INTEGRAL INDEFINIDA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Estudando Física

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A INTEGRAL INDEFINIDA
O estudo a seguir é dirigido aos alunos da 3ª série do nível médio, como complemento de um
minicurso. Usaremos uma linguagem de fácil compreensão para tais alunos, a pedido dos
mesmos. Não usaremos uma  linguagem  com detalhes de nível superior ou com detalhes a nível
de mestrado como alguns  que lêem este tópico esperam, pois pretendemos passar apenas uma
pequena noção de cálculo integral e suas regras. Quando o aluno ingressar no nível superior, na
disciplina cálculo I, poderá se deleitar em situações problemas mais envolventes e
contextualizadas. As equações foram escritas em Latex e podem ser melhor visualizadas com o
poderoso navegador Firefox. Bons estudos!
Sendo f(x) uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por
onde F(x) ‐ é uma primitiva de f(x);
c ‐ é uma constante (chamada constante de integração);
 ‐ é o sinal de integração;
f(x) ‐ é o integrando; 
dx ‐ é a diferencial de x (símbolo que indica que a primitiva deve ser calculada em relação à
variável x).
Se a a derivada da solução F(x) + c for igual ao integrando f(x), implica dizer que a primitiva
está calculada de forma correta. Vamos praticar:
1) Calcule a integral:
O nosso integrando f(x) é dado por:
que pode ser escrito como
Portanto,
Aplicando o teorema
(com n diferente de ‐1), na nossa integral, resulta em
que é a a solução F(x) + c da nossa integral.
Obs: O resultado F(x) + c desta integral é uma primitiva do nosso integrando  (f(x)), ou seja,
derivando F(x) + c obteremos o nosso integrando.
2) Calcule a integral:
A expressão
pode ser escrita como
Portanto,
Aplicando o teorema
temos que,
  
Se a derivada desta solução,
for igual ao integrando,
implica dizer que a primitiva (solução da integral) está calculada de forma correta, ou seja, a
solução desta integral é uma primitiva do nosso integrando.
3) Calcule a integral:
Aplicando o teorema
resulta que
Obs: se calcularmos a derivada de
temos como resultado o nosso integrando
Portanto,
é uma primitiva do nosso integrando
Ficou mais claro? Ainda não? Vamos continuar exercitando.
4) Calcule a integral:
Aplicando os teoremas
e
onde a é uma constante, resulta que
Como
é uma constante arbitrária, podemos chamá‐la de c. Portanto, o resultado da nossa integral é
dado por
Obs: se calcularmos a derivada de
temos como resultado o integrando
5) Calcule a integral:
Vamos usar os conhecimentos sobre integração aprendidos nesta aula: Colocando as
constantes 5, ‐8, 9, ‐2 e 5 para fora do sinal de integração, temos que
Obrigado a você pela paciência. Espero ter ajudado você. Mais exercícios no quadro e no
próximo post. Se comentar, por favor, identifique‐se.