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APOSTILA FASORES

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�PAGE �18�
APOSTILA
DE 
FASORES
Nota
Esta apostila é um resumo referente ao estudo de FASORES. Para aprofundamento no assunto, pesquisar literaturas próprias e já indicadas. 
Professores David Alcolea e Edson Aguiar Ximenes
Revisão: 06/02/2017
FASORES
(Domínio da freqüência)
Circuitos monofásicos de corrente alternada
A representação das tensões e correntes por números complexos é chamada de FASORES. 
Fasor tensão ( Vº = V ( (V 
Vº = fasor tensão
V = valor eficaz da tensão (módulo da tensão)
(V = ângulo ou fase da tensão
Fasor corrente ( Iº = I ( (I 
Iº = fasor corrente
I = valor eficaz da corrente (módulo da corrente)
(I = ângulo ou fase da corrente
Vº e Iº são grandezas vetoriais, ou seja, tem módulo (comprimento); fase (varia no tempo) e sentido (horário e anti-horário).
	
Impedância (Zº)
É a dificuldade que um bipolo qualquer oferece à passagem de corrente elétrica alternada. A sua unidade é o ohm (Ω).
Bipolo: resistor, indutor, capacitor ou composição deles.
Admitância (Yº)
É o inverso da impedância. A sua unidade é o Siemens (S).
Yº = 1 Zº 
Expressões da tensão e corrente no:
	Domínio do tempo
	Domínio da freqüência
	v(t) = Vmax sen((t ± (V)
	Vº = V (± (V 
	i(t) = Imax sen((t ± (I)
	Iº = I (± (I
Exemplo
Converta v(t)=14,14sen(377t + 30º) e i(t)= 6,37sen(377t – 50º) para o domínio da freqüência. 
Resolução
Vmax= 14,14 ( V = Vmax ÷ √2 ( V = 14,14 ÷ √2 ( V = 10 V
Vº = 10 (+30º V ( Vº = 8,66 + j5
Imax= 6,37 ( I = Imax ÷ √2 ( I = 6,37 ÷ √2 ( I = 4,50 A
Iº = 4,50 (- 50º A ( Iº = 2,89 – j3,45
Relações de Fasores para Elementos de Circuitos 
Vamos analisar o relacionamento fasorial entre a tensão e corrente e os três elementos passivos (bipolos) R, L e C.
R E S I S T O R
 i(t) Iº
 v(t)				 R ( Vº ZºR
 domínio do tempo domínio da freqüência
No domínio da freqüência ( ZºR = R Vº= V (± (V Iº = I (± (I 
Vº = ZºRIº 1ª lei de Ohm
No resistor a tensão e a corrente estão em fase ((V = (I)
Diagrama fasorial
 y Vº
 
 Iº
 
 x
Exemplo
Admitindo-se a tensão v(t)= 8sen(100t - 50º) V seja aplicada a um resistor de 4Ω, determine: (a) a corrente no domínio do tempo; (b) corrente no domínio da freqüência; (c) tensão no domínio da freqüência; (d) o diagrama fasorial.
Resolução
corrente no domínio do tempo
v(t) = i(t)R ( i(t) = v(t) ( i(t) = 8sen(100t – 50º)
 R 4
 i(t) = 2sen(100t – 50º) A 
corrente no domínio da freqüência
Imax= 2 ( I = Imax ÷ √2 ( I = 2 ÷ √2 ( I = 1,41 A
Iº = 1,41 ( - 50º A ( Iº = 0,91 - j1,08 A 
tensão no domínio da freqüência
Vmax= 8 ( V = Vmax ÷ √2 ( V = 8 ÷ √2 ( V = 5,66 V
Vº = 5,66 ( - 50º V ( Vº = 3,64 – j4,34 V 
d) diagrama fasorial
 y
 
 
 x
 Iº
 Vº
I N D U T O R
 i(t) Iº
 v(t)				 L ( Vº ZºL
 
 domínio do tempo domínio da freqüência
 No domínio da freqüência ( ZºL = j XL Vº = V (90º Iº = I ( 0º 
Vº = ZºL Iº 1ª lei de Ohm 
XL: reatância indutiva 
XL= ωL (unidade é Ω) 
No indutor a tensão está adiantada ((V = 90º) em relação a corrente ((I = 0º).
Diagrama fasorial
 y
 
 Vº 
 
 x 
 Iº
Exemplo
A tensão v(t) = 11,314sen(100t - 30º) V é aplicada ao indutor de 20 mH conforme mostrado no circuito. Determine: (a) fasor tensão; (b) fasor corrente; (c) corrente no domínio do tempo; (d) diagrama fasorial.
 
 i(t) Iº
 v(t)				 L ( Vº ZºL
 
 domínio do tempo domínio da freqüência
Resolução 
ZºL = jXL 
XL= ωL ( XL= 100 x 20 x 10- 3 ( XL= 2 Ω
ZºL = j2 Ω ( ZºL = 2 ( 90º Ω 
fasor tensão
v(t) = 11,314sen(100t - 30º)
Vmax= 11,314 (V = Vmax ÷ √2 (V = 11,314 ÷ √2 ( V= 8 V 
Vº = 8 ( - 30º V ( Vº = 6,93 – j4 V
fasor corrente
Vº = ZºLIº ( Iº = Vº ( Iº = 8 ( - 30º 
 ZºL 2 ( 90º 
Iº = 4 ( - 120º A ( Iº = -2 - j3,46 A 
corrente no domínio do tempo
Iº = 4 ( - 120º ( Imax = I x √2 ( I = 4 x √2 ( I = 5,66 A
 i(t) = 5,66sen(100t – 120º) A 
d) diagrama fasorial
 
 
 Iº
 Vº
C A P A C I T O R
 i(t) Iº
 v(t)				 C ( Vº ZºC
 
 domínio do tempo domínio da freqüência
 No domínio da freqüência ( ZºC = - j XC Vº = V ( 0º Iº = I ( 90º 
Vº = ZºC Iº 1ª lei de Ohm
XC: reatância capacitiva 
XC = 1 ωC (unidade é Ω) 
No capacitor a corrente está adiantada ((I = 90º) em relação à tensão ((V = 0º). 
Diagrama fasorial
 y 
 
 Iº 
 x 
 Vº 
 
Exemplo
A tensão v(t) = 16,971sen(100t - 45º) V é aplicada a um capacitor de 5 mF conforme mostrado no circuito. Determine: (a) fasor tensão; (b) fasor corrente; (c) corrente no domínio do tempo; (d) diagrama fasorial.
 
 i(t) Iº
 v(t)				 C ( Vº ZºC
 
 domínio do tempo domínio da freqüência
Resolução 
ZºC = - jXC 
XC = 1 ωC ( XC= 1 100 x 5 x 10- 3 ( XC = 2 Ω
ZºC = -j2 Ω ( ZºC = 2 ( - 90º Ω 
a) fasor tensão
v(t) = 16,971sen(100t - 45º)
Vmax= 16,971 (V = Vmax ÷ √2 (V = 16,971 ÷ √2 ( V= 12 V 
Vº = 12 ( - 45º V ( Vº = 8,49 – j8,49V
b) fasor corrente
Vº = ZºCIº ( Iº = Vº ( Iº = 12 ( - 45º 
 ZºC 2 ( - 90º 
Iº = 6 ( 45º A ( Iº = 4,24 + j4,24 A 
c) corrente no domínio do tempo
Iº = 6 ( 45º ( Imax = I x √2 ( I = 6 x √2 ( I = 8,49 A
 i(t) = 8,49sen(100t + 45º) A
d) diagrama fasorial
 y
 Iº 
 xVº
 
 
Natureza do circuito
Zº = R + j(XL – XC) ( Zº = R + jX
X = XL – XC ( X = reatância total do circuito 
 
	Se 
	X = XL – XC 
	Natureza
	XL > XC
	X > 0
	Indutivo
	XL < XC
	X < 0
	Capacitivo
	XL = XC
	X = 0
	Resistivo
Se X = 0, o circuito está em ressonância, isto é, o circuito é ressonante, neste caso a tensão e a corrente estão em fase, o circuito comporta-se como resistivo.
Circuitos ressonantes são usados freqüentemente em eletrônica para selecionar, entre as várias freqüências presentes, aquela que se deseja usar.
Resumo
	Bipolo
	
	Impedância
	Fasor tensão
	Fasor corrente
	Resistor
	R
	ZºR = R
	Vº = V ( (V 
	Iº = I ( (I
	Indutor
	L
	ZºL = jXL
	Vº = V ( 90º 
	Iº = I ( 0º
	Capacitor
	C
	ZºC = -jXC
	Vº = V ( 0º 
	Iº = I ( 90º
Para representar um circuito no domínio da freqüência, basta substituir a tensão e a corrente pelos seus respectivos fasores. Assim como, o resistor, indutor e capacitor pelas impedâncias (Zº) correspondentes ou admitâncias (Yº). 
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS
A associação de impedâncias segue o mesmo princípio da associação de resistores.
Circuito Série
 ZºR 
 Vº ZºL 
 ZºC 
ZºT = ZºR + ZºL + ZºC
Circuito Paralelo
 
 
 Vº 
 Zº L 
 1 = 1 + 1 + 1 
ZºT ZºR Zº L ZºC 
Exercícios
1) Considerando que a freqüência angular seja 2 rad/s, determine a impedância equivalente do circuito.
 10 ( 2 H 0,2 F �
2) Dado o circuito 
 i1 4( 0,01 H 2 (
 
 V= 20sen(200t + 30º)V 6 ( 0,02 H
 1000 ( F 
 i2 I3
 2000 ( F
Determine:
a) representação do circuito no domínio da freqüência
b) a impedância equivalente
c) corrente fasorial do circuito
d) tensão fasorial nas impedâncias 
e) corrente fasorial em cada ramal
3) No circuito, a tensão no indutor é VL=14,142 sen(100t+ 90º). Então,
 IT 3 ( 
 
 V 40 mH VL = 14,142 sen(100t + 90º) V
 	
 2 mF 
 
determine: 
a) impedância de entrada
b) a corrente do circuito
c) a tensão fornecida pela fonte
d) a tensão em ZºR
e) a tensão em ZºC
Resoluções dos exercícios
Exercício -1
Redesenhe o circuito, substituia R,L e C pelas suas respectivas impedâncias (ZºR, Zº L e ZºC ). 
 ZºR Zº L ZºC 
�
	ZºR= R 
	Zº L = jXL
	Zº C = - jXC
	ZºR= 10 (
	XL = (L 
	XC= 1 (C
	
	XL = 2 x 2 XL = 4 (
	XC= 1__ 
 2 x 0,2
	
	Zº L = j4 (
	XC= 2,5 (
	
	
	Zº C = - j2,5(
ZºT = ZºR + Zº L + ZºC ( ZºT = 10 + j4 - j2,5 ( 
 ZºT = 10 + j1,5 ( ( ZºT = 10,11 ( 8,53º (
Exercício – 2 
a) representação no domínio da freqüência
 
	ZºR= R 
	Zº L = jXL
	Zº C = - jXC
	ZºR1= 4 (
	XL = (L 
	XC= 1 (C
	ZºR2= 6 (
	XL1 = 200 x 0,01= 2 (
	XC2= 1 ( (200 x 103 x 10- 6)
	ZºR3= 2 (
	Zº L1 = j2 (
	XC2 = 5 ( ( Zº C2 = - j5(
	
	XL3 = 200 x 0,02= 4 (
	
	
	Zº L3 = j4 (
	XC3=1 ( (200 x 2x103 x 10- 6)
	
	
	XC3 = 2,5 ( ( Zº C3 = - j2,5(
V = Vmax ( (2 ( = 200 rad/s (As impedâncias estão em ( )
 Iº1 ZºR1= 4 Zº L1 = j2 ZºR3= 2 
 
 Vº = 14,14( 30º V ZºR2= 6 Zº L3 = j4 
 Zº C2 = - j5
 Vº = 12,25 + j7,07 V Iº2 Iº3
 
 Zº C3 = - j2,5 
b) a impedância equivalente
Zº1= 4 + j2 ( 	 ( Zº1= 4,47 ( 26,57º ( 
Zº2= 6 – j5 ( 	 ( Zº2= 7,81 ( -39,81º ( 
Zº3= 2 + j4 –j2,5 ( Zº3= 2 + j1,5 ( Zº3= 2,50 ( 36,87º (
 
 Iº1 Zº1= 4 + j2 Zº3= 2 + j1,5
 
 Vº = 14,14( 30º V Zº 3 
 Zº 2 = 6 - j5 
 
 Iº2 Iº3 
As impedâncias Zº2 e Zº3 estão em paralelo entre si, calcule a impedância parcial. 
Zº parcial = Zº 2 x Zº3 ( Zº p = 7,81 ( -39,81º x 2,50 ( 36,87º
 Zº 2 + Zº3 6 – j5 + 2 + j1,5 
Zº p = 19,53 (- 2,94º ( Zº p = 19,53 ( - 2,94º ( 
 8 – j3,5 8,73 ( -23,63º
Zº p = 2,24 ( -2,94º + 23,63º
Zº p = 2,24 ( 20,69º ( Zº p = 2,10 + j0,79 ( 
 Zº1= 4 + j2 Zºp= 2,10 + j0,79
 Iº1
 
 Vº = 14,14( 30º V 
 
 
 
Zº T = Zº1 + Zºp ( Zº T = 4 + j2 + 2,10 + j0,79 
Zº T = 6,10 + j2,79 ( ( Zº T = 6,71 ( 24,58º (
�
Vº = 14,14( 30º V Zº T = 6,71 ( 24,58º (
c) corrente fasorial do circuito
Vº = Zº T.Iº1 (Iº1= Vº ( Zº T ( Iº1 = 14,14( 30º ( 6,71( 24,58º 
Iº1 = 2,11( 5,42º A ( Iº1 = 2,10 + j0,20 A
d) tensão fasorial nas impedâncias 
 Iº1 Zº1 
 
 Vº = 14,14( 30º V Vº1 Zº 2 Zº 3 
 Vº2 Vº3
 Iº2 Iº3
 
Vº1 está em série
Vº1 = Zº1.Iº1 ( Vº1 = 4,47( 26,57º x 2,11 ( 5,42º 
Vº1 = 9,43 ( 31,99º ( Vº1 = 8 + j 5 V 
Vº2 e Vº3 estão em paralelo entre si
Vº = Vº1 + Vº2= Vº3 ( Vº2= Vº3 = Vº - Vº1 ( 
Vº2= Vº3 = 12,25 + j7,07 – (8 + j5)
Vº2= Vº3 = 12,25 + j7,07 –8 - j5
Vº2= Vº3 = 4,25 + j2,07 V ( Vº2= Vº3 = 4,73 ( 25,97º V
e) corrente fasorial em cada ramal
A corrente Iº1 calculada no item c
Vº2 = Zº 2.Iº2 (Iº2= Vº2 ( Zº 2 
Iº2 = 4,73 ( 25,97º ( 7,81 ( -39,81º 
Iº2 = 0,61 ( 65,78º A ( Iº2 = 0,25 + j0,56 A
Vº3 = Zº 3.Iº3 (Iº3= Vº3 ( Zº 3 
Iº3 = 4,73 ( 25,97º ( 2,50 ( 36,87º 
Iº3 = 1,89 ( - 10,90º A ( Iº3 = 1,86 – j0,36 AExercício - 3
a) impedância de entrada
ZºT = 3 – j1 ( ( ZºT = 3,16 ( - 18,43º (
b) a corrente do circuito
Iº T = 2,50 ( 0º A ( Iº T = 2,50 A 
c) a tensão fornecida pela fonte
Vº = 7,90 ( - 18,43º V ( Vº = 7,49 - j 2,50 V 
d) a tensão em ZºR
VºR = ZºR IºT ( Vº R = 3 x 2,50 ( 0º 
Vº R = 7,50 ( 0º V ( Vº R = 7,50 V
e) a tensão em ZºC
Vº C = 12,50 ( - 90º V ( Vº C = - j 12,5 V
ADMITÂNCIA (Yº)
Como já vimos anteriormente, a admitância é o inverso do complexo impedância e a sua unidade é o Siemens (S).
Yº = 1 Zº
Expressão do complexo Admitância:
Yº = G ( jB
onde,
G = 1 / R ( condutância ( S R = resistência
B = 1 / X ( susceptância ( S X = reatância
O sinal positivo (+) indica susceptância capacitiva ( BC )
O sinal negativo (-) indica susceptância indutiva ( BL )
Nota-se que a condutância e a susceptância são o inverso da resistência e da reatância.
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