Experiencia 6 Sistema Massa mola

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Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Campus Londrina 
 
1 
 
Laboratório de Física 2 
 
Prof. Sidney Alves Lourenço 
Curso: Engenharia de Materiais 
 
Grupo: --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Sistema massa-mola 
 Experimento - 6 
 _________________________________________________ 
 
 
Introdução 
 
Oscilações são encontradas em todos os campos da física. Alguns exemplos de sistemas 
mecânicos vibratórios são: pêndulos, diapasões, cordas de instrumentos musicais, colunas de ar 
em instrumentos de sopro, etc. O conceito de oscilações é aplicado, também, a sistemas 
elétricos, conforme será visto no Laboratório de Física 2, onde são estudados circuitos oscilantes 
LC, RLC, etc. 
Nos sistemas mecânicos vibratórios, existe movimento vibratório de um sistema físico, 
ou seja, uma certa massa m movimenta-se sob a ação de uma força restauradora. Nos sistemas 
elétricos não existe um movimento vibratório de um corpo ou massa, mas sim a variação da 
intensidade de uma ou mais grandezas elétricas, as quais variam, periodicamente, desde um valor 
mínimo até um valor máximo. 
Um dos exemplos de sistema mecânico vibratório, mais simples, é o de uma massa m, 
situada sobre uma mesa horizontal, sem atrito, e presa a uma mola cuja constante elástica é k. 
Medindo-se a posição x da massa, em relação à extremidade da mola em repouso, isto é, 
considerando-se x como a elongação da mola, então a força restauradora que a mola exerce sobre 
a massa é dada por: 
kxFx  (1) 
 
Como já foi admitido que não existe atrito, isto é, nenhuma outra força age sobre o corpo, além 
da força restauradora, a equação do movimento é dada pela 2a lei de Newton: 
 
kx
dt
xdm 2
2
 ou seja 02
2

m
kx
dt
xd (2) 
A equação (2) é uma equação diferencial de 2a ordem cuja solução geral é: 
 
)cos( 0  twAx (3) 
onde, A é a amplitude da oscilação, e; 
m
kw 0 (4) 
 
é a freqüência angular do sistema e  é a fase inicial do movimento. 
 
 
 
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Uma vez escolhidas a massa e a mola, estarão definidos os valores de m e k e, então, a 
relação (4) mostra que estará definido o valor de ow , ou seja, os parâmetros m e k definem a 
freqüência natural ( ow ) do sistema. 
O período do movimento oscilatório é dado por: 
 
k
m
w
T  22
0
 (5) 
 
 O que foi apresentado, até aqui, refere-se a um sistema massa-mola situado sobre uma 
mesa sem atrito. A força resultante que atua na massa m é a própria força restauradora. 
 Se o sistema massa-mola estiver pendurado, existirá a força peso atuando sobre m, além 
da força restauradora da mola, conforme se esclarece a seguir. 
 A figura 1(a) representa a mola pendurada, livre, ou seja, sem qualquer objeto nela 
pendurado. 
 
 
 
 A figura 1(b) representa uma situação de equilíbrio estável da massa m, pois é nula a 
soma das duas forças que agem sobre ela: a força restauradora da mola (-kx) equilibra a força 
peso (mg), sendo, portanto, nula a força resultante sobre m. 
A figura 1(c) representa a distensão ou elongação inicial A que é aplicada à mola, a qual, 
após ser solta, dá início ao movimento harmônico. Se o movimento ocorrer livremente, sem 
amortecimentos, as oscilações deverão conservar a amplitude A. 
Existem duas maneiras equivalentes de escrever a 2a lei de Newton ou equação de 
movimento, relativa ao presente problema, dependendo do referencial escolhido: 
Se o referencial x=0 for escolhido na extremidade inferior da mola livre, correspondente 
à figura 1(a), a equação de movimento é escrita como: 
mgkx
dt
xdm 2
2
 (6) 
 
Figura 1 – Desenho esquemático do dispositivo experimental, mostrando a 
elongação, A, da mola no instante em que se solta o sistema massa‐mola.  
 
 
 
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Se o referencial x = 0 for escolhido na posição de equilíbrio do sistema massa-mola, 
correspondente à figura 1(b), a equação de movimento deve ser escrita como: 
 
kx
dt
xdm 2
2
 (7) 
 
Ambas as formas são fisicamente equivalentes, mas a (7) é mais fácil de ser resolvida, pois 
tem exatamente a forma da (2). Portanto, também as relações (3), (4) e (5) são válidas para o 
presente problema. 
 
Objetivos: Obter a constante elástica da associação de molas pelo método estático. Reconhecer 
as principais propriedades do MHS no oscilador massa-mola: determinar a amplitude A, o 
período T, a constante elástica K pelo processo dinâmico, verificar e discutir a conservação da 
energia mecânica. 
 
 
Prática 1 – Medição da constante elástica equivalente de uma associação em série e em 
paralelo de duas molas. 
 
1.1 Objetivos do experimento 
Medição da constante elástica equivalente da associação em série das duas molas 
utilizando o método estático. 
Medição da constante elástica equivalente da associação em paralelo das duas molas pelo 
método estático. 
 
1.2 Equipamentos e montagem do dispositivo experimental 
Uma das molas deve ser pendurada na extremidade inferior da outra no modo em serie. 
Com o uso de suporte, na forma de cabide, podem ser penduradas paralelamente as duas molas. 
 
1.3 Procedimento experimental 
Usando as molas cujas constantes elásticas já foram medidas anteriormente (k1 e k2) 
associe-as, em série e, após pendurar uma massa conhecida, meça a elongação e determine a 
constante elástica eqK da associação. Repita os procedimentos para uma associação em paralelo. 
A teoria diz que a constante elástica equivalente da associação em serie de 2 molas é dada por1 
 
)( 21
21
kk
kkKeq  , (18) 
A teoria diz que a associação em paralelo de duas molas é dada por2 
 21 kkKeq  (19) 
1.4 Análise 
Após medir as constantes elásticas eqK das associações, compare-as com os seus valores 
teóricos. 
 
1 O estudante deverá deduzir tal relação, que é uma expressão semelhante à de uma associação em paralelo de dois 
resistores elétricos. 
2 Da mesma forma a tal relação é uma expressão semelhante à de uma associação em série de dois resistores. 
 
 
 
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Figura 2 – Associação em série em paralelo de duas molas. 
Prática 2 – Medição da constante elástica de molas helicoidais pelo método dinâmico 
 
2.1 Objetivo 
Medir as constantes elásticas de duas molas helicoidais que possuem comprimentos 
quase iguais, pelo método dinâmico, ou seja, pelo estudo das oscilações harmônicas. 
 
2.2 Materiais: 
1. Molas helicoidais; 
2. Massa aferidas; 
3. Porta peso; 
4. Suporte para prender as molas; 
5. Régua graduada; 
6. Cronômetro. 
 
2.3 Procedimento experimental 
 Em todo o experimento, cada grupo irá usar um par de molas: mola 1 e mola 2. Determine 
a massa de cada mola e identifique-as, etiquetando-as, com o número 1 ou 2. 
 A figura 1(c) representa a distensão inicial, A, que é aplicadaà mola, contendo uma 
massa m, sendo que ao se soltar o sistema massa-mola, ocorrerá o início do movimento 
harmônico. 
 Faça, então, uma montagem apropriada, isto é, semelhante à da figura 1(c) e, meça A em, 
no máximo, uns 2cm, para que se obtenham pequenas oscilações, ou seja, oscilações de 
pequenas amplitudes. Quando se solta o sistema, após duas ou três oscilações deve-se acionar o 
cronômetro digital, de preferência se marcando as oscilações num referencial no meio da 
oscilação, deve ser marcado um tempo para completar 15 oscilações plenas. Deve-se repetir o 
procedimento por, pelo menos umas 5 vezes, e a média deve ser registrada na tabela, na linha 
correspondente à massa pendurada. 
Repetir todo o procedimento para, pelo menos 5 massas diferentes. Dar preferência às 
massas maiores, sem, no entanto, danificar as molas. 
 Nas tabelas seguintes, respectivamente referentes à mola 1, as três colunas da esquerda 
são destinadas ao registro dos dados. As colunas da direita são destinadas à análise dos referidos 
dados. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Tabela 1 – dados de massa e média de períodos de oscilações para a mola 1. 
massa Tempo de 15 osc Período T log T log m 2T 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 Análise 
 
2.4.1 Análise sem levar em consideração a massa da mola (valores aproximados). 
Construa, no computador, os gráficos log T versus log m para ambas as molas. Lembre-
se: log m no eixo horizontal e log T no eixo vertical. Analise os parâmetros A e B, obtidos com o 
ajuste linear dos pontos experimentais, e obtenha as constantes elásticas: k1d da mola conforme 
orientações apresentadas a seguir. 
 A obtenção das referidas constantes elásticas deve ser feita de forma investigativa. Deve-
se partir do princípio de que não se conhece a relação (5) entre T e m, ou seja, supõe-se que a 
referida relação, 2/1.. mctemcteT  , não é conhecida. Admite-se, apenas, que a relação entre 
T e m é do tipo 
bmaT . (13) 
onde os parâmetros a e b têm de ser determinados. 
 A aplicação de log em ambos os membros da igualdade (13) conduz a: 
  bmaT .loglog  
 
ou seja, mbaT log.loglog  (14) 
 Esta função linear Tlog versus mlog deve ser confrontada com a função linear, 
genérica, Y = A + B.X , obtida no ajuste dos pontos, no gráfico. Em outras palavras, deve ser 
feita a seguinte confrontação: mbaT log.loglog  (14-a) 
com XBAY . (15) 
 Da confrontação, resultam as relações seguintes: 
 Bb  e Aa log (16) 
 Obviamente, o parâmetro B deve ter um valor próximo de 
2
1 , pois este é o valor que se 
espera obter para b, para que, ao final, a relação (8) recaia na (5). O estudante irá perceber que a 
qualidade dos dados experimentais (valor do parâmetro de correlação R) é tanto melhor, quanto 
mais próximo de 
2
1 for o valor obtido para o parâmetro B. 
 Da segunda relação (16), obtém-se: 
 Aa 10 (17) 
 Visto que os valores dos parâmetros A e B são intrinsecamente vinculados, entre si, no 
ajuste dos dados experimentais, é claro que o valor de A é tanto melhor quanto mais próximo de 
 
 
 
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2
1 for o valor de B. Nestas condições, a expressão (12) deverá conduzir a um valor de a que 
pode ser comparado com 
k
2 , conforme previsto teoricamente na (5). 
Desta última comparação surge o valor experimental de k d, onde o subscrito d refere-se 
ao método dinâmico. 
 Como complemento, o aluno deve fazer os gráficos de 2T versus m, e fazer a devida 
análise. 
 Compare os valores de k obtidos pelos dois métodos (estático e dinâmico). Se houve 
diferenças, procure identificar fontes de erro. 
 
2.4.2 Análise que leva em conta a massa da mola que oscila (valores mais exatos). 
 
Otimização dos dados experimentais 
Quando é muito pequena a massa m suspensa, a massa da mola, sm , torna-se não-
desprezível em comparação com a massa m. Nestas condições, é melhor introduzir uma 
correção da massa, pois, conforme se vê na teoria anteriormente desenvolvida, tudo se passa 
como se na mola estivesse suspensa uma massa ideal de valor 
3
smmM  . Preencha as duas 
colunas. 
 
 Tabela 3 – Massas efetivas ou corrigidas. 
M1 M2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Refaça os gráficos log T versus log M, para obter novos valores de kd’. Houve diferenças 
em relação aos valores sem correção? Explique. 
 
Referências Básicas: 
1) Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Fundamentos de Física. Vol. 2 – Gravitação, 
Ondas e Termodinâmica, 8a Edição. Livros Técnicos e Científicos, 2009. 
2) Sears, Francis; Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Zemansky, Mark W.; Física II – 
Termodinâmica e Ondas, 12a Edição, Addison Wesley, 2008. 
3) Tipler, Paul A. Física: para Cientistas e Engenheiros – Vol. 2, 824 pp., 5a Edição. Livros 
Técnicos e Científicos, 2006.