Física Experimental - Aula2

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UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO
ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO
Física Experimental 
Profo José Wilson Vieira 
jose.wilson59@uol.com.br 
AULA 02: PROCESSOS DE ANÁLISE GRÁFICA E NUMÉRICA 
Modelos Não-Lineares
Recife, março de 2014
 Modelo Exponencial
ATIVIDADES NESTA AULA
 Modelo Potencial
 Resumo da Aula Anterior
 Primeiro Relatório de Física Exponencial
Modelos Matemáticos Usados em Física Experimental
RESUMO DA AULA ANTERIOR
LINEAR
EXPONENCIAL
POTENCIAL
PASSOS REALIZADOS NUMA EXPERIÊNCIA
MEDIR
 ANALISAR
 OBTER RESULTADOS
 TESTAR
MEDIR
Ex.: Lei de Hooke
Dado adicional: k = 32 N/m  32 gf/cm
ANALISAR: GRÁFICO LINEAR
MÓDULOS
Obs: Ao invés de arredondar, sempre truncar os modelos.
OBTER RESULTADOS
Nossos resultados são os coeficientes A e B da Lei de Hooke,
(xi, Fi) e (xf, Ff)
(C.O.)mm e (C.A.)mm
Dados obtidos do gráfico
TESTAR RESULTADOS
1º PROCESSO: Testar uma constante do problema
Erro Relativo
2º PROCESSO: Testar a variável dependente do problema
Erro Relativo Médio
x(cm)
F(gf)
Fc(gf)
Erro(%)
5,9
200
191,43889
4,280556
12,2
400
403,80976
0,952441
18,0
600
599,32581
0,112366
25,0
800
835,29345
4,411681
29,0
1000
970,13210
2,986790
Média
2,55
OBS: ARREDONDAMENTOS
REGRA DO “MAIS POBRE” OU “MAIS POBRE + 1”
x(cm)
F(gf)
5,9
200
12,2
400
18,0
600
25,0
800
29,0
1000
Esta tabela de entrada tem:
 1 medida com 2 Algarismos significativos
 8 medidas com 3 Algarismos significativos
 1 medida com 4 Algarismos significativos
Devemos arredondar os resultados (A, B e os ERs) com 3 algarismos significativos.
DESVIO-PADRÃO DA MÉDIA
 Deixar  com apenas 1 algarismo significativo;
 Arredondar k médio.
O MODELO LINEAR – ANÁLISE NUMÉRICA
ANÁLISE NUMÉRICA PARA O PRIMEIRO RELATÓRIO
- MEDIR
x(cm)
F(gf)
5,9
200
12,2
400
18,0
600
25,0
800
29,0
1000
Dado adicional: k = 32 gf/cm
- ANÁLISE NUMÉRICA
Construa uma tabela com as colunas indicadas abaixo, calcule as somas e as médias, e, por fim, A e B.
x
F
xF
x2
 
 
 
 
...
...
...
...
 
 
 
 
Somas
 
 
 
 
Médias
 
 
- OBTER RESULTADOS
Escreva a equação da regressão linear, F = Ax + B, com A e B arredondados pela regra do mais pobre (ou mais pobre + 1). 
- TESTAR RESULTADOS
Construa uma tabela com as colunas indicadas abaixo, calcule as somas e as médias, e, por fim, R.
x
F
(x-xmédio)2
(F -Fmédio)2
 
 
 
 
...
...
...
...
 
 
 
 
Somas
 
 
 
 
Médias
 
 
MODELO POTENCIAL
ANÁLISE GRÁFICA
MEDIR
 ANALISAR
 OBTER RESULTADOS
 TESTAR
MEDIR
Ex.: Períodos de oscilação de um sistema massa-mola.
Dado adicional: k = 32 N/m
T(s)
m(kg)
0,40
0,100
0,66
0,300
0,80
0,500
0,95
0,700
1,05
0,900
Quantos algoritmos significativos para os resultados?
ANALISAR
Por que devemos usar um modelo matemático não-linear para obtenção da equação m = f(T)?
Para um oscilador harmônico simples vale a fórmula:
Teoria
Modelo
T(s)
m(kg)
0,40
0,100
0,66
0,300
0,80
0,500
0,95
0,700
1,05
0,900
GRÁFICO DILOG 2 x 1
Para fazer um gráfico dilog:
 Precisamos gerar (software FisicaExperimental) um papel dilog de acordo com as grandezas físicas da tabela, que serão os rótulos dos eixos do gráfico.
 O papel é dividido, não em mm, mas proporcionalmente às mantissas dos logaritmos das grandezas físicas.
 Usamos a decimal.
 Colocamos a potência de 10 igual ou imediatamente superior ao valor máximo das medidas no extremo superior do papel (para o y) ou no extremo direito (para o x). Evidentemente o papel fornecido deverá ter divisões suficientes para abarcar a menor medida.
Neste caso, precisamos de um papel dilog 2 x 1.
T(s)
m(kg)
0,40
0,100
0,66
0,300
0,80
0,500
0,95
0,700
1,05
0,900
0,10
1,00
10,00
0,100
1,000
 MÓDULOS: Nesta abordagem, não usaremos módulos para eixos cujos espaçamentos foram “deformados”, isto é, não são mais lineares (são proporcionais às mantissas de logaritmo). Ao imprimir um papel de acordo com os limites da tabela, já estamos modelando os dados ao espaço disponível.
 Não esquecer que devemos colocar no papel as variáveis e suas unidades, título, autor e data; e que o gráfico é de dispersão.
OBTER RESULTADOS
(Ti, mi)
(Tf, mf)
Do gráfico escolhemos:
(Ti, mi) e (Tf, mf)
TESTAR RESULTADOS
1º PROCESSO: Testar o parâmetro A
2º PROCESSO: Testar o parâmetro B
Teoria
Modelo
MODELO POTENCIAL
ANÁLISE NUMÉRICA
MEDIR
 ANALISAR
 OBTER RESULTADOS
 TESTAR
MEDIR
Ex.: Períodos de oscilação do sistema massa-mola.
Dado adicional: k = 32 N/m
T(s)
m(kg)
0,40
0,100
0,66
0,300
0,80
0,500
0,95
0,700
1,05
0,900
A técnica da regressão linear também pode ser usada para alguns modelos não-lineares como potências e exponenciais.
No caso das potências escritas no formato
ANALISAR: REGRESSÃO LINEAR 
aplicamos o algoritmo da regressão linear já descrito à potência transformada em uma equação linearizada. Para fazer esta transformação, tomamos o logaritmo decimal de ambos os lados da equação potencial. 
Neste caso, obtemos
Dilog
- OBTER RESULTADOS
Para escrever a equação da regressão linearizada, m = BTA, precisamos calcular A e B.
Para o 1º RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL, você dever organizar seus cálculos em uma tabela, como esquematizado abaixo.
T(s)
m(kg)
X=logT
Y=logm
XY
X2
 
 
 
 
 
 
 ...
 ...
...
...
...
...
 
 
 
 
 
 
Somas
 
 
 
 
Médias
 
 
 
 
Escreva a equação da regressão linearizada, m = BTA, com A e B arredondados pela regra do mais pobre (ou mais pobre + 1). 
- TESTAR RESULTADOS
Construa uma tabela com as colunas indicadas abaixo, calcule as somas e as médias, e por fim, o coeficiente de correlação, r.
X
Y
(X-Xmédio)2
(Y-Ymédio)2
 
 
 
 
...
...
...
...
 
 
 
 
Somas
 
 
 
 
Médias
 
 
MODELO EXPONENCIAL
ANÁLISE GRÁFICA
MEDIR
 ANALISAR
 OBTER RESULTADOS
 TESTAR
MEDIR
Ex.: Altura da coluna d’água em função do tempo de escoamento.
y(cm)
t(s)
100,0
4,5
90,0
7,2
80,0
10,0
70,0
13,3
60,0
17,2
50,0
21,4
40,0
27,3
30,0
33,8
20,0
44,2
10,0
61,1
ANALISAR
Por que devemos usar um modelo matemático não-linear para obtenção da equação y = f(t)?
Modelo proposto
y(cm)
t(s)
100,0
4,5
90,0
7,2
80,0
10,0
70,0
13,3
60,0
17,2
50,0
21,4
40,0
27,3
30,0
33,8
20,0
44,2
10,0
61,1
Linearização
GRÁFICO MONOLOG 1
Para fazer um gráfico monolog:
 Precisamos gerar (software FisicaExperimental) um papel monolog de acordo com as grandezas físicas da tabela, identificando claramente qual o eixo linear e qual o que vai ter os intervalos proporcionais às mantissas dos logaritmos.
 Para o eixo linear, devemos obter um módulo, como no papel mm;
 Para o eixo não-linear procedemos como no gráfico dilog.
 Veja o procedimento aplicado à tabela de entrada de dados no nosso exemplo.
Neste caso, precisamos de um papel monolog 1.
100,0
10,0
y(cm)
t(s)
100,0
4,5
90,0
7,2
80,0
10,0
70,0
13,3
60,0
17,2
50,0
21,4
40,0
27,3
30,0
33,8
20,0
44,2
10,0
61,1
Eixo não-linear
Eixo linear
 Colocar no papel as variáveis e suas unidades, título, autor e data. Lembrar que este é um gráfico de dispersão.
(yf, tf)
(yi, ti)
(C.A.)mm
OBTER RESULTADOS
Do gráfico: (yi, ti), (yf, tf) e (C.A.)mm
TESTAR RESULTADOS
Como não temos constantes conhecidas no problema, testamos a variável depende.
Erro Relativo Médio
t(s)
y(cm)
yc(cm)
Erro(%)
4,5
100,0
100,183636
0,183636
7,2
90,0
89,757794
0,269118
10
80,0
80,090309
0,112886
13,3
70,0
70,024478
0,034968
17,2
60,0
59,746754
0,422077
21,4
50,0
50,358875
0,717749
27,3
40,0
39,608544
0,978639
33,8
30,0
30,401588
1,338628
44,2
20,0
19,909855
0,450723
61,1
10,0
10,008001
0,080009
Média
0,459
MODELO EXPONENCIAL
 ANÁLISE NUMÉRICA
MEDIR
 ANALISAR
 OBTER RESULTADOS
TESTAR
MEDIR
Ex.: Altura da coluna d’água em função do tempo de escoamento.
y(cm)
t(s)
100,0
4,5
90,0
7,2
80,0
10,0
70,0
13,3
60,0
17,2
50,0
21,4
40,0
27,3
30,0
33,8
20,0
44,2
10,0
61,1
Podemos aplicar a técnica da regressão a funções exponenciais,
ANALISAR: REGRESSÃO LINEAR 
porque a transformação, 
resulta na função linear
OBTER RESULTADOS
Para escrever a equação da regressão linearizada, y = BeAt, precisamos calcular A e B.
Para o 1º RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL 2, você dever organizar seus cálculos em uma tabela, como esquematizado abaixo.
y(cm)
t(s)
Y=ln(y)
tY
t2
 
 
 
 
 
 ...
...
...
...
...
 
 
 
 
 
Somas
 
 
 
 
Médias
 
 
 
 
Escreva a equação da regressão linearizada, y = BeAt, com A e B arredondados pela regra do mais pobre (ou mais pobre + 1). 
TESTAR RESULTADOS
Construa uma tabela com as colunas indicadas abaixo, calcule as somas e as médias, e por fim, o coeficiente de correlação, r.
t
Y
(t-tmédio)2
(Y-Ymédio)2
 
 
 
 
...
...
...
...
 
 
 
 
Somas
 
 
 
 
Médias
 
 
PRIMEIRO RELATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL