calculo 1 lista2

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2a Lista de Ca´lculo I
Ca´lculo de Derivadas
1. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
(a) y = 3− 0, 7x3 + 0, 3x7 (b) y = (x+ 1)2(x2 + 2x) (c) y = cos4(1− 2x)
(d) y = (secx+ tgx)5 (e) y =
1
4
xe4x − 1
16
e4x (f) y = ln(sen2x)
(g) y = log2(x
2/2) (h) y =
( 4x
x+ 1
)−2
(i) y =
( √x
1 + x
)2
2. Usando as propriedades de logaritmo, calcule y′, sendo:
y = ln
((x2 + 1)5√
1− x
)
.
3 (Func¸o˜es Trigonome´tricas Hiperbo´licas). As func¸o˜es seno hiperbo´lico e cosseno hiperbo´lico
sa˜o func¸o˜es reais definidas como segue:
senh(x) :=
ex − e−x
2
cosh(x) :=
ex + e−x
2
.
(a) Prove que cosh2(x)− senh2(x) = 1, ∀x ∈ R.
(b) Prove que senh′(x) = cosh(x) e cosh′(x) = senh(x).
Observac¸a˜o: Enquanto os pontos da forma (cost, sent) percorrem o c´ırculo unita´rio (tri-
gonome´trico) x2 + y2 = 1, pelo item (a), os pontos da forma (cosht, senht) percorrem um dos
“brac¸os”da hipe´rbole x2 − y2 = 1. Plote a curva no GeoGebra e valide o item (a).
4. Sejam f e g duas func¸o˜es tais que, existe a composta g ◦ f . Se f ′(1) = 2, f(4) = 3 e
g′(3) = −1, calcule (g ◦ f)′(1). (Use a Regra da Cadeia!)
5. Sejam u = u(x) e v = v(x), duas func¸o˜es da varia´vel x, ambas deriva´veis. Se u > 0 para
todo x, prove que a derivada da func¸a˜o y = uv e´ igual a:
y′ = vuv−1u′ + uv(lnu)v′.
Sugesta˜o: Aplique logaritmos na igualdade y = uv e depois derive ambos os membros em
relac¸a˜o a x. Use a Regra da Cadeia!
6. Usando a fo´rmula do exerc´ıcio 5, calcule a derivada a func¸a˜o y = (x+ 2)(x+2)
Derivada de Func¸a˜o Inversa
7. A func¸a˜o seno na˜o e´ uma bijec¸a˜o, pore´m, quando restrita ao intervalo [−pi/2, pi/2] passa a
ser injetora e sobrejetora sobre sua imagem. Assim, a func¸a˜o f : [−pi/2, pi/2]→ [−1, 1], f(x) =
senx passa a admitir inversa. Esta inversa e´ chamada de func¸a˜o arco seno e e´ denotada por
arcsen. Portanto, temos por exemplo que:
arcsen(1) = pi/2, pois sen(pi/2) = 1 e
arcsen(
√
2
2
) = pi/4, pois sen(pi/4) =
√
2
2
.
(a) Calcule os valores de arcsen(0), arcsen(1
2
) e arcsen(−1).
(b) Prove que arcsen′(y) = 1√
1−y2
.
Derivabilidade
8. Nos exemplos abaixo, verifique se a func¸a˜o e´ deriva´vel na origem, calculando o valor da
derivada nesse ponto caso ela exista:
(a) f(x) =
{
2x− 1, se x ≥ 0
x2 + 2x+ 7 se x < 0.
(b) f(x) =
{
senx, se x ≤ 0
7x
4−e−1/x se x > 0.
Ma´ximos e Mı´nimos Absolutos
9. Em cada item, determine o maior e o menor valor absoluto obtido pela func¸a˜o no inter-
valo dado. (Plote os gra´ficos das func¸o˜es no GeoGebra para validar os resultados que voceˆ
encontrou.)
(a) f(x) = xe−x, x ∈ [−1, 1].
(b) f(x) = x(4− x)3 x ∈ [0, 5].
(c) f(x) = x− 2 lnx, x ∈ [1, 3].
(d) f(x) = senx+ cosx, x ∈ [−pi
2
, pi
2
].
(e) f(x) = −3x4 + 6x2 − 1, x ∈ [−2, 2].
GABARITO
1. (a) y′ = 2, 1x2(x4−1) (b) y′ = 2(x+1)(2x2+4x+1) (c) y′ = 8cos3(1−2x)sen(1−2x)
(d) y′ = 5(secx)(secx + tgx)5 (e) y′ = xe4x (f) y′ = 2cotgx (g) y′ = 2
(ln2)x
(h) y′ = −x+1
8x3
(i) y′ = 1−x
(x+1)3
.
2. y = 10x
x2+1
+ 1
2(1−x)
4.−2.
6. y′ = (x+ 2)(x+2)[1 + ln(x+ 2)].
7a. 0, pi
6
e − pi
2
respectivamente.
8. (a) f ′(0) = 2 (b) @f ′(0).
9. (a) m = −e, M = 1
e
(b) m = −5, M = 27 (c) m = 2 − 2 ln 2, M = 1 (d)
m = −1, M = √2 (e)m = −25, M = 2.