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Fundação Universidade de Brasília Departamento de Matemática - IE Campus Universitário, 70910-900 - Brasília - DF Fone: (061) 273-3356 � FAX: (061) 274-3910 Lista VI - Equaçoes Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coe�cientes Constantes 1 - Encontre todas as soluções das seguintes equações • a) y′′ − 4y = 0. • b) y′′ + 2y′ = 0. • c) y′′ + 16y = 0. • d) y′′ = 0. • e) y′′ + 2iy′ + y = 0. • f) y′′ − 4y′ + 5y = 0. • g) y′′ + 16y = 0. 2 - Considere a equação y′′ − y′ − 6y = 0 • a) Calcule a solução φ satisfazendo φ(0) = 1 e φ′(0) = 0. • b) Calcule a solução ψ satisfazendo ψ(0) = 0 e ψ′(0) = 1. • c) Calcule φ(1) e ψ(1). 3 - Encontre todas as soluções φ de y′′ + y = 0 satisfazendo: • a) φ(0) = 1 e φ(pi/2) = 2 • b) φ(0) = 0 e φ(pi) = 0 • c ) φ(0) = 0 e φ′(pi/2) = 0 • d ) φ(0) = 0 e φ(pi/2) = 0 4 - Mostre que para toda solução φ(x) da equação diferencial, y′′ + a1 y′ + a0 y = 0 de coe�cientes constantes, o limite limx→∞ φ(x) = 0 se, e somente se, as componentes reais das raizes do polinômio característico são negativas. 6 - Encontre as soluções para os seguintes problemas de valores iniciais • 1) y′′ − 2y′ − 3y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1. • 2) y′′ + 10y = 0, y(0) = pi, y′(0) = pi2 7 - Suponha φ(x), 0 ≤ x <∞ uma função con derivada contínua en todo x, tal que φ′(x) + 2φ(x) ≤ 1, ∀ x e φ(0) = 0. Mostre que φ(x) < 1/2, 0 ≤ x <∞. 8 - Encontre uma função φ(x), 0 ≤ x ≤ 2 que satisfaz as seguintes condições: • i) φ(0) = 0, φ′(0) = 1, • ii) φ′′(x)− φ(x) = 0, 0 ≤ x ≤ 1, • iii) φ′′(x)− 9φ(x) = 0, 1 ≤ x ≤ 2. 9 - Considere a equação de coe�cientes constantes L(y) = y′′ + a1 y′ + a0 y = 0. Sejam φ1(x) e φ2(x) soluções satisfazendo φ1(x0) = 0, φ ′ 1(x0) = 1 e φ2(x0) = 1, φ ′ 2(x0) = 0, respectivamente. Se φ(x) é uma solução satisfazendo φ(x0) = α, φ ′(x0) = β mostre que φ(x) = β φ1(x) + αφ2(x). 10 - Encontre todas as soluções das seguintes equações: • i) y′′ + 4y = cos(x). • ii) y′′ + 9y = sin(3x). • iii) y′′ + y = tan(x), (−pi/2 ≤ x ≤ pi/2). • iv) y′′ − 4y′ + 5y = 3e−x + 2x2. • iv) y′′ − 7y′ + 6y = sin(x). • v) y′′ + y = 2 sin(x) sin(2x). • vi) y′′ − y = ex. • vi) 6y′′ + 5y′ − 6y = x.
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