lista1 Fisica

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UFSC-DEPTO DE FÍSICA 
FSC 5101 - FÍSICA I 
 
 LISTA 1 - VETORES 
 
1. Quais são as propriedades de dois vetores a
®
 e b
®
, tais que 
 a) a b c
® ® ®
+ = e a b c+ = 
 b) a b c
® ® ®
- = e a b c- = 
 c) a b a b
® ® ® ®
+ = - 
 d) a b c
® ® ®
+ = e a b c2 2 2+ = 
2. Um deslocamento possui módulo s1 = 30 cm. Outro deslocamento possui módulo s2 = 40 cm. (a) 
Determine o módulo s do deslocamento resultante supondo que os dois deslocamentos sejam per-
pendiculares entre si. (b) Se o módulo de 
r
s for igual a 70 cm, qual será a orientação relativa dos 
deslocamentos? (c) E se o módulo do deslocamento resultante for igual a 10 cm? 
 
3. Um carro percorre uma distância de 30 km no sentido Oeste-Leste; a seguir percorre 10 km no 
sentido Sul-Norte e finalmente percorre 5 km numa direção que forma um ângulo de 30° com o 
Norte e 60° com o Leste. Usando o método gráfico e o método analítico, calcule: (a) O módulo do 
deslocamento resultante. (b) O ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o sentido Oeste-
Leste. 
4. Um vetor a
®
 tem módulo de 10 unidades e sentido de Oeste para Leste. Um vetor b
®
 tem módulo 
de 20 unidades e sentido de Sul para Norte. Determine o módulo dos seguintes vetores: (a) a b
® ®
+ , 
(b) a b
® ®
- . 
5. Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira tacada desloca a 
bola 6 m para o Norte, a segunda desloca a bola 2 m para o Leste e a terceira desloca a bola 2m 
para o Nordeste. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento equivalente que po-
deria ser obtido com uma única tacada. 
 
6. Determine os módulos dos vetores componentes da resultante e o módulo da resultante da soma 
de dois deslocamentos vetoriais a
®
 e b
®
. Suponha que os vetores a
®
 e b
®
 possuam os seguintes 
componentes (em m ), em relação a um sistema cartesiano ortogonal: 
 ax = 4, bx = -2; ay = 0, by = 5; az = 3, bz = -1. 
 
7. Uma sala tem as seguintes dimensões: 3 m x 4 m x 3 m. Um inseto voa desde um canto da sala até 
o outro canto diametralmente oposto. (a) Calcule o módulo do deslocamento total do inseto. (b) O 
deslocamento total depende da trajetória? (c) Faça um esquema usando um sistema cartesiano tri-
ortogonal para indicar os componentes do vetor deslocamento total. 
8. Dois vetores são dados por: a i j k
®
= - -3 2
^ ^ ^
 e b i j k
®
= - -3 2
^ ^ ^
. Determine: (a) a b
® ®
+ , (b) a b
® ®
- , 
(c) - +
® ®
a b. 
 
9. Dois vetores de módulos a e b fazem um ângulo q entre si. Prove, considerando os componentes 
ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo da resultante dos dois vetores é: 
 r = ( a2 + b2 + 2abcosq). 
 
10. Dados dois vetores a i j
® Ù Ù
= -2 e b i j
® Ù Ù
= - , determine o módulo e a direção de: (a) a
®
, (b) b
®
, 
(c ) (a b
® ®
- ) , (d) (a b
® ®
+ ) (e) (b a
® ®
- ). 
 
11.Os vetores a
®
 e b
®
 estão orientados 
 conforme indica a Fig.1. A resultante 
 componentes de R
®
 segundo Ox e se- 
 gundo Oy, (b) O módulo de R
®
, (c) O 
 da soma destes vetores vale R
®
. Temos: 
 a = b = 5 unidades. Determinar: (a) Os 
 ângulo que R
®
 forma com o eixo Ox. 
 
 
12. Os vetores a bec
® ® ®
, estão orientados 
 conforme indica a Fig.2. Calcule: 
 (a) o vetor r a b c
® ® ® ®
= + + , 
 (b) o módulo e a direção de r
®
. 
 Suponha a = 5, b = 4 e c = 3 unidades. 
 
 
 Fig. 2 
 
13. Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um plano: 2 m de Norte para Sul, 4 m 
de Oeste para Leste e 12 m numa direção que forma um ângulo de 60° com o Leste e de 30° com 
o Norte. Escolha o eixo Ox apontando no sentido Oeste-Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. 
Faça a origem O coincidir com a origem dos deslocamentos. Determine: (a) os componentes de 
cada deslocamento, (b) os componentes do deslocamento R
®
 resultante, (c) o módulo, a direção e 
o sentido do deslocamento resultante. (d) Compare o módulo do deslocamento com a distância 
percorrida pela partícula. 
 
14. Uma pessoa deseja atingir um ponto que dista 3,4 km de sua posição atual e na direção que faz 
35° com o norte e 55° com o leste. Entretanto, ela deve caminhar por ruas que se estendem pelas 
direções norte-sul e leste-oeste. Qual é a distância mínima que ela deverá caminhar para chegar ao 
seu destino? 
 
 
 
15. Uma estação de radar observa um 
 avião aproximando-se vindo do 
 leste. Na primeira observação, a 
 posição do avião é de 360 m 
 a uma altura de 40° acima do hori- 
 zonte. O avião é rastreado por 123° 
 no plano leste-oeste e a distância fi- 
 nal é de 791m (Fig. 2.). Determine 
 o módulo do deslocamento do avião 
 durante o período de observação. Fig. 3 
16. Um vetor v
®
 possui módulo igual a 4 m e está situado a 45° com a direção Oeste-Leste no senti-
do anti-horário. Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a) v
®
/ 2, (b) 
-
®
2v. 
17. Dois vetores são dados por a i j k
®
= - -3 2
^ ^ ^
 e b i j k
®
= - -3 2
^ ^ ^
. Determine: (a) o vetor 3 2a b
® ®
- ; 
 (b) |3 ra- 2 rb | . 
18. Os vetores a i j k
® Ù Ù ®
= - +2 5 5 e b i j k
® Ù Ù Ù
= - - -20 12 4 são perpendiculares? 
19. Qual o valor de m para que c i j k
® Ù Ù Ù
= + -3 5 9 e a i mj k
® Ù Ù Ù
= + +7 4 sejam perpendiculares? 
20. Dado os vetores 
r
a i j k= + -8 6$ $ $ e b i j k
® Ù Ù Ù
= + +2 3 , obtenha: (a) o ângulo entre aeb
® ®
; (b) o 
ângulo que o vetor a
®
 faz com o eixo OX positivo . 
21. Prove que dois vetores devem ter módulos iguais para que a sua soma seja perpendicular à sua 
diferença. 
22. (a) Determine o vetor r a b c
® ® ® ®
= - + se a i j k
®
= + -5 4 6
^ ^ ^
, b i j k
®
= - + +2 2 3
^ ^ ^
 e c i j k
®
= + +4 3 2
^ ^ ^
. 
(b) Calcule o ângulo entre r
®
 e o semi-eixo OZ positivo. 
23. Um vetor a
®
 de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b
®
 de módulo igual a 6 unidades apon-
tam para direções que fazem um ângulo de 60° entre si. (a) Determine o produto escalar entre os 
dois vetores e (b) o produto vetorial entre eles. 
24. Dado os vetores a i b j ec i j k
® ® ® ® ® ® ® ®
= = = + -3 2 2, , obtenha: (a) ç axc
® ®
ç (b) axb
® ®
 (c) bxa
® ®
 
 (d) bxc
® ®
 
25. Encontre um vetor perpendicular aos vetores a i j keb j k
® Ù Ù Ù ® ® ®
= - - = +3 5 2 . 
26. Encontre um vetor unitário perpendicular aos vetores a i j keb i k
® Ù Ù Ù ® Ù Ù
= + + = -3 4 . 
 
 RESPOSTAS 
1. a) a
®
 e b
®
 devem ser colineares e de mesmo sentido. b) a
®
 e b
®
 devem ser colineares e de sentidos 
opostos. c) b = 0 d) a
®
 e b
®
 devem ser perpendiculares entre si. 
 
 
2. a) s s s= +( )1
2
2
2 = 50 cm b) Os dois deslocamentos serão paralelos e de mesmo sentido. 
 c) Os doisdeslocamentos serão paralelos e de sentidos contrários. 
3. a) 35,5 km b) 23,8° 
4. a) 22,4 unidades b) 22,4 unidades 
5. Módulo: 8,16 m; direção: formando um ângulo de 65,3° com o Leste e 24,7° com o Norte. 
6. Módulo dos componentes: 2 m, 5 m, 2 m; módulo da resultante: 5,74 m. 
7. a) 5,8 m b) Não 
8. a) 6 3 3i j k
^ ^ ^
- - b) - +j k
^ ^
 c) j k
^ ^
- 
10.a) 2,24; 26,6° com eixo OX positivo, no sentido horário. b) 1,41; 45° com o eixo OX positivo, 
no sentido horário. c ) 1; paralelo ao eixo OX positivo. d) 3,61; 33,7° com o eixo OX positi-
vo, no sentido horário. e) 1; 180° com o eixo OX positivo, no sentido anti-horário. 
11.a) Rx = 0,79 unidades; Ry = 6,04 unidades b) R = 6,09 unidades c) 82,5° no sentido anti-horário. 
12.a) 
r
r i j= +04 04, $ , $ b)0,56 unidades c) O vetor rr faz um ângulo de 45o com o semi-eixo 
OX, positivo. 
13.a) ax = 0; ay = -2 m ; bx = 4 m; by = 0 ; cx = 6 m; cy = 10,39 m. b) Rx = 10 m; Ry = 8,39 m. 
 c) R = 13,05 m; direção: 40° com o eixo OX positivo, no sentido anti-horário. d) A distância 
percorrida pela partícula é 18m. 
14. 4,74 km. 
15. 1032,2 m. 
16.a) 2m, 45° com a direção Oeste-Leste no sentido anti-horário. b) 8 m, 225° com a direção Oeste-
Leste no sentido anti-horário. 
17.a) 3 4i j k
^ ^ ^
- + b) 5,1 
18. Sim. 
19. m=3. 
20.a) 70o b) 37o 
22.a) r i j k
®
= + -11 5 7
^ ^ ^
; r = 14; b) 120° 
23.a) 30 unidades b) 52 unidades; direção: perpendicular ao plano formado pelos dois vetores; 
sentido: dado pela regra da mão direita. 
24.a) 4,24 b) 6$k c) -6 $k d) -2$ $i k- 4 
25.Por exemplo, 3 6 15$ $ $i j k- + . 
26. ± ( -4 / 8,6 $i +7 / 8,6$j -3 / 8,6 $k ) 
 
Problemas compilados pelas Professoras Maria Luiza Caselani e Marilena M. Watanabe de Moraes , 
com a colaboração dos Professores Oswaldo Ritter , Renê B. Sander e Sônia Peduzzi. 
Fonte bibliográfica : 
-"Física-Vol.1"; David Halliday e Robert Resnick; 4a Edição; Livros Técnicos e Científicos Edito-
ra. 
-"Fundamentos da Física - 1"; David Halliday e Robert Resnick; Livros Técnicos e Científicos Edi-
tora.