Capitulo3 Flexao

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CAPÍTULO 3:
FLEXÃO
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.1 Revisão de Esforços Internos
� Método das Seção:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.1 Revisão de Esforços Internos
� As resultantes FR e MRo reduzidas ao C.G. da seção à
direita, deve ter mesmo módulo e sentidos opostos das 
resultantes reduzidas ao C.G. da seção à esquerda.
� Decompondo os vetores FR e MRo nas direções normal 
e paralela à seção, obtem-se:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.1 Revisão de Esforços Internos
� Componentes de FR:
x
FR
N
V Cortante Esforço V
Normal Esforço 
→
→
r
r
N
y
V
z
Vz
Vy
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.1 Revisão de Esforços Internos
� Componentes de FR:
Torçor Momento 
Fletor Momento 
→
→
T
M
r
r
y
M
z
Mz
My
x
MRo
T
M
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Convenção de Sinais:
N:
V:
M:
T:
3.1 Revisão de Esforços Internos
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.1.1 Relação entre Carga, Força Cortante 
e Momento Fletor
(III) )( :
(II) 0
(I) )(0
2
2
0
xp
dx
Md
dx
dV
dx
dM
dx
dFazendo
V
dx
dMM
xp
dx
dVF
xxx
x
x
x
y
−=→=





=→=
−=→=
∑
∑
p(x)
Mx + (dMx/dx)dx
Vx + (dVx/dx)dx
Mx
Vx
O
dxx
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exercício 1:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no 
Próprio Plano
6m
3kN/m
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exercício 2:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no 
Próprio Plano
6m
6kN/m
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exercício 3:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no 
Próprio Plano
2,5m
2kN/m
5kN 10kN 15kN
1,5m 1m 2m
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exercício 4:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no 
Próprio Plano
5m
10kN/m
40kN
80kN.m
3m
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exercício 5:
3.1.2 Estruturas Planas Carregadas no 
Próprio Plano
40kN
4m
5kN/m
4m
10kN.m
4m
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.2 Tipos de Flexão
� Os tipos de flexão podem ser estabelecidos em função 
dos esforços solicitantes existentes:
� Flexão Pura : na seção transversal da barra age somente 
o momento fletor.
� Flexão Simples: agem o momento fletor e a força 
cortante.
� Flexão Composta: agem o momento fletor, a força 
cortante e a força normal.
� Para evitar torção, a resultante do carregamento 
transversal deve estar contida no plano de simetria da 
seção transversal.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.3 Flexão Pura
� Considere a viga AB mostrada, com um eixo vertical de 
simetria, cujo trecho CD encontra-se sobre flexão pura.
P P
A
C D B
A C D B
DV
DM
Flexão Simples
Compressão
Tração
Cisalhamento
Flexão Simples
Trecho AC
Flexão Pura
Compressão
Tração
Flexão Pura
Trecho CD
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.3 Flexão Pura
� Hipóteses básicas para flexão pura:
a) Material homogêneo, isotrópico e elástico-linear;
b) Carregamento contido num plano vertical de simetria;
c) As seções planas, orientadas perpendicularmente ao 
eixo, permanecem planas mesmo depois da flexão 
(Hipótese de Bernoulli-Navier).
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.3.1 Linha Neutra
� Analisando o trecho CD da viga mostrada:
C D
C D
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.3.1 Linha Neutra
� As linhas mn e pq giram e permanecem 
perpendiculares as fibras longitudinais (Hipótese de 
Bernoulli-Navier).
� Sob a ação do momento M, as fibras da parte superior 
da viga estão sob compressão (diminuem de 
comprimento) e as fibras da parte inferior estão sob 
tração (aumentam de comprimento).
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.3.1 Linha Neutra
� Em algum ponto entre as partes superior e inferior da 
viga, as fibras longitudinais estão sob tensão nula, não 
sofrendo variação de comprimento.
� Essa superfície é denominada 
superfície neutra e a 
interseção com o plano da 
seção transversal forma a 
LINHA NEUTRA da seção.
(σσσσ = 0 e εεεε = 0)LN
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.3.2 Deformação Longitudinal
� Analisando as deformações entre duas seções 
distantes dx:
ρ : raio do arco cd na LN;
L : comprimento do arco cd
da barra indeformada, 
onde L = ρρρρ.dθθθθ
c d
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.3.2 Deformação Longitudinal
� O comprimento do arco ef
distante “y” acima da LN 
pode ser dado por: 
L` = (ρρρρ - y).dθθθθ
� O comprimento original do 
arco ef era igual ao do arco 
cd, antes da deformação.
� Logo:c d
θδ
θρθρδ
δ
dy
ddy
LL
⋅−=
⋅−⋅−=
−
′=
)(
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.3.2 Deformação Longitudinal
� A deformação específica εx
na fibra ef é dada por:
c d ρ
ε
θρ
θδ
ε
y
d
dy
L
x
x
−=
⋅
⋅−
==
� A deformação específica εεεεx varia linearmente com a 
distância “y” da LN.
� A deformação específica máxima (εmáx) ocorre para o maior 
valor de “y”.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.4 Tensões Normais de Flexão no 
Regime Elástico
� Usando a Lei de Hooke, tem-se:
ρ
σ
ρ
σεσ
yE
yEE
x
xxx
⋅
−=






−⋅=⇒⋅=
� A tensão normal varia linearmente com a distância “y”
da L.N.
LN
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.4 Tensões Normais de Flexão no 
Regime Elástico
� Posição da Lina Neutra:
� Para a flexão pura podemos dizer que:
seção da área da Estático Momento 0 :
0
00
=⋅
=⋅−=⋅
⋅
−=⋅
=⋅=+−∴=
∫
∫∫∫
∫∑
A
AAA
x
A
xTCx
dAyLogo
dAyEdAyEdA
dAFFF
ρρ
σ
σ
LN
FC
FT
y
al. transversseção da centróide
pelopassar deve z) (eixo L.N. a 
, 0 que Para =⋅∫
A
dAy
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.4 Tensões Normais de Flexão no 
Regime Elástico
� Relação Momento-Curvatura:
( )
∫∫
∫∑
⋅=⋅





⋅
⋅
−−=
−=⋅⋅=⋅
AA
A
x
dAyEydAyEM
MydAyF
2
ρρ
σ
LN
FC
FT
y
� Se y > 0 e σx > 0, o momento M é negativo.
� Logo:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.4 Tensões Normais de Flexão no 
Regime Elástico
z
A
IdAy =⋅∫
2
 Sendo
Equação
Momento - Curvatura
(L.N.) z"" eixo do 
 tornoem al transversseção 
da Inércia de Momento ⇒
z
z
IE
MIEM
⋅
=⇒
⋅
=
ρρ
1
 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.4 Tensões Normais de Flexão no 
Regime Elástico
� Fórmula de Flexão:
z
x
IE
Mb
yEyEa
⋅
=
⋅−=
⋅
−=
ρ
ρρ
σ
1
 )
1
 )
yE
IE
M
z
x ⋅





⋅
−=⇒ σ 
z
x I
yM ⋅
−=σ Fórmula de FlexãoPr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.4.1 Tensões Normais Máximas
� As máximas tensões (tração e compressão) ocorrem 
nos pontos mais distantes da L.N.
Tensão de tração
Tensão de compressão
Momento 
negativo
Tensão de compressão
Tensão de tração
Momento 
positivo
σσσσ1
σσσσ2
C1
C2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.4.1 Tensões Normais Máximas
σ1 = maior tensão de tração.
σ2 = maior tensão de compressão
C1 = distância da fibra tracionada mais afastada da L.N.
C2 = distância da fibra comprimida mais afastada da L.N.
� Tensões Máximas:
� Característica Geométrica - Módulo de Resistência:
zz I
CM
I
CM 2
2
1
1 e 
⋅
=
⋅
= σσ
2
2
1
1 e C
IW
C
IW zz ==
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.4.1 Tensões Normais Máximas
� Tensões Máximas:
� Característica Geométrica - Módulo de Resistência:
� Para seção retangular:
� Para seção circular:
2
2
1
1 e W
M
W
M
== σσ
32
 e 
64
6
 e 
12
34
23
dWdI
hbWhbI
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
pipi
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.5 Critério para Dimensionamento e 
Verificação de Vigas
� Para o dimensionamento estrutural, as tensões 
máximas serão responsáveis pelas dimensões 
estruturais de modo a satisfazer as condições de 
segurança.
� Para materiais cuja σadm(tração) = σadm(compressão) = σadm :
σ1 ≤ σadm e σ2 ≤ σadm
� Para materiais cuja σadm(tração) ≠ σadm(compressão) :
σ1 ≤ σadm(tração) e σ2 ≤ σ adm(compressão)
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.5 Critério para Dimensionamento e 
Verificação de Vigas
� Exemplo 1: Uma barra de aço está submetida a ação 
de momentos conforme mostra a figura. Determine o 
valor do momento que provoca escoamento do 
material. Adotar σesc = 250MPa.
M M 60mm
20mm
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.5 Critério para Dimensionamento e 
Verificação de Vigas
� Exemplo 2: Dada a viga representada abaixo, 
determinar as máximas tensões de tração e de 
compressão.
3m
5kN/m
10kN
8kN.m
3m 2m
5kN
A BC D
10cm3cm 3cm
5cm
20cm
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6 Flexão de Barras Constituídas por 
mais de um Material
� Tensões de Deformações:
Viga composta 
por dois 
materiais 
diferentes.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6 Flexão de Barras Constituídas por 
mais de um Material
� Tensões de Deformações:
� A deformação longitudinal em uma viga composta varia 
linearmente do topo até a base da barra.
curvatura de raio sendo →−= ρ
ρ
ε
y
x
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6 Flexão de Barras Constituídas por 
mais de um Material
� A L.N. não passa pelo centróide da seção transversal 
de uma viga composta de dois materiais diferentes.
� As tensões normais podem ser obtidas a partir das 
deformações usando a relação tensão – deformação 
para os dois materiais (σx = E . εx).
� Assumindo que E2 > E1:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6 Flexão de Barras Constituídas por 
mais de um Material
� Assim, as tensões em cada material podem ser:
CCCC
BBAA
EE
EE
εσεσ
εσεσ
⋅=⋅=
⋅=⋅=
2)2(1)1(
21
 ; 
 ; 
ρ
σ
ρ
σ
yEyE
xx
⋅
−=
⋅
−=
2
)2(
1
)1( e 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Consiste em transformar a seção transversal de uma 
viga composta em uma seção transversal equivalente 
de uma viga imaginária, que é constituída de apenas 
um material.
� A nova seção transversal é chamada Seção 
Transformada.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Posição da Linha Neutra:
0
Modular Razão
E
E
:notação a introduzir Vamos
0
0
00
21
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
)2(
1
)1(
=⋅⋅+⋅
→=
=⋅+⋅
=⋅
⋅
−+⋅
⋅
−
=⋅+⋅∴=
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∑
dAydAy
dAyEdAyE
dAyEdAyE
dAdAF xxx
η
η
ρρ
σσ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Podemos criar uma seção transversal constituída de 
duas partes:
� (1) área 1 com as mesmas dimensões;
� (2) área 2 com larguras (dimensões paralelas a L.N.) 
multiplicada por η.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6.1 Método da Seção Transformada
� A L.N. da seção transformada está na mesma posição 
da viga original.
� As dimensões perpendiculares a L.N. permanecem as 
mesmas.
� Assim, multiplicar a largura do material 2 por η=E2/E1 é
equivalente a transformá-lo no material 1.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Relação Momento – Curvatura:
( )
( )
2211
2211
1
22
1
21
21
1
1
1
IEIE
M
IEIEdAyEdAyEM
dAydAyydAM
yE
xx
A
x
x
+
=
+=⋅+⋅=
⋅⋅−⋅⋅−=⋅⋅−=
⋅
−=
∫∫
∫∫∫
ρ
ρρρ
σσσ
ρ
σ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Tensões Normais no Material 1:
T
x I
yM ⋅
−=)1(σ
� Onde IT é o momento de inércia da seção transformada 
em relação a L.N.
2
1
2
121 IE
EIIIIT ⋅+=⋅+= η
� Tensões no Material 1:
2211
1
)1( IEIE
EyM
x +
⋅⋅
−=σ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6.1 Método da Seção Transformada
� Tensões no Material 2:
� As tensões no material 2 na viga original não são as 
mesmas correspondentes da viga transformada.
2211
2
)2(
)2( ou 
IEIE
EyM
I
yM
x
T
x
+
⋅⋅
−=
⋅
⋅
−=
σ
ησ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.6 Flexão de Barras Constituídas por 
mais de um Material
� Exemplo 3: Uma barra construída de aço e latão (Ea = 
200GPa , El = 100GPa) tem a seção abaixo. Determine 
a máxima tensão no aço e no latão quando a barra fica 
sujeita à flexão pura com um momento M = 2kN.m.
40mm
10mm5mm 5mm
AçoLatão Latão
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.7 Carregamentos Combinados
� Frequentemente a seção transversal do elemento é
submetida a mais de um esforço interno 
simultaneamente.
� O método da superposição de efeitos pode ser utilizado 
para determinar a distribuição de tensões resultantes 
causada pelas cargas.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.7 Carregamentos Combinados
� Método da Superposição - Procedimentos:
� 1) Determinar os esforços internos na seção transversal 
analisada;
� 2) Calcular as componentes de tensões associadas a 
cada esforço interno:
zI
yM
A
F
⋅
−=→
=→
σ
σ
 Fletor Momento
 Normal Força
� 3) Superposição das tensões.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.7 Carregamentos Combinados
� Carregamento Inclinado em um Plano de Simetria:
P
L
x
y
Px
Py
z
s
y
x
z
y
Ib
MVPV
A
NPN
I
yM
xLPM
⋅
⋅
=→−=
=→=
⋅
−=→−⋅=
τ
σ
σ
 
 
 )(
Px
Py
M
x
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Van
de
rle
i
3.7 Carregamentos Combinados
� Carregamento Inclinado em um Plano de Simetria:
A
NPN
I
yM
xLPM
x
z
y
=→=
⋅
−=→−⋅=
σ
σ
 
 )(
Px
Py
M
x
σσσσ(N) σσσσ(M) σσσσ(N+M)
zI
yM
A
N ⋅
−=σ
Flexão e Carga Axial 
Combinadas
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.7 Carregamentos Combinados
� Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de 
Simetria:
P
L
x
y
e
� A força P não age através do centróide da seção 
transversal;
� A distância “e” é chamada de excentricidade da força.
� A força excêntrica P é estaticamente equivalente a uma 
força axial P e um momento fletor M = P . e, agindo no 
centróide.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.7 Carregamentos Combinados
� Carregamento Axial Excêntrico em um Plano de 
Simetria:
P
L
x
y
M = P.e
σσσσ(N)σσσσ(M)σσσσ(N+M)
y
z
P
e
yo
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.7 Carregamentos Combinados
� A tensão normal em qualquer ponto da seção pode ser 
calculada por:
� A posição da Linha Neutra é obtida fazendo σ = 0, 
onde:
zz I
yeP
A
P
I
yM
A
P ⋅⋅−
−=
⋅
−=
)(
 σσ
eA
Iy zo
⋅
−=
� Se e ≈ 0, a L.N. � ∞ (compressão ou tração)
� Se e ≈ ∞, a L.N. � 0 (flexão pura)
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.7 Carregamentos Combinados
� Exemplo 4: Uma viga tubular de comprimento L = 1,5m 
é carregada por uma força inclinada P no ponto médio 
do seu comprimento. Determine as tensões e tração e 
de compressão máximas na viga devido ao 
carregamento P = 4,45kN. 
P
0,75m 0,75m
60º
0,14m
y
z
A = 0,13m2
Iz = 3,6x10-5m4
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� Flexão Assimétrica ocorre em:
� Vigas com seções assimétricas;
� Vigas com seção simétrica e carga fora do plano de 
simetria. 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� Para cargas inclinadas passando pelo centróide, deve-
se decompor a carga em duas componentes:
Pz
Py
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� Os momentos em uma seção distante “x” podem ser 
determinados em função das componentes Py e Pz: 
)(cos)(
)()(
xLPxLPM
xLsenPxLPM
yz
zy
−⋅⋅=−⋅=
−⋅⋅=−⋅=
θ
θ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� O momento fletor “M” na seção “x” é a resultante dos 
momentos My e Mz, e tem a inclinação θ com o eixo z: 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� A tensão normal em um ponto da seção “A”, de 
coordenadas (z,y), devido ao momento fletor “M”, pode 
ser calculada em função de My e Mz:
z
z
y
y
x I
yM
I
zM
⋅
−
⋅
=σ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� A posição da Linha Neutra “nn” é determinada fazendo 
σx = 0:
yz
zy
z
z
y
y
IM
IM
z
y
tg
y
I
M
z
I
M
⋅
⋅
==
=⋅−⋅
β
0
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� Relação entre a Linha Neura e a Inclinação do 
carregamento:
y
z
y
z
y
z
yz
zy
I
I
tagtag
I
Isen
tag
I
I
xLP
xLsenP
tag
IM
IM
tag
⋅=
⋅=
⋅
−⋅⋅
−⋅⋅
=
⋅
⋅
=
θβ
θ
θβ
θ
θβ
β
cos
)(cos
)(
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� Casos Especiais:
� Carga no plano xy (θθθθ = 0º ou 180º), a L.N. � z
� Carga no plano xz (θθθθ = ± 90º), a L.N. � y
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.8 Flexão Assimétrica
� Exemplo 5: Calcular as tensões normais extremas e a 
posição da L.N. na seção transversal de uma viga 
abaixo indicada. 
y
z
M =
 
25k
N.m
60º
40
cm
10
cm
25
cm
30cm10cm 10cm
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
x
y
z
3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica
� É o caso em que a carga excêntrica não pertencente a 
nenhum plano de simetria.
P
x
y
z
b
a
P
My
Mz
� A força axial excêntrica P é
estaticamente equivalente a 
um sistema constituído de 
uma força centrada P e dos 
conjugados Mz = P.b e My = 
P.a
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica
� As tensões devidas a força P e os momentos My e Mz
podem ser calculadas superpondo-se as tensões:
z
z
y
y
x I
yM
I
zM
A
P ⋅
−
⋅
+=σ
Onde y e z são medidos a partir dos eixos principais.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica
� Posição da Linha Neutra:
σx = 0; Mz = P.ey; My = P.ez
01 =+⋅⋅+⋅
⋅
− z
I
eAy
I
eA
y
z
z
y
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
3.9 Caso Geral de Carga Excêntrica
� Exemplo 6: Um bloco retangular de peso desprezível 
está sujeito a uma força vertical de 40kN, aplicada em 
uma de suas quinas. Determine a distribuição das 
tensões normais atuantes sobre a seção ABCD.
40kN
0,4m
A B
C
0,8
m
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Aplicação 1: Determine as tensões no ponto A e no 
ponto B da viga carregada conforme figura abaixo.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Aplicação 2: Uma laje piso de concreto é reforçada por 
barras de aço de 16mm de diâmetro colocadas 32mm acima 
da face inferior da laje e espaçadas de 150mm entre seus 
centros. O módulo de elasticidade é de 25GPa para o 
concreto usado e de 205GPa para o aço. Sabendo que é
aplicado um momento fletor de 4,5kNm a cada 300mm de 
largura da laje, determine (a) a tensão máxima no concreto, 
(b) a tensão no aço.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Aplicação 3: Determine a maior força P que pode ser 
aplicada ao suporte mostrado na figura, sabendo que a 
tensão admissível na seção ABD é de 70MPa.