Aula 09

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Prof. Paula Marinho
Aula 9
APRESENTAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Estudaremos na presente aula a distribuição de Poisson que é útil para descrever probabilidades do número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (em geral tempo ou espaço). Exemplos de variáveis que podem usar o modelo da distribuição de Poisson são: defeitos por centímetro quadrado, acidentes por dia, clientes por hora, chamadas telefônicas por minuto, vacas por acre, assim por diante. Note que a unidade de medida, tempo ou área, é contínua, mas a variável aleatória (número de ocorrências) é discreta.
 
Aprenderemos como trabalhar com a Distribuição de Poisson e estudaremos como calcular a Distribuição de Poisson a partir do conhecimento da Distribuição Binomial.
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OBJETIVOS 
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:
Identificar quando a Distribuição de Poisson deve ser usada;
Calcular probabilidades a partir da Distribuição de Poisson.
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Uma aplicação imediata da Distribuição de Poisson ocorre quando uma variável aleatória admite distribuição binomial com número n de repetições muito grande (n ≥ 100) e com probabilidade p de sucesso muito pequena (p < 0,05) ou média = np ≤ 10. 
Distribuições binomiais com probabilidade de sucesso menores que 0,5 têm inclinação para a direita e será tanto mais inclinada quanto a probabilidade p tender a zero. Assim, se a probabilidade p for muito pequena e o número de experimentos muito grande, no limite, teremos a distribuição de Poisson.
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Uma Distribuição de Poisson descreve a contagem x de ocorrências de um evento definido em intervalos fixos, finitos, de tempo ou espaço, quando:
As ocorrências são todas independentes, isto é, a ocorrência de um evento não muda a probabilidade de outro ocorrer, e 
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todos os intervalos possíveis.
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Como a Distribuição de Poisson descreve eventos aleatórios independentes, ela serve de indicador para quando a variável se afasta substancialmente do que seria esperado neste modelo.
Assim, por exemplo: quando a contagem dos casos de meningite em uma cidade excede o que seria razoável de se esperar de uma distribuição de Poisson, podemos concluir que os casos de meningite não são distribuídos aleatória e independentemente, mas sugerem em vez disso, que configura-se um surto epidêmico.
 
Assim a distribuição de Poisson é tipicamente usada para descrever fenômenos aleatórios raros.
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A distribuição de Poisson fica completamente caracterizada por um único parâmetro: 
a média do processo. 
Se uma variável aleatória VA tem resultados distribuídos segundo Poisson e conhecendo a 
média de ocorrências por unidade de tempo ou espaço, 
podemos determinar a probabilidade de qualquer resultado usando tabelas ou as fórmulas a seguir.
9 – DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
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Uma variável aleatória x admite distribuição de Poisson se 
Onde:
x é o número de ocorrências (sucessos),
 - lambda - é a taxa média por unidade de medida, é a taxa de frequência por unidade de tempo ou área,
t é o número de unidades, tempo ou área,
 t - A quantidade  t representa o número médio de ocorrências no intervalo t.
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Como a média e a variância da distribuição de Poisson são iguais, quando a média de ocorrências for elevada a variância também o será. Isto fará com que a distribuição se torne achatada e ampla, larga. 
Observe na planilha 09poisson.xls as abas lambda 2, lambda 3 e lambda 5. Nelas geramos números aleatórios conforme a distribuição de Poisson. A medida que lambda aumenta o histograma caminha de uma assimetria a direita para uma curva simétrica, isto é a medida que a média aumenta ela se desloca para o centro da distribuição. 
 
EXEMPLO
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Uma máquina produz nove peças defeituosas a cada 1000 peças produzidas. Calcule a probabilidade de que em um lote que contém:
(a) 200 peças, sejam encontradas oito peças defeituosas;
(b) 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa.
SOLUÇÃO:
Experimento = examinar um peça .
Pode ter dois resultados: p = 1 – q
defeituosa = sucesso = com probabilidade p(D) = 9 / 1000 = 0,009 = 0,9%= p e 
normal = fracasso = com probabilidade p(N) = 1 – 0,009 = 0,991 = q.
EXEMPLO
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(a) n = 200 repetições independentes do Experimento. Queremos K=8 sucessos e 192 fracassos, independente da ordem de ocorrência.
EXEMPLO
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(b) n = 500 repetições independentes do Experimento. Queremos k = 0 sucessos:
PROBABILIDADE ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA
Profa. Paula Marinho
ATIVIDADE
ATIVIDADE 1
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A Caxumba é uma infecção viral suave e assintomática em até 20% dos indivíduos infectados. No entanto podem surgir complicações que chegam até a surdez e infertilidade. Por isso a vacinação é muito importante. No estado do Ceará o número médio de casos mensais relatados é de cerca de 0,1 no mesmo período. Supondo que esses casos mensais se comportem segundo uma distribuição de Poisson, qual a probabilidade de que em um mês não haja mais que um caso de caxumba?
ATIVIDADE 1
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A Caxumba é uma infecção viral suave e assintomática em até 20% dos indivíduos infectados. No entanto podem surgir complicações que chegam até a surdez e infertilidade. Por isso a vacinação é muito importante. No estado do Ceará o número médio de casos mensais relatados é de cerca de 0,1 no mesmo período. Supondo que esses casos mensais se comportem segundo uma distribuição de Poisson, qual a probabilidade de que em um mês não haja mais que um caso de caxumba?
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X=1)
P(X ≤ 1) =
0,99532116
99,53%
=POISSON(1;0,1;VERDADEIRO)
É muito improvável que surjam mais de dois casos mensais no estado.
ATIVIDADE 2
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As lâmpadas de iluminação da área de manufatura da montadora são substituídas numa média de 8 lâmpadas por dia. Se a distribuição de frequências das lâmpadas substituídas for do tipo Poisson: 
(a) qual a probabilidade de amanhã substituir cinco lâmpadas? 
(b) qual a probabilidade de amanhã substituir no máximo cinco lâmpadas? 
ATIVIDADE 2
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 As lâmpadas de iluminação da área de manufatura da montadora são substituídas numa média de 8 lâmpadas por dia. Se a distribuição de frequências das lâmpadas substituídas for do tipo Poisson: 
(a) qual a probabilidade de amanhã substituir cinco lâmpadas? 
(b) qual a probabilidade de amanhã substituir no máximo cinco lâmpadas? 
lamb
8
por dia
e
2,718281828
a)
k=
5
P(x=5)
9,160%
ou
9,160%
=POISSON(5;8;FALSO)
b)
k
P(x=K)
0
0,000335
=($B$52^(-8)*8^B56)/FATORIAL(B56)
1
0,002684
2
0,010735
3
0,028626
4
0,057252
5
0,091604
 
19,12%
ou P(x≤5) = 19,1236%   =POISSON(5;8;VERDADEIRO) 
ATIVIDADE 3
BINOMIAL - Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que:
No máximo dois sejam pagos com atraso.
No mínimo três sejam pagos sem atraso.
Mais de 70% sejam pagos sem atraso.
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Experimento consiste em examinar um titulo.
Pode ter dois resultados:
Sem Atraso com probabilidade P(SA) = 0,8= q e 
Com Atraso com probabilidade P(CA) = 0,2 = p.
n = 20 repetições independentes do Experimento. Portanto temos um problema que enquadra-se na distribuição binomial.
ATIVIDADE 3
BINOMIAL - Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que:
No máximo dois sejam pagos com atraso.
No mínimo três sejam pagos sem atraso.
Mais de 70% sejam pagos sem atraso.
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a) Estamos interessados em sucesso = com atraso. No máximo dois sejam pagos com atraso, isto é 0, 1 ou 2 títulos pagos com atraso em 20 títulos.
ATIVIDADE3
BINOMIAL - Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que:
No máximo dois sejam pagos com atraso.
No mínimo três sejam pagos sem atraso.
Mais de 70% sejam pagos sem atraso.
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b) Considerando sucesso = sem atraso. Estamos interessados em que no mínimo três sejam pagos sem atraso. Neste caso p=0,8 e q=0,2. Atenção, pois a situação se inverteu. 
ATIVIDADE 3
BINOMIAL - Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade que:
No máximo dois sejam pagos com atraso.
No mínimo três sejam pagos sem atraso.
Mais de 70% sejam pagos sem atraso.
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c) Mais de 70% sejam pagos sem atraso! Considerando sucesso = sem atraso, estamos interessados em 15 ou mais títulos sem atraso.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS e RECURSOS PEDAGÓGICOS
BIBLIOTECA DO CAMPUS
BIBLIOTECA VIRTUAL
MATERIAL DIDÁTICO
CONTEÚDO ONLINE
USO DO EXCEL E CALCULADORA CIENTÍFICA.
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REFERÊNCIAS 
 BALDI, Brigitte; MOORE, David S. A Prática da Estatística nas Ciências da Vida. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento de Editora LTDA, 2000.
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; KREHBIEL, Timothy C.; BERENSON, Mark L.. Estatística – Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
MC CLAVE, James; BENSON, P. George; SINCICH, Terry. Satistics For Business and Economics. Ney Jersey: Pearson, 2005.
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REFERÊNCIAS 
MOORE, David S; NOTZ, William I.; FLINGER, Michael A. A Estatística Básica e sua Prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
MORETTIN, Pedro; BUSSAB, Wilton. Estatística Básica. São Paulo: Saraiva, 2002.
TOLEDO, Geraldo; OVALE, Ivo. Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 1985.
TRIOLA, Mario F.. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
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Atividade Estruturada e Avaliação
 Trabalho de pesquisa, coleta e tratamento dos dados.
Desenvolvida ao longo de todo o semestre.
Compondo 2 pontos na AV1 e AV2
Provas online. Agendar com antecedência e não faltar.
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SÍNTESE DA AULA
Nesta aula:
Aprendemos a trabalhar com a Distribuição de Poisson;
Calculamos a Distribuição de Poisson a partir da aproximação da Distribuição Binomial.
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PRÓXIMA AULA
  PRÓXIMA AULA
 
Aprenderemos a trabalhar e aplicar o modelo contínuo de probabilidade: a Distribuição Normal;
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