Slide Estatística Aplicada

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Unidade I
ESTATÍSTICA APLICADA
Prof. Mauricio Fanno
Estatística indutivaEstatística indutiva
 Estatística descritiva
 Dados no passado ou no presente 
e em pequena quantidade, portanto, reais e coletáveis.
 Campo de trabalho: amostra.
 Resultados exatos.
 Estatística indutiva
 Dados no futuro ou em grande quantidade, portanto, não 
coletáveis e/ou prováveis.
 Campo de trabalho: população Campo de trabalho: população.
 Resultados prováveis, portanto, dotados de margem de erro.
Revisão da Teoria Elementar das ProbabilidadesRevisão da Teoria Elementar das Probabilidades
 Na Estatística Indutiva procura-se, portanto, prever o que é 
mais provável de ocorrer e qual a tolerância desta previsão 
(erro estatístico)(erro estatístico).
 Probabilidade é a razão (divisão) entre a quantidade 
de resultados que nos são interessantes e a quantidadede resultados que nos são interessantes e a quantidade 
total de resultados possíveis para aquela situação.
 Por exemplo: Você joga um dado e ganha o jogo se 
sair um número primo. Qual é a probabilidade de vencer?
Revisão da Teoria Elementar das ProbabilidadesRevisão da Teoria Elementar das Probabilidades
 Resultados que podem ocorrer ao se jogar um dado: {1; 2; 3; 
4; 5; 6}, portanto, seis resultados possíveis.
 Dos resultados possíveis, são números primos: {1; 2; 3; 5}, 
portanto, quatro resultados que interessam a você.
Logo a probabilidade de você ganhar esse jogo é de:Logo, a probabilidade de você ganhar esse jogo é de:
Teoria Elementar da ProbabilidadeTeoria Elementar da Probabilidade
Esta é a chamada “definição matemática 
das probabilidades” e é expressa simbolicamente por:
 Lê-se como: A probabilidade de um evento A 
ocorrer é a razão (ou divisão) entre o número de elementosocorrer é a razão (ou divisão) entre o número de elementos 
(ou resultados) favoráveis ao evento A e o número total de 
elementos (ou resultados) do experimento aleatório estudado.
Definições básicasDefinições básicas
 Experimentos aleatórios: ou fenômenos aleatórios 
são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob as 
mesmas condições apresentam resultados imprevisíveismesmas condições, apresentam resultados imprevisíveis. 
 Espaço amostral: é o conjunto S de todos os resultados 
possíveis de um experimento aleatório. É também chamadopossíveis de um experimento aleatório. É também chamado 
de conjunto universo.
Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
 Evento certo.
 Evento impossível.
Probabilidades – definição matemáticaProbabilidades – definição matemática
 Esse conceito pode ser expandido para 
várias situações, normalmente, ligada a jogos de azar.
 Por exemplo: Qual é a probabilidade de você ganhar 
na Mega-sena fazendo um único jogo de seis dezenas?
 O resultado será obtendo o número de resultados que O resultado será obtendo o número de resultados que 
interessam, no caso 1, porque você fez apenas um jogo, 
dividido pelo número de resultados possíveis.
Probabilidades – definição matemáticaProbabilidades – definição matemática
 Contagem de grandes quantidades: Análise combinatória.
 Para Estatística é importante o cálculo do número 
de combinações, ou seja, quantos grupos diferentes 
podemos formar com um determinado número de elementos.
Exemplo: Imagine que você e dois amigos decidam jogar tênisExemplo: Imagine que você e dois amigos decidam jogar tênis 
de mesa. Quantos jogos diferentes poderão ser disputados?
Probabilidades – definição matemáticaProbabilidades – definição matemática
Chamando vocês três de A, B e C; 
poderiam ser disputados os jogos:
 A x B; A x C; B x C, ou seja, três jogos
 Observe que o jogo A x B e B x A 
é o mesmo não conte duas vezesé o mesmo, não conte duas vezes.
 A Análise Combinatória nos ensina que 
esse cálculo deve ser feito através da formulação:esse cálculo deve ser feito através da formulação:
No caso do jogo de tênis de mesa seria:No caso do jogo de tênis de mesa seria:
Probabilidades – definição matemáticaProbabilidades – definição matemática
Fatorial é a multiplicação de todos os número 
inteiros e positivos de n até a unidade, ou seja: 
No caso dos jogos de tênis seria:
Probabilidades – definição matemáticaProbabilidades – definição matemática
Voltando ao jogo da Mega-sena, temos um total 
de 60 dezenas que podem ser combinadas em 
resultados de 6 dezenas portanto:resultados de 6 dezenas, portanto:
Assim a probabilidade de ganhar naAssim a probabilidade de ganhar na 
Mega-sena com um único jogo de seis dezenas é:
Probabilidades – definição matemáticaProbabilidades – definição matemática
 Observe o exemplo: em uma sala de aula existem 30 alunos, 
dos quais 22 são mulheres, um aluno é sorteado. Qual é a 
probabilidade de que esse aluno seja um homem?probabilidade de que esse aluno seja um homem?
O quadro abaixo resume estas informações e calcula as 
frequências relativas:frequências relativas:
Probabilidades – definição matemáticaProbabilidades – definição matemática
 Observe que a probabilidade de que o aluno seja homem é 
de 26,7%, porque a probabilidade é igual à frequência relativa
Portanto, podemos afirmar que:
 Essa é a definição de probabilidade é a mais usada 
no ambiente de negócios, pois permite o cálculo a partir 
de testes de campo (amostras).de testes de campo (amostras).
Árvore de decisõesÁrvore de decisões
 Sucessão de eventos pode ser 
trabalhada com a árvore de decisões.
 Consiste em representar graficamente todas as possibilidades 
de resultados dos experimentos aleatórios, de modo a não 
se perder nenhum evento e ao mesmo tempo se compreenderse perder nenhum evento e ao mesmo tempo se compreender 
a mecânica do experimento.
Exemplo: Uma moeda é jogada duas vezes, em sequência. 
Qual é a probabilidade de que saia uma cara e uma coroa?
Árvore de decisõesÁrvore de decisões
 Moeda honesta ou não?
 Suponha que tenhamos feito um teste: 
Jogamos a moeda 100 vezes e saíram 58 caras.
 Ou seja, a moeda é viciada sendo 
mais provável sair cara do que coroa.
Árvore de decisõesÁrvore de decisões
Evento Produto: Ideia de obrigação. Expressa pela palavra “e”
 Evento soma: Ideia de alternativa. Expressa pela palavra “ou”.
Portanto, a probabilidade de sair uma cara e uma coroa é de:
0,2496 + 0,2496 = 0,4992 ou 49,92%
InteratividadeInteratividade
A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos 
é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. 
Então a probabilidade de que os dois estejam vivos daquiEntão, a probabilidade de que os dois estejam vivos daqui 
a 10 anos é igual a:
a) 30%a) 30%
b) 36%
c) 56%c) 56%
d) 38%
e) 44%e) 44%
Distribuições de probabilidadesDistribuições de probabilidades
Relação entre as possíveis ocorrências de um experimento 
e a probabilidade dessa ocorrência. São divididas em:
 Distribuições de probabilidades discretas, 
sendo que a principal é a distribuição binomial.
 Distribuições de probabilidades contínuas Distribuições de probabilidades contínuas, 
sendo que a principal é a distribuição normal.
Distribuição binomialDistribuição binomial
Vamos considerar experimentos 
que satisfaçam as seguintes condições:
a) O experimento deve ser repetido, 
nas mesmas condições, um número finito de vezes (n).
b) As repetições devem ser independentesb) As repetições devem ser independentes.
c) Em cada prova ocorre um dos dois 
possíveis resultados: sucesso ou insucesso (fracasso).possíveis resultados: sucesso ou insucesso (fracasso).
d) A probabilidade p do sucesso 
e a probabilidade 1 – p do fracasso são constantes.
Distribuição binomialDistribuição binomial
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade 
de se obterem x sucessos em n tentativas. Se a probabilidade 
de sucessoé p e do fracasso é 1 p a chance de que um eventode sucesso é p e do fracasso é 1-p, a chance de que um evento 
se realize exatamente x vezes em um total de n tentativas é 
dada pela função:
Distribuição binomialDistribuição binomial
Exemplo: Um vendedor sabe que, ao sair para fazer 
um determinado tipo de venda, tem 30% de probabilidade 
de concretizá la Em um dia qualquer ele sai para atenderde concretizá-la. Em um dia qualquer, ele sai para atender 
a vinte clientes. Qual é a probabilidade de ele fazer exatamente 
oito vendas?
Solução: p = 0,30; n = 20; x = 8, 
que se aplicando na fórmula fica:
 Ou seja, 
Valor e variância esperadosValor e variância esperados
Veja o exemplo: Em uma certa operação comercial, 
um homem pode ter um lucro de R$ 300,00 com a probabilidade 
de 60% ou um prejuízo de R$ 100 00 com a probabilidadede 60%, ou um prejuízo de R$ 100,00, com a probabilidade 
de 40%. Em longo prazo qual é o valor esperado para 
essa operação?
Valor e variância esperadosValor e variância esperados
Esse valor é o mais provável de acontecer e é dado pela fórmula:
O valor esperado não é uma certeza, é sujeito à variabilidade. 
Essa variabilidade pode ser dada pela variância, que tem 
a mesma definição e as mesmas características daquela 
definida em Estatística Descritiva, e é calculada pela fórmula:definida em Estatística Descritiva, e é calculada pela fórmula:
Valor e variância esperadosValor e variância esperados
No exemplo anterior, calculamos E(x) = R$ 140,00, 
precisamos agora calcular E(x2):
Logo, teremos:
InteratividadeInteratividade
A probabilidade de um vendedor atingir a meta de vendas 
é de 60%. Qual é a probabilidade de que 
em uma equipe de cinco vendedores apenas 2 atinjam a meta?em uma equipe de cinco vendedores apenas 2 atinjam a meta?
a) 23%
b) 30%b) 30%
c) 45%
d) 60%d) 60%
e) 18%
Distribuição normalDistribuição normal
 Entre todas as distribuições de probabilidades, a mais 
empregada é a Distribuição Normal. A maior parte das 
decisões estatísticas em Administração correspondedecisões estatísticas em Administração corresponde 
à Distribuição Normal ou dela se aproximam.
 O aspecto gráfico da distribuição normal é o de umO aspecto gráfico da distribuição normal é o de um 
sino parametrizado pelas medidas estatísticas da Média 
e do Desvio Padrão.
Distribuição normalDistribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
 A curva recebe o nome de curva de Gauss. 
 A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas 
é igual a 1, o que representa a probabilidade de a variável 
aleatória X assumir qualquer valor real.
 Como a curva é simétrica em relação à média aritmética Como a curva é simétrica em relação à média aritmética, 
a probabilidade de encontrarmos um valor menor que a 
média é de 50%, o mesmo para valores maiores que a média.
Distribuição normalDistribuição normal
 Quando temos uma variável aleatória em distribuição 
normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade 
de essa variável aleatória assumir um valor dentro dede essa variável aleatória assumir um valor dentro de 
um certo intervalo.
Para calcular essa probabilidade,Para calcular essa probabilidade, 
definimos uma variável reduzida z, dada por:
 Sendo x o valor real; µ a média provável e σ o desvio padrão.
Distribuição normalDistribuição normal
 Essa variável reduz a distribuição 
em um modelo padrão com média 0 e desvio padrão 1. 
 As probabilidades associadas à distribuição 
normal padronizada são encontradas em tabelas, 
não havendo a necessidade de serem calculadas.não havendo a necessidade de serem calculadas.
 Observe que o processo permite apenas que 
calculemos a probabilidade de ocorrer um valor inferior a xi.
Distribuição normalDistribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
Exemplo 1: Os salários semanais dos operários industriais 
são distribuídos normalmente, em torno da média de R$ 500, 
com desvio padrão de R$ 40 Calcule a probabilidade de umcom desvio padrão de R$ 40. Calcule a probabilidade de um 
operário ter um salário semanal situado entre R$ 490 e R$ 520.
 Solução: Vamos calcular a probabilidade de um operárioSolução: Vamos calcular a probabilidade de um operário 
ganhar menos do que R$ 490 e depois de ganhar menos de 
R$ 520. Em seguida, subtrairemos a menor probabilidade da 
i bt d lt d i t diá i d i lmaior, obtendo o resultado intermediário aos dois valores.
Distribuição normalDistribuição normal
25,0
40
10
40
500490
1 z 4040
5020500520  5,0
40
20
40
500520
2 z
 A probabilidade para z1 é 0,4013 e para z2 é 0,6915 
(dados pela tabela).
 A solução é: P (490 < X < 520 ) = 0,6915 - 0,4013 = 
0,2902 ou 29,02%
Distribuição normalDistribuição normal
 Abaixo vemos a ilustração da curva 
normal com destaque para as áreas calculadas.
Distribuição normalDistribuição normal
Exemplo 2: Os depósitos efetuados no Banco B, 
em um determinado mês, têm distribuição normal com 
média R$ 9 000 00 e desvio padrão R$ 1 500 00 Um depósitomédia R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito 
é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês 
em questão. Qual a probabilidade de que o depósito exceda 
R$ 6.000,00?
Solução:
00,2
1500
90006000 z
 Na tabela, esse valor corresponde a 0,0228 ou 2,28%. 
Como quero mais que R$ 6.000,00 e não menos, devemos 
tirar o valor calculado de 100%tirar o valor calculado de 100%.
Distribuição normalDistribuição normal
Assim, a probabilidade procurada é:
 100% - 2,28 = 97,72%
InteratividadeInteratividade
As taxas de retorno no mercado de um determinado 
investimento distribuem-se normalmente com média igual 
a 5% e desvio padrão igual a 4% Selecionando ao acasoa 5% e desvio padrão igual a 4%. Selecionando ao acaso 
uma taxa de retorno, a probabilidade dela ser maior que 6% é:
a) 9,87%a) 9,87%
b) 40,13%
c) 59,87%c) 59,87%
d) 50,13%
e) 37,25%e) 37,25%
Distribuição normalDistribuição normal
Veja o seguinte exemplo: Uma turma de alunos de Estatística 
fez uma prova na qual a média foi 5,7 e o desvio padrão foi de 
1 3 Qual foi a nota máxima dos 10% alunos que apresentaram1,3. Qual foi a nota máxima dos 10% alunos que apresentaram 
menor nota?
A resolução deste exercícioA resolução deste exercício 
é o contrário da resolução dos anteriores:
Distribuição normalDistribuição normal
Da tabela, temos:
Como vimos a relação entre z e X é dada por:
Portanto, no caso:
 Temos 10% alunos que tiveram menores notas tiraram 4,0 
ou menos, ou então, 10% dos alunos tiraram notas iguais 
ou menores que 4 0ou menores que 4,0.
Distribuição normalDistribuição normal
 Usando os dados do exemplo anterior, suponha que 
queiramos saber a nota mínima de 20% dos alunos. Que 
maior nota tiveram?maior nota tiveram?
Distribuição normalDistribuição normal
Na tabela, obtemos o valor de z:
Consequentemente:
 Os 20% alunos que tiveram maior nota na turma tiraram 
6,8 ou mais, ou então 20% dos alunos tiraram notas iguais 
ou maiores que 6 8ou maiores que 6,8.
Distribuição normalDistribuição normal
 Ainda usando os dados dos exemplos anteriores, 
pergunta-se: entre que valores estão as notas dos 
38% alunos de desempenho intermediário?38% alunos de desempenho intermediário?
Distribuição normalDistribuição normal
30% dos alunos intermediários significa 15% deles com 
notas abaixo da média e 15% com notas acima da média, 
o que resulta em:o que resulta em:
 Alunos com notas menores que a média:
Distribuição normalDistribuição normal
Alunos com notas maiores que a média:
 Portanto, os 30% alunos de alunos 
intermediários tiraram notas entre 5,2 e 6,2.
InteratividadeInteratividade
Um fabricante decomponentes eletrônicos sabe que a vida útil 
deles é, normalmente, distribuída com média de 50.000 horas de 
uso e desvio padrão de 5 500 horas Ele quer dar uma garantia auso e desvio padrão de 5.500 horas. Ele quer dar uma garantia a 
essas peças de forma que seja obrigado a substituir, no 
máximo, 1,5% da sua produção. Qual a garantia em horas que 
ele deve dar á peça?
a) 62.000 horas
b) 42.000 horas
c) 30.000 horas
d) 38.000 horas
e) 50.000 horas
ATÉ A PRÓXIMA!