Gabarito P1-MAT 147 - 2017-II.pdf

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
1a Prova - MAT 147 - Ca´lculo II
DATA: 23/09/2017
NOME: MATRI´CULA: TURMA:
Em todas as questo˜es justifique suas respostas.
Boa Prova!
1a Questa˜o: (35 pontos) Resolva APENAS 3 (treˆs) dentre os itens (a), (b), (c) e (d) abaixo e
marque os treˆs itens a serem avaliados (corrigidos).
(a) � Decida se a integral
∫ 5
−2
1√|x|dx e´ convergente ou divergente. Caso seja convergente, deter-
mine seu valor.
(b) � Determine, caso exista, o limite lim
x→∞
(
1− 2 sin
(
1
x
))3x
.
(c) � A sequeˆncia (an)n∈N, definida por an =
n(−1)n
n
√
n+ 1
converge? Em caso afirmativo, calcule seu
limite.
(d) � Verifique que a se´rie
∞∑
n=3
1
n (lnn)2
e´ convergente.
Soluc¸a˜o:
(a) Note que a func¸a˜o integrando, f(x) =
1√|x| , tem uma descontinuidade do tipo infinito em
x = 0 ∈ [−2, 5] (isto e´, lim
x→0
|f(x)| =∞), logo a integral dada e´ impro´pria e∫ 5
−2
1√|x|dx =
∫ 0
−2
1√|x|dx +
∫ 5
0
1√|x|dx ∗=
∫ 0
−2
1√−xdx +
∫ 5
0
1√
x
dx = lim
A→0−
∫ A
−2
1√−xdx +
lim
B→0+
∫ 5
B
1√
x
dx = −2 lim
A→0−
[√−x]A−2+2 limB→0+ [√x]5B = −2 limA→0− (√−A−√2)+2 limB→0+ (√5−√B)
= 2
(√
2 +
√
5
)
.
∗ |x| = −x, x ∈ [−2, 0] e |x| = x, x ∈ [0, 5].
(b) Temos uma indeterminac¸a˜o do tipo 1∞, logo
lim
x→∞
(
1− 2 sin
(
1
x
))3x
= lim
x→∞
e
ln
((
1− 2 sin
(
1
x
))3x)
= lim
x→∞
e
3x ln
(
1− 2 sin
(
1
x
))
=
= e
lim
x→∞
3x ln
(
1− 2 sin
(
1
x
))
1
A u´ltima desigualdade se justifica pela continuidade da func¸a˜o exponencial em R.
lim
x→∞
3x ln
(
1− 2 sin
(
1
x
))
= 3 lim
x→∞
ln
(
1− 2 sin
(
1
x
))
1
x
∗∗
= 3 lim
x→∞
−2 cos (1/x)
1− 2 sin (1/x)
(
− 1
x2
)
− 1
x2
=
= 3 lim
x→∞
−2 cos (1/x)
1− 2 sin (1/x) = −6. Logo, limx→∞
(
1− 2 sin
(
1
x
))3x
= e−6.
∗∗ Aplicamos a Regra de L’Hospital (indeterminac¸a˜o do tipo 0
0
).
(c) A sequeˆncia dada converge para 0. De fato, note que
lim
n→∞
|an| = lim
n→∞
∣∣∣∣ n(−1)nn√n+ 1
∣∣∣∣ = limn→∞ nn√n+ 1 = limn→∞ nn (√n+ 1
n
) = lim
n→∞
1(√
n+ 1
n
) = 0.
Logo, lim
n→∞
an = 0.
(d) Vamos aplicar o Teste da Integral para verificar a convergeˆncia da se´rie de termo geral an dada.
Considere a func¸a˜o contı´nua e positiva f : [3,∞) −→ R, definida por f(x) = 1
x ln2 x
. Temos:
(i) f(n) = an, para todo natual n;
(ii) f e´ decrescente, pois f ′(x) = − [ln
2 x+ 2x lnx]
x2 ln4 x
< 0, ∀x ≥ 3.
A integral impro´pria
∫ ∞
3
f(x)dx converge, pois∫ ∞
3
f(x)dx = lim
B→∞
∫ B
3
1
x ln2 x
dx
∗
= lim
B→∞
[
− 1
lnx
]B
3
= − lim
B→∞
(
1
lnB
− 1
ln 3
)
=
1
ln 3
.
∗ Mudanc¸a de varia´vel: u = lnx; du = 1
x
dx.
Pelo Teste da Integral, a se´rie
∞∑
n=3
1
n (lnn)2
e´ convergente.
2
2a Questa˜o: (20 pontos) Determine se cada se´rie abaixo converge absolutamente, condicional-
mente ou diverge.
(a)
∞∑
n=1
3
√
n7
2n2 − 4 ; (b)
∞∑
n=1
(−1)n+1 cos (n2)
(n+
√
n)
5 .
Soluc¸a˜o:
(a) Note que lim
n→∞
3
√
n7
2n2 − 4 = limn→∞
n
7
3
2n2 − 4 = limn→∞
n2+
1
3
2n2 − 4 = limn→∞
n2n
1
3
n2
(
2− 4
n2
) = lim
n→∞
n
1
3(
2− 4
n2
) =
∞ 6= 0.
Pelo Teste da Divergeˆncia, a se´rie dada diverge.
(b) Note que
∞∑
n=1
|an| =
∞∑
n=1
|cos (n2)|
(n+
√
n)
5 e
0 ≤ |cos (n
2)|
(n+
√
n)
5 ≤
1
(n+
√
n)
5 ≤
1
n5
, ∀n ∈ N.
Como a se´rie
∞∑
n=1
1
n5
converge (se´rie hiper-harmoˆnica p = 5 > 1), pelo Teste da Comparac¸a˜o a
se´rie
∞∑
n=1
|an| converge. Portanto,
∞∑
n=1
an converge absolutamente.
3
3a Questa˜o: (25 pontos) Considere a se´rie
∞∑
n=1
(−1)n 1
n2 + 19
.
(a) Usando o Teste da Se´rie Alternada, verifique que a se´rie dada converge.
(b) Determine quantos termos da se´rie precisamos somar para encontrar a soma parcial com
precisa˜o (erro) menor que 0, 01.
Soluc¸a˜o:
(a) Seja an =
1
n2 + 19
> 0, para todo natural n.
Note que lim
n→∞
an = 0 e an+1 =
1
(n+ 1)2 + 19
=
1
n2 + 2n+ 20
≤ 1
n2 + 19
= an, ∀n ∈ N.
Pelo Teste da Se´rie Alternada, a se´rie dada converge.
(b) Sabemos, pelo Teorema da Estimativa de Erros para Se´ries Alternadas, que |S − sn| < an+1,
sendo S =
∞∑
n=1
(−1)n 1
n2 + 19
e sn a n-e´sima soma parcial. Para que o erro seja inferior a 0, 01,
devemos ter an+1 < 0, 01 = 1× 10−2. Assim,
an+1 < 1×10−2 ⇔ 1
n2 + 2n+ 20
< 10−2 ⇔ n2+2n+20 > 102 ⇔ n2+2n−80 > 0⇔ n < −10 ou n > 9.
Como n deve ser um nu´mero natural, considere n = 10. Portanto, devemos somar, pelo menos,
os 10 primeiros termos da se´rie dada para obter um erro inferior a 0, 01.
4
4a Questa˜o: (20 pontos) Classifique as afirmac¸o˜es abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F)
dando uma demonstrac¸a˜o ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se an ≤ bn, para todo natural n e a se´rie
∞∑
n=1
bn converge, enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
an converge.
(b) ( ) Se
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn sa˜o se´ries de termos positivos, ambas convergentes, enta˜o a se´rie
∞∑
n=5
anbn e´ convergente.
Soluc¸a˜o:
(a) Falso. Considere, por exemplo, an = −n e bn = 1
n2
, para todo natural n. Note que an ≤ bn,
∞∑
n=1
bn =
∞∑
n=1
1
n2
converge e
∞∑
n=1
an =
∞∑
n=1
(−n) diverge, pois lim
n→∞
(−n) = −∞ 6= 0.
(b) Verdadeiro. Note que an > 0, bn > 0, cn = anbn > 0, para todo natural n e lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn = 0
pois, por hipo´tese, as se´ries
∞∑
n=1
an e
∞∑
n=1
bn sa˜o convergentes. Temos
L = lim
n→∞
cn
an
= lim
n→∞
anbn
an
= lim
n→∞
bn = 0.
Pelo Crite´rio da Comparac¸a˜o por Limites, como L = 0 e
∞∑
n=1
an converge, a se´rie
∞∑
n=1
anbn
converge. Portanto,
∞∑
n=5
anbn tambe´m converge.
5