P3 - 2012

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F´ısica IV - 4320402
Escola Polite´cnica - 2012
GABARITO DA P3
27 de novembro de 2012
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✠Questa˜o 1
Considere uma part´ıcula de massa m e energia E num potencial unidimensional que e´
nulo na regia˜o 0 < x < d e infinito para x ≤ 0 ou x ≥ d.
(a) (0,5 ponto) Escreva a func¸a˜o de onda ψ(x) nas regio˜es x ≤ 0 e x ≥ d. Justifique.
(b) (1,0 ponto) Escreva a equac¸a˜o de Schro¨dinger independente do tempo na regia˜o
0 < x < d e as condic¸o˜es de contorno que a func¸a˜o de onda deve satisfazer.
(c) (1,0 ponto) Resolva a equac¸a˜o de Schro¨dinger com as condic¸o˜es de contorno, deter-
minando as func¸o˜es de onda (na˜o e´ necessa´rio normaliza´-las) e os n´ıveis de energia.
1
(a) Nas regio˜es x ≤ 0 e x ≥ d o potencial e´ infinito. Portanto a probabilidade |ψ(x)|2dx
e´ nula e ψ(x) = 0 .
(b) Na regia˜o 0 < x < d temos a equac¸a˜o de Schro¨dinger unidimensional com potencial
nulo, dada por
− h¯
2
2m
d2ψ(x)
dx2
= Eψ(x) .
A func¸a˜o de onda ψ(x) deve ser cont´ınua em x = 0 e x = d. Assim, as condic¸o˜es
de contorno sa˜o
ψ(0) = ψ(d) = 0 .
(c) A equac¸a˜o de Schro¨dinger em 0 < x < d pode ser reescrita como,
d2ψ(x)
dx2
= −2mE
h¯2
ψ(x) ≡ −k2ψ(x), onde k2 = 2mE
h¯2
.
As soluc¸o˜es desta equac¸a˜o sa˜o da forma
ψ(x) = A′eikx +B′e−ikx,
onde A′ e B′ sa˜o constantes.
Usando as condic¸o˜es de contorno obtemos
ψ(0) = 0 =⇒ B′ = −A′ =⇒ ψ(x) = Asen(kx),
onde A e´ outra constante e usamos e±iθ = cos θ ± isenθ.
Para que a condic¸a˜o de contorno em ψ(d) = 0 seja satisfeita, devemos ter
Asen(kd) = 0 =⇒ kd = nπ com n = 1, 2, 3, . . . .
Portanto,
En =
h¯2k2
2m
=
h¯2π2n2
2md2
e ψn(x) = Asen(
nπx
d
); n = 1, 2, 3, . . . .
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✠Questa˜o 2
Uma part´ıcula de massa m, confinada num poc¸o de potencial como indicado na figura,
tem energia total E < U0.
U0
x0
8 U(x)
E
a
I II III
U(x) =


∞ para x ≤ 0 (I)
0 para 0 < x < a (II)
U0 para x ≥ a (III)
A func¸a˜o de onda da part´ıcula e´
ψ(x) =


ψI(x) = 0 na regia˜o I
ψII(x) = A sin(kx) +B cos(kx) na regia˜o II
ψIII(x) = Ce
−βx na regia˜o III
(a) (1,0 ponto) Determine a probabilidade da part´ıcula estar na regia˜o III (x ≥ a),
supondo conhecidas as constantes A, B, C, k e β da func¸a˜o de onda e que ela esta´
normalizada.
(b) (1,0 ponto) Determine as constantes k e β.
(c) (0,5 ponto) Escreva as condic¸o˜es de contorno qe a func¸a˜o de onda deve satisfazer
(na˜o e´ necessa´rio resolveˆ-las).
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✞✝ ☎✆Soluc¸a˜o da questa˜o 2
(a) A probabilidade de encontrar a func¸a˜o na regia˜o III e´
PIII =
∞∫
a
C2e−2βxdx = −C
2
2β
e−2βx
∣∣∣∣∣
∞
a
=⇒ PIII = C
2
2β
e−2βa .
(b) A func¸a˜o de onda ψII = A sin(kx) +B cos(kx) obedece a equac¸a˜o
− h¯
2
2m
d2ψII(x)
dx2
= EψII(x)
Como d2ψII/dx
2 = −k2[A sin(kx) +B cos(kx)] = −k2ψII obtemos
h¯2
2m
k2ψII(x) = EψII(x) =⇒ k2 = 2mE
h¯2
=⇒ k =
√
2mE
h¯
.
A func¸a˜o de onda ψIII = Ce
−βx obedece a equac¸a˜o
− h¯
2
2m
d2ψIII(x)
dx2
+ U0ψIII(x) = EψIII(x)
Como d2ψIII/dx
2 = β2Ce−βx = β2ψIII obtemos
h¯2
2m
β2ψIII = (U0 − E)ψIII(x) =⇒ β2 = 2m(U0 −E)
h¯2
=⇒ β =
√
2m(U0 − E)
h¯
.
(c) As condic¸o˜es de contorno sa˜o as seguintes:


ψI(0) = ψII(0)⇐⇒ B = 0;
ψII(a) = ψIII(a)⇐⇒ A sin(ka) +B cos(ka) = Ce−βa;
dψII(x)
dx
∣∣∣∣∣
a
=
dψIII(x)
dx
∣∣∣∣∣
a
⇐⇒ k[A cos(ka)− B sin(ka)] = −βCe−βa.
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✠Questa˜o 3
A func¸a˜o de onda normalizada ψ0 do ele´tron no estado fundamental do a´tomo de hidrogeˆnio
e´ dada por
ψ0(r) =
1√
πa30
e−r/a0 ,
onde a0 e´ o raio de Bohr e r e´ a distaˆncia ao nu´cleo.
(a) (1,0 ponto) Calcule a probabilidade de encontrarmos o ele´tron, no estado funda-
mental, dentro de uma esfera de raio 2a0 centrada no nu´cleo.
(b) (0,5 ponto) Qual e´ o mo´dulo do momento angular no modelo de Bohr e na mecaˆnica
quaˆntica de Schro¨dinger para o ele´tron no estado fundamental? Expresse suas res-
postas em termos de h¯.
(c) (1,0 ponto) Se um a´tomo de hidrogeˆnio estiver no 3o n´ıvel excitado (n = 4), qual e´
o n´ıvel final atingido apo´s a emissa˜o de um fo´ton com maior comprimento de onda
poss´ıvel? Explique.
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✞✝ ☎✆Soluc¸a˜o da questa˜o 3
(a) A probabilidade de encontrarmos o ele´tron numa casca esfe´rica de raio r e espessura
dr e´:
P (r)dr = |ψ0|2dVcasca = |ψ0|24πr2dr =
(
4r2
a30
)
e−2r/a0dr
A probabilidade P(2a0) de encontrarmos o ele´tron dentro de uma esfera de raio 2a0
e´
P(2a0) =
2a0∫
0
P (r)dr =
4
a30
2a0∫
0
r2e−2r/a0dr =
1
2
4∫
0
x2e−xdx = −1
2
(x2 + 2x+ 2)e−x|4
0
.
=⇒ P(2a0) = 1− 13e−4 .
(b) Na teoria de Bohr o mo´dulo do momento angular e´ dado por L = nh¯ com n =
1, 2, 3... enquanto que na mecaˆnica quaˆntica ele e´ dado por L =
√
ℓ(ℓ+ 1)h¯ com
ℓ = 0, 1, ..., n − 1. No estado fundamental n = 1 e portanto LBohr = h¯ enquanto
que LSchro¨dinger = 0 .
(c) A energia do fo´ton e´ Efo´ton = hc/λ. Assim, a transic¸a˜o de n = 4 (3
o estado excitado)
para n = 3 (2o estado excitado) e´ o que corresponde a` menor diferenc¸a 1/n2f − 1/n2i
(a energia do ene´simo n´ıvel do a´tomo de hidrogeˆnio e´ En = −13, 6/n2 eV) e portanto
ao maior comprimento de onda poss´ıvel do fo´ton emitido.
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✠Questa˜o 4
As energias dos estados para um ele´tron que se move dentro de um poc¸o de potencial
infinito unidimensional, sa˜o dadas por
En = Dn
2 n = 1, 2, 3, ...,
sendo D > 0 uma constante. As suas respostas devem ser dadas em termos de D. Con-
sidere 7 ele´trons supostos na˜o interagentes entre si, todos eles dentro deste poc¸o de po-
tencial.
(a) (1,0 ponto) Calcule a energia do estado fundamental deste sistema, levando em conta
o spin dos ele´trons e o princ´ıpio de exclusa˜o de Pauli. Represente a distribuic¸a˜o dos
ele´trons em um diagrama de energias.
(b) (1,0 ponto) Determine a energia necessa´ria para elevar o sistema para o primeiro
estado excitado. Sugesta˜o: utilize o diagrama que voceˆ construiu no ı´tem (a) e teste
as possibilidades.
(c) (0,5 ponto) No a´tomo de hidrogeˆnio as linhas da se´rie de Balmer sa˜o devidas aos
fo´tons emitidos quando o ele´tron passa de um estado com n ≥ 3 para o estado com
n = 2. Encontre a expressa˜o equivalente para o poc¸o infinito deste problema com
apenas um ele´tron, isto e´ escreva 1/λ, onde λ e´ o comprimento de onda do fo´ton
emitido pelo ele´tron na transic¸a˜o n→ 2, em func¸a˜o de n, D, h e c.
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✞✝ ☎✆Soluc¸a˜o da questa˜o 4
(a) Os n´ıveis de energia sa˜o dados por En = Dn
2. Devido ao princ´ıpio de exclusa˜o
de Pauli so´ podemos colocar 2 ele´trons com spins opostos em cada n´ıvel. Podemos
representar o estado fundamental atrave´s do diagrama.
E3
E4
E1
E2
A energia do estado fundamental do sis-
tema de 7 ele´trons e´
E0 = D[2(12 + 22 + 32) + 42] = 44D .
(b) O estado excitado com energia mais pro´xima do estado fundamental e´ obtido promo-
vendo-se um ele´tron do n´ıvel com energia E3 para o n´ıvel com energia E4 conforme
a figura.
E3
E4
E1
E2
A energia do primeiro estado exci-
tado e´
E1 = D[2(12 + 22 + 42) + 32] = 51D.
A energia para levar o sistema do es-
tado fundamental ate´ este estado e´
E1 − E0 = 51D − 44D = 7D .
(c) A energia do ele´tron no n´ıvel n e´ En = Dn
2. Numa transic¸a˜o n → 2 a energia do
fo´ton e´
E(n→ 2) = hc
λ
= Dn2 −D22 =⇒ 1
λ
=
D
hc
(n2 − 22) .
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Formula´rio
E = hf = hc/λ, E = pc, L = nh¯, λ =
h
p
,
∆px∆x ≥ h¯/2, ∆E∆t ≥ h¯/2, h¯ = h/(2π),
− h¯
2
2m
d2ψ(x)
dx2
+ U(x)ψ(x) = Eψ(x),
L =
√
ℓ(ℓ+ 1) h¯, Lz = mℓ h¯, S =
√
s(s+ 1) h¯, Sz = ms h¯, En = −13, 6 1
n2
eV,
∫
e−xdx = −e−x, ∫ xe−xdx = −(x+ 1)e−x, ∫ x2e−xdx= −(x2 + 2x+ 2)e−x.
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