝒉 
𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 
Derivando os dois 
membros em relação 
a t, obtemos: 
𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅. 𝟑. 𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 ⇒ 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
• 𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 
Como 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 então 𝟐 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
• 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝝅𝒉𝟐
 que em 𝒉 = 𝟓 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 • 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
• 𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 
Como 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 então 𝟐 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
• 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝝅𝒉𝟐
 que em 𝒉 = 𝟓 
𝑫𝒕𝒉]𝒕<𝟓 =
𝟑𝟐
𝝅(𝟓)𝟐
 ⇒ 𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝟐𝟓𝝅
 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
• 𝑫𝒕𝑽 = 𝟐 
• Queremos encontrar 𝑫𝒕𝒉 quando 𝒉 = 𝟓. 
• 𝒓 =
𝟏
𝟒
. 𝒉 
• 𝑽 =
𝟏
𝟒𝟖
𝝅𝒉𝟑 • 𝑫𝒕𝑽 =
𝟏
𝟏𝟔
𝝅𝒉𝟐. 𝑫𝒕𝒉 
• 𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝝅𝒉𝟐
 • 𝑫𝒕𝒉]𝒕<𝟓 ⇒ 𝑫𝒕𝒉 =
𝟑𝟐
𝟐𝟓𝝅
 
R: O nível da água sobre à taxa 
de 
32
25𝜋
𝑚/𝑚𝑖𝑛 quando 𝑡 = 5𝑚 de 
profundidade. 
• 𝑽 =
𝟏
𝟑
𝝅𝒓𝟐𝒉 
𝒕 : o número de minutos 
transcorrido desde que o 
tanque começou a encher; 
𝒉: o número de metros na 
altura do nível da água em 
𝒕 minutos; 
𝒓: o número de metros no 
raio da superfície da água 
em 𝒕 minutos; 
𝑽 : o número de metros 
cúbicos no volume da água 
no tanque em 𝒕 minutos; 
5ª Questão: Um cone tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura 
de 16𝑚 e o raio da base 4𝑚. O tanque se enche de água à taxa de 
2𝑚3/𝑚𝑖𝑛. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5𝑚 profundidade? 
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo!!! 
Derivadas 
Trigonométricas, Trigonométricas Inversas, Exponenciais e Logarítmicas. 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
5ª Questão: Encontre a derivada de 𝑓 𝑥 = tan(2𝑥) ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec2 2𝑥 . 2𝑥 ′ 
a) 𝑓 𝑥 = tan(2𝑥) ⇒ 𝑓′ 𝑥 = sec2 2𝑥 . 2𝑥 ′ ⇒ 𝒇′ 𝒙 = 𝟐. 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟐𝒙 
b) 𝑓 𝑥 = arc cos
𝑥
2
 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = −
𝑥
2
′
1;
𝑥
2
2
⇒ 𝑓′ 𝑥 = −
1
2
1;
𝑥2
4
 ⇒ 𝒇′ 𝒙 = −
𝟏
𝟐. 𝟏;
𝒙𝟐
𝟒
 
c) 𝑓 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑙𝑛 5𝑐𝑜𝑠𝑥 . (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ ⇒ 𝒇′ 𝒙 = −𝟓𝒄𝒐𝒔𝒙 . 𝐥𝐧 𝟓 . 𝒔𝒆𝒏 𝒙 
 
d) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 5𝑠𝑒𝑛 𝑥 . (𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ ⇒ 𝒇′ 𝒙 = −𝟓𝒔𝒆𝒏 𝒙 . 𝒄𝒐𝒔 𝒙 
e) 𝑓 𝑥 = log2(𝑥
2 − 5𝑥) ⇒ 𝑓′ 𝑥 = log2 𝑒 .
𝑥2;5𝑥
′
𝑥2;5𝑥
 ⇒ 𝒇′ 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒆 .
𝟐𝒙;𝟓
𝒙𝟐;𝟓𝒙
 
f) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛(𝑥3) ⇒ 𝑓′ 𝑥 =
𝑥3
′
𝑥3
 ⇒ 𝒇′ 𝒙 =
𝟑
𝒙
 
Derivadas – Derivação (ou Diferenciação) implícita 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a 𝑥 e então 
resolver a equação resultante para 𝑦′ = 𝐷𝑥𝑦. 
6ª Questão: Encontre, usando derivação implícita, uma equação tangente ao 
círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 25 no ponto (3, 4). 
Derivadas – Derivação (ou Diferenciação) implícita 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a 𝑥 e então 
resolver a equação resultante para 𝑦′ = 𝐷𝑥𝑦. 
6ª Questão: Encontre, usando derivação implícita, uma equação tangente ao 
círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 25 no ponto (3, 4). 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 ⇒ 𝐷𝑥(𝑥
2 + 𝑦2) = 𝐷𝑥(25) ⇒ 2𝑥 + 2𝑦𝐷𝑥𝑦 = 0 
𝐷𝑥𝑦 = −
2𝑥
2𝑦
 ⇒ 𝐷𝑥𝑦 = −
𝑥
𝑦
 𝐷𝑥𝑦(3, 4) = −
3
4
 ⇒ 
Derivadas – Derivação (ou Diferenciação) implícita 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a 𝑥 e então 
resolver a equação resultante para 𝑦′ = 𝐷𝑥𝑦. 
6ª Questão: Encontre, usando derivação implícita, uma equação tangente ao 
círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 25 no ponto (3, 4). 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 ⇒ 𝐷𝑥(𝑥
2 + 𝑦2) = 𝐷𝑥(25) ⇒ 2𝑥 + 2𝑦𝐷𝑥𝑦 = 0 
𝐷𝑥𝑦 = −
2𝑥
2𝑦
 ⇒ 𝐷𝑥𝑦 = −
𝑥
𝑦
 𝐷𝑥𝑦(3, 4) = −
3
4
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 é 𝒚 − 𝟒 = −
𝟑
𝟒
. (𝒙 − 𝟑) 
⇒ 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Primeira derivada 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7. Fazendo 𝑓’(𝑥) = 0, obtemos 𝑥 = ±
3
7
. 
Portanto, os pontos críticos de 𝑓 são 𝑥1 = −
3
7
 e 𝑥2 = +
3
7
 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Primeira derivada 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7. Fazendo 𝑓’(𝑥) = 0, obtemos 𝑥 = ±
3
7
. 
Portanto, os pontos críticos de 𝑓 são 𝑥1 = −
3
7
 e 𝑥2 = +
3
7
 
 + − + 
 
 𝑥1 = −
3
7
 𝑥2 = +
3
7
 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Primeira derivada 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7. Fazendo 𝑓’(𝑥) = 0, obtemos 𝑥 = ±
3
7
. 
Portanto, os pontos críticos de 𝑓 são 𝑥1 = −
3
7
 e 𝑥2 = +
3
7
 
 + − + 
 
 𝑥1 = −
3
7
 𝑥2 = +
3
7
 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Primeira derivada 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7. Fazendo 𝑓’(𝑥) = 0, obtemos 𝑥 = ±
3
7
. 
Portanto, os pontos críticos de 𝑓 são 𝑥1 = −
3
7
 e 𝑥2 = +
3
7
 
 + − + 
 
 𝑥1 = −
3
7𝑥2 = +
3
7
 
Assim, pelo critério da derivada primeira, concluímos que 𝑓 tem um 
máximo relativo em 𝑥1 = −
3
7
 e um mínimo relativo em 𝑥2 = +
3
7
 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Primeira derivada 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7. Fazendo 𝑓’(𝑥) = 0, obtemos 𝑥 = ±
3
7
. 
Portanto, os pontos críticos de 𝑓 são 𝑥1 = −
3
7
 e 𝑥2 = +
3
7
 
 + − + 
 
 𝑥1 = −
3
7
 𝑥2 = +
3
7
 
Assim, pelo critério da derivada primeira, concluímos que 𝑓 tem um 
máximo relativo em 𝑥1 = −
3
7
 e um mínimo relativo em 𝑥2 = +
3
7
 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Segunda Derivada 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Segunda Derivada 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 ⇒
𝑓′′ −
3
7
= 6 −
3
7
< 0
𝑓′′ +
3
7
= 6 +
3
7
> 0
 
⇒ 𝑓 tem um valor máximo relativo em 
𝑥1 = −
3
7
. 
⇒ 𝑓 tem um valor mínimo relativo em 
𝑥2 = +
3
7
. 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
7ª Questão: Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e 
mínimos relativos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥 + 6. 
• Usando o Teste da Segunda Derivada 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 ⇒
𝑓′′ −
3
7
= 6 −
3
7
< 0
𝑓′′ +
3
7
= 6 +
3
7
> 0
 
⇒ 𝑓 tem um valor máximo relativo em 
𝑥1 = −
3
7
. 
⇒ 𝑓 tem um valor mínimo relativo em 
𝑥2 = +
3
7
. 
𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 – 7 
𝑓(𝑥) é crescente nos intervalos −∞,−
3
7
 e +
3
7
, +∞ e decrescente 
no intervalo −
3
7
, +
3
7
 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
8ª Questão: Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo 
retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo 
do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 
𝑥 e 𝑦: dimensões da parte onde existirá a cerca; 
𝐴: área em termos de x e y, sendo que 𝐴 = 𝑥. 𝑦 (𝐼); 
Otimização 
r 
 
i 
 
o 
𝑥 
𝑥 
𝑦 𝐴 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
8ª Questão: Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo 
retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo 
do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 
2𝑥 + 𝑦 = 2400 ⇒ 𝒚 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝒙 (𝐼𝐼) 
𝑥 e 𝑦: dimensões da parte onde existirá a cerca; 
𝐴: área em termos de x e y, sendo que 𝐴 = 𝑥. 𝑦 (𝐼); 
Otimização 
r 
 
i 
 
o 
𝑥 
𝑥 
𝑦 𝐴 Dado do problema, ajustado a nossa modelagem: 2𝑥 + 𝑦 = 2400. 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
8ª Questão: Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo 
retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo 
do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 
2𝑥 + 𝑦 = 2400 ⇒ 𝒚 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝒙 (𝐼𝐼) 
Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼), temos: 𝐴 = 𝑥. (2400 − 2𝑥) ⇒ 
⇒ 𝐴 = 𝐴(𝑥) = −2𝑥2 + 2400𝑥 
𝑥 e 𝑦: dimensões da parte onde existirá a cerca; 
𝐴: área em termos de x e y, sendo que 𝐴 = 𝑥. 𝑦 (𝐼); 
Otimização 
r 
 
i 
 
o 
𝑥 
𝑥 
𝑦 𝐴 Dado do problema, ajustado a nossa modelagem: 2𝑥 + 𝑦 = 2400. 
⇒ 𝐴′(𝑥) = −4𝑥 + 2400 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
8ª Questão: Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo 
retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo 
do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 
2𝑥 + 𝑦 = 2400 ⇒ 𝒚 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝒙 (𝐼𝐼) 
Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼), temos: 𝐴 = 𝑥. (2400 − 2𝑥) ⇒ 
⇒ 𝐴 = 𝐴(𝑥) = −2𝑥2 + 2400𝑥 
𝑥 e 𝑦: dimensões da parte onde existirá a cerca; 
𝐴: área em termos de x e y, sendo que 𝐴 = 𝑥. 𝑦 (𝐼); 
Otimização 
r 
 
i 
 
o 
𝑥 
𝑥 
𝑦 𝐴 Dado do problema, ajustado a nossa modelagem: 2𝑥 + 𝑦 = 2400. 
⇒ 𝐴′(𝑥) = −4𝑥 + 2400 
Devemos fazer 𝐴′ 𝑥 = 0, ou seja, −4𝑥 + 2400 = 0. Portanto, 𝑥 = 600. 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
8ª Questão: Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo 
retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo 
do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área? 
2𝑥 + 𝑦 = 2400 ⇒ 𝒚 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 − 𝟐𝒙 (𝐼𝐼) 
Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼), temos: 𝐴 = 𝑥. (2400 − 2𝑥) ⇒ 
⇒ 𝐴 = 𝐴(𝑥) = −2𝑥2 + 2400𝑥 
𝑥 e 𝑦: dimensões da parte onde existirá a cerca; 
𝐴: área em termos de x e y, sendo que 𝐴 = 𝑥. 𝑦 (𝐼); 
Otimização 
r 
 
i 
 
o 
𝑥 
𝑥 
𝑦 𝐴 Dado do problema, ajustado a nossa modelagem: 2𝑥 + 𝑦 = 2400. 
⇒ 𝐴′(𝑥) = −4𝑥 + 2400 
Devemos fazer 𝐴′ 𝑥 = 0, ou seja, −4𝑥 + 2400 = 0. Portanto, 𝑥 = 600. 
Dessa forma, as dimensões para se obter a maior área são 
𝒙 = 𝟔𝟎𝟎 e 𝒚 = 𝟏𝟐𝟎𝟎, com área de 𝑨 𝟔𝟎𝟎 = 𝟕𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒑é𝒔𝟐. 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
9ª Questão: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
𝑟: raio e h: altura (ambos em centímetros); 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: área total da lata em termos de 𝑟 e 𝑕, sendo que 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2. 𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 ⇒ 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝞹𝑟𝑕 + 2𝞹𝑟
2 (𝐼) 
Otimização 
Lembrem-se que: 
1𝐿 = 1000𝑐𝑚3 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝞹𝑟
2𝑕 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
9ª Questão: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
𝑟: raio e h: altura (ambos em centímetros); 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: área total da lata em termos de 𝑟 e 𝑕, sendo que 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2. 𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 ⇒ 𝑨𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝞹𝒓𝒉 + 𝟐𝞹𝒓
𝟐 (𝐼) 
Otimização 
Para eliminar o 𝑕, fazemos 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 1𝐿 ⇒ 𝞹𝑟
2𝑕 = 1000 ⇒ 𝒉 =
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝞹𝒓𝟐
 (𝐼𝐼) 
Lembrem-se que: 
1𝐿 = 1000𝑐𝑚3 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝞹𝑟
2𝑕 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
9ª Questão: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼), temos: 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝞹𝑟
1000
𝞹𝑟2
+ 2𝞹𝑟2⇒ 𝑨𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝒓
+ 𝟐𝞹𝒓𝟐 
𝑟: raio e h: altura (ambos em centímetros); 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: área total da lata em termos de 𝑟 e 𝑕, sendo que 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2. 𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 ⇒ 𝑨𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝞹𝒓𝒉 + 𝟐𝞹𝒓
𝟐 (𝐼) 
Otimização 
Para eliminar o 𝑕, fazemos 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 1𝐿 ⇒ 𝞹𝑟
2𝑕 = 1000 ⇒ 𝑕 =
1000
𝞹𝑟2
 (𝐼𝐼) 
Lembrem-se que: 
1𝐿 = 1000𝑐𝑚3 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝞹𝑟
2𝑕 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
9ª Questão: Uma lata cilíndricaé feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
Substituindo (𝐼𝐼) em (𝐼), temos: 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝞹𝑟
1000
𝞹𝑟2
+ 2𝞹𝑟2⇒ 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =
2000
𝑟
+ 2𝞹𝑟2 
𝑟: raio e h: altura (ambos em centímetros); 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙: área total da lata em termos de 𝑟 e 𝑕, sendo que 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2. 𝐴𝐵𝑎𝑠𝑒 ⇒ 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝞹𝑟𝑕 + 2𝞹𝑟
2 (𝐼) 
Otimização 
Para eliminar o h, fazemos 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 1𝐿 ⇒ 𝞹𝑟
2𝑕 = 1000 ⇒ 𝑕 =
1000
𝞹𝑟2
 (𝐼𝐼) 
Lembrem-se que: 
1𝐿 = 1000𝑐𝑚3 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝞹𝑟
2𝑕 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ (𝑟) = −
2000
𝑟2
+ 4𝞹𝑟 ⇒ 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 =
4𝞹𝑟3;2000
r2
⇒ 𝑨𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍
′ 𝒓 =
𝟒 𝞹𝒓𝟑;𝟓𝟎𝟎
𝒓𝟐
 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
9ª Questão: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
Otimização 
Devemos fazer 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 = 0, ou seja,
4 𝞹𝑟3;500
r2
= 0. Como 𝑟 > 0, temos: 
𝞹𝑟3 − 500 = 0; logo, 𝒓 = 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
 e 𝒉 =
1000
𝞹𝑟2
=
1000
𝞹
500
𝜋
3
2 .
500
𝜋
3
500
𝜋
3
=
1000.
500
𝜋
3
𝞹.
500
𝜋
= 2.
500
𝜋
3
= 𝟐𝐫 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
 
 − + 
Em 𝒓 = 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
, temos que 𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
′ 𝑟 = 0. 
Derivadas - Aplicações 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
9ª Questão: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
Otimização 
Dessa forma podemos garantir que 𝒓 = 
𝟓𝟎𝟎
𝝅
𝟑
 é o valor que minimiza o custo de 
produção dessa lata. Além disso, a altura (𝒉 = 2.
500
𝜋
3
= 𝟐𝐫) é duas vezes o raio, 
isto é, o diâmetro. 
Integração 
Integrais imediatas 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Para encontrar a antiderivada (ou primitiva) aplicamos, adequadamente, as fórmulas básicas 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 
cos 𝑥
2
 𝑑𝑥 + (−3𝑥) 𝑑𝑥 + 5 𝑑𝑥 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
 cos 𝑥 𝑑𝑥 − 3. 𝑥 𝑑𝑥 + 5. 1 𝑑𝑥 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
 cos 𝑥 𝑑𝑥 − 3. 𝑥 𝑑𝑥 + 5. 1 𝑑𝑥 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
3
2
𝑥2 + 5𝑥 + 𝐶 
Portanto, a família de antiderivadas (ou primitivas) da função 
𝑓 𝑥 = 
cos 𝑥
2
− 3x + 5 é a função 𝐹(𝑥) =
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
3
2
𝑥2 + 5𝑥 + 𝐶 
10ª Questão: Encontre a família de primitivas da função 𝑓 𝑥 = 
cos 𝑥
2
− 3x + 5. 
Integração - Integrais imediatas 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Para encontrar a antiderivada (ou primitiva) aplicamos, adequadamente, as fórmulas 
básicas 
 
∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 
π
2
. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =
π
2
. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
π
2
 . ln |𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥| + 𝐶 
 Portanto, a família de antiderivadas (ou primitivas) da função 
𝑓 𝑥 =
π
2
. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 
É a função 
𝐹(𝑥) =
π
2
 . ln |𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥| + 𝐶 
11ª Questão: Encontre a família de primitivas da função 𝑓 𝑥 =
π
2
. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥. 
Integração 
Integrais por substituições 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Note que não temos como relacionar com nenhuma das expressões existentes 
(uma derivada conhecida ou uma integral imediata). 
12ª Questão: Calcule ∫ t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Dessa forma, vamos tentar usar a técnica de substituição de variáveis, chamando 
5 + 3𝑡2 de 𝑢, ou seja, 
𝑢 = 5 + 3𝑡2 
Isolando o 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 
𝑑𝑢 = 6𝑡𝑑𝑡 ⇒ 𝒕 ∙ 𝒅𝒕 =
𝒅𝒖
𝟔
 
Daí, temos que 
𝑑𝑢 = 6𝑡𝑑𝑡 
Integração 
Integrais por substituições 
 
 CCE0044 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Reescrevendo a integral e substituindo 𝑢 = 5 + 3𝑡2 e 𝒕 ∙ 𝒅𝒕 =
𝒅𝒖
𝟔
, temos: 
 5 + 3𝑡2 8 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑢 8 ∙
𝑑𝑢
6
 
12ª Questão: Calcule ∫ t. (5 + 3𝑡2)8 𝑑𝑡 
Colocando a constante “para fora” da integral, temos: 
 5 + 3𝑡2 8 𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = 𝑢 8 ∙
𝑑𝑢
6
= 
1
6
∙ 𝑢 8 . 𝑑𝑢 
Que é uma integral que conseguimos resolver, pois pela regra da potência, 
 𝑡 ∙ 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
6
∙ 𝑢 8 ∙ 𝑑𝑢 =
1
6
∙
𝑢9
9
+ 𝐶 =
1
54
∙ 𝑢9 + 𝐶 
E, finalmente, retornando à variável t, ficamos com 
 𝑡. 5 + 3𝑡2 8 𝑑𝑡 = 
1
54
. 5 + 3𝑡2 9 + 𝐶