Lista 3 de Cálculo II Derivadas Parciais

Prévia do material em texto

Lista 3 de Cálculo II: Derivadas Parciais
Profa Roberta V. Garcia
Exercícios
1. Encontre o domínio e determine as derivadas parciais das funções a seguir:
(a) f(x, y) = ln
(
1−
√
x2 + y2
1 +
√
x2 + y2
)
.
(b) f(x, y) = x ln(y)− y ln(x).
(c) f(x, y) = (2y)x − 2y.
(d) f(x, y) =
x sen y
cos(x2 + y2)
.
(e) u =
(
x2 + y2 + z2
)− 12 .
(f) g(x, y, z) = exy senh(2z)− eyz cosh(2z).
2. Encontre o domínio e calcule a derivada parcial da função
f(x, y, z) = xy
z
+ xz
y
+ yx
z
+ yz
x
+ zx
y
+ zy
x
no ponto (1, 1, 1).
3. Seja z = eyφ(x− y), onde φ é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= z.
4. Seja f(x, y) =

x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(a) f é contínua em (0, 0)? Explique.
(b) Se (x0, y0) 6= (0, 0), calcule ∂f∂x (x0, y0) e ∂f∂y (x0, y0).
(c) Calcule, se existir, ∂f∂x e
∂f
∂y em (0, 0).
5. Determine as derivadas parciais de 1a ordem da função f(x, y) =

x3 + y3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
6. Seja f(x, y) =
∫ x2+y2
0
e−t
2
dt. Calcule
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y). (Sugestão: Utilize o Teorema Fundamental
do Cálculo).
7. Refaça o exercício anterior para f(x, y) =
∫ y
x
ln(sen t) dt.
8. Determine uma função f(x, y) tal que
∂f
∂x
= 3x2y2 − 6y
∂f
∂y
= 2x3y − 6x+ y
y2 + 1
9. Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, uxy = uyx:
(a) u = exy sen y.
(b) u = ln(x+ 2y).
10. Seja g(x, y, z) = xy2z3 + arcsen(x
√
z). Determine
∂3g
∂x∂z∂y
. Qual a ordem de diferenciação mais fácil?
1
11. Seja f(x, y) =

x3y − xy3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(a) Determine fx(x, y) e fy(x, y) quando (x, y) 6= (0, 0).
(b) Determine fx(0, 0) e fy(0, 0).
(c) Mostre que fxy(0, 0) = −1 e fyx(0, 0) = 1.
12. Dizemos que (x0, y0) é um ponto crítico ou estacionário de z = f(x, y) se
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 e
∂f
∂y
(x0, y0) = 0.
Determine (caso existam) os pontos críticos da função dada.
(a) f(x, y) = x2 + y2
(b) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y
(c) f(x, y) = x4 + 4xy + y4
13. Ache as equações da reta tangente à curva de intersecção da superfície x2+y2+z2 = 9 com o plano y = 2,
no ponto (1, 2, 2).
14. Seja f : R→ R contínua com f(3) = 4. Seja
g(x, y, z) =
∫ x+y2+z4
0
f(t) dt
Calcule:
(a)
∂g
∂x
(1, 1, 1) (b)
∂g
∂y
(1, 1, 1) (c)
∂g
∂z
(1, 1, 1)
Exercícios que necessitam de apoio computacional
Para a resolução dos exercícios abaixo, utilize uma ferramenta gráfica como o Winplot ou o GeoGebra, por
exemplo. Como sugestão, utilize-a também para confirmar suas respostas dos exercícios anteriores.
1. O paraboloide z = 6 − x − x2 − 2y2 intercepta o plano x = 1 em uma parábola. Determine as equações
paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto (1, 2,−4). Use um computador para fazer o
gráfico do paraboloide, da parábola e da reta tangente em uma mesma tela.
2. No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em
dias) a uma profundidade x (medida em metros) pode ser modelada pela função
T (x, y) = T0 + T1e
−λx sen(ωt− λx)
em que ω =
2pi
365
e λ é uma constante positiva.
(a) Determine ∂T∂x . Qual seu significado físico?
(b) Determine ∂T∂t . Qual seu significado físico?
(c) Mostre que T satisfaz a equação do calor Tt = kTxx para uma certa contante k.
(d) Se λ = 0.2, T0 = 0 e T1 = 10, use um computador para traçar o gráfico de T (x, t).
(e) Qual é o significado físico do termo −λx na expressão sen(ωt− λx)?
2
Respostas
1. (a) Df =
{
(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1};
∂f
∂x
(x, y) =
−2x√
x2 + y2 (1− x2 − y2) ;
∂f
∂y
(x, y) =
−2y√
x2 + y2 (1− x2 − y2) .
(b) Df =
{
(x, y) ∈ R2|x > 0 e y > 0};
∂f
∂x
(x, y) = ln y − y
x
;
∂f
∂y
(x, y) =
x
y
− lnx.
(c)
∂f
∂x
(x, y) = ln 2y · (2y)x;
∂f
∂y
(x, y) = 2x · (2y)x−1 − ln 2 · 2y.
(d) Df =
{
(x, y) ∈ R2
∣∣∣∣x2 + y2 6= pi(2k + 1)2 , k ∈ Z
}
;
∂f
∂x
(x, y) =
sen y
[
cos
(
x2 + y2
)
+ 2x2 sen
(
x2 + y2
)]
cos2 (x2 + y2)
;
∂f
∂y
(x, y) =
x cos y cos
(
x2 + y2
)
+ 2xy sen y sen
(
x2 + y2
)
cos2 (x2 + y2)
.
(e) Df =
{
(x, y, z) ∈ R3|(x, y, z) 6= (0, 0, 0)};
∂u
∂x
= −x (x2 + y2 + z2)− 32 ;
∂u
∂y
= −y (x2 + y2 + z2)− 32 ;
∂u
∂z
= −z (x2 + y2 + z2)− 32 .
(f) Df = R3;
∂g
∂x
(x, y, z) = yexy senh(2z);
∂g
∂y
(x, y, z) = xexy senh(2z)− zezy cosh(2z);
∂g
∂z
(x, y, z) = exy cosh(2z)− 2eyz senh(2z)− yeyz cosh(2z).
2.
∂f
∂x
(1, 1, 1) =
∂f
∂y
(1, 1, 1) =
∂f
∂z
(1, 1, 1) = 2
3. Demonstração.
4. (a) A função não é contínua em (0, 0).
(b)
∂f
∂x
(x0, y0) =
4x0y
2
0
(x20 + y
2
0)
2 e
∂f
∂y
(x0, y0) =
−4y0x20
(x20 + y
2
0)
2 .
(c)
∂f
∂x
e
∂f
∂y
não existem em (0, 0).
5.
∂f
∂x
(x, y) =

x4 + 3x2y2 − 2xy3
(x2 + y2)
2 se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
∂f
∂y
(x, y) =

y4 + 3x2y2 − 2yx3
(x2 + y2)
2 se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
6.
∂f
∂x
(x, y) = 2xe−(x
2+y2)
2
e
∂f
∂y
(x, y) = 2ye−(x
2+y2)
2
.
7.
∂f
∂x
(x, y) = − ln(senx) e ∂f
∂y
(x, y) = ln(sen y).
3
8. f(x, y) = x3y2 − 6xy + 1
2
ln
(
y2 + 1
)
+ C.
9. (a) uxy = uyx = exy (sen y + xy sen y + y cos y).
(b) uxy = uyx = − 2
(x+ 2y)2
.
10.
∂3g
∂x∂z∂y
= 6yz2.
11. (a) fx(x, y) =
x4y + 4x2y3 − y5
(x2 + y2)
2 e fy(x, y) =
x5 − 4x3y2 − xy4
(x2 + y2)
2 .
(b) fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0.
(c) Demonstração.
12. (a) (0, 0).
(b) (1, 1), (−1,−1), (1,−1) e (−1, 1).
(c) (0, 0), (1,−1) e (−1, 1).
13. ~r(t) = (1− 2t, 2, 2 + t).
14. (a)
∂g
∂x
(1, 1, 1) = 4.
(b)
∂g
∂y
(1, 1, 1) = 8.
(c)
∂g
∂z
(1, 1, 1) = 16.
4