2017 1sem serie fourier

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ANA´LISE DE SINAIS NO TEMPO CONT´INUO:
A SE´RIE DE FOURIER
Resumo/adaptac¸a˜o de partes do livro
LATHI, B. P Sinais e Sistemas Lineares; 2ed.; 2007. Bookman.
Esta apresentac¸a˜o tem cara´ter preliminar, realizada para apoiar as aulas teo´ricas.
Esta´ sendo colocada, sem reviso˜es, a` disposic¸a˜o do aluno apenas para guiar seus estudos
quanto ao conteu´do abordado em sala de aula.
Na˜o substitui o livro em que foi baseada. O livro deve sempre estar dispon´ıvel para
completar lacunas e permitir a detecc¸a˜o de falhas.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 1 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Plano
1 Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 2 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Sinais Perio´dicos
x(t) = x(t + T0) para todo t
O menor valor de T0 que satisfaz a condic¸a˜o de periodicidade e´ o per´ıodo
fundamental de x(t).
Esta equac¸a˜o implica em que x(t) comec¸a em −∞ e continua ate´ ∞.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 3 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Sinais Perio´dicos
A a´rea sob um sinal perio´dico x(t) para qualquer intervalo de durac¸a˜o T0
e´ a mesma, ou seja, para quaisquer nu´meros reais a e b:∫ a+T0
a
x(t) dt =
∫ b+T0
b
x(t) dt
Pois os valores para qualquer segmento de durac¸a˜o T0 sa˜o repetidos em
qualquer outro intervalo de mesma durac¸a˜o.
Por convenieˆncia, a a´rea sob x(t) para qualquer intervalo de durac¸a˜o T0
sera´ representado por ∫
T0
x(t) dt
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 4 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Sinais Perio´dicos
Uma senoide pode ser expressa em func¸a˜o de sua frequ¨eˆncia angular ω,
como em
cosω0t ou senω0t
A frequeˆncia em hertz, ou nu´mero de ciclos completos por unidade de
tempo e´ obtida dividindo-se a frequeˆncia angular pelo aˆngulo que
corresponde a um ciclo completo:
f0 =
frequeˆncia angular
1 ciclo
=
ω0
2pi
assim
ω0 = 2pif0
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 5 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Sinais Perio´dicos
enta˜o a senoide tambe´m pode ser expressa em func¸a˜o da frequ¨eˆncia f0,
como em
cos 2pif0t ou sen 2pif0t
ou ainda em func¸a˜o do per´ıodo T0
T0 =
1
f0
cos
2pi
T0
t ou sen
2pi
T0
t
A senoide de frequeˆncia nf0 e´ dita a n-e´sima harmoˆnica da senoide de
frequeˆncia f0.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 6 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Sinais Perio´dicos
Seja um sinal constitu´ıdo por senos e cossenos de frequeˆncia ω0 e todas as
suas harmoˆnicas (incluindo a harmoˆnica zero, ou seja, CC) com amplitudes
ai e bi arbitra´rias:
x(t) = a0 +
∞∑
n=1
(an cos nω0t + bn sen nω0t)
ω0 e´ denominada frequeˆncia fundamental.
note que para a harmoˆnica zero:
a0 cos (0ωt) = a0 cos (0) = a0 × 1 = a0
b0 sen (0ωt) = b0 sen (0) = b0 × 0 = 0
ou seja, na˜o ha´ o termo b0
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 7 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Sinais Perio´dicos
Uma propriedade do sinal acima e´ que ele e´ perio´dico com per´ıodo ω0,
para quaisquer valores de ω0. O que pode ser visualizado, pois os valores
das frequeˆncias sa˜o mu´ltiplos inteiros.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 8 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Sinais Perio´dicos
Qualquer combinac¸a˜o de senoide de frequeˆncias
0, f0, 2f0, · · · , kf0 e´ um sinal perio´dico com per´ıodo T0 = 1/f0,
independentemente dos valores das amplitudes ak e bk das senoides.
O inverso tambe´m e´ va´lido: um sinal perio´dico x(t) com per´ıodo T0 pode
ser descrito como a soma de senoides de frequeˆncia f0 (f0 = 1/T0) e todas
as suas harmoˆnicas.
A se´rie infinita do lado direito da equac¸a˜o abaixo e´ chamada de se´rie
trigonome´trica de Fourier do sinal perio´dico x(t).
x(t) = a0 +
∞∑
n=1
(an cos nω0t + bn sen nω0t)
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 9 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
E´ conveniente que se tenha familiaridade com a multiplicac¸a˜o de senoides,
e com identidades como
cos a cos b =
1
2
cos (a + b) +
1
2
cos (a− b)
Considere a integral
I =
∫
T0
cos nω0t cos mω0t dt
que pode ser reescrita como
I =
1
2
[∫
T0
cos (n + m)ω0t +
∫
T0
cos (n −m)ω0t dt
]
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 10 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
I =
1
2
[∫
T0
cos (n + m)ω0t +
∫
T0
cos (n −m)ω0t dt
]
Em ambas as integrais, ha´ um nu´mero inteiro de ciclos completos, pois sa˜o
harmoˆnicas.
E assim, as integrais sa˜o nulas, exceto para m = n, pois cos 0 = 1, e a
integral da direita resulta em
I =
1
2
∫
T0
dt =
T0
2
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 11 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
Portanto
I =
∫
T0
cos nω0t cos mω0t dt =
{
0 n 6= m
T0
2 m = n 6= 0
De forma similar
I =
∫
T0
sen nω0t sen mω0t dt =
{
0 n 6= m
T0
2 m = n 6= 0
e
I =
∫
T0
sen nω0t cos mω0t dt = 0 para todo n e m
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 12 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
Para determinar o termo a0 (CC), integra-se ambos os lados da equac¸a˜o
da se´rie de Fourier para um per´ıodo de T0.∫
T0
x(t) dt = a0
∫
T0
dt +
∞∑
n=1
[
an
∫
T0
cos nωt dt + bn
∫
T0
sen nω0t dt
]
Todas as func¸o˜es cos nωt e sen nωt executam n ciclos completos em
qualquer intervalo de T0 segundos. E a integral de ciclos completos e´ nula.
Assim ∫
T0
x(t) dt = a0
∫
T0
dt = a0T0
de onde
a0 =
1
T0
∫
T0
x(t) dt
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 13 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
Para determinar os coeficientes an, multiplica-se ambos os lados por
cos mωot, e integra-se∫
T0
x(t) cos mω0t dt = a0
∫
T0
cos mω0t dt+
∞∑
n=1
[
an
∫
T0
cos nω0t cos mω0t dt + bn
∫
T0
sen nω0t cos mω0t dt
]
Apenas a integral do centro na˜o e´ nula, quando n = m. Enta˜o∫
T0
x(t) cos mω0t dt = am
∫
T0
cos nω0t cos mω0t dt
= am
∫
T0
cos2 mω0t dt =
amT0
2
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 14 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
∫
T0
x(t) cos mω0t dt =
amT0
2
de onde
am =
2
T0
∫
T0
x(t) cos mω0t dt
de forma similar
bm =
2
T0
∫
T0
x(t) sen mω0t dt
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 15 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
De forma resumida, um sinal perio´dico pode ser expresso como:
x(t) = a0 +
∞∑
n=1
(an cos nω0t + bn sen nω0t)
onde
ω0 = 2pif0 =
2pi
T0
a0 =
1
T0
∫
T0
x(t) dt
am =
2
T0
∫
T0
x(t) cos mω0t dt
bm =
2
T0
∫
T0
x(t) sen mω0t dt
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 16 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
Se x(t) for uma func¸a˜o real de t, os coeficientes tambe´m o sa˜o, e
empregando-se a identidade
a cos x + b sen x = C cos (x + θ) C =
√
a2 + b2, θ = tan−1
−b
a
pode-se expressar a se´rie de forma compacta:x(t) = C0 +
∞∑
n=1
Cn cos (nω0t + θ)
com
C0 = a0 , Cn =
√
a2n + b
2
n , θn = tan
−1
(−bn
an
)
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 17 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
Determine a se´rie trigonome´trica compacta de Fourier para o sinal de pulso
quadrado mostrado na figura e trace seu espectro de amplitude e fase.
Soluc¸a˜o:
O per´ıodo do sinal e´ T0 = 2pi segundos, e
ω0 =
2pi
T0
= 1 rad/s
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 18 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
A se´rie trigonome´trica de Fourier e´ dada por
x(t) = a0 +
∞∑
n=1
(an cos nt + bn sen nt)
Determinando a0:
a0 corresponde a` componente CC. A figura mostra em cor uma regia˜o que
corresponde a um per´ıodo completo. Pode-se integrar apenas o trecho
onde a func¸a˜o na˜o e´ nula (mantendo no denominador o valor do per´ıodo).
a0 =
1
T0
∫
T0
x(t) dt =
1
2pi
∫ pi/2
−pi/2
1 dt =
1
2
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 19 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
a0 =
1
2
Para esta func¸a˜o, o valor CC pode ser determinado por inspec¸a˜o.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 20 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
Determinando os coeficientes an
an =
2
T0
∫
T0
x(t) cos nω0t dt =
1
pi
∫ pi/2
−pi/2
1 cos nω0t dt
an =
2
npi
sen
(npi
2
)
an =

0 n par
2
pin
n = 1, 5, 9, 13, · · ·
− 2
pin
n = 3, 7, 11, 15, · · ·
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 21 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
Determinando os coeficientes bn
bn =
1
pi
∫ pi/2
−pi/2
1 sen nt dt = 0
Portando, a se´rie e´ dada por
x(t) =
1
2
+
2
pi
(
cos t − 1
3
cos 3t +
1
5
cos 5t − 1
7
cos 7t + · · ·
)
Os termos em seno sa˜o nulos, e a se´rie esta´ na forma compacta, exceto
pelas amplitudes harmoˆnicas negativas. Lembrando que
− cos x = cos (x − pi)
x(t) =
1
2
+
2
pi
(
cos t +
1
3
cos 3t − pi + 1
5
cos 5t +
1
7
cos 7t − pi + · · ·
)
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 22 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
Na forma compacta:
C0 =
1
2
Cn =
 0 n par2pin n ı´mpar
θn =
 0 para todo n 6= 3, 7, 11, 15, · · ·−pi n = 3, 7, 11, 15, · · ·
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 23 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
A resoluc¸a˜o do problema anterior e´ elegante e compacta. Entretanto, pode
esconder a natureza do ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier.
A animac¸a˜o contida no arquivo “seriefourier.avi” tenta mostrar
graficamente como cada coeficiente da se´rie de Fourier e´ determinado.
Ela mostra o sinal a ser analisado, a senoide correspondente ao coeficiente
a ser determinado, o produto de ambos, e indica se o coeficiente e´ nulo,
positivo ou negativo. Desde o fundamental ate´ o quarto harmoˆnico, para
uma onda quadrada de amplitude unita´ria e sem componente CC.
Foi realizada com Octave, software similar ao Matlab, com o qual tem
estreita compatibilidade, dispon´ıvel em www.gnu.org/software/octave/
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 24 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
Ana´lise do resultado do exemplo anterior
O coeficiente a0 vale 1/2, e representa a componente CC.
Vamos determinar a harmoˆnica fundamental, e somar com a componente
CC.
a1 =
2
pi · 1 ≈ 0, 637
e o harmoˆnico fundamental e´ dado por
x(t)1 = 0, 637 cos 1 · t
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 25 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
O terceiro harmoˆnico:
a3 = − 2
pi · 3 ≈ 0, 212
x(t)3 = −0, 212 cos 3t
Somando o termo CC, o harmoˆnico fundamental e o terceiro harmoˆnico:
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 26 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
O quinto harmoˆnico:
a5 =
2
pi · 5 ≈ 0, 127
x(t)5 = 0, 127 cos 5t
Somando o termo CC, o harmoˆnico fundamental o terceiro e o quinto
harmoˆnicos:
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 27 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Se´rie de Fourier – Exemplo 6.4
Somando o termo CC, o harmoˆnico fundamental o terceiro e o quinto
harmoˆnicos:
Somando o termo CC, o harmoˆnico fundamental o terceiro, quinto, se´timo
e nono harmoˆnicos:
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 28 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Efeito da simetria
Se x(t) e´ perio´dica e possui simetria par, sua se´rie de Fourier contera´
apenas termos tambe´m pares, ou seja os coeficientes bn sa˜o nulos.
Se forma semelhante, uma func¸a˜o ı´mpar sera´ a soma dos termos ı´mpares,
ou seja an = 0.
Conhecendo a simetria, basta considerar meio per´ıodo para determinar os
coeficientes de Fourier.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 29 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Determinac¸a˜o da Frequeˆncia e Per´ıodo Fundamental
A soma de senoides de quaisquer frequeˆncias representa um sinal
perio´dico?
Nem sempre.
Toda frequeˆncia em um sinal perio´dico e´ um mu´ltiplo inteiro da frequeˆncia
fundamental ω0.
Enta˜o a raza˜o de quaisquer duas frequeˆncias resulta em m/n, na qual m e
n sa˜o inteiros.
Ou seja se a raza˜o de quaisquer duas frequeˆncias e´ um nu´mero racional.
Quando a raza˜o de duas frequeˆncias Na˜o e´ um nu´mero racional, as
frequeˆncias na˜o sa˜o harmonicamente relacionadas.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 30 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Determinac¸a˜o da Frequeˆncia e Per´ıodo Fundamental
A frequeˆncia fundamental e´ o maior fator comum (MFC) de todas as
frequeˆncias da se´rie.
x1(t) = 2 + 7 cos
(
1
2
t + θ1
)
+ 3 cos
(
2
3
t + θ2
)
+ 5 cos
(
7
6
t + θ3
)
O MFC, ou seja, o maior nu´mero no qual 1/2, 2/3 e 7/6 sa˜o mu´ltiplos
inteiros e´ 1/6.
nota-se que 3(1/6) = 1/2, 4(1/6) = 2/3 e 7(1/6) = 7/6. Portanto, a
frequeˆncia fundamental e´ 1/6 e as treˆs frequeˆncias do espectro sa˜o o
terceiro, quarto e se´timo harmoˆnicos.
A componente de frequeˆncia fundamental esta´ ausente nessa se´rie de
Fourier.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 31 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Determinac¸a˜o da Frequeˆncia e Per´ıodo Fundamental
Como exemplo,
x(t) = 2 + 7 cos (2pi 500t + θ1) + 3 cos (2pi666, 667t + θ2)
+5 cos (2pi 1166, 667t + θ3)
pode ser escrito como
x(t) = 2 + 7 cos (2pi 3 166, 67t + θ1) + 3 cos (2pi 4 166, 67t + θ2)
+5 cos (2pi 7 166, 67t + θ3)
A frequeˆncia fundamental:
f0 =
1000
6
= 166, 67 Hz
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 32 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Determinac¸a˜o da Frequeˆncia e Per´ıodo Fundamental
O sinal
x2(t) = 2 cos (2t + θ1) + 5 sen (pit + θ2)
na˜o e´ perio´dico porque a raza˜o de duas frequeˆncias no espectro vale 2/pi,
que na˜o e´ um nu´mero racional.
O sinal
x3(t) = 3 sen (3
√
2t + θ) + 7 cos (6
√
2t + φ)
e´ perio´dico pois a raza˜o das frequeˆncias e´ 1/2, que e´ racional.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 33 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Determinac¸a˜o da Frequeˆncia ePer´ıodo Fundamental
Na figura abaixo, o sinal e sua fundamental (que na˜o pertence a` sua
composic¸a˜o espectral).
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 34 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Determinac¸a˜o da Frequeˆncia e Per´ıodo Fundamental
A fundamental e as componentes do sinal. Analise alguns pontos
separados no eixo x por T0, e visualize a periodicidade.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 35 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Existeˆncia e Convergeˆncia da Se´rie de Fourier
Condic¸o˜es de Dirichlet
1) x(t) deve ser absolutamente integra´vel em um per´ıodo:∫
T0
|x(t)| dt <∞
2) A func¸a˜o x(t) deve ter apenas um nu´mero finito de descontinuidades
finitas em um per´ıodo.
3) A func¸a˜o x(t) deve conter apenas um nu´mero finito de ma´ximos ou
m´ınimos em um per´ıodo.
Sinais perio´dicos que existem fisicamente sempre possuem uma se´rie de
Fourier que os represente.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 36 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Teorema de Parseval
A se´rie trigonome´trica de Fourier de um sinal perio´dico x(t) e´ dada por:
x(t) = C0 +
∞∑
n=1
Cncos(nω0t + θn)
Cada termo do lado direito dessa equac¸a˜o e´ um sinal de poteˆncia.
A poteˆncia de x(t) e´ igual a soma das poteˆncias de todas as componentes
senoidais do lado direito.
Px = C0
2 +
1
2
∞∑
n=1
Cn
2
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 37 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Teorema de Parseval
Px = C0
2 +
1
2
∞∑
n=1
Cn
2
Esse resultado e´ uma forma do teorema de Parseval, aplicado a sinais de
poteˆncia.
Ele afirma que a poteˆncia de um sinal perio´dico e´ igual a soma das
poteˆncias de suas componentes de Fourier.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 38 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
O sinal de entrada de um amplificador de a´udio com ganho 100 e´ dado por
x(t) = 0, 1 cosω0t. Logo, a sa´ıda e´ a seno´ide 10 cosω0t. Entretanto, o
amplificador, sendo na˜o linear em altos n´ıveis de amplitude, ceifa todas as
amplitudes ale´m de ±8 volts, como mostrado.
Vamos determinar a distorc¸a˜o harmoˆnica que ocorre nessa operac¸a˜o.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 39 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
A sa´ıda y(t) e´ o sinal ceifado.
O sinal de distorc¸a˜o yd(t), e´ a diferenc¸a entre a seno´ide na˜o distorcida
10 cosω0t e o sinal de sa´ıda y(t).
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 40 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
O sinal yd(t), cujo per´ıodo e´ T0 (o mesmo per´ıodo de y(t)) pode ser
descrito em seu primeiro ciclo por
yd(t) =

10 cosω0t − 8 |t| ≤ 0, 1024T0
10 cosω0t + 8
T0
2
− 0, 1024T0 ≤ |t| ≤ T0
2
+ 0, 1024T0
0 caso contra´rio
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 41 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
Observe yd(t) e´ uma func¸a˜o par de t e seu valor me´dio e´ nulo.
Logo, a0 = C0 = 0 e bn = 0.
Logo, Cn = an.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 42 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
A se´rie de Fourier para yd(t) pode ser descrita por:
yd(t) = C0 +
∞∑
n=1
Cn cos nωot
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 43 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
A determinac¸a˜o direta da se´rie de Fourier resulta em:
Cn =

20
pi
[
sen [0, 6435(n + 1)]
n + 1
+
sen [0, 6435(n − 1)]
n − 1
]
− 32
pi
[
sen [0, 6435n]
n
]
n ı´mpar
0 n par
Calculando os coeficientes C1, C2, C3, · · · desta expressa˜o, podemos
escrever
yd(t) = 1, 04 cosω0t + 0, 733 cos 3ω0t + 0, 311 cos 5ω0t + · · ·
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 44 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
Ca´lculo da distorc¸a˜o harmoˆnica
Podemos calcular o total da distorc¸a˜o harmoˆnica do sinal de sa´ıda
calculando a poteˆncia da componente de distorc¸a˜o yd(t).
Como yd(t) e´ uma func¸a˜o par de t e como a energia no primeiro meio
per´ıodo e´ igual a` energia no segundo meio per´ıodo, podemos calcular a
poteˆncia determinando a me´dia da energia em um quarto de ciclo.
Pyd =
1
T0
∫ T0/2
−T0/2
yd
2 dt =
1
T0/4
∫ T0/4
0
yd
2 dt
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 45 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
Ca´lculo da distorc¸a˜o harmoˆnica
Pyd =
1
T0
∫ T0/2
−T0/2
yd
2 dt =
1
T0/4
∫ T0/4
0
yd
2 dt
=
4
T0
∫ 0,1024T0
0
(10 cosω0t − 8)2 dt = 0, 865
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 46 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
Ca´lculo da distorc¸a˜o harmoˆnica
A poteˆncia do sinal desejado 10 cosω0t e´ (10)
2/2 = 50.
Logo, a distorc¸a˜o harmoˆnica total e´
Dtot =
0, 865
50
× 100 = 1, 73 %
A poteˆncia da componente de terceiro harmoˆnico de yd(t) e´
(0, 733)2/2 = 0, 2686. A distorc¸a˜o do terceiro harmoˆnico e´
D3 =
0, 2686
50
× 100 = 0, 5372 %
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 47 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo 6.8
Ca´lculo da distorc¸a˜o harmoˆnica
A poteˆncia do sinal desejado 10 cosω0t e´ (10)
2/2 = 50.
Logo, a distorc¸a˜o harmoˆnica total e´
Dtot =
0, 865
50
× 100 = 1, 73 %
A poteˆncia da componente de terceiro harmoˆnico de yd(t) e´
(0, 733)2/2 = 0, 2686. A distorc¸a˜o do terceiro harmoˆnico e´
D3 =
0, 2686
50
× 100 = 0, 5372 %
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 47 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
Determine a se´rie de Fourier para a sa´ıda de um retificador onda completa
com carga resistiva R .
vL(t) = Vme´dio +
∞∑
n=1,2,3,···
(an cos nωt + bn sen nωt)
Determinando a componente CC
Vme´dio =
1
2pi
∫ 2pi
0
vL(t)d(ωt) =
2
2pi
∫ pi
0
Vm senωt d(ωt) =
2 Vm
pi
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 48 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
Determinando os termos cosseno
an =
1
pi
∫ 2pi
0
vL(t) cosnωt d(ωt)
=
Vm
pi
[∫ pi
0
senωt cosnωt d(ωt) +
∫ 2pi
pi
− senωt cosnωt d(ωt)
]
de
sen x cos y =
1
2
[sen (x − y) + sen (x + y)]
tem-se
=
Vm
2pi
[∫ pi
0
senωt(1− n)d(ωt) +
∫ pi
0
senωt(1 + n)d(ωt)+
−
∫ 2pi
pi
senωt(1− n) d(ωt)−
∫ 2pi
pi
senωt(1 + n) d(ωt)
]
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 49 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
an =
Vm
2pi
[
−cosωt(1− n)
1− n
∣∣∣∣pi
0
− cosωt(1 + n)
1 + n
∣∣∣∣pi
0
+
cosωt(1− n)
1− n
∣∣∣∣2pi
pi
+
cosωt(1 + n)
1 + n
∣∣∣∣2pi
pi
]
Para determinar o valor da integral, deve-se conhecer
cos 0 = cos [2pi(1− n)] = cos [2pi(1 + n)] = 1
cos [pi(1− n)] = cos [pi(1 + n)] = −(−1)n
an =
Vm
2pi
[
−−(−1)
n − 1
1− n −
−(−1)n − 1
1 + n
+
1 + (−1)n
1− n +
1 + (−1)n
1 + n
]
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 50 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
an =
Vm
2pi
[
−−(−1)
n − 1
1− n −
−(−1)n − 1
1 + n
+
1 + (−1)n
1− n +
1 + (−1)n
1 + n
]
an =
Vm
pi
[
1 + (−1)n
1− n +
1 + (−1)n
1 + n
]
como (1− n)(1 + n) = 1− n2
an =
Vm
pi
[
(1 + n)[1 + (−1)n] + (1− n)[1 + (−1)n]
1− n2
]
an =
Vm
pi
[
1 + (−1)n + n + n(−1)n + 1 + (−1)n − n − n(−1)n1− n2
]
an =
2 Vm
pi
[
1 + (−1)n
1− n2
]
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 51 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
an =
2 Vm
pi
[
1 + (−1)n
1− n2
]
n = 1 anula o denominador. Inspecionando o gra´fico abaixo, nota-se que
a1 e´ nulo.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 52 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
an =
2 Vm
pi
[
1 + (−1)n
1− n2
]
an =

4Vm
pi(1− n2) para n = 2, 4, 6, · · ·
0 para n = 1, 3, 5·
O sinal retificado em onda completa tem simetria par. Portanto bn = 0.
a0 = Vme´dio =
2 Vm
pi
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 53 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
A tensa˜o de sa´ıda expandida em se´rie de Fourier
vL =
2Vm
pi
−4 Vm
3pi
cos 2ωt−4 Vm
15pi
cos 4ωt−4 Vm
35pi
cos 6ωt−4 Vm
63pi
cos 8ωt · · ·
Para Vs =
√
2 120 V , 60 Hz :
vL = 108, 04− 72, 02 cos 2pi2 60t − 14, 41 cos 2pi4 60t+
−6, 17 cos 2pi6 60t − 3, 43 cos 2pi8 60t · · ·
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 54 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
Analisando o resultado, componente CC somada ao segundo harmoˆnico
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 55 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
Componente CC, segundo e quarto harmoˆnicos.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 56 / 57
Representac¸a˜o de sinais perio´dicos pela se´rie de Fourier
Exemplo de ana´lise
Componente CC, segundo, quarto e sexto harmoˆnicos.
(ICET) Princ´ıpios de Comunicac¸a˜o 2017 57 / 57
	Representação de sinais periódicos pela série de Fourier