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Lista 4 de Cálculo II: Diferenciabilidade Profa Roberta V. Garcia Exercícios 1. Verifique que a função dada é diferenciável: (a) f(x, y) = ln ( 1 + x2 + y2 ) (b) f(x, y) = arctg(xy) (c) f(x, y) = xy ( x2 − y2) x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) em (0, 0) 2. Dada f(x, y) = { x+ y − 2 se x = 1 ou y = 1 2 se x 6= 1 e y 6= 1 . (a) Calcule ∂f∂x (1, 1) e ∂f ∂y (1, 1), se existirem. (b) Verifique se f é diferenciável em (1, 1). 3. Determine o conjunto dos pontos em que f(x, y) = x3 x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) é diferenciável. Justifique. 4. Seja f(x, y) = xy x2 + y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (a) f é contínua em (0, 0)? (b) f é uma função contínua? (c) Calcule ∂f∂x e ∂f ∂y . (d) ∂f∂x e ∂f ∂y são contínuas em (0, 0)? (e) f é diferenciável em (0, 0)? (f) f é uma função diferenciável? 5. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico f(x, y) = xy. 6. A equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) em P (1, 1, 1) é dado por 2x + y + 3z = 6. Calcule ∂f ∂x (1, 1) e ∂f ∂y (1, 1) e determine a equação da reta normal no ponto P . 7. Considere a função f(x, y) = x3 x2 + y2 . Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem. 8. Se z = x2 − xy + 3y2 e (x, y) varia de (3,−1) a (2.96,−0.95), compare os valores de ∆z e dz. 9. Utilize diferenciais para estimar o valor de (1.01)2.03. 10. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P = V 2 R watts. Se V = 100 volts e R = 10 ohms, calcule um valor aproximado para a variação ∆P em P , quando V decresce 0.2 volt e R aumenta 0.01 ohm. 11. Se R é a resistência equivalente de 3 resistores conectados em paralelo, com resistências R1, R2 e R3, então 1 R = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 . Se as resistências são medidas em ohms, com R1 = 25Ω, R2 = 40Ω e R3 = 50Ω, e com margem de erro de 0.5% em cada uma, estime o erro máximo no valor calculado de R. 1 Exercícios que necessitam de apoio computacional Para a resolução dos exercícios abaixo, utilize uma ferramenta gráfica como o Winplot ou o GeoGebra, por exemplo. Como sugestão, utilize-a também para confirmar suas respostas dos exercícios anteriores. 1. Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superfície quanto o plano tangente). Em seguida, dê zoom até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis. (a) z = x2 + xy + 3y2, (1, 1, 5) (b) z = arctg(xy2), (1, 1, pi4 ) 2. Determine a aproximação linear da função f(x, y) = 1 − xy cospiy em (1, 1) e use-a para aproximar o número f(1.02, 0.97). Ilustre, traçando o gráfico de f e do plano tangente. 2 Respostas 1. 2. (a) ∂f ∂x (1, 1) = ∂f ∂y (1, 1) = 1. (b) f não é diferenciável em (1, 1). 3. Em R2 − {(0, 0)} as derivadas parciais são contínuas, logo f é diferenciável em todos os pontos deste conjunto. Em (0, 0), lim (h,k)→(0,0) E(h, k) ‖(h, k)‖ = lim(h,k)→(0,0) h3 h2 + k2 − h √ h2 + k2 = lim (h,k)→(0,0) −hk2 (h2 + k2) √ h2 + k2 não existe, logo f não é diferenciável em (0, 0). Assim R2 − {(0, 0)} é o conjunto dos pontos em que f é diferenciável. 4. (a) f não é contínua em (0, 0). (b) f somente é contínua para (x, y) 6= (0, 0). (c) ∂f ∂x = y3 − x2y (x2 + y2) 2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) e ∂f ∂y = x3 − xy2 (x2 + y2) 2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) . (d) ∂f∂x e ∂f ∂y não são contínuas em (0, 0). (e) f é diferenciável em R2 − {(0, 0)}. 5. x+ 6y − 2x = 3. 6. ∂f ∂x (1, 1) = −2 3 e ∂f ∂y (1, 1) = −1 3 ; ~r(t) = (1 + 2t, 1 + t, 1 + 3t). 7. Demonstração. 8. ∆z = 0.7189 e dz = 0.73. 9. 1.012.03 ≈ 1.02. 10. ∆P ≈ −5 volts. 11. ∆R ≈ 1 17 Ω 3
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