Gabarito Ex3 Sec4 3

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Exerc��cio 3, Se�c~ao 4.3) Determine a temperatura u(x; t) em uma haste de comprimento L se a
temperatura inicial for f(x) por toda a haste e se as extremidades x = 0 e x = L estiverem isoladas.
Notemos que \as extremidades x = 0 e x = L estiverem isoladas" implica as condi�c~oes de contorno
@
@x
u(x; t)j
x=0
= u
x
(0; t) = 0 e
@
@x
u(x; t)j
x=L
= u
x
(L; t) = 0. Assim, s~ao condi�c~ao de contorno diferentes
das vistas na aula (que era u(0; t) = u(L; t) = 0, Eq. (2) do livro), o que implicar�a uma solu�c~ao �nal diferente
da obtida em sala. Em resumo, aqui se obter�a uma solu�c~ao em cossenos, e em sala se obteve uma solu�c~ao em
senos, Eq. (15) do livro. O problema �e do exerc��cio �e, portanto:
u
t
(x; t) =k u
xx
(x; t); 0 < x < L; t > 0; (1a)
@
@x
u(x; t)j
x=0
= u
x
(0; t) =0;
@
@x
u(x; t)j
x=L
= u
x
(L; t) = 0 t > 0; (1b)
u(x; 0) =f(x) 0 < x < L: (1c)
Passo 1: Obter a solu�c~ao de vari�aveis separ�aveis.
Aplicando o m�etodo de separa�c~ao de vari�aveis para o problema, substituindo u(x; t) = X(x)T (t) em (1a)
X
00
(x)T (t) = X(x)T
0
(t) =)
X
00
(x)
X(x)
=
T
0
(t)
k T (t)
= �� =)
(
X
00
(x) = ��X(x)
T
0
(t) = �k�T (t)
Obtendo assim as duas EDO's a seguir, com as seguintes condi�c~ao de contorno (mostre que (1b) implica
que X
0
(0) = X
0
(L) = 0!):
X
00
(x) = ��X(x); X
0
(0) = X
0
(L) = 0 (2a)
T
0
(t) = �k�T (t) (2b)
Passo 2: Aplicar as condi�c~oes de contorno (1b) e obter X(x) e T (t).
Aplicamos agora as CC (2a) para obter qual dos tre^s casos fornece uma solu�c~ao n~ao{nula (ou n~ao{
constante). Note que como as CC est~ao na derivada de X(x), temos que derivar a solu�c~ao encontrada
para aplicar as CC.
Caso i) �� = 0. Partindo de (2a) e substituindo ��:
X
00
(x) = 0 =) X(x) =c
1
+ c
2
x
X
0
(x) =c
2
=) 0 = X
0
(0) = c
2
=) c
2
= 0 =) X(x) = c
1
Portanto temos uma solu�c~ao constante X(x) = c
1
para todo x, uma solu�c~ao que n~ao nos interessa.
Caso ii) �� = �
2
> 0 (� > 0). Partindo de (2a) e substituindo ��:
(farei o caso exponencial porque �e mais simples, em sala �z o de sen/cos hiperb�olicos pois o livro faz assim)
X
00
(x) = �
2
X(x) =) X(x) =c
1
e
�x
+ c
2
e
��x
X
0
(x) =�c
1
e
�x
� �c
2
e
��x
=) 0 = X
0
(0) = �(c
1
� c
2
) =) c
2
= �c
1
(pois � > 0)
X
0
(x) =�c
1
(e
�x
+ e
��x
): Aplicando a CC:
0 = X
0
(L) =c
1
�(e
�L
+ e
��L
)
| {z }
6= 0 por propr. da exp e � > 0
: =) c
1
= 0 =) X(x) = 0
| {z }
substitua c
1
= c
2
= 0 em X(x) acima
Mostramos que, para �� = �
2
> 0, temos que X(x) = 0, uma solu�c~ao nula que n~ao nos interessa.
Caso iii) �� = ��
2
< 0 (� > 0). Partindo de (2a) e substituindo ��:
X
00
(x) = ��
2
X(x) = (�i)
2
X(x) =) X(x) = c
0
1
e
i�x
+ c
0
2
e
�i�x
n~ao precisa mostrar isso na prova!
z}|{
= X(x) = c
1
cos(�x) + c
2
sen(�x):
X
0
(x) =� �c
1
sen(�x) + �c
2
cos(�x): Aplicando as CC:
0 = X
0
(0) =� �c
1
sen(0) + �c
2
cos(0) =) c
2
= 0 =) X
0
(x) = ��c
1
sen(�x):
0 = X
0
(L) =� �c
1
sen(�L) =) �L = n� =) � =
n�
L
; n = 0; 1; 2; 3; :::
1
Portanto:
X(x) =
(
c
1
; n = 0
c
1
cos
�
n�x
L
�
; n = 1; 2; 3; :::
(3a)
Falta agora a solu�c~ao em T (t), que �e bem mais simples de ser obtida, pois j�a sabemos que estamos
restritos ao caso (iii). Temos de (2b) que:
T
0
(t) = �k �T (t) = �k�
2
T (t) = �k(n�=L)
2
T (t) =) T (t) = c
3
e
�k(n�=L)
2
t
;
e assim:
T (t) =
(
c
3
; n = 0;
c
3
e
�k(n�=L)
2
t
n = 1; 2; 3; :::
(3b)
A solu�c~ao em fun�c~ao de n, u
n
(x; t), �e, de (3a,b):
u
n
(x; t) = X(x)T (t) =
(
A
0
; n = 0;
A
n
cos
�
n�x
L
�
e
�k(n�=L)
2
t
n = 1; 2; 3; :::;
onde A
n
= c
1
c
3
.
Por �m, como u
n
(x; t) �e solu�c~ao de (1a,b) para todo n, temos, pelo Princ��pio da Superposi�c~ao (pois
a Eq. Calor �e EDP linear), que a soma das solu�c~oes u(x; t) =
P
u
n
(x; t) tamb�em �e solu�c~ao, onde:
u(x; t) = A
0
+
n=1
X
n=1
A
n
cos
�
n�x
L
�
e
�k(n�=L)
2
t
; 0 < x < L; t > 0: (4)
Passo 3: Aplicar as condi�c~oes iniciais (1c) �a solu�c~ao e obter as constantes A
n
.
Aplicando a condi�c~ao inicial (1c) �a solu�c~ao (4), temos:
f(x) = u(x; 0) = A
0
+
n=1
X
n=1
A
n
cos
�
n�x
L
�
e
�k(n�=L)
2
0
| {z }
=1
= A
0
|{z}
a
0
=2
+
n=1
X
n=1
A
n
|{z}
a
n
cos
�
n�x
L
�
;
que nada mais �e que a expans~ao em cossenos de meia{escala da fun�c~ao f(x). Portanto a
0
= 2A
0
e a
n
= A
n
s~ao os coe�cientes de Fourier correspondentes, para o per��odo 2p = 2L (porque^ p n~ao �e L=2?). Temos que:
a
0
= 2A
0
=
2
L
Z
L
0
f(x)dx =) A
0
=
1
L
Z
L
0
f(x)dx:
Assim, os coe�cientes de Fourier s~ao:
A
0
=
1
L
Z
L
0
f(x)dx; (5a)
A
n
=
2
L
Z
L
0
f(x) cos
�
n�x
L
�
dx: (5b)
Finalmente, temos que a solu�c~ao do problema (1a{c) �e dado por (4), onde A
0
e A
n
s~ao respectivamente
dados por (5,b)
2