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Lista-2-EDO - C2 -Baigorri - UnB

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Fundação Universidade de Brasília
Departamento de Matemática - IE
Campus Universitário, 70910-900 - Brasília - DF Fone: (061) 273-3356 � FAX: (061) 274-3910
Lista VI - Equaçoes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com
Coe�cientes Constantes
1 - Encontre todas as soluções das seguintes equações
• a) y′′ − 4y = 0.
• b) y′′ + 2y′ = 0.
• c) y′′ + 16y = 0.
• d) y′′ = 0.
• e) y′′ + 2iy′ + y = 0.
• f) y′′ − 4y′ + 5y = 0.
• g) y′′ + 16y = 0.
2 - Considere a equação y′′ − y′ − 6y = 0
• a) Calcule a solução φ satisfazendo φ(0) = 1 e φ′(0) = 0.
• b) Calcule a solução ψ satisfazendo ψ(0) = 0 e ψ′(0) = 1.
• c) Calcule φ(1) e ψ(1).
3 - Encontre todas as soluções φ de y′′ + y = 0 satisfazendo:
• a) φ(0) = 1 e φ(pi/2) = 2
• b) φ(0) = 0 e φ(pi) = 0
• c ) φ(0) = 0 e φ′(pi/2) = 0
• d ) φ(0) = 0 e φ(pi/2) = 0
4 - Mostre que para toda solução φ(x) da equação diferencial,
y′′ + a1 y′ + a0 y = 0
de coe�cientes constantes, o limite limx→∞ φ(x) = 0 se, e somente se, as
componentes reais das raizes do polinômio característico são negativas.
6 - Encontre as soluções para os seguintes problemas de valores iniciais
• 1) y′′ − 2y′ − 3y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.
• 2) y′′ + 10y = 0, y(0) = pi, y′(0) = pi2
7 - Suponha φ(x), 0 ≤ x <∞ uma função con derivada contínua en todo x,
tal que φ′(x) + 2φ(x) ≤ 1, ∀ x e φ(0) = 0. Mostre que φ(x) < 1/2, 0 ≤ x <∞.
8 - Encontre uma função φ(x), 0 ≤ x ≤ 2 que satisfaz as seguintes condições:
• i) φ(0) = 0, φ′(0) = 1,
• ii) φ′′(x)− φ(x) = 0, 0 ≤ x ≤ 1,
• iii) φ′′(x)− 9φ(x) = 0, 1 ≤ x ≤ 2.
9 - Considere a equação de coe�cientes constantes
L(y) = y′′ + a1 y′ + a0 y = 0.
Sejam φ1(x) e φ2(x) soluções satisfazendo
φ1(x0) = 0, φ
′
1(x0) = 1
e
φ2(x0) = 1, φ
′
2(x0) = 0,
respectivamente.
Se φ(x) é uma solução satisfazendo φ(x0) = α, φ
′(x0) = β mostre que
φ(x) = β φ1(x) + αφ2(x).
10 - Encontre todas as soluções das seguintes equações:
• i) y′′ + 4y = cos(x).
• ii) y′′ + 9y = sin(3x).
• iii) y′′ + y = tan(x), (−pi/2 ≤ x ≤ pi/2).
• iv) y′′ − 4y′ + 5y = 3e−x + 2x2.
• iv) y′′ − 7y′ + 6y = sin(x).
• v) y′′ + y = 2 sin(x) sin(2x).
• vi) y′′ − y = ex.
• vi) 6y′′ + 5y′ − 6y = x.

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