Cálculo I - Integral - Resumão

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Cálculo I - Integral 
Primitiva 
F’(x)= f(x) 
Ex: 
 
 
 
 
 
Teorema fundamental do cálculo 
 
 
 
 
Propriedades comparativas 
1- Se f(x)>=0 para a<=x<=b, então 
 
 
 
 
2-Se f(x)>=g(x), então 
 
 
 
3-Se m<=f(x)<=M, então m(b-
a)<=f(x)dx<=M(b-a) 
Integrais indefinidas 
Não há limite de integração. 
 
Técnicas de integração 
1)Integração por substituição – udu 
 
Verifica-se se algum termo da integral(u) 
quando derivado resulta em outro termo da 
integral. (du) 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: 
 
 
 
 
 
 
 
u=senx du=cosxdx 
 
2) integrais com funções simétricas 
f par f(-x)=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
f impar f(-x)=-f(x) 
 
 
 
 
 
3)Integração por partes – udv 
Escolhe-se o que será o u e o resto será dv. 
Deriva-se u e integra-se dv. Depois basta 
aplicar na formula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: 
 
 
u=x du=1dx 
dv=senxdx v=-cosx 
 
Critério de escolha do u: 
Logaritmo 
Inversa trigonométrica 
Algébrica - 
Trigonométrica 
Exponencial 
 
4)Integração de frações parciais 
i)fatores lineares distintos 
cada fator linear ax+b corresponde a uma 
fração parcial 
 
 
 
Ex: 
Primeiro fatoramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Basta substituir em (1) e integrar. 
 
ii)fatores lineares repetidos 
a cada ax+b que aparece n vezes teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii)fatores quadráticos irredutíveis – fatores 
distintos do 2º grau 
a cada fator irredutível 
teremos 
 
iV)fatores quadráticos irredutíveis – fatores 
repetidos do 2º grau 
a cada fator que se repete n 
vezes teremos 
 
 
 
5)Integral por substituição trigonométrica 
 
 
 
 
 
 
 
1)escolher substituição 
2)resolver integral 
3)retornar a variável inicial 
 
6) integrais com produtos de senos e 
cossenos 
 n impar u=cosx 
 
n par 
 
 
 
 
 
 
 
 n impar u=senx 
 
n par 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para , temos: 
n impar 
n=2k+1 
 
 
u=senx 
m impar 
m=2k+1 
 
 
u=cosx 
m e n pares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação de Integração 
- Áreas 
 
 
 
 
-Volumes de sólidos de revolução 
 
 
 
 
 
Ex: A(x) corresponde a 
área do circulo A nesse 
caso e a e b são o intervalo 
de variação de x.