Lista 4 de Cálculo II: Diferenciabilidade

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Lista 4 de Cálculo II: Diferenciabilidade
Profa Roberta V. Garcia
Exercícios
1. Verifique que a função dada é diferenciável:
(a) f(x, y) = ln
(
1 + x2 + y2
)
(b) f(x, y) = arctg(xy)
(c) f(x, y) =

xy
(
x2 − y2)
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
em (0, 0)
2. Dada f(x, y) =
{
x+ y − 2 se x = 1 ou y = 1
2 se x 6= 1 e y 6= 1 .
(a) Calcule ∂f∂x (1, 1) e
∂f
∂y (1, 1), se existirem.
(b) Verifique se f é diferenciável em (1, 1).
3. Determine o conjunto dos pontos em que f(x, y) =

x3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é diferenciável. Justifique.
4. Seja f(x, y) =

xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(a) f é contínua em (0, 0)?
(b) f é uma função contínua?
(c) Calcule ∂f∂x e
∂f
∂y .
(d) ∂f∂x e
∂f
∂y são contínuas em (0, 0)?
(e) f é diferenciável em (0, 0)?
(f) f é uma função diferenciável?
5. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente ao gráfico f(x, y) = xy.
6. A equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) em P (1, 1, 1) é dado por 2x + y + 3z = 6. Calcule
∂f
∂x (1, 1) e
∂f
∂y (1, 1) e determine a equação da reta normal no ponto P .
7. Considere a função f(x, y) =
x3
x2 + y2
. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.
8. Se z = x2 − xy + 3y2 e (x, y) varia de (3,−1) a (2.96,−0.95), compare os valores de ∆z e dz.
9. Utilize diferenciais para estimar o valor de (1.01)2.03.
10. A energia consumida num resistor elétrico é dada por P =
V 2
R
watts. Se V = 100 volts e R = 10 ohms,
calcule um valor aproximado para a variação ∆P em P , quando V decresce 0.2 volt e R aumenta 0.01 ohm.
11. Se R é a resistência equivalente de 3 resistores conectados em paralelo, com resistências R1, R2 e R3,
então
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
.
Se as resistências são medidas em ohms, com R1 = 25Ω, R2 = 40Ω e R3 = 50Ω, e com margem de erro de
0.5% em cada uma, estime o erro máximo no valor calculado de R.
1
Exercícios que necessitam de apoio computacional
Para a resolução dos exercícios abaixo, utilize uma ferramenta gráfica como o Winplot ou o GeoGebra, por
exemplo. Como sugestão, utilize-a também para confirmar suas respostas dos exercícios anteriores.
1. Desenhe a superfície e o plano tangente no ponto dado. (Escolha o domínio e o ponto de vista de modo
a ver tanto a superfície quanto o plano tangente). Em seguida, dê zoom até que a superfície e o plano
tangente se tornem indistinguíveis.
(a) z = x2 + xy + 3y2, (1, 1, 5)
(b) z = arctg(xy2), (1, 1, pi4 )
2. Determine a aproximação linear da função f(x, y) = 1 − xy cospiy em (1, 1) e use-a para aproximar o
número f(1.02, 0.97). Ilustre, traçando o gráfico de f e do plano tangente.
2
Respostas
1.
2. (a)
∂f
∂x
(1, 1) =
∂f
∂y
(1, 1) = 1.
(b) f não é diferenciável em (1, 1).
3. Em R2 − {(0, 0)} as derivadas parciais são contínuas, logo f é diferenciável em todos os pontos deste
conjunto. Em (0, 0),
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
‖(h, k)‖ = lim(h,k)→(0,0)
h3
h2 + k2
− h
√
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
−hk2
(h2 + k2)
√
h2 + k2
não existe, logo f não é diferenciável em (0, 0). Assim R2 − {(0, 0)} é o conjunto dos pontos em que f é
diferenciável.
4. (a) f não é contínua em (0, 0).
(b) f somente é contínua para (x, y) 6= (0, 0).
(c)
∂f
∂x
=

y3 − x2y
(x2 + y2)
2 se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
e
∂f
∂y
=

x3 − xy2
(x2 + y2)
2 se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(d) ∂f∂x e
∂f
∂y não são contínuas em (0, 0).
(e) f é diferenciável em R2 − {(0, 0)}.
5. x+ 6y − 2x = 3.
6.
∂f
∂x
(1, 1) = −2
3
e
∂f
∂y
(1, 1) = −1
3
; ~r(t) = (1 + 2t, 1 + t, 1 + 3t).
7. Demonstração.
8. ∆z = 0.7189 e dz = 0.73.
9. 1.012.03 ≈ 1.02.
10. ∆P ≈ −5 volts.
11. ∆R ≈ 1
17
Ω
3