e. maquinas

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RICARDO MILLEGO DE CASTRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CRITÉRIO DE PROJETO PARA ENGRENAGENS HELICOIDAIS 
APLICADAS EM TRANSMISSÕES MECÂNICAS VEICULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
para a obtenção do título de Mestre em Engenharia 
Automotiva (Mestrado Profissionalizante) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2005 
 
 
RICARDO MILLEGO DE CASTRO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CRITÉRIO DE PROJETO PARA ENGRENAGENS HELICOIDAIS 
APLICADAS EM TRANSMISSÕES MECÂNICAS VEICULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à 
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
para a obtenção do título de Mestre em Engenharia 
Automotiva (Mestrado Profissionalizante) 
 
 Área de Concentração: 
Engenharia Automotiva 
 
 Orientador: 
Gilberto Francisco Martha de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2005 
 
 
INDICE 
 
LISTA DE FIGURAS 
LISTA DE TABELAS 
LISTA DE ABREVIATURAS 
LISTA DE SÍMBOLOS 
RESUMO 
“ABSTRACT” 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................1 
2 MOTIVAÇÃO...............................................................................................4 
3 OBJETIVO...................................................................................................7 
4 ANÁLISE DE TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS..............................9 
4.1 TIPOS DE ENGRENAGEM.............................................................................. 10 
4.2 PROCESSOS DE FABRICAÇÃO PARA DENTES DE ENGRENAGEM ......... 13 
4.3 ENGRENAGENS VEICULARES...................................................................... 18 
5 CONCEITOS E GEOMETRIA DE ENGRENAGENS ................................20 
5.1 PERFIL EVOLVENTE E SUAS PROPRIEDADES........................................... 23 
 
 
5.2 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS......................... 50 
5.3 COMPARAÇÃO ENTRE ECDR E ECDH......................................................... 56 
6 CÁLCULO DE ESFORÇOS EM UM PAR DE ENGRENAGENS..............58 
6.1 ESFORÇOS EM UMA ENGRENAGEM DE DENTES RETOS ........................ 58 
6.2 ESFORÇOS EM UMA ENGRENAGEM DE DENTES HELICOIDAIS.............. 60 
7 MODOS DE FALHA EM ENGRENAGENS...............................................63 
7.1 QUEBRA DO DENTE DE ENGRENAGEM – FADIGA DE FLEXÃO ............... 66 
7.2 FADIGA DE CONTATO OU “PITTING”............................................................ 69 
7.3 “SPALLING”...................................................................................................... 74 
7.4 “SCORING”....................................................................................................... 74 
7.5 DESGASTE EM DENTES DE ENGRENAGEM ............................................... 76 
7.6 FALHAS DE ENGRENAGEM POR IMPACTO................................................. 77 
7.7 CAUSAS ESPECIAIS PARA FALHA EM ENGRENAGENS ............................ 78 
8 FORMULAÇÕES PARA DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE DE 
CARGA DE UM PAR ENGRENADO ...............................................................82 
8.1 CAMPOS DE APLICAÇÃO............................................................................... 82 
8.2 FATORES DE SEGURANÇA........................................................................... 86 
8.3 PARÂMETROS INICIAIS PARA PROJETO E FABRICAÇÃO ......................... 87 
 
 
8.4 FATORES DE INFLUÊNCIA ............................................................................ 90 
8.5 RESISTÊNCIA À FADIGA DE CONTATO (“PITTING”) ................................. 105 
8.6 TENSÕES DE FLEXÃO NO PÉ DO DENTE.................................................. 112 
9 ESTUDO DE TRANSMISSÃO AUTOMOTIVA .......................................123 
9.1 INTRODUÇÃO À TRANSMISSÃO ESTUDADA ............................................ 123 
9.2 ANÁLISE DE TENSÕES DO PAR FINAL ...................................................... 132 
9.3 ATUALIZAÇÕES DO PROJETO: RESULTADOS EXPERIMENTAIS X 
TEÓRICOS................................................................................................................. 139 
9.4 ESTUDO DA RELAÇÃO DA 1ª MARCHA...................................................... 149 
9.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................ 158 
9.6 ANÁLISE DOS RESULTADOS EM VEÍCULO E SUAS CONCLUSÕES....... 164 
10 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES..............................................166 
11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................170 
 
APÊNDICE 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1: Exemplo de uma transmissão explodida....................................................................... 4 
Figura 2: "South Pointing Chariot" (2600 AC) [7] ......................................................................... 10 
Figura 3: Processo “Hobbing” ..................................................................................................... 14 
Figura 4: Processo “Shaping” ..................................................................................................... 15 
Figura 5: Processo de fabricação de engrenagem - “Shaving” .................................................. 16 
Figura 6: Processo de fabricação de engrenagem – Retífica após ToTo (“griding”).................. 17 
Figura 7: Ferramentas utilizadas no processo de “honing” ........................................................ 18 
Figura 8: Ação conjugada para perfis de dentes de engrenagens [1] ......................................... 21 
Figura 9: Ação Conjugada – Caminho de Contato e Linha de Ação [1] ...................................... 22 
Figura 10: Curva Evolvente [1] ..................................................................................................... 24 
Figura 11: Ação de uma evolvente sobre outra evolvente [1]...................................................... 26 
Figura 12: Distância entre centros, ângulo de pressão, raio primitivo e raio base [1] ................. 28 
Figura 13: Formação de dentes de engrenagens pelas curvas evolventes [1] ........................... 32 
Figura 14: Seção de dente de engrenagem – Adendo e Dedendo ............................................ 35 
Figura 15: Seções de dentes de engrenagens – Retos e Helicoidais [2] .................................... 36 
Figura 16: Linha de geração dividida em intervalos iguais do arco............................................ 36 
Figura 17: Contato entre duas curvas evolventes – comprimentos de arcos diferentes............ 37 
Figura 18: Parâmetros para cálculo da velocidade de escorregamento .................................... 38 
Figura 19: Grau de recobrimento radial e arco de ação ............................................................. 41 
Figura 20: UNDERCUTTING [1] .................................................................................................. 44 
Figura 21: Limites de projeto - "Undercutting" [1]......................................................................... 44 
Figura 22: Dente sem correção de perfil..................................................................................... 46 
Figura 23: Dente com correção de perfil positiva [17] .................................................................. 46 
Figura 24: Alterações de espessura para correções positivas e negativas de perfil [9] .............. 47 
Figura 25: Geração do perfil evolvente para dentes helicoidais [1] ............................................. 52 
Figura 26: Comprimento da hélice L [13,16]...................................................................................52 
Figura 27: Geometria dos dentes de engrenagens helicoidais .................................................. 53 
Figura 28: Sentidos de hélice ..................................................................................................... 56 
 
 
Figura 29: ECDR X ECDH [10] ..................................................................................................... 57 
Figura 30: Esforços em um dente reto de engrenagem [6].......................................................... 59 
Figura 31: Esforços em um dente helicoidal de engrenagem [6]................................................. 61 
Figura 32: Quebra do dente de engrenagem por fadiga de flexão............................................. 67 
Figura 33: Evidencia de sobrecarga ........................................................................................... 68 
Figura 34: Modo de falha devido a extremidade direita sobrecarregada ................................... 69 
Figura 35: Macro-pitting (a), micro-pitting (b) [14] e pitting destrutivo (c) ..................................... 70 
Figura 36: Direções de escorregamento em dentes de engrenagem ........................................ 71 
Figura 37: Carregamento de forças em dentes de engrenagem................................................ 72 
Figura 38: “SCORING” inicial...................................................................................................... 76 
Figura 39: Quebra por impacto na raíz do dente........................................................................ 78 
Figura 40: Histograma de ciclos de cargas (Palmgren-Miner) ................................................... 89 
Figura 41: Diâmetro interno (di), diâmetro de raíz (df) e diâmetro externo (da) .......................... 95 
Figura 42: Espessura da alma (bs) e corpo da engrenagem (sR) ............................................... 97 
Figura 43: Desvios em um flanco helicoidal [25] ........................................................................ 102 
Figura 44: Seção transversal considerada para cálculo de flexão no pé do dente [23] ............. 115 
Figura 45: Perfil básico de referência com e sem protuberância [23] ........................................ 116 
Figura 46: Gráfico do Material 16 MnCr 5................................................................................. 121 
Figura 47: Possíveis curvas de torque do motor ...................................................................... 124 
Figura 48: A- Dimensões Construtivas Máximas / B-Corte da Transmissão ........................... 125 
Figura 49: Regiões do dente para verificação de dureza ......................................................... 127 
Figura 50: Torques reais medidos nas rodas do veículo.......................................................... 131 
Figura 51: Torque equivalente, Torque limite e Torque de corte.............................................. 136 
Figura 52: Modo de falha encontrado nos tetes experimentais................................................ 140 
Figura 53: Aumento de σFG devido a aplicação de “shot peening”........................................... 141 
Figura 54: Aumento de largura de face do par final ................................................................. 146 
Figura 55: Correções de micro-geoemetria / Erro de traçagem do passo ............................... 148 
Figura 56: Dinamômetro 1 – Torque de entrada....................................................................... 150 
Figura 57: Dinamômetro S1 - Torque reativo/saída – roda equerda........................................ 150 
Figura 58: Dinamômetro S2 - Torque reativo/saída – roda direita ........................................... 150 
 
 
Figura 59: Dutos de reafecimento............................................................................................. 151 
Figura 60: Robô de mudança de marcha ................................................................................. 151 
Figura 61: Equipamentos de controle ....................................................................................... 151 
Figura 62: Fadiga de contato após testes em dinamômetro .................................................... 155 
Figura 63: Gráfico de Viscosidade do Óleo: Mineral x Sintético............................................... 156 
Figura 64: Diferenças de micro-geometria para o pinhão (1ª Velocidade)............................... 158 
Figura 65: Pico de torque medido no semi-eixo de veículo experimental ................................ 160 
Figura 66: Esquema de funcionamento do limitador de torque................................................ 161 
Figura 67: MATRIZ CUSTO x DESEMPENHO ........................................................................ 163 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1: Engrenagens cilíndricas [5] .......................................................................................... 11 
Tabela 2: Engrenagens cônicas [5] .............................................................................................. 12 
Tabela 3: Engrenagem coroa / sem fim [5] .................................................................................. 12 
Tabela 4: Vantagens para os processos de fabricação “Shaving” x “Griding” ........................... 17 
Tabela 5: Principais modos de falha em transmissões [2]........................................................... 63 
Tabela 6: Principais áreas envolvidas no caso de falha em uma transmissão [2]....................... 64 
Tabela 7: Desvios de tolerância para parâmetros de micro-geoemetria.................................... 84 
Tabela 8: Classificação dos fatores de influência....................................................................... 90 
Tabela 9: Ciclos de carga de tração do pinhão NL1 e fatores de aplicação KA [23]...................... 92 
Tabela 10: Constantes para cálculo do mínimo valor de flexibilidade de um par (q’) ............... 96 
Tabela 11: Constantes CV1, CV2 e CV3 para cálculo de KV ........................................................ 100 
Tabela 12: Especificações Técnicas Construtivas ................................................................... 124 
Tabela 13: Composição Química do Material em % de massa................................................ 126 
Tabela 14: Especificações do par de engrenagens sob análise .............................................. 128 
Tabela 15: Classe de qualidade especificada para o par sob análise ..................................... 129 
Tabela 16: Tipos de veículos utilizados nos testes de durabilidade acelerada........................ 130 
Tabela 17: Porcetagem do uso das marchas a frente no teste veicular (%/100)..................... 132 
Tabela 18: Valores da rotação de referência para todas as marchas da caixa ....................... 137 
Tabela 19: Fatores de Segurança (Projeto Base) .................................................................... 138 
Tabela 20: Resultados Experimentais (Projeto Base) .............................................................. 139 
Tabela 21: Diferenças de Tensão Residual.............................................................................. 141 
Tabela 22: Fatores de Segurança (Adição de “shot peening”)................................................. 142 
Tabela 23: Resultados Experimentais (Adição de “shot peening") .......................................... 142 
Tabela 24: Comparação em % de massa: 16MnCrS5 x 20NiMoCr6-4 [28, 29] ........................... 144 
Tabela 25: Fatores de Segurança (Material de alto desempenho) .......................................... 144 
Tabela 26: Resultados Experimentais (Material de alto desempenho) .................................... 144 
Tabela 27: Fatores de Segurança(Aumento de largura do par) .............................................. 146 
Tabela 28: Resultados Experimentais (Aumento de largura do par)........................................ 147 
 
 
Tabela 29: Fatores de Segurança (Correção do passo) .......................................................... 148 
Tabela 30: Resultados Experimentais (Correção do desvio de traçagem) .............................. 149 
Tabela 31: Tempo de uso de cada marcha no teste de dinamômetro ..................................... 152 
Tabela 32: Classe de qualidade especificada para o par de 1ª Velocidade ............................ 154 
Tabela 33: Fatores de Segurança (Projeto Original + Te = 170Nm)........................................ 155 
Tabela 34: Fatores de Segurança (Projeto Original + Te = 185Nm)........................................ 155 
Tabela 35: Alterações de micro-geometria do par de 1ª Velocidade ....................................... 157 
Tabela 36: Fatores de Segurança (Alterações do Projeto + Te = 185Nm) .............................. 158 
Tabela 37: Custo individual por proposta técnica..................................................................... 162 
 
 
 
LISTA DE ABREVIATURAS 
AGMA – American Gear Manufacturers Association 
CB – Círculo Base 
CP – Círculo Primitivo 
DE – Dado de Entrada 
DIN – Deutsches Institut fur Normung 
ECDH – Engrenagem Cilíndrica de Dentes Helicoidais 
ECDR – Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos 
HB – Brinell Hardness 
HRC – Rockwell C Hardness 
HV – Vickers Hardness 
ISO – Internartional Standard 
LP – Linha Primitiva 
RM – Reta Média 
SAE – Society of Automotive Engineering 
 
 
 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
ε = ângulo através do qual a linha evolvente e 
desenrolada [rad] 
β = ângulo de hélice [rad] 
α = ângulo de pressão [rad] 
θ = ângulo do raio vetor [mm] 
Ψ = ângulo entre o vetor radial e a tangente a 
curva evolvente [rad] 
εβ = grau de recobrimento axial 
εα = grau de recobrimento radial 
εγ = grau de recobrimento total 
εαn = grau de recobrimento radial equivalente 
ν40 = viscosidade do óleo a 40°C [mm2/s] 
βa = arco de acesso [rad] 
βb= ângulo de hélice no círculo base [rad] 
ρF = raio de arredondamento [mm] 
αn = ângulo de pressão na seção normal [rad] 
βr = arco de recesso [rad] 
αwt = ângulo de pressão de trabalho na seção 
transversal [rad] 
a = distância entre centros operacional [mm] 
A = ponto primitivo 
a0 = distância entre centros teórica [mm] 
b = largura do dente [mm] 
Bf = fator de correção no perfil – carregamento 
dinâmico 
BK = fator de correção para engrenagens com 
correção 
Bp = fator de correção no perfil – 
carregamento dinâmico 
bs = espessura da alma da engrenagem [mm] 
c’ = valor máximo da rigidez dos dentes 
equivalentes no plano normal 
c’th = valor teórico para o máximo valor de 
rigidez 
Ca = recuo de cabeça [mm] 
Cb = “crowning” (abaulamento) do flanco [μm] 
CB = fator de correção para o perfil de 
referência 
CM = fator de correção 
CR = fator de correção para o corpo da 
engrenagem 
cγ = valor médio da rigidez total dos dentes no 
plano transversal [N/(mm.μm)] 
d = diâmetro primitivo [mm] 
da = diâmetro externo [mm] 
dan = diâmetro externo equivalente da 
engrenagem helicoidal [mm] 
db = diâmetro base [mm] 
dbn = diâmetro base equivalente da 
engrenagem helicoidal [mm] 
den = diâmetro para atuação da força [mm] 
df = diâmetro de raíz [mm] 
di = diâmetro interno [mm] 
dm = diâmetro médio [mm] 
dn = diâmetro equivalente da engrenagem 
helicoidal [mm] 
dw = diâmetro de contato [mm] 
et = vão do dente na seção transversal [mm] 
F = força atauanteno dente de engrenagem 
[N] 
Fβ = desvio total da linha dos flancos [μm] 
fβf = desvio de forma nas linhas dos flancos 
[μm] 
Fβy = desvio nas linhas do flanco dos dentes 
[μm] 
Fa = força axial no dente de engrenagem [N] 
Fb = força de flexão no dente helicoidal no 
plano normal [N] 
ff = desvio de forma do perfil [μm] 
Ff = desvio total do perfil [μm] 
ffα = desvio efetivo do perfil após 
assentamento [μm] 
ffαeff = desvio efetivo do perfil após 
assentamento [μm] 
fHβ = desvio angular das linhas dos flancos 
[μm] 
fHα = desvio angular do perfil [μm] 
fi’ = erro composto – flanco simples [μm] 
Fi’ = erro no rolamento – flanco simples [μm] 
fi’’ = erro composto – flanco duplo [μm] 
Fi’’ = erro no rolamento – flanco duplo [μm] 
fma = variação de fabricação nas linhas do 
flanco dos dentes [μm] = Fβx 
fp = desvio individual do passo [μm] 
Fp = desvio total do passo [μm] 
fpe = desvio do flanco após assentamento 
[μm] 
fpe = desvio do passo de engrenamento [μm] 
fpeeff = desvio efetivo do flanco após 
assentamento [μm] 
Fpz/8 = erro acumulativo do passo circular 
sobre circunferência [μm] 
Fr = desvio radial (batimento) [μm] 
FR = força radial no dente de engrenagem [N] 
Ft = força tangencial no dente de engrenagem 
[N] 
Fteq = força tangencial equivalente [N] 
fu = erro no passo dente a dente [μm] 
h = altura total do dente [mm] 
ha = adendo [mm] 
haP = altura da cabeça do perfil de referência 
[mm] 
hf = dedendo [mm] 
hFe = braço de alavanca de flexão [mm] 
hfp = altura do pé do perfil de referência [mm] 
 
 
u = relação de transmissão 
 
 
•
J = momentos polares de inércia por mm de 
largura dos dentes [kg.mm3]. 
KFα = fator de face (pé do dente) 
KFβ = fator de largura (pé do dente) 
KHα = fator de face (flanco) 
KHβ = fator de largura (flanco) 
Kv = fator dinâmico 
L = comprimento da hélice [mm] 
m = módulo [mm/nº dentes] 
mn = módulo seção normal do dente (válido 
para dentes helicoidais) 
mred = massa equivalente [kg/mm] 
mt = módulo seção transversal 
•
m = massas equivalentes por mm de largura 
dos dentes [kg/mm] 
n = rotação da engrenagem [rpm] 
N = rotação de referência 
Neq = número de ciclos equivalentes 
Ni = nível de tensão específico 
ni = número de ciclos de carga 
P = diametral Pitch [n° dentes / in] 
p = passo circular no diâmetro primitivo 
P = potência [kW] 
p = valor característico referente a curva do 
material 
pb = passo no círculo base 
Peq = potência equivalente [kW] 
pt = passo circular na seção transversal 
Pt = ponto de tangencia entre duas curvas 
evolventes em contato 
q’ = mínimo valor de flexibilidade de um par de 
dentes 
q1,2 = variáveis auxiliares (pinhão, coroa). 
qs = parâmetro de entalhe 
r = raio vetor [mm] 
Ra = raio que define o início do perfil ativo 
[mm] 
rb = raio base [mm] 
rc = raio de curvatura [mm] 
Rm = tensão de escoamento [N/mm2] 
Rs = variação da espessura do dente [μm] 
Rz = rugosidade dos flancos [μm] 
SF = fator de segurança – fadiga de flexão no 
pé do dente 
sFn = espessura da corda no pé do dente [mm] 
SH = fator de segurança – fadiga de contato 
spr = entalhe ou protuberância do pé no perfil 
básico de referência [mm] 
sR = parâmetro do corpo da engrenagem 
st = espessura do dente na seção tranversal 
[mm] 
T = torque na engrenagem [Nm] 
T σFE = torque limite à fadiga de flexão [Nm] 
T σHlim = torque limite à fadiga de contato [Nm] 
Tcorte = torque relativo a 70 % do torque limite 
[Nm] 
Teq = torque equivalente [Nm] 
 
v = velocidade linear da engrenagem [m/s] 
ve = velocidade de escorregamento [m/s] 
w = velocidade angular [rad/s] 
x = coeficiente de correção de perfil 
Yε = fator de recobrimento 
yf = desvio efetivo do perfil após 
assentamento [μm] 
YF = fator de forma do dente 
yp = redução desvio de forma do [μm] 
YRrelT = valor de relativo de superfície 
YS = fator de correção de tensão 
Yβ = fator de face inclinada 
YδrelT = valor de relativo de referência 
z = número de dentes 
ZB,D = fator engrenamento 
ZE = fator de elasticidade 
ZH = fator de zona 
ZL = fator de lubrificação (viscosidade) 
zn = número de dentes virtuais (plano normal) 
ZR = factor de lubrificação (rugosidade) 
ZV = factorde lubrificação (velocidade) 
Zβ = fator de face inclinada 
Zε = fator de recobrimento [(N/mm2)1/2] 
αFen = ângulo de atuação da força [rad] 
αFen = ângulo de atuação de força no ponto de 
contato individual externo dos dentes retos 
equivalentes [rad] 
ρ = 7,83.10-6 [Kg/mm3] 
σF0 = resistência nominal a flexão [N/mm2] 
σFE = resistência a flexaõ [N/mm2] 
σFG = tensão limite no pé do dente [N/mm2] 
σH = pressão nos flancos [N/mm2] 
σH0 = pressão nominal nos flancos [N/mm2] 
σHG = limite de resistência à fadiga de 
contato[N/mm2] 
σHlim = pressão limite nos flancos [N/mm2] 
σS = pressão estática nos flancos [N/mm2] 
 
 
 
RESUMO 
 O propósito deste estudo é informar os leitores sobre o funcionamento 
das engrenagens, suas propriedades e seus principais modos de falha, bem 
como os critérios de projeto, baseados em norma DIN, empregados no 
dimensionamento das mesmas. A partir disto analisa-se a durabilidade de 
engrenagens helicoidais utilizadas em transmissões automotivas manuais. O 
estudo de caso deste trabalho mostra a evolução do projeto de um 
determinado par de engrenagens, testado dinamicamente em veículo, onde a 
coroa e o pinhão são alterados em alguns parâmetros de projeto, tais como, 
tipo de material, jateamento do pé do pé do dente com granalhas de aço no pé 
do dente, aumento da largura do dentado e correções de micro-geometria no 
flanco do dente. Avalia-se os parâmetros de projeto de engrenagens e os 
fatores de influência que definem a durabilidade do par sob análise e compara-
se os resultados teóricos com os obtidos experimentalmente. Estes fatores de 
influência (fator de aplicação, fator de contato) são citados em normas para 
cálculo de engrenagens (ex: DIN 3990). 
 O estudo enfatiza a necessidade de testes físicos em transmissões 
automotivas ao longo do desenvolvimento de um projeto, considerada a melhor 
maneira de se identificar alguns modos de falha que não foram previstos pelos 
cálculos e hipóteses iniciais adotados. Através dos resultados experimentais 
obtidos é possível concluir quais os principais parâmetros de projeto que 
permitem o par de engrenagens sob análise atingir os requisitos do teste de 
durabilidade utilizado. 
 Por fim, propõem-se alguns outros parâmetros de projeto que podem ser 
analisados visando a redução de custo do produto. 
 
 
ABSTRACT 
 The purpose of this study is to inform the readers about gear working, 
their properties and main failure modes, including the design criteria, defined by 
DIN standard, applied to gear design, focusing on the analysis of helical gears 
durability in manual automotive gearboxes. The enclosed study case shows the 
evolution of a certain mating gear applied in a specific durability vehicle test 
where the pinion and gear were modified in some design parameters, such as 
material type, shot-peening, increase of gear width and lead corrections (micro-
geometry). This study intends to evaluate some design parameters and gear life 
factors that define the mating gear durability and to compare the theoretical 
results against to the experimental ones. These gear life factors (application 
factor, contact factor, material type, etc) are enclosed in known standards (i.e. 
DIN 3990). 
 The study shows the necessity of testing automotive transmissions in the 
beginning of design process. This is the best way to identify some failure modes 
that were not foreseen by the first calculations and hypothesis. Through the 
experimental results obtained in vehicle test, the study concludes which are the 
main design parameters that allowed the mating gear fulfill the test 
requirements regarding tooth breakage. 
 By the end some other design changes are proposed to reduce the 
product cost. 
 
 
1
1 INTRODUÇÃO 
 Sabe-se que produtos competitivos são aqueles cujos custos e, 
conseqüentemente, preços sejam uma vantagem em relação aos seus 
concorrentes, considerando que estes tenham o mesmo desempenho 
operacional, incluindo os custos de manutenção, capacidade de produção e 
mão-de-obra para sua operação. 
 A busca do estado da arte dos critérios de projeto e fabricação de 
determinados produtos é o desafio de engenheiros e pesquisadores, que 
buscam encontrar maneiras de otimizar seus produtos reduzindo seus custos 
agregados, e aumentando ou mantendo sua qualidade e desempenho. 
 Produtos mais baratos tendem a ter dimensões menores (utilização de 
menos material). Os requisitos de se fazerem produtos mais leves e menores 
são também ganhadores de pedido no mercado, portanto, possuindo 
vantagens competitivas. 
 Transferindo-se essa tendência ao mercado automotivo, verifica-se um 
perfeito atendimento aos desejos dos consumidores, das montadoras e de 
seus fornecedores. A busca por sistemas, subsistemas ou componentes 
automotivos competitivos é uma prioridade em qualquer novo projeto em 
desenvolvimento. Projetar produtos com baixos custos, pesos reduzidos e 
compactos são objetivos do setor automotivo. 
 Os baixos custos podem ser obtidos através dos seguintes meios: 
• Eliminação de componentes que apresentam uma função ou 
desempenho substituível por outro componente já existente 
(empregando-se nesta análise os conceitos de Análise do Valor); 
 
 
2
• Substituição ou redução de um material base empregado na fabricação 
de determinada peça; 
• Busca de otimizações no processo de fabricação com emprego de 
técnicas de planejamento de processo baseada em algorítimos 
computacionais e melhoria no ferramental, entre outros. 
 As vantagens que os baixos custos trazem para o setor automotivo ou 
para qualquer setor industrial estão implícitas, ou seja, são vantagens 
econômico-financeiras. 
 Com relação aos requisitos competitivos de produtos mais leves e 
compactos, os mesmos podem ser obtidos com redução de tamanho dos 
componentes envolvidos ou mudança do material com que são fabricados 
(materiais diferentes apresentam densidades diferentes, logo, para um mesmo 
volume, suas massas são diferentes). Este é um item que pode trazer alguma 
vantagem em termos econômicos para o setor automotivo, mas principalmente 
visam aumentar o desempenho do veículo, em termos da avaliação da relação 
peso/potência do motor, bem como proporcionar a redução de consumo de 
combustível do veículo. 
 Todas e quaisquer alterações feitas nos produtos, conforme dito 
anteriormente, afetam diretamente a durabilidade dos mesmos. As recentes 
pesquisas e desenvolvimentos ampliam o conhecimento sobre determinado 
fenômeno físico que rege o mecanismo de falha associado a um componente 
ou sobre determinado comportamento de material ou processo, ou seja, as 
incertezas das formulações teóricas empregadas no critério de projeto de 
componentes mecânicos passam a ser menores e coeficientes de seguranças 
podem ter sua magnitude reduzida. Esta evolução técnica é que permite 
 
 
3
conceber produtos que atendam aos requisitos de mercado (baixo custo e 
produtos compactos), mantendo a resistência mecânica desejada pelo 
fabricante, usualmente, no caso de componentes automotivos, expressas em 
termos de durabilidade. 
 Este estudo pretende analisar o comportamento de durabilidade de um 
determinado subsistema automotivo, mais precisamente, o comportamento de 
durabilidade de um componente desse subsistema. 
 O subsistema a ser analisado é a caixa de transmissão manual para 
veículos de passeio e o componente, no qual o trabalho dará a total ênfase, é a 
engrenagem cilíndrica de dentes helicoidais (ECDH). 
 Alguns autores [8] sugerem que o aumento de capacidade de torque em 
um redutor é alcançado pelos seguintes fatores: 
• Elevação de dureza nos flancos dos dentes. 
• Aumento da resistência no núcleo dos dentes. 
• Tratamento térmico adequado. 
• Ótima qualidadesuperficial e alta precisão dos componentes. 
• Alto grau de controle dos processos de fabricação assegurando a 
qualidade do produto final. 
 Baseando-se em uma fundamentação teórica sobre modos de falha e 
critérios de projeto de engrenagens, busca-se verificar a influência dos fatores 
acima citados sobre as dimensões das engrenagens. 
 A partir desta fundamentação executa-se a análise da durabilidade de 
um par de engrenagens, comparando as avaliações teóricas com resultados 
experimentais, buscando-se ressaltar possíveis diferenças entre os mesmos, 
bem como as hipóteses de cálculo que podem causar estas diferenças. 
 
 
4
2 MOTIVAÇÃO 
 Engrenagens, eixos, sincronizadores, hastes, garfos, molas, arruelas, 
parafusos, vedadores e juntas, graxas, óleo lubrificante, carcaças e rolamentos 
são alguns dos componentes que uma caixa de transmissão dispõe, tal como 
mostrado na Figura 1. 
 
Figura 1: Exemplo de uma transmissão explodida 
 Pode-se dizer que a função essencial de uma caixa de transmissão é 
transmitir potência com níveis de ruído subjetivos aceitáveis. O componente da 
caixa que desempenha exatamente essa função é a engrenagem e a mesma 
será o objeto de estudo. 
 As engrenagens de transmissões manuais para veículos de passeio 
abrem um vasto campo para análise de critérios de projeto no que diz respeito, 
principalmente, a estimativa de sua durabilidade. 
Eixos
Garfos 
Carcaça 
Junta 
Haste
Engrenagem 
Parafusos
Rolamentos
Vedador
 
 
5
 Engrenagens veiculares são componentes que devem suportar esforços 
de elevada magnitude e tem suas dimensões limitadas pelos motivos expostos 
na introdução deste estudo e por outras particularidades que o subsistema 
transmissão exige, tais como, garantir um bom fluxo de lubrificação e manter 
engrenagens com baixa inércia, que tem influência direta na qualidade do 
esforço de engate da caixa. 
 Existem uma série de livros bem conceituados e normas padronizadas, 
tais como DIN e AGMA, que indicam como devem ser efetuados os cálculos de 
capacidade de carga para engrenagens, considerando sua resistência à fadiga 
de contato, à fadiga de flexão ou outros tipos de modo de falha. Fadiga, seja de 
contato, comumente denominado de “pitting”, ou de flexão, é uma falha 
bastante comum em engrenagens, caracterizando que o mecanismo de falha 
principal da engrenagem está associado com a ação de carregamento cíclico. 
O dimensionamento da mesma é executado considerando exigências sobre 
sua durabilidade. 
 Imagine um determinado par de engrenagens de aplicação veicular e 
calculado por norma DIN 3990 (Parte 41) [23] para resistir à fadiga de contato e 
de flexão. Teoricamente, o tal par está dimensionado para atender aos 
requisitos de projeto no que diz respeito à durabilidade, porém quando os 
testes em protótipos são executados os resultados podem ser diferentes. 
 O estudo pretende avaliar alguns parâmetros de projeto para a 
determinação da vida do par de engrenagens e comparar os resultados 
teóricos e experimentais. Pretende-se enfatizar que as hipóteses iniciais do 
projeto, na maioria das vezes, precisam ser revistas, pois quando as 
engrenagens são testadas, os resultados experimentais podem evidenciar 
 
 
6
alguns modos de falha que não estavam previstos pelos cálculos e premissas 
iniciais. 
 Cada caixa de transmissão veicular apresenta sua própria identidade, ou 
seja, alterações de projeto que são válidas para uma determinada caixa podem 
não valer para uma outra caixa, que apesar de ser utilizada em uma mesma 
aplicação (uso operacional), difere, por exemplo, da primeira no projeto das 
engrenagens, no projeto dos mancais de rolamentos, no projeto de “lay-out” 
dos componentes, no projeto das carcaças, etc. Isto reforça as divergências 
encontradas entre os resultados teóricos e experimentais, provenientes de 
testes com protótipos. 
 A experiência e o conhecimento do engenheiro de projeto sobre 
engrenagens são determinantes para a definição dos critérios de projeto 
adequados, determinando o sucesso do produto final [2]. 
 
 
7
3 OBJETIVO 
 O trabalho pretende avaliar, através de uma revisão bibliográfica e de 
um estudo de caso real, os diversos fatores de projeto que exercem influência 
na durabilidade de engrenagens helicoidais empregadas em transmissões de 
veículos. 
 Normas padronizadas possuem inúmeras fórmulas que permitem 
calcular, ou melhor, estimar quais são os esforços que uma determinada 
engrenagem sofre em uma dada condição de operação. Com isto é possível 
dimensionar as engrenagens para suportarem as cargas de operação. 
 Entretanto, esforços calculados não são necessariamente esforços 
reais. Dudley [2] sugere que a melhor maneira de se descobrir o quanto de 
carregamento que uma engrenagem pode suportar é construindo e testando 
um protótipo da mesma. 
 Vários são os fatores que influenciam na durabilidade das engrenagens, 
os mais compreensíveis são aqueles relacionados ao tipo de material e à 
macro-geometria das engrenagens, composta pelos seguintes valores: 
distância entre centros, ângulo de pressão, largura dos dentes e ângulo de 
hélice (para o caso de engrenagens helicoidais), entre outros. 
 Contudo, alguns outros fatores, tais como, concentradores de tensões 
(raio de arredondamento na raiz do dente), tensões residuais associadas ao 
processo de fabricação e o acabamento superficial do dente, influenciam na 
durabilidade de uma engrenagem, porém seu efeito é mais difícil ser estimado 
teoricamente. 
 
 
8
 O desalinhamento entre dois dentes em contato ocasiona uma 
distribuição de carregamentos não uniforme o que também influencia na 
durabilidade dos dentados [2]. A micro-geometria dos dentados, que será 
analisada posteriormente no estudo, tem uma parcela de contribuição 
importante neste desalinhamento. 
 Avalia-se quais fatores devem ser considerados por projetistas de 
engrenagens veiculares e averigua-se quais os ganhos de durabilidade 
adquiridos para os diferentes parâmetros avaliados. Os modos de falha de 
engrenagem considerados neste estudo são: a fadiga de flexão no pé do dente 
e a fadiga de contato (“pitting”). 
 O caso experimental deste estudo avalia um par de engrenagens de 
uma determinada caixa de transmissão. Esta caixa é submetida a um teste de 
durabilidade veicular, onde se pode constatar a quebra por fadiga de flexão no 
pé do dente do pinhão. 
 Alterações de projetos são propostas no projeto inicial deste par. Tais 
propostas de projeto são também avaliadas experimentalmente para que possa 
ser verificado o ganho real de cada mudança. As mudanças técnicas de projeto 
avaliadas são: jateamento com granalhas de aço, material de alto 
desempenho, aumento da largura do dentado e correções de micro-geometria. 
Os resultados obtidos a partir desta avaliação direcionam o projeto para melhor 
compromisso em termos de custo e desempenho, ou seja, o projeto otimizado 
é definido em função dos resultados de durabilidade. 
 
 
9
4 ANÁLISE DE TRANSMISSÃO POR ENGRENAGENS 
 A engrenagem é um dos dispositivos mecânicos mais antigos utilizados 
pelo homem. Ela vem sendo utilizada por mais de 5000 anos [7]. 
 Existe um registro de Aristótoles, sobre engrenagens, datado de 
aproximadamente 330 AC (Antes de Cristo), tal registro fala com tamanha 
naturalidade sobre o tema, ou seja, a engrenagem não é tratada como uma 
novidade tecnológica, o que leva a crer que o conhecimento sobre as 
engrenagens é bem anterior a esta data [7]. 
 O mais antigo dispositivo funcional de engrenagens que se tem 
conhecimento foi desenvolvido pelos antigos chineses em 2600 AC, o 
mecanismo,denominado “South Pointing Chariot”, que era uma espécie de 
charrete com um complexo sistema de engrenagens diferenciais, 
provavelmente, adaptada às condições de viagens no deserto (Figura 2). 
 Egípcios e babilônios utilizavam dispositivos com engrenagens por volta 
do ano 1000 AC. As suas aplicações eram as mais diversas, relógios, 
construções de templos (a propriedade de multiplicar a força das engrenagens 
era bastante utilizada pelos antigos) e carregamento de água dos poços [7]. 
 Existem alguns registros de engrenagens feitas de metal por volta do 
ano 100 AC. É muito provável que as primeiras engrenagens cementadas 
foram fabricadas pelos romanos [7]. 
 Dentes de engrenagens com perfis evolventes foram recomendados 
pela primeira vez, na Era Moderna, pelo francês Philip de La Hire (1694), no 
entanto, foram utilizados somente 150 anos mais tarde [7]. 
 
 
10
 Maitre [4] considera o matemático suíço Leonard Euler (1754) como o 
grande pioneiro de engrenagens com perfil evolvente, Dudley [7] diz que muitos 
o consideram “o pai das engrenagens evolventes”. Entretanto, o inglês Robert 
Willis (1832) foi quem deu uma forma prática a estas curvas [4]. 
 
 
Figura 2: "South Pointing Chariot" (2600 AC) [7] 
4.1 TIPOS DE ENGRENAGEM 
 Para adequar a melhor disposição construtiva ao melhor funcionamento 
de uma transmissão engrenada, os tipos de engrenagens e o posicionamento 
de seus eixos necessitam ser bem definidos pelos projetistas de engrenagens 
[5]. 
 Com relação ao posicionamento de seus eixos, as engrenagens podem 
ser divididas da seguinte forma: 
• Engrenagens com eixos paralelos; 
• Engrenagens com eixos que se cortam; 
• Engrenagens com eixos que se cruzam. 
 
 
11
 As Tabelas 1, 2 e 3, apresentadas na sequência deste texto, combinam 
os diferentes tipos de engrenagens com suas possíveis disposições 
construtivas (posicionamento dos eixos). 
Tabela 1: Engrenagens cilíndricas [5] 
Designação Desenho Posição do Eixo Rendimento 
Dentes Retos 
 
Dentes 
Helicoidais 
 
Cremalheira 
 
Paralelos Alto Rendimento 
95-99% 
Dentes 
Helicoidais 
 
Cruzados Próximo das engrenagens 
cilíndricas helicoidais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12
Tabela 2: Engrenagens cônicas [5] 
Designação Desenho Posição do Eixo Rendimento 
Dentes Retos 
 
Dentes 
Inclinados 
 
Dentes 
Espirais 
 
Cruzados 
Dentes 
Hipoidais 
Reversos ou com 
deslocamento 
Próximo das 
engrenagens 
cilíndricas helicoidais 
(principalmente para 
dentes espirais ou 
hipoidais) 
 
Tabela 3: Engrenagem coroa / sem fim [5] 
Designação Desenho Posição do Eixo Rendimento 
Engrenagem 
coroa / sem 
fim 
Cruzados Baixos rendimentos 
45-95% 
 
 
 
13
4.2 PROCESSOS DE FABRICAÇÃO PARA DENTES DE ENGRENAGEM 
4.2.1 Processos de corte para dentes de engrenagem 
 Segundo LYNWANDER [10], dois são os processos básicos de fabricação 
de dentes de engrenagem: o processo de geração e o processo de 
conformação. 
 Para o processo de geração, o blanque (engrenagem) e ferramenta de 
corte ou o ferramental de usinagem são continuamente “engrenadas”, melhor 
dizendo, conjugadas entre si e, portanto, a forma do dente da engrenagem é 
gerada pela ferramenta. 
 Para o processo de conformação, a ferramenta tem o formato do espaço 
que deve ser usinado (vão do dente), portanto para este processo a usinagem, 
na maioria das vezes, é feita dente a dente. Brochadeiras são bons exemplos 
de ferramentas de conformação que usinam dentes de engrenagem 
simultaneamente. 
 O estudo abordará apenas processos de geração de dentes. 
4.2.1.1 “Hobbing” 
 O processo mais comum utilizado para o corte dos dentes de 
engrenagem é conhecido por “Hobbing” [2, 3, 10]. 
 Neste processo o dente de engrenagem é gerado com a ferramenta de 
corte (“hob”) e o blanque (engrenagem) rotacionando constantantemente 
enquanto que o “hob” avança em direção ao blanque, tal como indicado na 
Figura 3. O “hobbing” é um processo versátil e econômico para corte de dentes 
de engrenagem a sua única restrição seria para a fabricação de engrenagens 
 
 
14
de dentes internos e quando não existe espaço axial suficiente para a saída de 
ferramenta, para esta situação o processo de “shaping” é uma solução. 
 
Figura 3: Processo “Hobbing” 
4.2.1.2 “Shaping” 
 O processo de “shaping” também é um processo de geração de dentes 
onde os dentes da ferramenta de corte têm o mesmo formato dos dentes da 
engrenagem conjugada (blanque) sendo cortada [10]. 
 A ferramenta de corte e o blanque (engrenagem) são posicionados de 
modo que seus eixos de rotação apresentem um afastamento. À medida que a 
ferramenta (“shaper”) gira em relação à engrenagem, a ferramenta avança 
axialmente na direção do centro do blanque, tal como indicado na Figura 4. Se 
uma engrenagem de dente reto está sendo gerada então o caminho do avanço 
axial é uma linha reta, entretanto para engrenagens de dentes helicoidais o 
caminho percorrido para o avanço da ferramenta será um movimento helicoidal 
que é definido por guia em hélice [10]. 
 
 
15
 
Figura 4: Processo “Shaping” 
4.2.2 Processos de acabamento para dentes de engrenagem 
 Dentre os processos de acabamento para dentes de engrenagem, o 
estudo abordará três processos de uso mais comum e que estão presentes na 
indústria automativa: “shaving”, retífica após tratamento térmico (“hard gear 
finishing”) e o “honing”. 
4.2.2.1 “Shaving” 
 O processo denominado “shaving” é uma operação de acabamento que 
utiliza uma ferramenta de aço rápido, endurecida e retificada que tem a forma 
de uma engrenagem helicoidal (Figura 5). O processo de “shaving” melhora o 
erro de espaçamento entre dentes, o perfil, o passo, o batimento e a superfície 
de acabamento que foram geradas no “hobbing” ou no “shaping”, potanto é um 
processo que ocorre antes do tratamento térmico. 
 A ferramenta de corte no processo de “shaving” é casada com o blanque 
(engrenagem) de maneira de que seus eixos de rotação se cruzem (ferramenta 
e engrenagem). À medida que ferramenta e engrenagem rotacionam a 
distancia entre as duas diminui em pequenos incrementos. 
 
 
16
 
 
Figura 5: Processo de fabricação de engrenagem - “Shaving” 
4.2.2.2 Retífica após tratamento térmico (“grinding”) 
 Dentes de engrenagem acabados pelo processo de retífica após 
tratamento térmico (“griding”) apresentam melhor qualidade em termos de 
precisão. 
 Este processo é utilizado para dar acabamento ao dente de engrenagem 
após o tratamento térmico, ou seja, com este processo é possível corrigir as 
deformações no dente decorrentes do tratamento térmico, tal como indicado 
pela Figura 6. Num processo de retífica após tratamento térmico, um dressador 
diamantado que tem o formato da engrenagem final, afia a ferramenta da 
retífica que na verdade é um disco abrasivo. Este disco abrasivo, por sua vez, 
faz o acabamento da engrenagem. No processo de retífica, tanto o flanco 
como a raíz do dente podem ser usinados [10]. Normalmente usina-se somente 
o flanco. 
HobbingHobbing
ShavingShaving Tratamento 
Térmico
Tratamento 
Térmico
 
 
17
 
 
Figura 6: Processo de fabricação de engrenagem – Retífica após ToTo (“griding”) 
 A Tabela 4 indica quais as vantagens existentes nos dois processo de 
acabamento, “shaving” e “grinding”, para dentes de engrenagem. 
Tabela 4: Vantagens para os processos de fabricação “Shaving” x “Griding” 
 
 
 
 
 
 
4.2.2.3 “Honing” 
 O “honing” também é um processo de acabamento para engrenagens 
tratadas termicamente onde uma engrenagem helicoidal, cobertapor material 
abrasivo, age contra o corpo de engrenagem. Este processo pode ser adicional 
ao processo normal de retífica e melhora o acabamento de superfície do dente 
e erros de forma. Este processo é muito utilizado para melhorar o desempenho 
HobbingHobbing
Tratamento 
Térmico
Tratamento 
Térmico RetíficaRetífica
 
 
18
de ruído em pares de engrenagens. A Figura 7 indica uma ferramenta de 
“honing” utilizada para engrenagens. 
 
Figura 7: Ferramentas utilizadas no processo de “honing” 
4.3 ENGRENAGENS VEICULARES 
 Engrenagens para veículos, geralmente, são engrenagens cilíndricas de 
dentes retos ou helicoidais montadas sobre eixos paralelos em transmissões 
manuais ou automáticas. Engrenagens cônicas também são muito utilizadas, 
normalmente, no conjunto diferencial das caixas de transmissão [4]. 
 Engrenagens automotivas são, normalmente, construídas a partir de um 
aço-liga forjado e posteriormente ocorre o corte e usinagem dos dentes da 
engrenagem. É importante ressaltar que como nesta etapa a peça foi apenas 
normalizada e não endurecida por tratamento térmico, portanto sua dureza 
superficial não é tão elevada. 
 Após o corte dos dentes, as engrenagens são temperadas e 
cementadas. Os moldes de têmpera são freqüentemente utilizados para 
Dressador 
Rebolo 
Peça 
 
 
19
minimizar distorções. Algumas engrenagens necessitam ser retificadas após 
tratamento térmico para compensar as distorções resultantes ou por 
necessidade de atendimento dos requisitos de projeto [2], como por exemplo 
níveis de ruídos aceitáveis. 
 A dureza superficial de engrenagens veiculares está em torno de 700 HV 
ou 60 HRC, enquanto a dureza do núcleo está em torno de 300 HV ou 30 HRC 
[2]. 
 Nota-se que engrenagens para veículos são altamente carregadas para 
seus tamanhos, no entanto, seus altos esforços (carregamentos) são de pouca 
duração. Isto permite projetar, ou dimensionar, uma engrenagem com a vida 
limitada para o máximo torque do motor sabendo que esta engrenagem irá 
durar muitos anos sob um torque médio de uso do veículo (torque real de uso). 
 
 
20
5 CONCEITOS E GEOMETRIA DE ENGRENAGENS 
 Perfis de dentes de engrenagem têm como função essencial transmitir 
movimento rotatório de um eixo para outro. Na maioria dos casos, um requisito 
complementar seria a transmissão de movimento rotatório uniforme [1]. 
 Dois perfis de dentes de engrenagens casados são excêntricos, onde 
um perfil age contra o outro produzindo o movimento relativo desejado. A ação 
entre tais dentes, onde o movimento rotatório uniforme é transmitido, é 
chamada de ação conjugada para dentes de engrenagens. 
 A lei básica da ação conjugada para dentes de engrenagens, conforme 
indicado na Figura 8, pode ser descrita como sendo a transmissão de 
movimento rotatório uniforme de um eixo para outro, por meio de contato dos 
próprios dentes de engrenagens. As retas normais aos perfis destes dentes, 
em todos os pontos de contato, devem coincidir com um ponto fixo (conhecido 
como ponto primitivo) na linha de centro comum a dois eixos. 
 O ponto primitivo (A), ou ponto fixo, é o ponto de tangência entre dois 
círculos primitivos. Os tamanhos desses círculos primitivos são inversamente 
proporcionais à suas velocidades angulares. As linhas ou círculos primitivos 
definem como os perfis de dentes de engrenagens conjugados devem ser 
desenvolvidos. 
 
 
21
 
 
Figura 8: Ação conjugada para perfis de dentes de engrenagens [1] 
 Outros pontos importantes para a definição da ação conjugada serão 
também exemplificados a seguir. 
 O caminho de contato para perfis de dentes de engrenagens conjugados 
é o local definido por todos os pontos de contato entre tais perfis. 
 Para um determinado ponto de contato, uma linha reta (normal a ambos 
perfis de dentes de engrenagens casados no tal ponto) pode ser desenhada do 
ponto de contato escolhido até o ponto primitivo (ponto fixo). Essa linha reta ou 
a normal comum a dois perfis conjugados em contato é denominada linha de 
ação, como indicado na Figura 8. 
 Outro importante fator geométrico bastante presente em construções de 
dentes de engrenagem é o ângulo de pressão. O ângulo de pressão é o ângulo 
entre a linha de ação e a tangente comum de dois círculos primitivos no ponto 
primitivo. O ângulo de pressão varia ao longo do caminho de contato para dois 
perfis conjugados. No caso particular do perfil evolvente, o ângulo de pressão 
permanece constante por todo caminho de contato [1]. 
a-a : linha de ação 
c-c : distância entre centros 
A : ponto primitivo 
círculo primitivo 
 
 
22
 Para todo par de perfis de dentes de engrenagens conjugados existe 
também um perfil básico do dente (“Basic Rack Form”). Este perfil básico é o 
perfil da engrenagem conjugada de diâmetro infinito que representa a seção 
normal de um dente de engrenagem e determina o formato do mesmo, bem 
como, as várias relações dimensionais existentes [4]. A linha primitiva para um 
perfil básico é uma linha reta [1], tal como indicado na Figura 9. 
 Os termos utilizados anteriormente para definir perfis de dentes de 
engrenagens conjugados são gerais e, portanto, para qualquer tipo de perfil. 
Entretanto, o perfil de dente de engrenagem mais utilizado para transmissão de 
potência é o perfil evolvente. Isto se deve ao fato do perfil evolvente apresentar 
uma série de propriedades únicas e que serão verificadas posteriormente neste 
estudo. 
 As engrenagens helicoidais, usualmente, as mais utilizadas em caixas 
de transmissão para automóveis utilizam engrenagens com perfis de dentes 
construídos obedecendo às propriedades do perfil evolvente, por tal motivo, o 
estudo deste trabalho dará uma abordagem, somente, a este tipo de perfil. 
 
 
Figura 9: Ação Conjugada – Caminho de Contato e Linha de Ação [1] 
Linha Primitiva 
Linha de 
Ação 
Caminho de 
Contato 
Ponto 
Primitivo 
Perfil 
Básico 
Ângulo de 
Pressão 
α
 
 
23
5.1 PERFIL EVOLVENTE E SUAS PROPRIEDADES 
 A curva evolvente é utilizada, exclusivamente, por engrenagens que tem 
como função básica transmitir potência [1]. A curva evolvente, além de atender 
todos os requisitos construtivos de um perfil de dente de engrenagem 
conjugado, possui propriedades valiosas e exclusivas que serão vistas a 
seguir. 
 A introdução às propriedades do perfil evolvente é focada em 
engrenagens cilíndricas de dentes retos. Engrenagens cilíndricas de dentes 
helicoidais ou quaisquer outros tipos de engrenagens, que transmitem 
potência, utilizam a curva evolvente como sendo seu formato de perfil. 
Portanto, as engrenagens helicoidais, que fazem parte do objetivo do estudo, 
utilizam as mesmas definições de perfil evolvente para engrenagens de dentes 
retos, porém existem algumas propriedades adicionais que também são 
analisadas na seção 5.2.1 deste texto. 
 A evolvente pode ser descrita como a curva gerada pela extremidade de 
um fio esticado que é desenrolado da circunferência de um determinado 
círculo, como indicado na Figura 10. O círculo do qual o fio é desenrolado é 
conhecido como círculo base [1]. 
 
 
 
24
 
Figura 10: Curva Evolvente [1] 
 Analisando a geometria da Figura 10, descrita em coordenadas polares, 
tem-se que: 
b
b
r
rr
tg
22
1 −=− −θε ou 
b
b
r
rr
tg
22
1 −−= −εθ (5.1)
 Como o comprimento da linha de geração da curva evolvente, de 
magnitude 22 brr − , é também comprimento de arco da circunferência do 
círculo base, para um determinado ângulo ε, pode-se dizer que: 
εbb rrr =− 22 ou 
b
b
r
rr 22 −=ε (5.2)
 Portanto, o ângulo vetor pode serescrito da seguinte forma: 
b
b
b
b
r
rr
tg
r
rr 221
22 −−−= −θ (5.3)
 A Equação (5.3) é a definição, em coordenadas polares, da curva 
evolvente. Alguns autores chamam esta equação [θ] de involute ψ ou inv ψ [4]. 
 Portanto: 
ψψψ −= tginv (5.4)
= rc 
ψ:: ângulo entre o vetor radial e a tangente a 
curva evolvente (ψ = ε−θ) 
 
r : raio vetor 
 
θ : ângulo do raio vetor 
 
ε : ângulo através do qual a linha é 
desenrolada 
 
rc : raio de curvatura da curva evolvente 
 
rb : raio base 
ε 
ε 
 
 
25
Onde: 
b
b
r
rr
dr
rdtg
22 −== θψ (5.5)
 Analisando o comprimento da linha de geração da curva evolvente 
22
brr − , nota-se que o mesmo é função do raio vetor r, portanto tal 
comprimento varia com o tamanho do raio vetor r. 
 O raio de curvatura rc, para um perfil de dente de engrenagem qualquer, 
é um valor importante e necessário para a determinação da intensidade de 
tensões iniciais entre dentes carregados. Para um perfil de dente de 
engrenagem qualquer, o mesmo pode ser calculado (em coordenadas polares) 
da seguinte forma: 
( )[ ]
2222
2
322
)/(2)/(
/
θθ
θ
ddrdrdrr
ddrrrc +−
+= [1] (5.6)
 Como 
22
.
b
b
rr
rr
d
dr
−
=θ e ( )222
4
2
2 .
b
b
rr
rr
d
rd
−
−=θ (5.7)
Então, ao simplificar e substituir estes valores na equação 5.6, tem-se 
que para curva de perfil evolvente o raio de curvatura vale: 
22
bc rrr −= (5.8)
 No caso da curva evolvente, o raio de curvatura tem a mesma 
magnitude do comprimento da linha de geração. Em outras palavras, o valor do 
raio de curvatura é o comprimento da linha de geração de seu ponto de 
tangência com círculo base até a evolvente, ou seja, o raio de curvatura da 
evolvente em qualquer ponto é igual ao comprimento da linha de geração 
naquele ponto [1]. 
 
 
26
5.1.1 Ação de uma evolvente sobre a outra 
 O contato entre duas curvas evolventes ocorre no ponto onde as 
tangentes destas curvas coincidem. As tangentes de ambas as evolventes são 
sempre perpendiculares às suas linhas de geração. As duas tangentes se 
coincidem apenas quando a linha de geração de uma é continuação da linha 
de geração da outra [1]. 
 Portanto, o local dos pontos de contato entre duas evolventes é a 
tangente comum aos dois círculos base. 
 Quando uma evolvente é girada com um movimento uniforme, o 
comprimento da linha de geração de seu ponto de tangência ao círculo base 
até o ponto Pt, conforme indicado pela Figura 11, muda uniformemente. 
 
 
Figura 11: Ação de uma evolvente sobre outra evolvente [1] 
 O comprimento da linha de geração, num sentido de giro aumenta para 
uma das duas evolventes e, conseqüentemente, diminui para a outra (relação 
uniforme). O comprimento total de duas tangentes comuns a dois círculos base 
permanece constante. 
 
Pt : ponto de tangência entre duas curvas 
evolventes em contato 
 
rb1 : raio base – círculo 1 
 
rb2 : raio base – círculo 2 
 
ponto 
primitivo 
t 
 
 
27
5.1.2 Relação de velocidade e o tamanho dos círculos bases 
 No caso em que duas curvas evolventes estão em contato, sua relação 
de movimento (velocidade angular) depende, única e exclusivamente, do 
tamanho relativo de seus respectivos círculos bases. O interessante é que a 
distância entre centros não exerce nenhuma influência sobre a relação relativa 
de movimento como ilustrado na Figura 12. 
 Como o contato de duas evolventes ocorre ao longo da tangente de 
seus respectivos círculos bases, a relação de movimento sempre será função 
dos tamanhos dos mesmos. Se um círculo base tem o dobro de tamanho de 
um outro círculo, o número de revoluções, e conseqüentemente, a velocidade 
angular do círculo maior é a metade que a do circulo de base menor. Exemplo: 
1
2
2
1
ω
ω=
b
b
r
r (5.9)
 rb1 = raio base do círculo menor [mm] 
 rb2 = raio base do círculo maior (dobro do tamanho do círculo menor) [mm] 
 ω1 = velocidade angular do círculo menor [rad/s] 
 ω2 = velocidade angular do círculo maior [rad/s] 
∴ 12 2 bb rr = Ö 21 2ωω = (5.10)
 Portanto, a relação das velocidades angulares de duas curvas 
evolventes em contato é inversamente proporcional ao tamanho de seus 
respectivos círculos base. 
 A relação relativa entre duas evolventes pode ser representada, de 
maneira análoga, por discos planos conduzidos um pelo outro por atrito. Estes 
discos são conhecidos como círculos primitivos, enquanto que seus diâmetros 
podem ser denominados como diâmetros primitivos. Uma propriedade 
 
 
28
importante de uma curva evolvente é que a mesma somente terá diâmetro 
primitivo quando em contato com uma outra curva evolvente [1]. 
 Como visto anteriormente, qualquer curva de dente de engrenagem 
precisa ser desenvolvida a partir de um círculo ou linha primitiva. Para o caso 
de curvas evolventes não há um círculo primitivo fixo, na verdade, qualquer 
diâmetro pode ser um potencial diâmetro primitivo. Isto ocorre, pois o caminho 
de contato é uma linha reta, logo, com uma forma que é simétrica sobre 
qualquer ponto nesta linha. Além do mais, para curvas evolventes, o caminho 
de contato é sempre a linha de ação. Novamente, a forma da evolvente 
depende somente do tamanho de seus círculos bases. 
 
 
Figura 12: Distância entre centros, ângulo de pressão, raio primitivo e raio base [1] 
 Analisando a Figura 12, nota-se que os raios dos círculos primitivos, 
tangentes entre si no ponto primitivo, são diretamente proporcionais aos raios 
dos círculos bases das respectivas evolventes. 
 O ângulo entre a tangente comum aos dois círculos bases e a 
perpendicular à linha que define a distância entre centros de ambos no ponto 
primitivo é denominado ângulo de pressão. O ângulo de pressão existe 
somente do contato entre suas curvas evolventes. Existe uma relação definida 
rb1: raio base da 1ª evolvente [mm] 
 
rb2: raio base da 2ª evolvente [mm] 
 
α : ângulo de pressão [rad] 
 
a1 : distância entre eixos maior [mm] 
 
a2 : distância entre eixos menor [mm] 
 
d1 : diâmetro primitivo da 1ª 
evolvente [mm] 
 
d2 : diâmetro primitivo da 2ª 
evolvente [mm] 
 
α
α
α
α
α
α
r
r
d
d
d r
r
d
a
a
2
2
2
2
 
 
29
entre o diâmetro primitivo e o ângulo de pressão para uma determinada 
evolvente. O tamanho do diâmetro primitivo e o valor do ângulo de pressão 
dependem, exclusivamente, dos tamanhos dos círculos base e da distância 
entre centros dos mesmos [1]. 
 As relações geométricas obtidas através da Figura 12 podem ser 
descritas da seguinte forma: 
2
21
1
dda += (5.11)
2121 // bb rrdd = (5.12)
 Então: 
2121 / bb rrdd = (5.13)
2212
2212
1 2/)(2
)/(
bbb
bb rrrddrrda ⋅+=+= (5.14)
 Portanto: 
)/(2 21122 bbb rrard +⋅= (5.15)
)/(2 21111 bbb rrard +⋅= (5.16)
 A seguinte relação geométrica também pode ser observada na Figura 
12. 
121 /)(cos arr bb +=α (5.17)
2211 /2/2cos drdr bb ==α (5.18)
∴
2
cos1
1
αdrb = e 2
cos2
2
αdrb = (5.19)
 
Para dentes de engrenagens de dentes retos o valor do ângulo de 
pressão comumente utilizado é o de 20°, pois apresenta um bom compromisso 
 
 
30
em termos de capacidade de carga e transmissão potência de maneira suave e 
silenciosa. Além disso, o ângulo de pressão de 20° permite a construção de 
engrenagens com um número reduzido de dentes evitando problemas como o 
“undercutting” (*), problemas estes mais freqüentes com ângulos de pressão 
menores [2]. 
 Alguns efeitos de se aumentar o valor do ângulo de pressão são 
abordados a seguir [4]: 
• O número limite de dentes necessários para se evitar o “undercutting”é reduzido. 
• A forma do dente torna-se mais pontuda. 
• O flanco do dente torna-se mais curvo. 
• A velocidade relativa de escorregamento é reduzida. 
• O grau de recobrimento é reduzido; 
• A capacidade de carga do dente aumenta. 
5.1.3 Resumo das Propriedades da Curva Evolvente 
 Buckingham [1] sumariza as propriedades da curva evolvente da seguinte 
forma: 
1. A forma da curva evolvente depende apenas do tamanho de seu 
círculo base. 
2. Uma evolvente, girando a uma velocidade uniforme, age sobre uma 
outra evolvente, transmitindo um movimento angular uniforme da 
primeira evolvente para a segunda, que independe da distância 
entre centros dos dois círculos base. 
 (*) O termo “undercutting” é detalhado na seção 5.1.7.1 deste trabalho 
 
 
31
3. A relação do movimento angular transmitido de uma evolvente para 
a outra depende apenas dos tamanhos relativos dos círculos base 
de duas evolventes. A relação do movimento angular é 
inversamente proporcional ao tamanho dos círculos base. 
4. A tangente comum de dois círculos base é também o caminho de 
contato e a linha de ação. 
5. O caminho de contato de uma evolvente é uma linha reta. Qualquer 
ponto sobre esta linha pode ser considerado como um ponto 
primitivo e o caminho de contato permanecerá simétrico em relação 
ao ponto primitivo. 
6. A intersecção da tangente comum de dois círculos base com 
distância entre centros de ambos define o raio do circulo primitivo 
das evolventes em contato. Uma evolvente não tem um círculo 
primitivo ao menos que entre em contato com uma outra evolvente. 
7. Diâmetros primitivos de duas evolventes agindo juntos são 
diretamente proporcionais ao diâmetro de seus círculos base. 
8. O ângulo de pressão de duas evolventes agindo juntas é o ângulo 
entre a tangente comum dos círculos base e a linha perpendicular à 
distância entre centros no ponto primitivo. O ângulo de pressão 
também depende do contato de duas evolventes. 
5.1.4 Forma Evolvente para Perfis de Dentes de Engrenagens 
 Como dentes de engrenagens são simétricos, então o que estiver sendo 
considerado para a construção de um dos dois lados do dente será válido para 
o lado oposto. Primeiramente, a construção será definida para engrenagens de 
 
 
32
dentes retos e posteriormente para dentes de engrenagens helicoidais como 
mostrado na seção 5.2.1. 
5.1.4.1 Forma Evolvente para Engrenagens de Dentes Retos 
 Suponha um fio com nós igualmente espaçados sobre a circunferência 
do circulo base. Quando este fio é desenrolado, cada nó estará descrevendo 
uma curva evolvente. A distância entre estas evolventes, medida ao longo de 
qualquer linha tangente ao círculo base, é sempre a mesma como indicado 
pela Figura 13. 
 
Figura 13: Formação de dentes de engrenagens pelas curvas evolventes [1] 
 Essa distância, denominada passo do círculo base, é igual a 
circunferência do círculo base dividido pelo número de dentes da engrenagem: 
zrp bb /2 ⋅= π (5.20)
pb = passo do circulo base [mm] 
rb = raio base [mm] 
z = número de dentes 
 
 
 
33
 Num par de engrenagens evolventes em contato, o passo do círculo 
base deve ser idêntico em ambas as engrenagens para obter uma ação 
contínua e suave. 
 A distância linear medida ao longo de um arco do diâmetro primitivo 
entre dois pontos adjacentes correspondentes é conhecida como passo circular 
p: 
][/. 11 mmzdp π= (5.21)
Onde: 
d1 = diâmetro primitivo da engrenagem motora [mm] 
z1 = número de dentes da engrenagem motora [mm] 
 
 Para engrenagens, a medida padrão do tamanho do dente, no sistema 
métrico, é conhecida como módulo. O módulo indica, em milímetros, a relação 
entre o diâmetro do círculo primitivo e o número de dentes da engrenagem, ou 
seja, o diâmetro primitivo por dente de engrenagem. No sistema Inglês, a 
medida padrão é o “diametral pitch” (P) que indica o número de dentes por 
polegada do diâmetro primitivo [2]. 
 Portanto, o módulo (m) e o “diametral pitch” (P) podem ser determinados 
como sendo: 
]/[.2
1
1
1
1 dentesmm
z
r
z
dm == (5.22)
]/[
1
1 indentes
d
zP = (5.23)
P
m 4,25= (5.24)
 
 
 
34
Substituindo os valores da equação 5.22 na equação 5.21 tem-se que: 
mp .π= ][mm (5.25)
 
 O passo circular no diâmetro primitivo também deve ser idêntico para 
duas engrenagens evolventes em contato, a fim de que haja uma ação 
contínua de contato. Portanto, se os passos circulares de dois dentes 
evolventes em contato são iguais, logo, seus módulos também têm a mesma 
magnitude. Outros dois parâmetros, como indicado na Figura 14, utilizados 
para definir as seções dos dentes são: o adendo ha, distância entre o diâmetro 
externo da e o diâmetro primitivo do dente d, e o dedendo hf, distância entre o 
diâmetro primitivo e diâmetro de raiz do dente df, portanto estes dois 
parâmetros definem a altura total do dente h. Estas dimensões fundamentais 
trazem as seguintes relações: 
• h = ha + hf (5.26) 
• ha = (da – d)/2 (5.27) 
• hf = (d – df)/2 (5.28) 
 Importante ressaltar outra relação. A espessura nominal do dente st é 
igual ao espaço entre dentes nominal et no diâmetro primitivo [4]. 
2/ttt pes == ][mm (*) (5.29)
(*) Válido para dente padrão e sem correções de perfil (ver seção 5.1.8 para maiores detalhes) 
 
 
 
 
 
 
 
35
 
 
 
 Figura 14: Seção de dente de engrenagem – Adendo e Dedendo 
 A fim de se evitar um número exagerado de tamanhos de engrenagens 
e, conseqüentemente, um número grande de ferramentas de corte; os módulos 
são padronizados como se segue: 25, 20, 15, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2.5, 1.5, 0.8, 
0.5 [2]. Engrenagens que necessitam ser confeccionadas com tamanhos fora do 
padrão, acabam por encarecer o projeto já que é necessário confeccionar uma 
ferramenta específica para o mesmo. 
 Apenas como curiosidade, o módulo e o “diametral pitch” são dimensões 
que não são diretamente medidas numa engrenagem. Eles são utilizados como 
valores de referência para cálculos de outras dimensões das engrenagens que, 
por sua vez, são mensuráveis [2]. 
 A Figura 15 indica grande parte dos parâmetros geométricos existentes 
para dentes retos e dentes helicoidais. 
 
pt = passo circular transversal 
ha = adendo 
hf = dedendo 
diâmetro primitivo 
et st 
 
 
36
 
Figura 15: Seções de dentes de engrenagens – Retos e Helicoidais [2] 
5.1.5 Ação de Rolamento e Escorregamento 
 Como dito anteriormente (seção 5.1), o comprimento da linha de 
geração, que é desenrolada do círculo base, é o próprio raio de curvatura da 
curva evolvente em qualquer ponto. 
 
Figura 16: Linha de geração dividida em intervalos iguais do arco 
 Dividindo as posições das linhas de geração em intervalos iguais, como 
indicado na Figura 16, nota-se que o comprimento do raio de curvatura da 
 
 
37
evolvente cresce rapidamente quanto mais próximo estiver do círculo base e de 
maneira mais lenta quanto mais longe o raio de curvatura estiver do mesmo 
circulo base. Isto mostra que quanto mais próximo o raio de curvatura estiver 
do círculo base, a forma do perfil é menos estável, ou seja, mais suscetível a 
variações de forma. 
 Curvas instáveis são mais difíceis de serem produzidas com precisão, 
portanto curvas de dentes de engrenagens instáveis devem ser evitadas 
sempre que possível [1]. 
 Quando duas evolventes agem entre si, escorregamento e rolamento 
são presentes, justamente, devido às variações dos comprimentos de arco 
para mesmos incrementos angulares nos seus respectivos perfis. 
 
Figura 17: Contato entre duas curvas evolventes – comprimentos de arcos diferentes 
 Na Figura17 supõe-se que o perfil ab aja sobre o perfil gh da outra 
evolvente. Estes dois perfis devem escorregar entre si uma distância igual a 
diferença entre seus comprimentos de curva (gh – ab). 
 O escorregamento tende a diminuir ao longo do movimento e num 
determinado instante (contato entre os arcos ef e kl) muda seu sentido e o 
mesmo volta a aumentar [1]. 
 
 
38
 Os valores de escorregamento são altos no início do contato e são 
reduzidos a zero no ponto primitivo, onde existe apenas rolamento puro, depois 
seu sentido é alterado, e tais valores aumentam novamente. A velocidade de 
escorregamento é a mesma para os dois perfis em contato, contudo é 
distribuída sobre diferentes comprimentos de perfil. 
5.1.5.1 Velocidade de Escorregamento 
 Por definição, a velocidade de escorregamento para dois perfis 
evolventes em contato será a diferença de velocidade do final das linhas de 
geração das evolventes que passam através da linha de ação. A velocidade 
angular das linhas de geração será a mesma velocidade angular das 
engrenagens. 
 As velocidades de escorregamento reais serão produtos das velocidades 
angulares relativas e seus comprimentos de linhas de geração. 
 
Figura 18: Parâmetros para cálculo da velocidade de escorregamento 
 Os parâmetros utilizados no cálculo da velocidade escorregamento, 
indicados na Figura 18, são: 
ω1 = velocidade angular – engrenagem motora (1) [rad/s] 
0 
 
 
39
ω2 = velocidade angular – engrenagem movida (2) [rad/s] 
n = rpm da engrenagem motora (1) 
v = velocidade da engrenagem no diâmetro primitivo [m/s] 
ve = velocidade de escorregamento [m/s] 
a0 = distância entre centros [m] 
rc1 = raio de curvatura – engrenagem motora (1) [m] 
rc2 = raio de curvatura – engrenagem movida (2) [m] 
r1 = qualquer raio do perfil da engrenagem motora (1) [m] 
r2 = qualquer raio do perfil da engrenagem movida (2) [m] 
d1 = diâmetro primitivo - engrenagem motora (1) [m] 
d2 = diâmetro primitivo - engrenagem movida (2) [m] 
α = ângulo de pressão [°] 
 
 As seguintes relações matemáticas podem ser descritas: 
60/1ndv ⋅= π (5.30)
)( 2211 ωω cce rrv −= (5.31)
2112 / dd ωω = (5.32)
αsenarr cc ⋅=+ 021 (5.33)
2
1
2
11 bc rrr −= (5.34)
2
1
2
10
2
2
2
22 bbc rrsenarrr −−⋅=−= α (5.35)
 Portanto, o valor da velocidade de escorregamento (ve) é dado por: 
)
2
](/)(2[ 121
2
12121
αsendrrddddvv be −−+⋅⋅= (5.36)
∴ )
2
(112 121
2
1
21
αsendrr
dd
vv be −−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⋅⋅= (5.37)
 
 
40
5.1.6 Grau de Recobrimento 
 O grau de recobrimento, ou o número de dentes em contato, é o 
quociente do arco de ação dividido pelo arco entre sucessivos dentes de 
engrenagem. O grau de recobrimento é um outro fator importante para o 
projeto de engrenagens. 
5.1.6.1 Grau de Recobrimento Radial – Plano de Rotação 
 Na Figura 19 observa-se que a parte da linha de ação que é 
interceptada pelos dois diâmetros externos do par engrenado, é o comprimento 
do arco de ação medido para um determinado raio do círculo base. Este 
comprimento (arco de ação) dividido pelo comprimento de um arco do círculo 
base entre duas sucessivas evolventes define o grau de recobrimento radial. 
 O arco de ação é o arco através do qual um dente caminha desde o 
primeiro ponto de contato com seu dente casado até que os dois dentes 
deixem de estar em contato. O arco de ação é a soma dos arcos de acesso e 
recesso. O arco de acesso é aquele que inicia no primeiro ponto de contato 
entre dois dentes conjugados e vai até o ponto primitivo, o arco de recesso é 
aquele que parte do ponto primitivo até o final do contato entre os dentes. 
 
 
 
41
 
 
 
Figura 19: Grau de recobrimento radial e arco de ação 
 Analisando a Figura 19, tem-se que: 
Arco de ação : ra dd ββ 21 = (5.38)
Arco de acesso : 1/ ba ryv=β (5.39)
∴ xyxvsendrdyv ba −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
22
22
2
2
2 α (5.40)
2
2 αsendxy = Ö 22
2
2
2 b
a rdxv −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= (5.41)
Arco de recesso: 1/ br ryz=β (5.42)
1
12
1
2
1
22
b
b
a
r r
sendrd ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
α
β 
(5.43)
 O grau de recobrimento radial é encontrado dividindo-se o comprimento 
da linha zv (rb1βa + rb1βr) pelo passo do círculo base pb, portanto: 
da1: diâmetro externo – engrenagem motora (1) [mm] 
 
da2: diâmetro externo – engrenagem movida (2) [mm] 
 
βa : arco de acesso [rad] 
 
βr : arco de recesso [rad] 
 
z1 = número de dentes – engrenagem motora (1) 
 
z2 = número de dentes – engrenagem movida (2) 
 
d1: diâmetro primitivo – engrenagem motora (1) [mm] 
 
d2: diâmetro primitivo – engrenagem movida (2) [mm] 
 
 
α
α
0 
 
 
42
b
baba
p
senardrd ).)2/()2/(( 0
2
2
2
2
2
1
2
1 αεα −−+−= (5.44)
 Importante ressaltar que para um par de dentes de engrenagens 
casadas com deslocamento de perfil, o cálculo de grau de recobrimento radial 
deve considerar a distância entre centros operacional a e não a teórica a0 e o 
ângulo de pressão deve ser o de trabalho na seção transversal αwt. Para 
maiores detalhes a respeito destas duas variáveis e suas formulações 
consultar seção 5.1.8 deste trabalho. 
5.1.7 Perfil Ativo 
 O perfil ativo de um dente de engrenagem é aquele que realmente entra 
em contato com o outro dente da engrenagem conjugada ao longo da linha de 
ação. 
 De maneira geral, quando o projeto prevê um alto grau de 
escorregamento para dois dentes em contato, um ou dois perfis ativos serão 
pequenos, ou seja, pretende-se evitar o contato entre os perfis nas zonas de 
alto escorregamento. Logo, se o grau de escorregamento for baixo, então o 
perfil ativo incluirá grande parte do perfil total do dente. 
 Analisando novamente a Figura 19, nota-se que o raio na parte inferior 
do perfil ativo para a engrenagem motora é igual ao comprimento da linha 
radial O1v . Esta linha é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos rb1 e 
linha uv. Como: 
2
2
2
2
0 2
. b
a rdsenauv −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= α (5.45) 
 
 
43
 Pode-se dizer que o raio que define o início do perfil ativo (Ra1= O1v) 
para a engrenagem motora (1) ou pinhão é: 
2
2
2
2
2
0
2
11 2 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅+= baba rdsenarR α (5.46)
 De maneira análoga para a engrenagem movida (2) ou coroa: 
2
2
1
2
1
0
2
22 2 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⋅+= baba rdsenarR α (5.47)
 
5.1.7.1 Limitações da Ação Conjugada 
 Por definição, a curva evolvente inicia-se a partir do círculo base, logo, 
não existe ação conjugada do dente de engrenagem abaixo desse diâmetro. 
 Se um perfil básico com arestas sem arredondamento age contra um 
dente de engrenagem evolvente, e estas arestas (mostradas na Figura 20) 
estendem-se abaixo do círculo base da engrenagem, a interferência entre o 
perfil básico e a engrenagem aconteceria se o dente da engrenagem não fosse 
aliviado (“undercut”). A curva em formato de loop, ou curva trocoide, indica o 
caminho percorrido pela aresta sem arredondamento do perfil básico no 
engrenamento (a curva trocoide é definida pelo próprio caminho percorrido pela 
ferramenta de corte do dente – perfil básico). 
 Portanto, o alivio da engrenagem, abaixo do diâmetro do círculo base, 
deve ter no mínimo formato da curva trocoide que é uma consequência do 
caminho percorrido pela ferramenta (perfil básico). 
 
 
44
 
Figura 20: UNDERCUTTING [1] 
 Quando se estiver analisando um par de engrenagens alguns limites de 
projeto precisam ser considerados. O raio limite para se evitar o “undercutting”, 
ou máximo raio de raíz permitido (df/2) para pinhão e coroa devem ser