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�PAGE � �PAGE �18� APOSTILA DE FASORES Nota Esta apostila é um resumo referente ao estudo de FASORES. Para aprofundamento no assunto, pesquisar literaturas próprias e já indicadas. Professores David Alcolea e Edson Aguiar Ximenes Revisão: 06/02/2017 FASORES (Domínio da freqüência) Circuitos monofásicos de corrente alternada A representação das tensões e correntes por números complexos é chamada de FASORES. Fasor tensão ( Vº = V ( (V Vº = fasor tensão V = valor eficaz da tensão (módulo da tensão) (V = ângulo ou fase da tensão Fasor corrente ( Iº = I ( (I Iº = fasor corrente I = valor eficaz da corrente (módulo da corrente) (I = ângulo ou fase da corrente Vº e Iº são grandezas vetoriais, ou seja, tem módulo (comprimento); fase (varia no tempo) e sentido (horário e anti-horário). Impedância (Zº) É a dificuldade que um bipolo qualquer oferece à passagem de corrente elétrica alternada. A sua unidade é o ohm (Ω). Bipolo: resistor, indutor, capacitor ou composição deles. Admitância (Yº) É o inverso da impedância. A sua unidade é o Siemens (S). Yº = 1 Zº Expressões da tensão e corrente no: Domínio do tempo Domínio da freqüência v(t) = Vmax sen((t ± (V) Vº = V (± (V i(t) = Imax sen((t ± (I) Iº = I (± (I Exemplo Converta v(t)=14,14sen(377t + 30º) e i(t)= 6,37sen(377t – 50º) para o domínio da freqüência. Resolução Vmax= 14,14 ( V = Vmax ÷ √2 ( V = 14,14 ÷ √2 ( V = 10 V Vº = 10 (+30º V ( Vº = 8,66 + j5 Imax= 6,37 ( I = Imax ÷ √2 ( I = 6,37 ÷ √2 ( I = 4,50 A Iº = 4,50 (- 50º A ( Iº = 2,89 – j3,45 Relações de Fasores para Elementos de Circuitos Vamos analisar o relacionamento fasorial entre a tensão e corrente e os três elementos passivos (bipolos) R, L e C. R E S I S T O R i(t) Iº v(t) R ( Vº ZºR domínio do tempo domínio da freqüência No domínio da freqüência ( ZºR = R Vº= V (± (V Iº = I (± (I Vº = ZºRIº 1ª lei de Ohm No resistor a tensão e a corrente estão em fase ((V = (I) Diagrama fasorial y Vº Iº x Exemplo Admitindo-se a tensão v(t)= 8sen(100t - 50º) V seja aplicada a um resistor de 4Ω, determine: (a) a corrente no domínio do tempo; (b) corrente no domínio da freqüência; (c) tensão no domínio da freqüência; (d) o diagrama fasorial. Resolução corrente no domínio do tempo v(t) = i(t)R ( i(t) = v(t) ( i(t) = 8sen(100t – 50º) R 4 i(t) = 2sen(100t – 50º) A corrente no domínio da freqüência Imax= 2 ( I = Imax ÷ √2 ( I = 2 ÷ √2 ( I = 1,41 A Iº = 1,41 ( - 50º A ( Iº = 0,91 - j1,08 A tensão no domínio da freqüência Vmax= 8 ( V = Vmax ÷ √2 ( V = 8 ÷ √2 ( V = 5,66 V Vº = 5,66 ( - 50º V ( Vº = 3,64 – j4,34 V d) diagrama fasorial y x Iº Vº I N D U T O R i(t) Iº v(t) L ( Vº ZºL domínio do tempo domínio da freqüência No domínio da freqüência ( ZºL = j XL Vº = V (90º Iº = I ( 0º Vº = ZºL Iº 1ª lei de Ohm XL: reatância indutiva XL= ωL (unidade é Ω) No indutor a tensão está adiantada ((V = 90º) em relação a corrente ((I = 0º). Diagrama fasorial y Vº x Iº Exemplo A tensão v(t) = 11,314sen(100t - 30º) V é aplicada ao indutor de 20 mH conforme mostrado no circuito. Determine: (a) fasor tensão; (b) fasor corrente; (c) corrente no domínio do tempo; (d) diagrama fasorial. i(t) Iº v(t) L ( Vº ZºL domínio do tempo domínio da freqüência Resolução ZºL = jXL XL= ωL ( XL= 100 x 20 x 10- 3 ( XL= 2 Ω ZºL = j2 Ω ( ZºL = 2 ( 90º Ω fasor tensão v(t) = 11,314sen(100t - 30º) Vmax= 11,314 (V = Vmax ÷ √2 (V = 11,314 ÷ √2 ( V= 8 V Vº = 8 ( - 30º V ( Vº = 6,93 – j4 V fasor corrente Vº = ZºLIº ( Iº = Vº ( Iº = 8 ( - 30º ZºL 2 ( 90º Iº = 4 ( - 120º A ( Iº = -2 - j3,46 A corrente no domínio do tempo Iº = 4 ( - 120º ( Imax = I x √2 ( I = 4 x √2 ( I = 5,66 A i(t) = 5,66sen(100t – 120º) A d) diagrama fasorial Iº Vº C A P A C I T O R i(t) Iº v(t) C ( Vº ZºC domínio do tempo domínio da freqüência No domínio da freqüência ( ZºC = - j XC Vº = V ( 0º Iº = I ( 90º Vº = ZºC Iº 1ª lei de Ohm XC: reatância capacitiva XC = 1 ωC (unidade é Ω) No capacitor a corrente está adiantada ((I = 90º) em relação à tensão ((V = 0º). Diagrama fasorial y Iº x Vº Exemplo A tensão v(t) = 16,971sen(100t - 45º) V é aplicada a um capacitor de 5 mF conforme mostrado no circuito. Determine: (a) fasor tensão; (b) fasor corrente; (c) corrente no domínio do tempo; (d) diagrama fasorial. i(t) Iº v(t) C ( Vº ZºC domínio do tempo domínio da freqüência Resolução ZºC = - jXC XC = 1 ωC ( XC= 1 100 x 5 x 10- 3 ( XC = 2 Ω ZºC = -j2 Ω ( ZºC = 2 ( - 90º Ω a) fasor tensão v(t) = 16,971sen(100t - 45º) Vmax= 16,971 (V = Vmax ÷ √2 (V = 16,971 ÷ √2 ( V= 12 V Vº = 12 ( - 45º V ( Vº = 8,49 – j8,49V b) fasor corrente Vº = ZºCIº ( Iº = Vº ( Iº = 12 ( - 45º ZºC 2 ( - 90º Iº = 6 ( 45º A ( Iº = 4,24 + j4,24 A c) corrente no domínio do tempo Iº = 6 ( 45º ( Imax = I x √2 ( I = 6 x √2 ( I = 8,49 A i(t) = 8,49sen(100t + 45º) A d) diagrama fasorial y Iº xVº Natureza do circuito Zº = R + j(XL – XC) ( Zº = R + jX X = XL – XC ( X = reatância total do circuito Se X = XL – XC Natureza XL > XC X > 0 Indutivo XL < XC X < 0 Capacitivo XL = XC X = 0 Resistivo Se X = 0, o circuito está em ressonância, isto é, o circuito é ressonante, neste caso a tensão e a corrente estão em fase, o circuito comporta-se como resistivo. Circuitos ressonantes são usados freqüentemente em eletrônica para selecionar, entre as várias freqüências presentes, aquela que se deseja usar. Resumo Bipolo Impedância Fasor tensão Fasor corrente Resistor R ZºR = R Vº = V ( (V Iº = I ( (I Indutor L ZºL = jXL Vº = V ( 90º Iº = I ( 0º Capacitor C ZºC = -jXC Vº = V ( 0º Iº = I ( 90º Para representar um circuito no domínio da freqüência, basta substituir a tensão e a corrente pelos seus respectivos fasores. Assim como, o resistor, indutor e capacitor pelas impedâncias (Zº) correspondentes ou admitâncias (Yº). ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS A associação de impedâncias segue o mesmo princípio da associação de resistores. Circuito Série ZºR Vº ZºL ZºC ZºT = ZºR + ZºL + ZºC Circuito Paralelo Vº Zº L 1 = 1 + 1 + 1 ZºT ZºR Zº L ZºC Exercícios 1) Considerando que a freqüência angular seja 2 rad/s, determine a impedância equivalente do circuito. 10 ( 2 H 0,2 F � 2) Dado o circuito i1 4( 0,01 H 2 ( V= 20sen(200t + 30º)V 6 ( 0,02 H 1000 ( F i2 I3 2000 ( F Determine: a) representação do circuito no domínio da freqüência b) a impedância equivalente c) corrente fasorial do circuito d) tensão fasorial nas impedâncias e) corrente fasorial em cada ramal 3) No circuito, a tensão no indutor é VL=14,142 sen(100t+ 90º). Então, IT 3 ( V 40 mH VL = 14,142 sen(100t + 90º) V 2 mF determine: a) impedância de entrada b) a corrente do circuito c) a tensão fornecida pela fonte d) a tensão em ZºR e) a tensão em ZºC Resoluções dos exercícios Exercício -1 Redesenhe o circuito, substituia R,L e C pelas suas respectivas impedâncias (ZºR, Zº L e ZºC ). ZºR Zº L ZºC � ZºR= R Zº L = jXL Zº C = - jXC ZºR= 10 ( XL = (L XC= 1 (C XL = 2 x 2 XL = 4 ( XC= 1__ 2 x 0,2 Zº L = j4 ( XC= 2,5 ( Zº C = - j2,5( ZºT = ZºR + Zº L + ZºC ( ZºT = 10 + j4 - j2,5 ( ZºT = 10 + j1,5 ( ( ZºT = 10,11 ( 8,53º ( Exercício – 2 a) representação no domínio da freqüência ZºR= R Zº L = jXL Zº C = - jXC ZºR1= 4 ( XL = (L XC= 1 (C ZºR2= 6 ( XL1 = 200 x 0,01= 2 ( XC2= 1 ( (200 x 103 x 10- 6) ZºR3= 2 ( Zº L1 = j2 ( XC2 = 5 ( ( Zº C2 = - j5( XL3 = 200 x 0,02= 4 ( Zº L3 = j4 ( XC3=1 ( (200 x 2x103 x 10- 6) XC3 = 2,5 ( ( Zº C3 = - j2,5( V = Vmax ( (2 ( = 200 rad/s (As impedâncias estão em ( ) Iº1 ZºR1= 4 Zº L1 = j2 ZºR3= 2 Vº = 14,14( 30º V ZºR2= 6 Zº L3 = j4 Zº C2 = - j5 Vº = 12,25 + j7,07 V Iº2 Iº3 Zº C3 = - j2,5 b) a impedância equivalente Zº1= 4 + j2 ( ( Zº1= 4,47 ( 26,57º ( Zº2= 6 – j5 ( ( Zº2= 7,81 ( -39,81º ( Zº3= 2 + j4 –j2,5 ( Zº3= 2 + j1,5 ( Zº3= 2,50 ( 36,87º ( Iº1 Zº1= 4 + j2 Zº3= 2 + j1,5 Vº = 14,14( 30º V Zº 3 Zº 2 = 6 - j5 Iº2 Iº3 As impedâncias Zº2 e Zº3 estão em paralelo entre si, calcule a impedância parcial. Zº parcial = Zº 2 x Zº3 ( Zº p = 7,81 ( -39,81º x 2,50 ( 36,87º Zº 2 + Zº3 6 – j5 + 2 + j1,5 Zº p = 19,53 (- 2,94º ( Zº p = 19,53 ( - 2,94º ( 8 – j3,5 8,73 ( -23,63º Zº p = 2,24 ( -2,94º + 23,63º Zº p = 2,24 ( 20,69º ( Zº p = 2,10 + j0,79 ( Zº1= 4 + j2 Zºp= 2,10 + j0,79 Iº1 Vº = 14,14( 30º V Zº T = Zº1 + Zºp ( Zº T = 4 + j2 + 2,10 + j0,79 Zº T = 6,10 + j2,79 ( ( Zº T = 6,71 ( 24,58º ( � Vº = 14,14( 30º V Zº T = 6,71 ( 24,58º ( c) corrente fasorial do circuito Vº = Zº T.Iº1 (Iº1= Vº ( Zº T ( Iº1 = 14,14( 30º ( 6,71( 24,58º Iº1 = 2,11( 5,42º A ( Iº1 = 2,10 + j0,20 A d) tensão fasorial nas impedâncias Iº1 Zº1 Vº = 14,14( 30º V Vº1 Zº 2 Zº 3 Vº2 Vº3 Iº2 Iº3 Vº1 está em série Vº1 = Zº1.Iº1 ( Vº1 = 4,47( 26,57º x 2,11 ( 5,42º Vº1 = 9,43 ( 31,99º ( Vº1 = 8 + j 5 V Vº2 e Vº3 estão em paralelo entre si Vº = Vº1 + Vº2= Vº3 ( Vº2= Vº3 = Vº - Vº1 ( Vº2= Vº3 = 12,25 + j7,07 – (8 + j5) Vº2= Vº3 = 12,25 + j7,07 –8 - j5 Vº2= Vº3 = 4,25 + j2,07 V ( Vº2= Vº3 = 4,73 ( 25,97º V e) corrente fasorial em cada ramal A corrente Iº1 calculada no item c Vº2 = Zº 2.Iº2 (Iº2= Vº2 ( Zº 2 Iº2 = 4,73 ( 25,97º ( 7,81 ( -39,81º Iº2 = 0,61 ( 65,78º A ( Iº2 = 0,25 + j0,56 A Vº3 = Zº 3.Iº3 (Iº3= Vº3 ( Zº 3 Iº3 = 4,73 ( 25,97º ( 2,50 ( 36,87º Iº3 = 1,89 ( - 10,90º A ( Iº3 = 1,86 – j0,36 AExercício - 3 a) impedância de entrada ZºT = 3 – j1 ( ( ZºT = 3,16 ( - 18,43º ( b) a corrente do circuito Iº T = 2,50 ( 0º A ( Iº T = 2,50 A c) a tensão fornecida pela fonte Vº = 7,90 ( - 18,43º V ( Vº = 7,49 - j 2,50 V d) a tensão em ZºR VºR = ZºR IºT ( Vº R = 3 x 2,50 ( 0º Vº R = 7,50 ( 0º V ( Vº R = 7,50 V e) a tensão em ZºC Vº C = 12,50 ( - 90º V ( Vº C = - j 12,5 V ADMITÂNCIA (Yº) Como já vimos anteriormente, a admitância é o inverso do complexo impedância e a sua unidade é o Siemens (S). Yº = 1 Zº Expressão do complexo Admitância: Yº = G ( jB onde, G = 1 / R ( condutância ( S R = resistência B = 1 / X ( susceptância ( S X = reatância O sinal positivo (+) indica susceptância capacitiva ( BC ) O sinal negativo (-) indica susceptância indutiva ( BL ) Nota-se que a condutância e a susceptância são o inverso da resistência e da reatância. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ( (( ( ( ( ( ( ~~ (
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