2017 1 DINÂMICA II

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1 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
 
Dinâmica II 
 
2 
 
Dinâmica II 
 
Bibliografia Recomendada 
 
Bibliografia Básica: 
HIBBELER, R.C. Dinâmica – Mecânica para Engenharia, 12º ed. Editora Pearson. 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 7 ed., Mc 
Graw Hill, 2006. 
MERIAM, J. L. Dinâmica. 2ª Edição. Traduzido por Frederico Felgueiras Gonçalves e José 
Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1989. 
 
Bibliografia Complementar: 
SHAMES, I. H. Dinâmica. Mecânica para Engenharia. 4 ed. Prentice Hall, 2003. 
GIACAGLIA, G. E. O. Mecânica Geral. Campus, 1982. 
KRAIGE, G.; MERIAM, J. L. Mecânica - Dinâmica. 5ª Edição. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, 2003. 496p. 
NORTON, Robert L. Projeto de Máquinas – Uma abordagem integrada. Traduzido por João 
Batista de Aguiar et al. 2ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2004. 887p. 
ARFKEN, George B. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física. 
Traduzido por Arlete Simille Marques. 1ª Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2007. 900p. 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
3 
Cinemática plana de corpos rígidos 
1. Introdução 
2. Corpos Rígidos 
 2.1 - Movimento de translação 
 2.2 - Movimento de rotação 
 i - breve revisão - Rotações e Velocidade Angular 
 i i - Aceleração Angular 
 i i i - Rotação com Aceleração Angular Constante 
 iv - Relação entre Velocidade e Aceleração, Lineares e 
 Angulares 
3. Atividades Introdutórias 
 Dinâmica II 
 Introdução - Dinâmica 
4 
1 - Introdução 
O fenômeno mais óbvio e fundamental que observamos à nossa volta é o 
movimento. Praticamente todos os processos imagináveis têm como 
origem o movimento dos corpos. A Terra e os outros planetas movem-se em 
torno do Sol que, por sua vez, faz girar o sistema solar em torno do centro 
da galáxia; os elétrons, em movimento no interior dos átomos, dão lugar à 
absorção e à emissão da luz e, no interior de um metal, produzem corrente 
elétrica; as moléculas de um gás, em movimento aleatório, dão origem à 
pressão e aos processos de difusão. 
Nossa experiência diária nos mostra que o movimento de um corpo é 
influenciado pelos corpos que o rodeiam, isto é, pelas interações com eles. 
Num tubo de televisão ou no monitor de um sistema de computação, por 
exemplo, o feixe de elétrons deve mover-se de forma a produzir uma 
imagem na tela. 
 Introdução - Dinâmica 
5 
Introdução 
Um dos objetivos dos físicos e dos engenheiros é descobrir a relação 
existente entre os movimentos e as interações que os produzem e dispor 
as coisas de modo a produzir movimentos úteis. 
 
Para análise e previsão do movimento de partículas (ou de corpos rígidos) 
resultante de diferentes tipos de interações, alguns conceitos primordiais 
como momento, força, e energia foram criados. Estes conceitos são tão 
importantes que raramente podemos analisar um processo sem expressá-
lo em termos destes conceitos. 
 Introdução - Dinâmica 
6 
A mecânica de Newton é uma mecânica voltada para o estudo do 
movimento de um objeto puntiforme. Diz-se que a mecânica de Newton é 
a mecânica do ponto. Mas os casos de maior interesse são aqueles em que 
estudamos não uma partícula (um ponto), mas um sistema de partículas, 
ou seja, estudamos um conjunto muito grande de objetos puntiformes. 
 
As leis de Newton valem para cada um deles. Um corpo rígido é um 
sistema constituído de partículas (átomos, por exemplo) agregadas de um 
modo tal que a distância entre as várias partes que constituem o corpo (ou 
o sistema) não varia com o tempo (não mudam), ou seja, as distâncias 
entre as várias partes que compõem o corpo são rigorosamente constantes. 
 Introdução - Dinâmica 
2 - Corpos Rígidos 
Pode-se dizer então que um Corpo Rígido pode ser definido como um 
corpo em que todos os pontos materiais conservam as distâncias entre si, 
mesmo sob aplicação de um esforço externo. 
Um corpo rígido executa basicamente dois tipos de movimento: 
movimento de translação, quando todos os pontos percorrem trajetórias 
paralelas, como em (A), e movimento de rotação, quando os pontos 
percorrem trajetórias circulares, como em (B). 
Porém o caso mais genérico do movimento de um corpo rígido é dado no 
exemplo (C); uma combinação de translação e rotação. 
 Introdução - Dinâmica 
8 
O movimento de translação pode ser analisado observando-se 
exclusivamente o centro de massa do corpo. O corpo executa movimento 
de translação se o seu centro de massa se desloca à medida que o tempo 
passa. Assim, o movimento de translação do corpo rígido está associado 
ao movimento do centro de massa. 
O que provoca o movimento de translação são as forças externas 
agindo sobre o corpo rígido. O corpo rígido se desloca de tal forma que 
tudo se passa como se todas as forças estivessem atuando sobre o centro 
de massa. 
“Nos movimentos de translação valem as leis de Newton e a conservação 
da quantidade de movimento”. 
2.1 - Movimento de translação 
 Introdução - Dinâmica 
9 
Seja um corpo rígido em translação e sejam e duas partículas quaisquer 
no interior do corpo. Num sistema de referência fixo, define-se: 
 
Derivando a expressão em relação ao termo, obtém-se: 
 
 
Ou seja, quando um corpo rígido se encontra em translação, todos os 
pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a 
mesma aceleração. 
 Introdução - Dinâmica 
 
 
Para um corpo que se move uma distância Δs durante um intervalo de 
tempo Δt sua velocidade média é definida como: 
 
A velocidade instantânea v é definida como o limite para o qual tende esta 
razão quando Δt se aproxima de zero: 
 
Se a velocidade do corpo variar Δv num intervalo de tempo Δt, ele tem 
uma aceleração média definida como: 
 
e a aceleração instantânea a é definida como limite desta razão quando Δt 
tende a zero: 
t
s
vm



dt
ds
t
s
v
t




 0
lim
t
v
tt
vv
am






12
12
dt
dv
t
v
a
t




 0
lim
 Introdução - Dinâmica 
11 
O outro movimento do corpo rígido é o movimento de rotação, que se 
observa sempre que um torque é a ele aplicado, como num pião. Por 
exemplo, em espetáculos de patinação artística no gelo, frequentemente se 
vê uma patinadora girar em torno de si mesma com os braços abertos na 
horizontal. 
2.2 - Movimento de rotação 
Ao encolher os braços sobre o peito, nota-se que a sua velocidade angular 
aumenta consideravelmente. A distribuição de massa do corpo no espaço 
afeta a rotação. 
 Introdução - Dinâmica 
O uso de coordenadas x, y e z é uma forma sofisticada de descrever as 
rotações, e sendo elas confinadas em um único plano facilmente descritas 
por um ângulo. 
xˆ
yˆ
ˆˆ z n
)(tr  )( tt 
)(t
ω
r 
 Introdução - Dinâmica 
Quando um corpo rígido está animado de rotação em torno de um eixo 
fixo, cada ponto do corpo descreve um círculo cujo centro está sobre o 
eixo de rotação e cujo plano é perpendicular ao eixo. Existem algumas 
relações simples e úteis entre a velocidade e a aceleração angulares do 
corpo em rotação e a velocidade e aceleração lineares dos seus pontos. 
 Introdução - Dinâmica 
2.3 – Rotação em torno de um eixo fixo 
Seja “r” a distância do eixo ao um ponto P do corpo que se move sobre 
uma circunferência de raio “r”. Quando o raio faz um ângulo “θ” com o 
eixo de referência, a distância “s” percorrida pelo ponto P é: 
 
Derivando ambos os membros destaequação em relação a t e tendo em 
vista que r é constante, vem: 
 
Diferenciando a equação da velocidade em função do tempo 
temos: , onde r é constante. 
 
A componente radial v2/r da aceleração do ponto P também pode ser 
expressa em termos da velocidade angular: 
rs 
rdds 
dt
d
r
dt
ds 

rv 
 r
dt
d
r
dt
dv
a 
 Introdução - Dinâmica 
Resumindo: 
 Introdução - Dinâmica 
Vetorialmente: 
O conjunto de equações vistas tem uma forma similar ao encontrado no 
caso do movimento retilíneo se substituirmos θ, ω e α por x, v e a. No 
caso em que é constante (rotação uniformemente acelerada) obtemos por 
integração direta que: 
 
 
 
As grandezas θ, ω e α que caracterizam o movimento rotacional também 
podem ser representadas vetorialmente. A direção neste caso é a do eixo 
em torno do qual o corpo roda. O sentido é definido pela regra da mão 
direita, colocando-se os dedos na direção em que θ aumenta. O polegar 
coincide então com o eixo de rotação e indica o sentido do vetor θ. 
 Introdução - Dinâmica 
Também, as equações são válidas mesmo quando ω e v não são 
constantes. 
As equações radial e tangencial da aceleração de um ponto arbitrário de 
um corpo em movimento de rotação são representadas na figura a seguir. 
xˆ
yˆ
zˆ


r

s
ω
v
taNaα
 Introdução - Dinâmica 
 Introdução - Dinâmica 
19 
No movimento de translação, quando a mesma força é aplicada a objetos 
de massas diferentes, observam-se acelerações diferentes. Já no 
movimento de rotação, quando o mesmo torque é aplicado em objetos 
idênticos com distribuição diferente de massa, observam-se 
acelerações angulares diferentes. 
 
Então, não é a massa que afeta a velocidade angular da patinadora mas a 
distribuição da massa do seu corpo. Essa distribuição pode ser expressa 
através de uma quantidade denominada momento de inércia. 
Comentário: 
 Introdução - Dinâmica 
20 
1. Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. É 
possível que a aceleração angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo 
que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o 
equivalente linear desta situação? Ilustre ambas as situações com exemplos. 
 
2. Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua 
borda. O ponto tem aceleração radial quando a roda gira com velocidade 
angular constante? Tem aceleração tangencial? 
 
3. Qual a relação entre as velocidades angulares de um par de engrenagens 
acopladas, de raios diferentes? 
3. Atividades Introdutórias 
 Introdução - Dinâmica 
4. Coloque V ou F para as afirmações a seguir a respeito dos corpos rígidos: 
a. ( ) Do ponto de vista cinemático, um Corpo Rígido (C.R.) pode ser 
definido como um corpo material que guarda a propriedade de invariância de 
distância relativa entre quaisquer pontos que o constituam. 
b. ( ) Um sólido admitido indeformável concretiza o conceito de um C.R.. 
c. ( ) A componente do vetor velocidade de qualquer ponto de um mesmo 
corpo rígido, na direção de seu vetor de rotação, independe do ponto 
considerado. 
d. ( ) Um C.R. está realizando um movimento de translação quando todos os 
seus pontos possuem mesma velocidade escalar. 
e. ( ) Um C.R. está realizando um movimento de rotação quando todos os 
seus pontos possuem mesma velocidade angular. 
 
 Introdução - Dinâmica 
5. (ENADE-adaptada) No mecanismo ilustrado, uma placa metálica gira em 
torno de um ponto fixo O devido à aplicação de uma força F constante, que 
provoca o aparecimento de um torque, isto é, faz a placa metálica girar em 
torno do ponto fixo O. 
 
 
 
Com relação ao mecanismo apresentado, julgue os itens seguintes: 
I - Quanto maior for o valor da velocidade angular ω da placa metálica, maior 
será a velocidade linear vA de sua extremidade. 
II - Quanto menor for o valor da distância entre o ponto A e o ponto fixo O, 
maior será a velocidade linear vA da extremidade da placa. 
III - O módulo da velocidade relativa do ponto A em relação ao ponto O pode 
ser calculado pela expressão vA/O = ωd. 
IV - O ponto A na extremidade da placa não possui aceleração se ela gira com 
velocidade angular ω constante. 
 Introdução - Dinâmica 
6. A velocidade angular do disco é definida por ω = 5t2 + 2 rad/s, onde t é 
dado em segundos. Determine os módulos da velocidade e da aceleração 
do ponto A do disco quando t = 0,5 s. 
 Introdução - Dinâmica 
7. O disco movimentado pelo motor tem sua posição angular definida por 
θ = (20t + 4t2) rad, onde t é dado em segundos. Determine a velocidade e a 
aceleração angulares do disco quando t = 90 s. 
 
 Introdução - Dinâmica 
8. O disco circular mostrado na figura gira em relação a seu centro O no 
sentido indicado. Em um certo instante, o ponto P, em sua borda, possui 
uma aceleração dada por a = - 3i - 4j m/s2. 
Para esse instante, determine a velocidade angular ω e a aceleração angular 
α do disco. 
 Introdução - Dinâmica 
26 
9. Uma roda tem oito raios de 30 cm. Está montada sobre um eixo fixo e 
gira à razão de 2,5 rev/s. Você pretende atirar uma flecha de 20 cm de 
comprimento através da roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a 
flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto os 
raios sejam muito finos; veja a figura. 
 
 
 
 
(a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter? 
(b) A localização do ponto que você mira, entre o eixo e a borda da roda, 
tem importância? Em caso afirmativo, qual a melhor localização? 
 Introdução - Dinâmica 
27 
 Cinemática plana de corpos rígidos 
 
Movimento de Corpos Rígidos 
1 - Movimento Absoluto 
2 - Movimento Relativo: Velocidade 
 2.1 - Posição 
 2.2 – Deslocamento 
 2.3 – Velocidade 
3 - Centro Instantâneo de Velocidade Nula 
 3.1 – Definição 
 3.2 - Localização 
4 - Movimento Relativo: Aceleração 
 
 Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
28 
Para estudar a cinemática dos corpos rígidos devemos estabelecer as 
relações que existem entre o tempo, as posições, as velocidades e as 
acelerações dos vários pontos materiais que formam um corpo rígido. 
 
. 
Movimento de Corpos Rígidos 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
1. Translação. Diz-se que um movimento é de translação quando qualquer 
reta unindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direção durante 
o movimento; e todos os pontos materiais que formam o corpo deslocam-se 
segundo trajetórias paralelas. Sendo estas trajetórias retas ou curvas, 
translação retilínea e translação curvilínea. 
29 
1. Rotação em torno de um Eixo Fixo. Neste movimento, os pontos 
materiais que formam o corpo rígido se deslocam em planos paralelos ao 
longo de circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma reta fixa, 
como mostrado na figura abaixo. 
 
Se essa reta, chamada de eixo de rotação, intercepta o corpo rígido, os 
pontos materiais situados sobre ela possuem velocidade e aceleração nulas. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
30 
Não se deve confundir o movimento de rotação com certos tipos de 
translação curvilínea. Por exemplo, a placa ilustrada na figura (a) está em 
translação curvilínea, havendo grupos de pontos materiais deslocando-se 
segundo circunferências paralelas. Enquanto a placa ilustrada na figura (b) 
está em rotação, já que todos os pontos materiais descrevem circunferências 
concêntricas. 
 
 
 
 
 
 
No primeiro caso,qualquer reta da placa conserva a mesma orientação, 
enquanto, no segundo, o ponto O permanece fixo. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
31 
3. Movimento Plano Geral. Há outros tipos de movimento plano, isto é, 
movimento em que todos os pontos materiais do corpo se deslocam em 
planos paralelos. Qualquer movimento plano que não seja de rotação ao 
redor de um eixo fixo sem translação, considera-se como um movimento 
plano geral. Dois exemplos de movimento plano geral são dados na 
figura abaixo. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
32 
4. Movimento em torno de um Ponto Fixo. Este é movimento 
tridimensional de um corpo rígido com um ponto fixo O. Um exemplo 
típico é o movimento de um pião sobre o solo. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Movimento Geral. Qualquer movimento de um corpo rígido que não 
esteja incluído nos tipos anteriormente mencionados é denominado 
movimento geral. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
33 
Movimento de Corpos Rígidos 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
34 
 Será abordado o movimento de translação, a rotação de um corpo rígido 
em torno de um eixo fixo. 
 
Definiremos a velocidade angular e a aceleração angular do corpo e 
relacionaremos a velocidade e aceleração de um ponto qualquer do corpo 
com seu vetor de posição e as quantidades angulares mencionadas. 
 
Serão estudados mecanismos como engrenagens, barra de conexão e 
articulações; bem como o método de análise das velocidades no 
movimento plano que se baseia no conceito de centro instantâneo de 
rotação. 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 O movimento absoluto é completamente definido pelo conhecimento da 
rotação de uma linha fixa do corpo e do movimento de um ponto desse 
corpo. 
 
 
 
O estudo do movimento absoluto de 
um Corpo Rígido irá relacionar o 
movimento de um corpo com o de 
outro a ele conectado, e estudar o 
movimento de um corpo sujeito a uma 
rotação em torno de um eixo fixo. 
 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Deve-se utilizar uma coordenada de posição retilínea s para situar o ponto 
em sua trajetória e uma coordenada de posição angular θ para especificar 
a rotação da linha. 
 
 A velocidade e a aceleração de um ponto P em movimento retilíneo 
podem ser relacionadas com a velocidade e a aceleração angulares de uma 
linha pertencente ao corpo pela aplicação direta das equações diferenciais: 
 
dt
ds
v 
 
dt
dv
a 
 
dt
d
 
dt
d
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
37 
Exemplo 1: 
A barra DC gira uniformemente em torno do eixo em D com uma 
velocidade angular ω constante. Determinar a velocidade e a aceleração 
da barra AB que é obrigada pelas guias a se mover verticalmente. 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
B 
Solução: 
 Analisando o movimento vertical da barra, para sua coordenada y 
podemos escrever: 
 
 
Como vAB = vy , aAB = ay , = ω e = α = 0; 
 
 Temos: 
 
B 
)..(cos.cos 2  senlaylvylseny yy 
 

 cos...cos llvy   senlay ..
2
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
39 
Exemplo 2: 
O bloco B desliza para a direita com a velocidade de 300 mm/s. Calcule 
as velocidades do corpo deslizante A e dos pontos C e D dos cabos. 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Solução: 
Considerando os deslocamentos constantes representado podemos escrever: 
 
Como vB = 300 mm/s → vA = 200 mm/s 
Para encontrar a velocidade do ponto C: 
 
Como vA = 200 mm/s → vC = 600 mm/s 
 
Para o ponto D: 
 
Então → vD = - 200 mm/s 
3
2
2323 BA
BA
BA
v
v
dt
dx
dt
dx
ctexx 
AC
CA
CA vv
dt
dx
dt
dx
ctexx 333 
AD
DA
DA vv
dt
dx
dt
dx
ctexx 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
dt
ds
v 
 
dt
dv
a 
 
dt
d
 
dt
d
 
MOVIMENTO ABSOLUTO 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
42 
Atividades 
1. Uma roda de raio r rola sobre uma superfície plana sem deslizar. 
Determine a aceleração de um ponto na extremidade da roda, quando o 
ponto entra em contato com a superfície sobre a qual a roda rola. 
 R: r.ω2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
43 
2. Considerando que a mola mantém o contato entre o rolete e a superfície 
de acionamento da haste mostrada na figura, determine o módulo da 
aceleração da haste B para θ = 60º. A manivela AO tem uma velocidade 
angular de 2 rad/s e uma aceleração angular de 6 rad/s2 nessa posição. 
 R: 37,1 mm/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
44 
3. No instante em que θ = 50 º, a guia está subindo com aceleração de 
3 m/s2 e velocidade de 2 m/s. Determine a aceleração e a velocidade 
angulares da barra AB no instante considerado. 
 R: 8,7 rad/s; 50,5 rad/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
45 
4. Ao ponto A é fornecida uma aceleração constante a para a direita, 
partindo do repouso com x praticamente nulo. Determine a velocidade 
angular ω da barra de ligação AB em função de x e de a. 
 R: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
46 
5. O braço ranhurado AO mostrado na figura gira com uma velocidade 
angular constante durante um intervalo limitado de seu movimento, e 
move o bloco deslizante pivotado ao longo da ranhura horizontal. Escreva 
as expressões para a velocidade vB e para a aceleração aB do bloco 
deslizante em função de θ. R: vB = bω sec
2 θ, aB = 2bω
2 sec2 θ tg θ 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
47 
6. Usa-se o mecanismo para converter o movimento de rotação com 
velocidade angular constante ω = 4 rad/s da barra AB, de comprimento 
l = 50 cm, em movimento de translação da barra CD. Determine a 
velocidade e a aceleração de CD para um ângulo θ = 45º. 
 R: vx = 1,41 m/s; ax = 5,66 m/s
2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
48 
7. A extremidade R da barra mostrada na figura mantém-se em contato 
com a came por meio de uma mola. Se a came gira em torno de um eixo 
pelo ponto O, com uma aceleração angular α e velocidade angular ω, 
determine a velocidade e a aceleração da barra quando a came tem uma 
posição arbitrária θ. 
 R: vR = 2rωsen θ; aR = 2r(αsen θ + ω
2cos θ) 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
49 
8. A plataforma S pode ser elevada hidraulicamente pelo movimento do 
rolete A que se aproxima do pino B. Se a velocidade de A é de 1,5 m/s 
determine a velocidade com que a plataforma sobe considerando θ = 60º. 
As barras de 4 m estão articuladas por pinos em seus pontos médios. 
R: 0,866 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
50 
9. A carga L é içada pela combinação polia-cabo. Se o sistema parte do 
repouso e o cabo superior adquire uma velocidade igual a v = 4 m/s com 
aceleração constante quando a carga está a 6 m acima da sua posição de 
partida, calcular a aceleração da carga e determinar a sua velocidade neste 
instante. 
 R: a = 0,0208 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
51 
QuestãoDesafio 
O disco A rola sem escorregar sobre a superfície de um cilindro fixo B. 
Determine a velocidade angular de A se o seu centro C tem velocidade 
vC = 5 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
52 
Para visualizar as componentes (translação e rotação) separadamente 
utiliza-se uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos 
de eixos coordenados: 
 
 
 
 
 
 
 
. o sistema x, y, z fixo; mede a posição absoluta entre dois pontos, A e B 
por exemplo. 
. outro sistema x', y', z'; com origem fixada no ponto de referência A (que 
tem um movimento conhecido). Estes eixos não giram com o corpo, eles 
poderão apenas transladar em relação ao sistema fixo. 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
53 
 - Posição 
 
rA: vetor posição que caracteriza a localização do ponto de referência A. 
rB/A: posição relativa que localiza B em relação à A. 
 
A posição de B é escrita: 
 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Deslocamento 
Num pequeno intervalo de tempo dt, os pontos A e B se deslocam de drA e 
drB. Considerando o movimento plano geral por partes, pode-se inicialmente 
transladar o corpo como um todo de uma quantidade drA de modo que o ponto 
da base se move para posição final, e B se move para B'. O corpo então gira 
de um ângulo dθ em torno de A, de modo que B' sofre um deslocamento 
relativo drB/A, movendo para sua posição final B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
O deslocamento se escreve: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Velocidade 
 
Tomando as velocidades como derivadas dos deslocamentos, tem-se: 
 
 
vB: velocidade absoluta do ponto B (medida em relação aos eixos fixos 
x, y, z). 
vA: velocidade absoluta do ponto A (medida em relação aos eixos fixos 
x, y, z). 
vB/A: velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A. 
 
Devido a rotação em torno de A, escreve-se: vB/A = ω.rB/A 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
57 
A rotação em torno de A é um movimento relativo circular, em que o 
módulo da velocidade é vB/A = ωrB/A e sua direção é perpendicular a rB/A. 
Uma vez que a velocidade relativa (vB/A) representa o efeito de um 
movimento circular em relação a A, esse termo pode ser expresso pelo 
produto vetorial: 
 
 Então: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
 
 
 
A figura (a) mostra a contribuição vcm para a velocidade de um ponto 
qualquer da periferia Pi; a figura (b) mostra a contribuição proveniente da 
rotação em torno do centro de massa, ω × ri, para a velocidade desses pontos 
e na figura (c) estão indicadas as velocidades desses pontos, obtidas por meio 
da soma vetorial das contribuições desenhadas nas figuras (a) e (b). 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
60 
Exemplo 1 
 
Uma roda de raio r rola para a esquerda sem deslizar e, no instante 
considerado, o centro O tem uma velocidade v0 para a esquerda. 
Determinar a velocidade dos pontos A e C sobre a roda no instante 
mostrado. 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
61 
Resolução: 
 
A velocidade de A pode ser determinada usando-se O como ponto de 
referência da equação: 
 onde 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Como a roda não desliza, o ponto C apresenta velocidade 
nula no instante do contato com o solo e é chamado de centro instantâneo 
de velocidade nula, que será estudado mais à frente. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
62 
Exemplo 2 
Uma chapa quadrada uniforme, movendo-se no plano xy, possui uma 
velocidade angular no sentido horário. No instante mostrado, o ponto A 
tem uma velocidade de 2 m/s para a direita, e a velocidade do ponto C em 
relação a um observador fixo a B tem módulo de 1,2 m/s. Determine as 
expressões vetoriais para a velocidade angular da chapa e para a 
velocidade de seu centróide G. 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Resolução: 
 
A velocidade angular pode ser determinada usando-se a velocidade do 
ponto C em relação a ponto B: 
 
smjiv
jikiv
rvv
sradk
sradrv
G
G
AGAG
CBCB
/)ˆ6,0ˆ6,2(
)ˆ2,0ˆ2,0(ˆ3ˆ2
/ˆ3
/3
4,0
2,1
;











64 
Atividades 
1. Num dado instante um cilindro de raio r, tem velocidade angular ω e 
aceleração angular α, como indicado na figura. 
Determine a velocidade de seu centro G sabendo que o cilindro rola sem 
escorregar. 
 
 
MOVIMENTO RELATIVO: Velocidade 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
65 
2. O cilindro rola sem deslizar sobre a superfície de uma correia 
transportadora que se move a 2 m/s. Determine a velocidade do ponto A. 
O cilindro tem uma velocidade angular no sentido horário ω = 15 rad/s 
no instante mostrado. 
 R: v = 12,1 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
3. Uma roda de raio r = 300 mm rola para a direita sem deslizar, e seu 
centro O possui uma velocidade v0 = 3 m/s. Calcule: 
a) A velocidade angular da roda no instante considerado. 
b) A velocidade do ponto A sobre a roda para o instante representado. 
c) A velocidade de um ponto P em contato com o solo nesse instante. 
 R: 10 rad/s; 4,36 m/s; 0 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
67 
 
4. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira 
inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita 
e sua velocidade angular é igual a 8 rad/s no sentido horário. Determine 
os módulos das velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da 
engrenagem. 
 R: vR = 2 m/s; vD = 1,7 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
5. A manivela AB gira a 500 rad/s em torno de um eixo fixo passando por 
A. Determine a velocidade do pistão P no instante em que ele passa pela 
posição mostrada na figura. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
69 
 
6. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. Se a 
velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine o módulos 
das velocidades dos pontos A e B, mostrados na figura. 
R: vA = 2,84 m/s; vB = 7,37 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
70 
 
7. O elemento de controle de um mecanismo de aplicação específica é 
submetido a um movimento no plano da figura. Se, em um determinado 
instante, a velocidade do pino B em relação ao pino A tem um módulo de 
0,926 m/s, qual é o módulo correspondente da velocidade do pino C 
relativamente ao pino D? 
R: vC/D = 0,579 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
71 
 
8. Num dado instante, um bumerangue tem velocidade angular 
ω = 4 rad/s e seu centro de massa G tem velocidade vG = 6 m/s. 
Determine a velocidade do ponto B nesse instante. 
R: v = 6,47 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
72 
 
9. A bicicleta tem velocidade v = 4 pés/s, enquanto a roda traseira gira no 
sentido horário com velocidade angular ω = 3 rad/s, o que provoca um 
escorregamento de seu ponto de contato A. Determine a velocidade do 
ponto A da roda. R: 2,5 pés/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
73 
 
10. A barra mostrada na figura é guiadapelos blocos A e B, que se movem 
nas ranhuras fixas. Se a velocidade de A é de 2 m/s para baixo, determine 
a velocidade de B no instante em que θ = 45º. 
R: 2 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
11. Num dado instante, o colar C mostrado na figura está descendo com 
uma velocidade de 2 m/s. Se o ponto B possui velocidade de 2 m/s para a 
direita, determine a velocidade angular da barra CB. 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
12. Conforme o carro avança a 80 pés/s numa pista molhada, as rodas 
traseiras, devido a um escorregamento, giram com uma velocidade 
angular ω = 100 rad/s. 
Determine a velocidade escalar do: 
a) Ponto A b) ponto B c) ponto C 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
13. Um disco gira com velocidade angular ω = 4 rad/s, como mostrado na 
figura. Determine: 
a) A velocidade vA do ponto A. Você se lembra como pode ser chamado 
esse ponto no instante considerado? 
b) As velocidades vB e vC dos pontos B e C nesse instante. 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Outra abordagem para solução de problemas envolvendo as velocidades 
dos pontos de uma placa rígida em movimento plano é baseada na 
determinação do centro instantâneo de rotação (CI) da placa. 
 
 
 
 
 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
A expressão da velocidade relativa permite calcular a 
velocidade de um ponto quando conhecemos a velocidade de um ponto 
base. 
Esta determinação se simplifica quando a velocidade do ponto base é 
nula; e o ponto base se torna o C.I.R. 
 
Então: 
 
 
 
 O eixo de velocidade nula é perpendicular ao plano do movimento. 
 Os pontos se movem em trajetória circular em torno do CI. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
A figura mostra uma roda girando com velocidade angular ω. Como os 
pontos em contato têm a mesma velocidade, no contato com o piso v = 0, 
este ponto é o CI e todos os outros pontos têm naquele instante uma 
trajetória circular em relação ao CI. 
 
Em geral, um novo centro instantâneo CI existirá para cada nova posição 
do corpo durante o seu movimento. O lugar geométrico desses centros no 
espaço é conhecido como centrodo espacial, e o lugar geométrico sobre o 
corpo (ou prolongamento do corpo) é conhecido como centrodo de corpo. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
- Localização 
Em função das grandezas conhecidas, podemos distinguir três casos: 
 
1. A velocidade instantânea vA e a velocidade 
angular ω são conhecidas. Então rA/CI = vA / ω. 
 
 
2. As direções das velocidades de dois pontos 
A e B são conhecidas. Neste caso o CI 
localiza-se no ponto de encontro das 
perpendiculares às direções das velocidades 
nos pontos A e B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 Tem-se: rA/CI + rB/CI = d ou rB/CI – rA/CI = d 
 
O CI só vale para um determinado instante! 
Não significa que a aceleração é nula! 
3. Os módulos e direção de duas velocidades paralelas são conhecidas. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Exemplo 1: 
Para o instante representado, o centro instantâneo de velocidade nula para 
a chapa retangular, sujeita a um movimento plano, é localizado em C. Se 
a chapa possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido anti-horário 
nesse instante, determine o módulo da velocidade do centroide O da 
chapa. 
 
 
 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Resolução: 
É necessário inicialmente encontrar a distância rOC 
Aplicando a expressão escalar da velocidade relativa: 
smsmmv
rv
mmr
O
OCO
OC
/077,1/1077)4.(269
269250100 22




Exemplo 2: 
O eixo do conjunto da roda mostrada na figura rola sem deslizar sobre a 
superfície horizontal fixa, e o ponto O possui uma velocidade de 0,8 m/s 
para a direita. Utilizando o procedimento do CI, determine as velocidades 
dos pontos A, B, C e D. 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
smrv
smrv
smrv
smrv
sradrv
DPD
CPC
BPB
APA
OPO
/92,3)16.(050,0250,0
/08,4)16.(250,0050,0
/2,3)16.(200,0
/8,4)16.(300,0
/16
050,0
8,0
;
22
22










Resolução: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
86 
Atividades 
 
1. O disco rola sem deslizamento sobre duas chapas A e B, as quais 
movem-se paralelamente uma a outra, mas em direções opostas. Se 
vA = 2 m/s e vB = 4 m/s, posicionar o centro instantâneo de velocidade nula 
para o disco, e determinar a velocidade do ponto D no instante 
representado. 
 
CENTRO INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
2. A caixa representada na figura move-se mantendo as arestas C e D em 
contato com as paredes lisas contidas respectivamente no plano OX e OY. 
Num determinado instante a velocidade do ponto D é 0,5 m/s. Determine 
nesse instante: 
a) As coordenadas do centro instantâneo de rotação 
b) A velocidade angular da caixa. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
88 
 
3. Na situação mostrada na figura, o disco gira com velocidade angular 
ω = 4 rad/s. Utilizando o conceito de centro instantâneo de rotação (CI), 
determine as velocidades dos pontos B e C. 
 R: 1,2 m/s; 0,849 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
89 
4. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre a cremalheira 
inferior estacionária; a velocidade do seu centro A é 1,2 m/s para a direita. 
Determine as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da 
engrenagem usando o método do centro instantâneo de rotação. 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
90 
 
5. A extremidade A da barra possui uma velocidade vA = 2 m/s para baixo 
durante um certo intervalo de seu movimento. Para a posição em que 
θ = 30º, determine, pelo método do centro instantâneo de rotação, a 
velocidade angular ω da barra AB e a velocidade vG do centróide G da 
barra. R: ω = 11,55 rad/s; vG = 1,155 m/s, 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
91 
 
6. A lâmina de uma ceifadeira mecânica gira no sentido anti-horário a uma 
velocidade angular de 1800 rpm. Se o centrodo de corpo é um círculo com 
0,75 mm de raio, calcule a velocidade vO da ceifadeira. 
R: 0,1414 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
92 
 
7. O cubo da roda rola sem escorregar na superfície horizontal. Se a 
velocidade de seu centro é vC = 2 m/s para a direita, determine utilizando 
o conceito de Centro Instantâneo de Velocidade Nula (C.I.) as velocidades 
dos pontos A e B mostrados na figura. 
R: 7,33m/s; 2,83 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
93 
 
8. O cilindro mostrado na figura rola sem escorregar entre as placas E e D. 
Determine a posição do centro instantâneo de rotação do cilindro e sua 
velocidade angular. 
R: 2,6 rad/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
94 
 
9. A roda motriz dianteirade um veículo possui um diâmetro de 650 mm e 
uma velocidade angular ω de 200 rpm quando em movimento sobre uma 
pista de gelo. Se o centro instantâneo de velocidade nula da roda está 
100 mm acima do ponto de contato do pneu com a pista, determine a 
velocidade v do veículo e a velocidade de deslizamento vd do pneu sobre o 
gelo. 
R: 4,71 m/s, 2,09 m/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
95 
Uma equação que relaciona a aceleração de dois pontos de um corpo 
rígido sujeito a um movimento plano geral pode ser determinada pela 
derivação da equação de velocidade em relação ao tempo: 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 e são acelerações absolutas medidas no sistema de 
coordenadas fixo. 
 
 é medido por um observador fixo ao sistema móvel em 
translação. 
 
O movimento relativo tem uma trajetória circular com raio rB/A. 
 
 Então: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Voltando à expressão da aceleração relativa: 
 Pode-se escrever: 
 
Em que os módulos são: 
 : com direção perpendicular a rB/A 
 : com direção igual a BA e o sentido de B para A. 
Estas componentes representam um movimento circular observado num 
referencial em translação. 
Utilizando a noção de produto vetorial: 
 
 
 Resultando: 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
98 
Pode-se concluir que quando dois corpos são articulados: 
 
- pontos coincidentes na rótula têm a mesma aceleração. Descrevem a 
mesma trajetória; 
- se fazem contatos mas se movem em trajetórias diferentes terão a 
mesma aceleração tangencial (at); porém as acelerações totais não serão 
iguais pois an é diferente para cada trajetória. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
99 
Exemplo 1: 
No primeiro exemplo do cálculo da velocidade relativa, vimos a 
determinação das velocidades dos pontos A e C sobre a roda de raio r que 
rola para a esquerda sem deslizar no instante considerado. Vamos agora 
determinar as acelerações destes mesmos pontos da roda no instante 
considerado, lembrando que o centro O tem uma velocidade v0 para a 
esquerda. 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
Resolução: 
A aceleração de A é dada por: aA = aO + aA/O, 
onde o termo da aceleração relativa tem as componentes:(aA/O)n = r0ω
2, 
dirigida de A para O, e a componente (aA/O)t = r0α dirigida ao longo de t. 
A adição dos vetores dá aA. 
A aceleração do centro instantâneo de velocidade nula C, considerado 
um ponto sobre a roda, é obtida pela expressão: aC = aO + aC/O, 
em que as componentes da aceleração relativa são: 
(aC/O)n = rω
2, dirigida de C para O, e 
(aC/O)t = rα, dirigida para a direita, 
para levar-se em conta a aceleração angular no sentido anti-horário de 
linha CO em torno de O. 
 
Os termos são adicionados conjuntamente, e tem-se que: aC = rω
2. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
102 
Atividades 
 
1. Num dado instante, o cilindro de raio r visto anteriormente tem 
aceleração angular α. Determine a aceleração de seu centro G se o cilindro 
rola sem escorregar. 
MOVIMENTO RELATIVO: Aceleração 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
103 
2. O centro da dupla engrenagem já vista em problemas anteriores tem 
uma velocidade de 1,2 m/s para a direita e uma aceleração de 3 m/s2 na 
mesma direção e sentido. Determine: (a) a aceleração angular da 
engrenagem; (b) as acelerações dos pontos B, C e D da engrenagem. 
R: (a) α = -20 rad/s2; (b) aB = 8,1 m/s
2 
aC = 9,6 m/s
2 
aD = 13 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
104 
3. O volante mostrado na figura possui um diâmetro de 600 mm e gira 
aumentando sua velocidade de rotação em torno de seu eixo, que coincide 
com a orientação z. Quando o ponto P sobre sua borda cruza o eixo y com 
θ = 90º, ele possui uma aceleração dada por a = - 1,2 i - 10,8 j (m/s2) 
Para esse instante, determine a velocidade angular ω e a aceleração 
angular α do volante. R: 6 rad/s; 4 rad/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
105 
4. As duas pás de rotor com 800 mm de raio giram no sentido anti-horário 
com uma velocidade angular constante 2 rad/s em torno do eixo O 
montado em um bloco deslizante. A aceleração do bloco é aO = 3 m/s
2. 
Determine o módulo da aceleração da ponta A da pá quando (a) θ = 0º, (b) 
θ = 90º e (c) θ = 180º. A velocidade de O ou o sentido de ω influenciam o 
cálculo? R: (a) 0,2 m/s2, (b) 4,39 m/s2, (c) 6,2 m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
106 
5. O centro O da roda é montado em um bloco deslizante que possui uma 
aceleração aO = 8 m/s
2 para a direita. Determine os módulos das 
acelerações dos pontos A e B para o instante em que θ = 45º, ω = 3 rad/s, 
α = - 8 rad/s2. 
R: aA = 12,8 m/s
2, aB = 3,21 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
107 
6. Para o instante representado na figura, o vértice C da chapa retangular 
possui uma aceleração de 5 m/s2 no sentido negativo do eixo y, e a placa 
possui uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido horário que diminui 
de 12 rad/s a cada segundo. Determine a aceleração do vértice A nesse 
instante. R: aA = 11,18 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
108 
7. O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e 
aceleração angular α = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola 
sem deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da 
aceleração de B para esse instante. 
R: aB = 16,44 m/s
2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
109 
8. A bola mostrada na figura possui 0,5 m de raio e rola sem escorregar 
para a esquerda com aO = 2 m/s
2. Determine as acelerações vetoriais dos 
pontos B e A. 
 
R: aB = (–20 i + 2 j) m/s2; aA = (–4 i – 18 j) m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
110 
9. Num dado instante, o bloco deslizante A tem a velocidade e a 
aceleração mostradas na figura. Se a barra AB possui velocidade angular 
constante ωAB = 7,07 rad/s, determine a aceleração aB do bloco B nesse 
instante. 
R: 11,9 m/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
111 
10. O centro da roda mostrada na figura está se deslocando para a direita 
com aceleração escalar a = 5,80 m/s2,velocidade angular ω = 2 rad/s e 
aceleração angular α = 4 rad/s2. Sabendo que o ponto A não escorrega e 
que o raio da roda vale r = 1,45 m, determine a aceleração do ponto B. 
R: 13,9 m/s2 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
30º 
Na discussão das equações do movimento relativo para a análise do 
movimento plano de corpos rígidos, foram utilizados eixos de referências 
não-girantes para descrever a velocidade relativa e a aceleração relativa. O 
uso de eixos de referência girantes facilita bastante a solução de muitos 
problemas de cinemática, em que o movimento é gerado no interior de um 
sistema ou observado a partir de um sistema que está girando. 
Inicia-se a descrição do movimento utilizando eixos girantes na análise do 
movimento plano de duas partículas A e B no plano XY. 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Considera-se, inicialmente, que as partículas A e B se movem 
independentemente uma da outra. Observa-se o movimento de A a partir 
de um sistema de referência xy em movimento, que possui sua origem fixa 
a B e que gira com uma velocidade angular ω = dθ/dt. Pode-se escrever 
esta velocidade angular como o vetor ω = ωk = dθ/dk,que é perpendicular 
ao plano do movimento e cujo sentido positivo coincide com a orientação 
positiva da direção z, conforme estabelecido pela regra da mão direita. O 
vetor posição absoluta da partícula A é dado por: rA = rB + r 
 rA = rB + (xi + yj) ou 
onde i e j são vetores unitários fixos ao referencial xy, e r = xi + yj, 
representativo de rA/B, é o vetor posição de A em relação a B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 jyixrr BA ˆˆ

Ao contrário do caso de eixos em translação, os vetores unitários i e j estão 
girando com o sistema de eixos xy e, portanto, suas derivadas em relação ao 
tempo devem ser calculadas. 
Utilizando o conceito de produto vetorial, pode-se perceber, pela figura, que 
ω X i = ωj e ω X j = - ωi. 
 
 
 
 
 
 
Assim, as derivadas em relação ao tempo dos vetores unitários podem ser 
expressas como: di/dt = ω X i = ωj e dj/dt = ω X j = - ωi 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Utilizando as expressões das derivadas dos vetores unitários, e derivando 
em relação ao tempo a equação do vetor posição de A e B, 
 
obtém-se a relação da velocidade relativa: 
 
 
Porém, 
e uma vez que o observador em xy percebe as componentes da velocidade 
vx e vy, tem-se que 
que é a velocidade em relação ao sistema de referência xy. 
 
Assim, a equação da velocidade relativa fica: 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
   jyixjyixrr
jyix
dt
d
dt
rd
dt
rd
BA
BA




 ˆˆ
 jyixrr BA ˆˆ

ryjxiyjxijyix
   )(
relvjyix

 
A figura ilustra o movimento da partícula A em relação ao plano girante xy, 
limitado pela ranhura curva na chapa que representa o sistema de referência 
girante xy. A velocidade de A, medida relativamente à chapa, , é tangente à 
trajetória fixa na chapa xy e possui um módulo ds/dt, onde s é medido ao longo 
da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
Essa velocidade relativa pode também ser vista como a velocidade 
 relativa a um ponto P fixo à chapa e coincidente com A no instante 
considerado. O termo possui um módulo e uma direção perpendicular 
a , e é a velocidade relativa a B no ponto P vista dos eixos não-girantes 
fixos a B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
relv

r


BAv /

r

r
A equação da aceleração relativa pode ser obtida derivando-se a relação da 
velocidade relativa. 
 
Assim: 
 
 
Trabalhando-se os termos do lado direito da equação, com o auxílio das 
equações das derivadas dos vetores unitários, e agrupando os termos 
idênticos, obtém-se a expressão vetorial geral da aceleração absoluta de uma 
partícula A em função de sua aceleração medida relativamente a um 
sistema de coordenadas móvel que gira com uma velocidade angular e 
uma aceleração angular . 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
relBA
relBA
vrraa
vr
dt
d
vv






relrelBA avrraa
   2)(
rela





Os termos e representam, respectivamente, as 
componentes tangencial e normal da aceleração do ponto coincidente P 
em seu movimento circular em relação a B. Esse movimento pode ser 
observado de um conjunto de eixos não-girantes movendo-se com B. O 
módulo de é , e sua direção é tangente ao círculo. O módulo de 
 é rω2 e sua orientação é de P para B ao longo da normal ao 
círculo. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
relrelBA avrraa
   2)(
r
  )( r

 
BPa /

r
  r
)( r

 
A aceleração de A em relação à chapa ao longo da trajetória, , pode ser 
expressa em coordenadas retangulares, normal e tangencial, ou polares, no 
sistema girante. Geralmente são utilizadas as componentes n e t, e essas 
componentes foram ilustradas na figura anterior. 
A componente tangencial possui um módulo , 
onde s é a distância medida ao longo da trajetória até A. 
 
 
A componente normal tem módulo , 
onde ρ é o raio de curvatura da trajetória medida em xy. 
 
O sentido desse vetor é sempre em direção ao centro de curvatura. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
rela

sa trel )(

2
)( relnrel
v
a 
Os resultados expressos pela equação da aceleração relativa podem ser 
visualizados de forma mais simples escrevendo-se a aceleração de A em 
função da aceleração do ponto coincidente P. 
Uma vez que a aceleração de P é 
 
pode-se reescrever a equação da aceleração relativa como: 
 
 
Quando a equação é escrita dessa forma o ponto P não pode ser escolhido 
aleatoriamente, pois ele é um ponto fixo ao sistema de referência girante 
coincidente com A no instante da análise. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
)( rraa BP
  
relrelPA avaa

 2
Exemplo 1: 
A figura mostra uma partícula A que move-se numa ranhura circular de 80 
mm de raio, no mesmo instante em que uma placa gira em torno de sua 
extremidade inferior O, na razão ω = dθ/dt. Determinar a velocidade de A 
na posição para a qual θ = 45º se, neste instante, dθ/dt = 3 rad/s e 
dβ/dt = 5 rad/s. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
Resolução: 
Os eixos xy, fixados à placa com origem em B constituem o sistema girante de 
referência. A relação da velocidade relativa é vA = vB + ω x r + vrel. Os termos 
mostrados na parte (b) da figura representam os vetores velocidades e posição. 
 
 O ponto B move-se num arco circular em torno de O; assim sua 
velocidade tem a intensidade: |vB| = rBω = √2 . 0,10 . 3 = 0,424 m/s 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 O termo ω x r é a velocidade relativa em relação a B do ponto P sobre 
a placa e coincidente com A. A linha PB gira com a velocidade angular 
ω = dθ/dt, de tal forma que: |ω x r| = |vP/B| = rω = 0,08 . 3 = 0,24 m/s 
A velocidade vrel de A em relação a placa depende de dβ/dt e tem a 
intensidade: 
 |vrel| = rdβ/dt = 0,08 . 5 = 0,40 m/s 
Adicionando-se os três vetores dá: = 0,453 m/s    22 24,040,0424,0 Av
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Exemplo 2: 
 
No instante representado na figura, o disco com uma ranhura radial gira em 
torno do ponto O com uma velocidade angular de 4 rad/s no sentido anti-
horário, que diminui a uma taxa de 10 rad/s2. O movimento do cursor A é 
controlado separadamente, e, nesse instante r = 150 mm, v = 125 mm/s e 
a = 2025 mm/s2. Determinar a velocidade e a aceleração absolutas do cursor 
A para essa posição. 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
Resolução: 
Nesse caso, tem-se um movimento relativo a uma trajetória de rotação, de modo que um 
sistema de coordenadas girante com origem em O é o mais indicado. Considera-se, 
assim, o sistema de eixos xy fixo ao disco e utilizam-se os vetores unitários i e j. 
Considerando a origem em O, o termo da equação da velocidade relativa 
desaparece, e tem-se: 
 
 
A velocidade angular, como um vetor, é rad/s, onde k é o vetor unitário 
perpendicular ao plano xy, no sentido z positivo. A equação da velocidade relativa fica: 
 
 
 e possui um módulo de:m/s 
 
Bv

relA
relBA
vrv
vrvv






)/(125,0600,0125,0150,04 smijiikvA 

    613,0125,0600,0 22 Av
kB 4

 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Para determinar a aceleração, pode-se escrever para a aceleração nula da origem do 
sistema girante de coordenadas: 
 
 Os termos conhecidos ficam: 
 
 
 
 
 
 
Portanto a aceleração total é: = (2,025 – 2,4)i + (1,0 – 1,5)j = - 0,375i – 0,5j m/s2 
e possui módulo igual a: 
 
relrelA avrra
   2)(
 
)/(025,2
)/(0,1125,0)4(22
)/(5,1150,010
)/(4,26,04150,044)(
2
2
2
2
smia
smikv
smjikr
smijkikkr
rel
rel











    222 /613,0125,0600,0 smvA 
Aa

 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
127 
Atividades 
1. Um mastro fixo A é visto por um observador P que está sentado em um 
pequeno carrossel que gira em torno de um eixo vertical que passa por B 
com uma velocidade angular constante Ω, conforme mostrado. Determinar 
a velocidade aparente de A, vista pelo observador P. Essa velocidade 
depende da localização do observador sobre o carrossel? 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
MOVIMENTO RELATIVO A EIXOS GIRANTES 
2. O carro B está realizando uma curva com uma velocidade constante de 
54 Km/h, e o carro A está se aproximando do carro B no cruzamento com 
uma velocidade constante de 72 Km/h. Determinar a velocidade que o carro A 
aparenta ter para um observador viajando no carro B e fazendo a curva. Os 
eixos xy são fixos ao carro B. Seria essa velocidade aparente o negativo da 
velocidade que B parece possuir para um observador não-girante no carro A? 
A distância de separação dos dois carros no instante considerado é de 40 m.
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
3. Os jatos estão voando à mesma altitude e têm os movimentos indicados 
na figura. Determine a velocidade de A medida pelo piloto de B. 
R: 94 Km/h 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
4. No instante em que θ = 60º, a barra fixa em O mostrada na figura tem uma 
velocidade angular de 3 rad/s e uma aceleração angular de 2 rad/s2. Nesse 
instante, o colar C desloca-se para fora ao longo da barra, de modo que 
quando x = 0,2 m, a velocidade é 2 m/s e a aceleração é 3 m/s2, ambas 
medidas relativamente à barra. Determine as expressões vetoriais para a 
velocidade e para a aceleração do colar C nesse instante. 
R: 2i – 0,6j m/s; 1,2i – 12,4j m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
5. O bloco que está preso numa corda move-se ao longo da ranhura numa 
barra horizontal. Na situação mostrada na figura, a corda é puxada para baixo 
através do orifício em O, com aceleração de 4 m/s2 e velocidade de 2 m/s. 
Determine a aceleração do bloco nessa situação. A barra gira em torno de O 
com velocidade angular constante ω = 4 rad/s. 
R: –5,6i – 16j m/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
6. A bola B, de tamanho desprezível, rola num tubo, de forma que num dado 
instante ela tem uma velocidade de 5 pés/s e uma aceleração de 3 pés/s2, 
medidas relativamente ao tubo. Se o tubo tem velocidade angular ω = 3 rad/s 
e aceleração α = 5 rad/s2 nesse instante, determine a velocidade da bola. 
R: 5i + 6j pés/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
7. Considere o movimento da bola do exercício anterior, determine sua 
aceleração para o instante considerado. 
R: -15i + 40j pés/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
8. Um homem está numa plataforma girante, inicialmente em O. Ele corre 
para a borda, de forma que, quando ele está em A, y = 0,5 pé, seu centro de 
massa tem velocidade de 2 pés/s e aceleração de 3 pés/s, ambas medidas 
relativamente à plataforma e orientadas ao longo do eixo y. Se a plataforma 
tem o movimento de rotação definido na figura, determine a velocidade do 
seu centro de massa, na situação considerada. 
 R: -2,5i + 2j pés/s 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
9. Considere o movimento sobre a plataforma girante do homem do exercício 
anterior. Determine a aceleração do centro de massa do homem, para a 
situação considerada. 
R: -3i + 1,75j pés/s2 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
10. A aeronave de transporte B está voando com uma velocidade de 800 km/h 
em uma trajetória em arco de 15 km de raio. Quando B atinge a posição 
mostrada, a aeronave A, voando para sudoeste a uma velocidade constante de 
600 km/h, cruza a linha radial de B até o centro da curvatura C de sua 
trajetória. Escreva a expressão vetorial, utilizando o sistema de eixos x-y fixo 
a B, para a velocidade de A quando medida por um observador no interior de 
B. 
 Cinemática dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
137 
Agora você deve tentar resolver este mega simulado para a 
avaliação V1! 
Ele traz questões que abrangem todos os assuntos estudados sobre 
Cinemática de Corpos Rígidos. Se necessário, faça uso da 
formulação vista durante seus estudos. 
Aproveite esta ótima oportunidade para se preparar para a V1... 
 
Bons estudos! 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
138 
Questão 1. 
O disco está girando inicialmente com velocidade angular ω0 = 8 rad/s. 
Considerando uma aceleração angular constante αc = 6 rad/s
2, determine 
os módulos da velocidade e dos componentes n e t da aceleração do 
ponto A, no instante t = 3 s. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
139 
Questão 2. 
Considere as engrenagens A e B mostradas na figura. Sabendo que A 
parte do repouso e tem aceleração angular constante αA = 2 rad/s
2, 
determine o tempo necessário para B atingir uma velocidade angular 
ωB = 50 rad/s 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
140 
Questão 3. 
O cilindro hidráulico C impõe à extremidade A da barra AB uma 
velocidade constante v0 no sentido negativo da direção x. Determine as 
expressões para a velocidade angular ω = dθ/dt da barra em função de x. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
141 
Questão 4. 
No sistema motor mostrado na figura, l = 0,254 m e b = 0,0762 m, a 
manivela AB gira com velocidade angular constante de 750 rpm, no 
sentido horário. Determine a velocidade do pistão P e a velocidade 
angular da biela para a posição em que θ = 90°. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
142 
Questão 5. 
No instante em que θ = 50º, a guia mostrada na figura está subindo com 
velocidade de 3 m/s e aceleração de 2 m/s2. Determine a velocidade e a 
aceleração angulares da barra AB no instante considerado. Observação: o 
movimento para cima da guia ocorre no sentido negativo de y. 
 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
500 mm 
143 
Questão 6. 
Se a extremidade da corda está sendo puxada com velocidade 
vC = 120 mm/s, determine as velocidades angulares das polias A e B e a 
velocidade do bloco D. Suponha que a corda não escorregue nas polias. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
144 
Questão 7. 
Uma roda de raio r = 300 mm rola para a direita sem deslizar, e seu 
centro O possui uma velocidade v0 = 3 m/s. Calcule a velocidade do 
ponto A sobre a roda para o instante representado. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
145 
Questão 8. 
A manivela CB oscila em torno de C através de um arco limitado, 
obrigandoa manivela OA a oscilar em torno de O. Quando o mecanismo 
passa pela posição mostrada com CB horizontal e OA vertical, a 
velocidade angular de CB é de 2 rad/s no sentido anti-horário. Para esse 
instante, determine as velocidades angulares de OA e AB. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
146 
Questão 9. 
A configuração usual de um motor alternativo é a do mecanismo de 
bloco deslizante e manivela apresentado. Se a manivela OB possui uma 
velocidade de rotação no sentido horário de 1500 rpm, determine para a 
posição em que θ = 60°, a velocidade do pistão A, a velocidade do ponto 
G sobre a biela e a velocidade angular da biela. 
 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
147 
Questão 10. 
Mostre como se pode determinar o centro instantâneo de velocidade 
nula para a barra BC mostrada na figura. Se necessário, represente-o 
na figura. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
148 
Questão 11. 
Devido ao escorregamento, os pontos A e B na borda do disco de raio 
r = 0,8 pés têm as velocidades indicadas na figura. Determine: 
a) a posição do centro instantâneo de velocidade nula; 
b) a velocidade do centro C disco. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
149 
Questão 12. 
Para o instante representado, quando a manivela OA passa pela posição 
horizontal, determine a velocidade do centro G da barra AB pelo método 
do CIR. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
150 
Questão 13. 
O centro O do disco possui velocidade angular ω = 7,5 rad/s e aceleração 
angular α = 12,5 rad/s2 no instante considerado. Se o disco rola sem 
deslizar sobre a superfície horizontal determine o módulo da aceleração 
de B para esse instante. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
151 
Questão 14. 
Num dado instante, o pé A da escada tem aceleração aA = 4 pés/s
2 e 
velocidade vA = 6 pés/s, ambas para a esquerda. Determine a aceleração 
do topo B e a aceleração angular da escada, nesse instante. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
152 
Questão 15. 
Determine a aceleração linear do bloco deslizante B que desloca-se para 
a direita com a velocidade e a aceleração mostradas na figura. Nesse 
instante, a roda possui aceleração angular constante igual 0,42 rad/s2. 
Lembre-se que para a inclinação representada, a velocidade do ponto A é 
paralela à do bloco B, o que indica que a barra AB não está girando. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
153 
Questão 16. 
Lança-se um aro sobre uma superfície áspera de forma que num dado 
instante ele tem velocidade angular ω = 4 rad/s e desaceleração angular 
α = 5 rad/s2, como indica a figura. Considerando que seu centro tem 
velocidade v0 = 5 m/s e desaceleração a0 = 2 m/s
2, determine a 
aceleração do ponto A, nesse instante. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
154 
Questão 17. 
O disco mostrado na figura rola sem deslizar sobre a superfície horizontal e, 
no instante representado, o centro O tem a velocidade e a aceleração 
indicadas. Nesse instante, o centro O tem a velocidade e a aceleração 
indicadas. Nesse instante, a partícula A possui a velocidade indicada por u e 
a taxa de variação com o tempo da velocidade ambas relativas ao disco. 
Determine a velocidade absoluta da partícula A. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
155 
Questão 18. 
Considere o disco do problema anterior, mostrado novamente na figura, 
Determine a aceleração absoluta da partícula A. 
 Introdução - Dinâmica II Cinemática de Corpos Rígidos - Dinâmica II 
156 
Prof. DSc. Valtency F. Guimarães 
 
Dinâmica II 
 
157 
 
Cinética Planar de Corpos Rígidos: Força e Aceleração 
 
1. Introdução 
 
2. Momento de inércia de uma massa 
 
3. Equações Cinéticas Planares do Movimento 
 
4. Equação do movimento de translação 
 
5. Equações do movimento de rotação em torno de um eixo fixo 
 
6. Equações do movimento: movimento plano geral 
 CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
158 
A cinética de corpos rígidos trata das relações entre as solicitações (forças 
e momentos) que atuam num corpo e o correspondente movimento 
(translação e rotação) desse corpo. As relações cinemáticas para o 
movimento plano de corpos rígidos foram anteriormente desenvolvidas, 
sendo agora necessárias neste estudo do movimento planar de corpos 
rígidos. 
 
Este estudo é aplicado a movimentos planares de corpos rígidos que, tal 
como as solicitações aplicadas, são considerados simétricos relativamente 
a um plano de referência fixo. Este plano de referência contém o centro de 
massa e todas as forças e momentos que atuam no corpo podem ser 
projetados para esse plano de referência. 
 1. Introdução 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
159 
Um corpo que tenha dimensões apreciáveis na direção normal ao plano de 
referência pode ser tratado como possuindo movimento plano. Estas 
idealizações incluem claramente um vasto número de movimentos de 
corpo rígido. 
 
Uma forma básica de abordar a Cinética é pelo isolamento do corpo ou 
sistema a ser analisado. Para problemas que envolvem as relações 
instantâneas entre força, massa e aceleração ou quantidade de movimento, 
o corpo ou sistema deve ser explicitamente definido isolando-se o mesmo 
com o seu diagrama de corpo livre. 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
160 
Quando forem empregados os princípios do trabalho e energia, um 
diagrama de forças que mostra somente aquelas forças externas que 
realizam trabalho sobre o sistema pode ser usado no lugar do diagrama de 
corpo livre. Nenhuma solução de um problema deve ser tentada sem 
primeiro definir o contorno externo completo do corpo ou sistema, e 
identificar todas as forças externas que atuam sobre ele. 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
161 
 Uma vez que um corpo rígido tem uma forma e tamanho definidos, um 
sistema de forças aplicadas ao corpo poderá não ser concorrente, 
provocando momentos que irão resultar numa aceleração angular do 
corpo. O movimento de rotação é descrito por uma equação do tipo 
 
 
 
 onde o termo IG é a quantidade designada por momento de inércia. 
 2. Momento de Inércia 
 
 
 
  

.GG IM
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
162 
Por comparação, pode-se afirmar que o momento de inércia é uma medida 
da resistência do corpo à aceleração angular, da mesma forma que a massa 
é uma medida da resistência do corpo à aceleração: 
 
Cada partícula fornece alguma resistência à mudança no movimento 
angular. 
Importante: 
- Propriedade de um objeto em resistir às mudanças no seu movimento 
angular. 
- É afetado pela massa do objeto e como esta está distribuída em relação 
ao eixo de rotação. 
 
 
I = m.r2 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 Momento de Inércia 
 
 
 
  

.GG IM
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Cálculo do momento de inércia 
Para o corpo representado na figura abaixo, o momento de inércia 
relativamente ao eixo z é definido como 
 
 
A distância r é medida na perpendicular a partir do eixo z até ao elemento 
de massa dm. 
 
 
 
 

m
dmrI .2
 Cinética dos Corpos Rígidos - DinâmicaO momento de inércia de uma vareta fina, de massa M e comprimento L, 
em relação ao eixo O: 
 
 
 
 
Densidade linear da vareta: → 
Cálculo do momento de inércia: 
 
 
 
 

m
dmrI .2
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
- Considerando o eixo no centro de massa da vareta (h = L/2): 
 
- Considerando o eixo no centro de massa da vareta (h = 0): 
 
 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
167 
Desde que o momento de inércia do corpo calculado relativamente a um 
eixo que passa no seu centro de massa seja conhecido, então o momento 
de inércia relativamente a qualquer outro eixo paralelo pode ser 
determinado, usando o teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner). Este 
teorema pode ser deduzido considerando o corpo representado na figura: 
 - Teorema dos eixos paralelos 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
168 
O eixo z’ passa através do centro de massa, enquanto o eixo paralelo z se 
encontra afastado a uma distância d. Escolhendo o elemento de massa dm, 
localizado no ponto (x’, y’), e usando o teorema de Pitágoras, 
 
r2 = (d + x’)2 + y’2 
 
 
Podemos expressar o momento de inércia do corpo relativamente ao eixo 
z como: 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
       
m m mmm
dmddmxddmyxdmyxddmrI 2222
22 '2''''
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
IG - momento de inércia relativamente ao eixo z´ que passa no centro de 
 gravidade G. 
m - massa do corpo 
d - distância medida na perpendicular entre os dois eixos paralelos. 
       
m m mmm
dmddmxddmyxdmyxddmrI 2222
22 '2''''
Como r’2 = x’2 + y’2, o primeiro integral representa IG . O segundo 
integral é nulo, uma vez que o eixo z' passa no centro de massa do corpo, 
isto é, , uma vez que x' = 0. 
Finalmente, o terceiro integral representa a massa total m do corpo. 
Assim, o momento de inércia relativamente ao eixo z pode ser escrito 
como: 
 
 
  
m m
dmxdmx 0''
2mdII G 
O momento de inércia relativamente a um determinado eixo é 
frequentemente referido em termos do raio de giração (k), que é uma 
medida da distribuição da massa de um corpo em torno do eixo em 
questão e a sua definição é análoga à definição de raio de giração para o 
momento de inércia de área. 
Se toda a massa m pudesse ser concentrada a uma distância k do eixo, o 
momento de inércia permaneceria inalterado. 
“É a distância teórica do eixo de rotação onde toda a massa do objeto 
deveria estar concentrada para criar a mesma resistência à mudança no 
movimento angular que o objeto oferece no seu formato original”. 
 
 
 
2mkI 
m
I
k 
 - Raio de giração 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
171 
O momento de inércia de massa de um corpo composto é a soma dos 
momentos de inércia individuais relativos ao mesmo eixo. Pode-se utilizar 
o teorema dos eixos paralelos para relacionar o momento de inércia de 
cada uma das partes no seu centro de massa, IG , com o do momento de 
inércia no centro de massa do corpo. 
 
É muitas vezes conveniente tratar um corpo composto como sendo 
definido por volumes positivos e volumes negativos. O momento de 
inércia de um elemento negativo, como o material que é removido para 
formar um furo, deve ser considerado como uma quantidade negativa. 
 - Corpos Compostos 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
172 
A tabela apresenta algumas das fórmulas mais úteis para os momentos de 
inércia de corpos com as formas mais comuns. 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
173 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
“Princípio da conservação do momento angular” 
 
O momento angular de um objeto permanece constante 
a menos que um torque externo resultante seja exercido sobre ele. 
 
A 1ª lei de newton não requer que a velocidade angular seja constante, 
mas sim que o produto do momento de inércia pela velocidade angular 
seja constante, se não houver torques externos atuando. 
 
 - INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 1ª LEI DE NEWTON 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 momento de inércia 
 velocidade angular 
momento angular 
constante 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
176 
“Mudança no momento angular” 
 Se um torque externo for exercido sobre um objeto, este irá sofrer uma 
aceleração angular no sentido deste torque e essa aceleração angular 
será diretamente proporcional ao torque e inversamente proporcional ao 
momento de inércia do objeto. 
 
 - INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 2ª LEI DE NEWTON 
 
 
 
 = T / I ou T = I 
 - aumento ou diminuição da velocidade angular 
 - mudança na direção do eixo de rotação 
 - mudança no momento e inércia 
A aceleração angular do objeto ou uma mudança no seu momento de 
inércia não necessariamente indica a presença de um torque externo 
resultante. 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
177 
 Para cada torque exercido por um objeto sobre o outro, o segundo exerce 
sobre o primeiro um torque de igual magnitude mas no sentido oposto. 
 Os efeitos dos torques dependem dos momentos de inércia dos objetos. 
 
 - INTERPRETAÇÃO ANGULAR DA 3ª LEI DE NEWTON 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
179 
O movimento dum corpo pode ser visto na figura abaixo, em que o 
sistema inercial de referência x, y, z, tem a sua origem coincidente com o 
ponto arbitrário P do corpo. 
Por definição de sistema inercial, estes eixos não rodam e, ou estão fixos, 
ou transladam com velocidade constante. 
 3. Equações Cinéticas Planares do Movimento 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
180 
Um exemplo do movimento dum corpo pode ser visto na figura abaixo, em 
que o sistema inercial de referência x, y, z, tem a sua origem coincidente 
com o ponto arbitrário P do corpo. Por definição de sistema inercial, estes 
eixos não rodam e, ou estão fixos, ou transladam com velocidade 
constante. 
 
 
 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
181 
As forças representadas na figura anterior são forças externas, que 
representam o efeito de forças gravitacionais, elétricas, magnéticas ou de 
contacto com corpos adjacentes. Uma vez que este sistema de forças foi já 
estudado na análise de um sistema de partículas, a equação que daí 
resultou pode ser aqui usada: 
 
 
 
 4. Equação do movimento de translação 
 
 
 
Soma de todas as forças 
externas que atuam no corpo 
aceleração do seu 
centro de massa 
= massa do corpo x 
G
amF 

.
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
182 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
Para o movimento do corpo no plano x-y, a equação do movimento 
 
pode ser escrita sob a forma de duas equações escalares independentes, 
uma vez que não existe nenhum movimento angular de translação do 
corpo; e assim, a aceleração angular é igual a zero. 
 
 
Então as equações do movimento que se aplicam neste caso são: 
 
 
 
 
   xGx amF
   yGy amF
0 GM
G
amF 

.
0.  

GG IM
183 
 Cinética dos Corpos Rígidos - Dinâmica 
 
 
 
Para a translação retilínea, se a direção de x é escolhida como sendo a da 
aceleração, então