Aula 13 Controlabilidade e alocador de polos v2

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AULA 13 
Controlabilidade e alocador de polos 
 
Prof. Thiago Akinaga 
1º Sem/2017 
Controlabilidade 
• Um sistema de ordem n é dito controlável se for possível 
determinar uma sequência de controle tal que um ponto 
arbitrário x(n) possa ser atingido a partir de qualquer 
estado inicial x(0). 
• Para : 
 
 
• Podemos escrever o somatório na forma vetorial: 
2 
0k 0
k 1
k k l 1
l 0
x(k ) A x(0 ) A Bu( l )

 

  
n 1 n 2
u(0 )
u(1)
x(n ) (n )x(0 ) A B A B B
u(n 1)
  
 
 
       
  
Controlabilidade 
 
 
 
 
 
 
• Onde é a matriz de controlabilidade. 
 
 
• é uma matriz quadrada de ordem n e U tem 
dimensões nx1. Tem-se então um sistema de n equações 
e n incógnitas. 
 
 
3 
n 1 n 2
u(0 )
u(1)
x(n ) (n )x(0 ) A B A B B
u(n 1)
  
 
 
       
  
x(n) (n)x(0 ) (A,B)U  
( A,B)
( A,B) x(n) (n)x(0 )  
( A,B)
Controlabilidade 
• Logo, se , o sistema de equações terá 
como solução para quaisquer x(n) e x(0). 
• Observação: rank: maior conjunto de linhas linearmente 
independentes. 
• Exemplo: Seja 
 
 
 
 
 Determine se a sequência de controle {u(0),u(1)} que 
permite obter: 
4 
rank[ (A,B)] n 
0,967 0,148 0,016
x(k 1) x(k) u(k )
0,297 0,522 1,489
   
        
1
x(0 )
2
 
  
 
5
x(2 )
5
 
  
 
Controlabilidade 
• Exemplo: Resolução 
É controlável? 
 
 
 
 
 
 
 
Via MATLAB: 
 
 Sistema controlável 
 5 
 ( A,B) AB B 
0,967 0,148 0,016 0,016
(A,B)
0,297 1,489 1,489 1,489
              
0,236 0,016
(A,B)
1,773 1,489
    
 
rank( (A,B)) 2 n  
Controlabilidade 
• Exemplo: Resolução 
Para o ponto desejado: 
 
 
 
Logo, 
6 
x(1) Ax(0 ) Bu(0 ) 
2x(2 ) A x(0 ) ABu(0 ) Bu(1)  
5 0,891 0,220 1 0,236 0,016
u(0 ) u(1)
5 0,442 0,229 2 0,773 1,489
         
                    
Controlabilidade 
• Exemplo: Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
É importante notar que a trajetória só permanece neste 
ponto se x(2) for um ponto de equilíbrio. 
Obs.:Sistema Estabilizável: os polos não controláveis são 
estáveis. 
7 
0,236u(0) 0,016u(1) 3,669  
0,773u(0) 1,489u(1) 4,984 
u(0 ) 15,880
u(1) 4,896

 
Análise de estabilidade 
• Seja um sistema linear e invariante no tempo da forma: 
 
 
 
• Teorema: Tal sistema é assintoticamente estável se e 
somente se os autovalores de A tiverem módulo menor 
que a unidade. 
8 
x(k 1) Ax(k ) 
Realimentação de estados 
Alocação de polos 
• Supondo um sistema SISO 
 
 
 
• seja controlável, deseja-se obter uma lei de controle da 
forma: 
 
• De maneira que: 
9 
x(k 1) Ax(k ) Bu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
  
 
u(k ) r(k ) Kx(k ) 
x(k 1) (A BK)x(k) Br(k)   
Realimentação de estados 
• No qual, podemos posicionar os autovalores de (A-BK) 
arbitrariamente. Logo, 
Objetivo: Dado um sistema controlável 
 
e um conjunto de autovalores desejados 
 
determina-se o vetor de realimentação de estado 
 
tal que a matriz de dinâmica do sistema realimentado, (A-
BK) tenha como autovalores os elementos do conjunto s. 
10 
x(k 1) Ax(k ) Bu(k )  
 1 2 ns   
 1 2 nK K K K
Realimentação de estados 
Procedimento (Chen, 1984): 
• Dado que o sistema é controlável existe uma matriz de 
similaridade P tal que fazendo resulta: 
 
 
 
• onde: 
11 
x(k) Px(k)
x(k 1) Ax(k ) Bu(k )
y(k ) Cx(k ) Du(k )
  
 
1A PAP
B PB
1C CP
Realimentação de estados 
• Com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Que corresponde a forma canônica controlável. 
12 
n n 1 n 2 1
0 1 0 0
0 0 1 0
A
0 0 0 1
    
 
 
 
  
 
 
     
0
0
B
0
1
 
 
 
  
 
 
  
 n n 1 2 1C    
Realimentação de estados 
• Logo, a lei de controle se torna: 
 
 
• O que resulta 
 
 
 
 
• No qual os autovalores de são iguais aos da 
matriz . 
13 
1u(k ) r(k ) K P x(k ) 
1x(k 1) (A BKP )x(k ) Br(k )   
( A BK )x(k ) Br(k )  
( A BK )
( A BK )
Realimentação de estados 
• Queremos que o sistema em malha fechada tenha os 
autovalores . 
 
 
 
• Então, 
14 
1 2 n, , ,  
1 2 ndet(zI ( A BK )) (z )(z ) (z )       
n n 1
1 ndet(zI ( A BK )) z z      
n n 1 n 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
x(k 1) x(k ) r(k )
0 0 0 1 0
1    
   
   
   
     
   
   
        
Realimentação de estados 
• E a equação de saída: 
 
 
• Com: 
 
 
• Devemos então seguir os passos: 
1) Determinar o polinômio característico de A: 
15 
 n n n 1 1 1y(k ) D( ) D( ) x(k ) Dr(k)          
 n n n 1 n 1 1 1K          
n n 1
1 ndet(zI A) z z     
Realimentação de estados 
2) Formar o polinômio característico desejado: 
 
 
3) Calcular o ganho: 
 
 
4) Determinar a matriz: 
 
 
 
iniciando com . 
16 
n n 1
1 2 n 1 n(z )(z ) (z ) z z          
 n n n 1 n 1 1 1K          
 1 2 nQ q q q
n i n i 1 i nq Aq q ; i 1,2, ,n 1     
nq B
Realimentação de estados 
5) Calcular 
 6) Determinar 
 
• Exemplo: Seja 
 
 
 
 
• Determinar a lei de controle que possibilita obter, via 
realimentação de estado, os autovalores: 
17 
1P Q
K KP
0 0 5 0
x(k ) 1 0 1 x(k ) 2 u(k )
0 1 3 1
   
      
   
      
1 0,3  2 0,5  3 0,7 
Realimentação de estados 
• Exemplo: Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
É controlável. Agora seguindo os passos descritos 
anteriormente. 
18 
0 5 25
(A,B) 2 1 10
1 5 14

 
   
 
  
rank( (A,B)) 3 n  
Realimentação de estados 
• Exemplo: Resolução 
1) 
19 
z 0 25
det( zI A) 1 z 1
0 1 z 3
 
   
 
   
3 2det(zI A) z 3z z 5    
3 2
1 2 3det(zI A) z z z      
Realimentação de estados 
• Exemplo: Resolução 
2) 
 
 
 
 
 
3) 
20 
1 2 3(z )(z )(z ) (z 0,3 )(z 0,5 )(z 0,7 )        
3 2
1 2 3(z )(z )(z ) z 0,1z 0,41z 0,105        
3 2
1 2 3z z z     
 3 3 2 2 1 1K         
 K 5,105 1,410 3,100  
Realimentação de estados 
• Exemplo: Resolução 
4) Determinar: 
 
onde: 
 
 
 
 
21 
 1 2 3Q q q q
3
0
q B 2
1
 
   
 
  
2 3 1 3
5
q Aq q 7
2

 
    
 
  
1 2 1 3
10
q Aq q 5
0

 
   
 
  
Realimentação de estados 
• Exemplo: Resolução 
5) 
 
 
 
6) 
 
• Podemos ainda alocar os polos fazendo: 
 
 
• Onde são os polos desejados em malha fechada. 
 
 
22 
1
0,129 0,059 0,118
P Q 0,059 0,118 0,235
0,118 0,235 0,529

   
     
 
   
 K KP 0,210 0,594 1,911   
n
i
i 1
det(zI A BK ) (z )

   
i
AULA 14 
Próxima aula: Observabilidade e 
observadores de estado 
 
Bom estudo!