CAP3 Serway (1)

Prévia do material em texto

1 
CAPÍTULO 3 
Movimento em Duas Dimensões 
EXERCÍCIOS 
Sala: 2; 4; 10; 14; 26; 30; 33. 
Casa: 1; 6; 9; 11; 12; 13; 17; 24; 27; 31; 34; 35. 
3.1 Os Vetores Posição, Velocidade 
e Aceleração 
Vetores posição e deslocamento: 
ir

fr

fy
iy
ix fx
if rrrΔ

−=
xΔ
yΔ
y
xiˆ
jˆ
jyixr iii ˆˆ+=

jyixr fff ˆˆ +=

(deslocamento) 
(posições) 
if rrr

−=Δ
jyix ˆˆ Δ+Δ=
jyyixx ifif ˆ)(ˆ)( −+−=
2 
Velocidade média (vméd ); 
(em m/s) tempo
todeslocamenmédiavelocidade ≡ 
t
rvméd Δ
Δ
≡


jvivv ymédxmédméd ˆˆ ,, +=
 t
xv xméd Δ
Δ
=,
t
yv yméd Δ
Δ
=,
j
t
yi
t
x ˆˆ
Δ
Δ
+
Δ
Δ
=
t
jyixvméd Δ
Δ+Δ
=
ˆˆ
Velocidade instantânea (v); 
dt
rdv


≡ j
dt
dyi
dt
dxv ˆˆ+=
jvivv yx ˆˆ+=

;
dt
dxvx =
;
dt
dyvy =
Direção da velocidade: 
rd
médv

v
Aponta no sentido de Δr; 
Aponta no sentido de dr; 
dt
rdv


=
t
rvméd Δ
Δ
=


3 
A velocidade instantânea é sempre tangente à 
trajetória da partícula, na posição da partícula. 
rd
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ≡
dt
rdv


ü  Exercício 2: A figura mostra uma trajetória 
circular descrita por uma partícula. Se a velocidade 
instantânea da partícula for v = (2 i - 2 j) m/s, em 
que quadrante a partícula estará se movendo quando 
ela estiver se deslocando (a) no sentido horário e (b) 
no sentido anti-horário em torno do círculo? Em 
ambos os casos, desenhe v na figura. 
ü  Exercício 1: (a) Se um morcego manhoso voa 
das coordenadas xyz (-2m, 4m) para as coordenadas 
(6m, -2m), qual é o seu deslocamento Δr na notação 
de vetor unitário? 
4 
dt
vd
t
va
t


=
Δ
Δ
≡
→Δ
lim
0
Aceleração média (améd ); 
Aceleração instantânea (a); 
tempo
velocidadenaiaçãomédiaaceleração var ≡
;
dt
dva xx =
dt
dv
a yy =
;, t
va xxméd Δ
Δ
=
t
v
a yyméd Δ
Δ
=,
j
dt
dv
i
dt
dva yx ˆˆ+= jaia yx ˆˆ +=
jaiaa ymédxmédméd ˆˆ ,, +=

j
t
v
i
t
v yx ˆ)(ˆ)(
Δ
Δ
+
Δ
Δ
=
t
jviv yx
Δ
Δ+Δ
=
ˆ)(ˆ)(
t
vaméd Δ
Δ
≡


Não há relação fixa entre a direção do vetor 
aceleração e a trajetória da partícula. 
Direção da aceleração instantânea (a); 
O vetor a indica como a velocidade da partícula 
está variando na posição da partícula, num dado 
instante. 
5 
dt
rdv


=
3.2 Movimento Bidimensional Com 
Aceleração Constante 
Posição e velocidade de uma partícula no plano xy: 
jyixr ˆˆ +=
Posição e velocidade da partícula no plano xy, com 
aceleração constante: 
2
2
1 tatvxx xxiif ++=
tavv yyiyf +=
teconsjaiaa yx tanˆˆ =+=

tavv xxixf +=
2
2
1 tatvyy yyiif ++=
jvivv yfxff ˆ)(ˆ)( +=

jtavitav yyixxi ˆ)(ˆ)( +++=
tavv if

+=
+++= itatvxr xxiif ˆ)2
1( 2
jtatvy yyii ˆ)2
1( 2+++
2
2
1 tatvrr iif

++=
j
dt
dyi
dt
dx ˆˆ+= jviv yx ˆˆ+=
yfv
tay
yiv
tax
Representações gráficas 
tavv yyiyf +=
tavv xxixf +=tavv if

+=
xv
yv
fv

iv

ta
xiv
xfv
Ø  Equação da velocidade: 
6 
2
2
1 tatvxx xxiif ++=
2
2
1 tatvyy yyiif ++=
2
2
1 tatvrr iif

++=
x
y
fr

tvi

ix
iy
fx
2
2
1 tay
2
2
1 tax
ir

2
2
1 ta
tvxi
tvyi
fy
Ø  Equação horária: 3.3 Movimento de um Projétil 
jvivv yixii ˆˆ+=
 iixi θvv cos=
iiyi senθvv =
R = alcance horizontal 
ymáx = altura máxima 
máxy
7 
iiyi senθvv =
Componente horizontal 
tvxx xiif += tθvxx iiif )cos(+=
Componente vertical 
2
2
1 gttvyy yiif −+=
ygvv yiyf Δ−= 2
22
gtvv yiyf −=
2
2
1)( gttsenvyy iiif −+= θ
ygsenvv iiyf Δ−= 2)(
22 θ
gtsenvv iiyf −= θ
gay −=
xixf vv = ii θv cos= const=
Equação da trajetória, y = f(x) 
2
2)cos(2
)( f
ii
fi xv
gxtgy
θ
θ −= (trajetória) 
tθvxx iiif )cos(+=
2
2
1)( gttsenvyy iiif −+= θ
Eliminando o tempo em: 
obtemos: 
Alcance horizontal 
Quando o projétil volta à altura do lançamento: 
tθvRx iif )cos(==
2
2
1)(0 gttsenvy iif −== θ
i
i θsen
g
vR 2
2
=
8 
ü Exercício 3: Uma bola de beisebol é lançada sem 
tocar o campo em direção à parte do campo mais 
afastada do batedor. Durante o seu vôo (ignorando 
os efeitos do ar); 
O que acontece com as componentes: 
 (a) Horizontal, e 
 (b) vertical da sua velocidade? 
Quais são as componentes: 
 (c) horizontal, e 
 (d) vertical da sua aceleração durante a sua 
subida e a sua descida, e no ponto mais alto do 
seu vôo? 
3.4 Partícula em Movimento 
Circular Uniforme (MCU) 
No movimento circular uniforme o módulo do vetor 
velocidade é constante, porém sua direção varia 
continuamente: 
Aceleração centrípeta da partícula: 
Expressa a rapidez com que a direção do vetor v 
varia 
r
va
2
= (aceleração centrípeta) 
9 
Período do movimento (T) 
v
rT π2= (período de revolução) 
T
f 1= (freqüência do MCU) 
É a duração de uma volta completa: 
Frequência do movimento (f) 
É a número de voltas completas, por unidade de 
tempo: 
T
rv π2=
ü Exercício 4: Um objeto se move com velocidade 
(escalar) constante ao longo de uma trajetória 
circular em um plano xy horizontal, com centro na 
origem. Quando o objeto está em x = -2 m, a sua 
velocidade é -(4 m/s) j. Dê (a) a velocidade e (b) a 
aceleração do objeto quando ele estiver em y = 2 m 
10 
3.5 Aceleração Tangencial e Radial 
Quando uma partícula descreve uma trajetória 
curva: 
Aceleração tangencial (at ): 
Aceleração radial (ar ): 
O vetor aceleração (a ): 
rvar
2=
dt
vd
at

=
tt aaa

+= 222 tr aaa +=
x
y
o
3.6 Velocidade Relativa 
Uma partícula movendo-se em relação a dois 
observadores: 
POr

OPr ʹ′

tv OOʹ′

P
Posição da partícula nos dois referenciais: 
Velocidade da partícula nos dois referenciais: 
tvrr OOOPPO ʹ′ʹ′ +=

oʹ′
yʹ′
OOv ʹ′

)()( tvr
dt
dr
dt
d
OOOPPO ʹ′ʹ′ +=

OOOPPO vvv ʹ′ʹ′ +=

• OPv ʹ′

11 
ü Exercício 5: Na figura, quais são as velocidades 
do carro P em relação aos observadores O e O`? As 
velocidades mostradas são medidas em relação à 
estrada. 
2. Suponha que o vetor posição para urna partícula 
seja dado como função do tempo por r(t) = x(t)i + 
y(t)j, com x(t) = at + b e y(t)= ct2 + d, com a =1,00 
m/s, b = 1,00 m, c = 0,125 m/s2, e d = 1,00 m. 
a) Calcule a velocidade média durante o intervalo 
de tempo de t = 2,00 s a t = 4,00 s. 
EXERCÍCIOS 
Sala: 2; 4; 10; 14; 26; 30; 33. 
Casa: 1; 6; 9; 11; 12; 13; 17; 24; 27; 31; 34; 35. 
b)  Determine a velocidade e a velocidade escalar 
em t= 2,00 s 
12 
4. Em t=0, uma partícula em movimento no plano 
xy com aceleração constante tem uma velocidade 
vi=(3,00i - 2,00j) m/s e está na origem. Em t=3,00 
s, a velocidade da partícula é vf=(9,00i + 7,00j) m/s. 
a) Calcule a aceleração da partícula; 
b)  Calcule suas coordenadas em um tempo t, 
qualquer. 
10. Em um bar local um freguês lança um caneco 
de chope vazio escorregando sobre o balcão para 
ser enchido novamente. O garçom está distraído 
momentaneamente e não vê o caneco, que escorrega 
para fora do balcão e atinge o chão a uma distância 
d da base do balcão. Se a altura do balcão é h; 
a) com que velocidade o caneco deixou o balcão? 
b)  qual era a direção da velocidade do caneco 
logo antes de ele chegar ao chão? 
13 
14. Um canhão que lança balas com uma velocidade 
escalar de 1000 m/s é utilizado para iniciar uma 
avalanche em uma montanha inclinada. O alvo está 
a 2000 m do canhão horizontalmente e a 800 m 
acima do canhão. A que ângulo acima da horizontal 
o canhão deve ser disparado?26. A partir da informação nas páginas finais deste 
livro, calcule a aceleração radial de um ponto na 
superfície da Terra no Equador, devido à rotação da 
Terra ao redor de seu eixo. 
30. Um ponto em uma mesa girante a 20,0 cm do 
centro acelera do repouso até uma velocidade 
escalar final de 0,700 m/s em 1,75 s. Em t = 1,25 s, 
encontre o módulo e a direção: 
a)  da aceleração radial; 
b)  da aceleração tangencial; 
c)  da aceleração total do ponto; 
14 
33. Um rio tem uma velocidade escalar constante de 
0,500 m/s. Um estudante nada rio acima a uma 
distância de 1,00 km e depois nada de volta ao 
ponto de partida. Se o estudante pode nadar a uma 
velocidade escalar de 1,20 m/s em água parada, 
quanto tempo vai levar para ir e voltar? Compare 
esse resultado com o tempo que levaria para ir e 
voltar com a água parada. 
Fim