Aula1

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TRANSFERÊNCIA DE CALOR II 
Profa.	
  Mônica	
  F.	
  Naccache	
  
h1p://naccache.usuarios.rdc.puc-­‐rio.br/Cursos/
Trans_Calor_II.html	
  
Sala	
  153-­‐L	
  
naccache@puc-­‐rio.br	
  
1	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
•  Termodinâmica:	
  estuda	
  as	
  interações	
  de	
  energia	
  
entre	
  um	
  sistema	
  e	
  a	
  vizinhaça	
  (calor	
  e	
  trabalho).	
  
Trata	
  de	
  estados	
  em	
  equilíbrio.	
  Não	
  trata	
  da	
  
natureza	
  da	
  interação.	
  
•  Transferência	
  de	
  calor:	
  estuda	
  os	
  mecanismos	
  de	
  
transferência	
  de	
  calor,	
  e	
  relações	
  para	
  o	
  cálculo	
  
das	
  taxas	
  de	
  transferência	
  de	
  calor.	
  
	
  	
  	
  	
  Exemplos:	
  Projetos	
  de	
  paredes	
  refratárias,	
  calor	
  
perdido	
  em	
  equipamentos,	
  trocadores	
  de	
  calor,	
  
etc.	
  
2	
Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Modos	
  de	
  transferência	
  de	
  calor	
  
3	
Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Condução	
  
•  Mecanismo:	
  movimentos	
  randômicos	
  
translacionais	
  (difusão)	
  de	
  moléculas	
  (fluidos)	
  
ou	
  elétrons	
  (sólidos)	
  
•  Lei	
  de	
  Fourier:	
  fornece	
  a	
  taxa	
  de	
  transferência	
  
de	
  calor	
  por	
  condução	
  
4	
 
€ 
q"x
fluxo calor por
unid .area(W /m2)
 = −kcondutividade
térmica(W /mK )

dT
dx
 gradiente
temperatura

1	
  D:	
  
Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Convecção	
  
•  Mecanismo:	
  difusão	
  +	
  energia	
  transferida	
  pelo	
  
movimento	
  macroscópico	
  do	
  fluido	
  (advecção)	
  
	
  
•  Convecção	
  forçada:	
  movimento	
  do	
  fluido	
  é	
  causado	
  por	
  
agentes	
  externos	
  (bombas,	
  ven_ladores,	
  etc.)	
  
•  Convecção	
  natural:	
  movimento	
  do	
  fluido	
  ocorre	
  devido	
  a	
  
forças	
  de	
  empuxo,	
  que	
  surgem	
  devido	
  a	
  diferenças	
  de	
  
densidade,	
  causadas	
  por	
  diferenças	
  de	
  temperatura	
  
•  Convecção	
  mista:	
  natural+forçada	
  
	
  
•  Evaporação/Condensação:	
  casos	
  especiais	
  de	
  convecção,	
  
onde	
  a	
  energia	
  é	
  transferida	
  na	
  forma	
  de	
  calor	
  latente.	
  	
  
5	
Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Convecção	
  (cont.)	
  
•  Lei	
  de	
  Newton	
  de	
  resfriamento:	
  fornece	
  a	
  taxa	
  de	
  
transferência	
  de	
  calor	
  por	
  convecção	
  
€ 
q"= h(Ts −T∞)
h	
  -­‐	
  coeficiente	
  de	
  troca	
  de	
  calor	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  por	
  convecção	
  (W/m2K)	
  
Ts	
  -­‐	
  temperatura	
  da	
  superecie	
  
T∞	
  -­‐	
  temperatura	
  do	
  fluido	
  
Exemplo:	
  	
  
Em	
  convecção	
  natural,	
  har	
  ≈	
  10	
  W/m2K	
  e	
  hágua	
  ≈	
  100	
  W/m2K	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ⇒	
  q”água	
  >	
  q”ar	
  	
  (i.e.,	
  para	
  um	
  mesmo	
  intervalo	
  de	
  tempo,	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  um	
  corpo	
  na	
  água	
  perde	
  mais	
  calor	
  do	
  que	
  um	
  no	
  ar)	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
Tar=20	
  0C	
  
Tágua=20	
  0C	
  
6	
Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Convecção	
  (cont.)	
  
•  Ordem	
  de	
  grandeza	
  de	
  h	
  (W/m2K):	
  
– Convecção	
  natural:	
  gases	
  -­‐	
  2	
  a	
  25	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  líquidos	
  -­‐	
  50	
  a	
  1000	
  
– Convecção	
  forçada:	
  gases	
  -­‐	
  25	
  a	
  250	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  líquidos	
  -­‐	
  50	
  a	
  20000	
  
– Convecção	
  com	
  mudança	
  de	
  fase:	
  2500	
  a	
  100000	
  
7	
Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Radiação	
  
•  Energia	
  emi_da	
  pela	
  matéria	
  (sólido,	
  líquido	
  ou	
  
gás)	
  a	
  temperatura	
  finita.	
  O	
  transporte	
  ocorre	
  por	
  
ondas	
  eletromagné_cas.	
  Não	
  é	
  necessário	
  um	
  
meio	
  material	
  para	
  a	
  propagação	
  de	
  energia.	
  
•  Lei	
  de	
  Steffan-­‐Boltzman:	
  Fluxo	
  máximo	
  de	
  
radiação	
  que	
  pode	
  ser	
  emi_da	
  por	
  uma	
  superecie	
  
€ 
q"=σTs4
σ = 5.67x10−8W /m2K 4 → cte Steffan Boltzman
A	
  superecie	
  que	
  emite	
  radiação	
  de	
  acordo	
  com	
  esta	
  relação	
  é	
  
chamada	
  de	
  corpo	
  negro	
  
8	
Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Radiação	
  (cont.)	
  
•  Para	
  uma	
  superecie	
  real:	
  
•  Radiação	
  incidente:	
  
	
   € 
q"= εσTs4
ε → emissividade
0 ≤ ε ≤1
 
€ 
q"inc = q"ref +q"trans +q"abs
⇒1= q"refq"inc
= ρ−refletividade

+
q"trans
q"inc
=τ− transmissividade
   
+
q"abs
q"inc
=α−absortividade

9	
Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Princípios	
  Fundamentais	
  
•  Equações	
  de	
  conservação:	
  massa,	
  quan_dade	
  
de	
  movimento	
  linear,	
  energia,	
  conservação	
  de	
  
massa	
  de	
  espécies	
  químicas	
  
•  Equações	
  cons_tu_vas:	
  lei	
  de	
  Fourier,	
  lei	
  da	
  
viscosidade	
  de	
  Newton,	
  lei	
  de	
  Newton	
  da	
  
convecção,	
  lei	
  de	
  Stefan-­‐Boltzman	
  
10	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Hipótese	
  de	
  cononuo	
  
•  Fluido	
  é	
  modelado	
  como	
  sendo	
  infinitamente	
  
divisível,	
  sem	
  mudança	
  de	
  suas	
  caracterís_cas	
  
•  Todas	
  as	
  propriedades	
  materiais	
  (ρ,	
  µ,	
  κ,	
  …)	
  e	
  
variáveis	
  (p,	
  v,	
  T,	
  …)	
  são	
  definidas	
  num	
  ponto	
  
como	
  o	
  limite	
  da	
  média	
  da	
  grandeza	
  nas	
  
flutuações	
  moleculares	
  
•  Estudo	
  do	
  movimento	
  a	
  nível	
  macroscópico	
  (p.	
  
ex.:	
  escoamento	
  em	
  tubos,	
  em	
  volta	
  de	
  corpos,	
  
etc	
  …	
  
11	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Consequências	
  da	
  hipótese	
  de	
  
cononuo	
  
•  Mecanismos	
  de	
  transporte:	
  
–  Transporte	
  associado	
  ao	
  campo	
  de	
  velocidade	
  
macroscópico	
  u	
  	
  
–  Mecanismo	
  de	
  transporte	
  “molecular”:	
  contribuição	
  de	
  
superecie	
  nas	
  eqs.	
  momentum	
  e	
  energia.	
  
•  Na	
  formulação	
  cononua,	
  são	
  necessários	
  modelos	
  
para	
  descrever	
  o	
  fluxo	
  de	
  momentum	
  e	
  calor	
  a	
  
nível	
  molecular	
  
•  Incerteza	
  nas	
  condições	
  de	
  contorno	
  
12	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Derivadamaterial	
  ou	
  convectada	
  
•  Volume	
  material	
  Vm(t):	
  volume	
  arbitrário	
  que	
  contém	
  um	
  certo	
  
número	
  de	
  pontos	
  materiais	
  em	
  t=0.	
  Vm(t)	
  se	
  move	
  e	
  se	
  
deforma	
  tal	
  que	
  o	
  fluxo	
  de	
  massa	
  através	
  de	
  todos	
  os	
  pontos	
  
na	
  sua	
  superecie	
  é	
  zero:	
  	
  
•  Derivada	
  material	
  ou	
  convectada:	
  
€ 
DB
Dt =
∂B
∂t + u•∇B
€ 
D
Dt ρdVVm ( t )∫[ ] = 0
Derivada	
  no	
  tempo	
  da	
  
massa	
  total	
  associada	
  a	
  
Vm	
  
Sm(0),	
  Us=u(x)	
  
U(x)	
  
n	
  
Vm(0)	
  
Vm(t)	
  
Sm(t)	
  
n	
  
t	
  
expressa	
  a	
  variação	
  com	
  o	
  	
  
tempo	
  seguindo	
  uma	
  par5cula	
  
material	
  
13	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
•  Derivada	
  parcial	
  com	
  relação	
  ao	
  tempo:	
  
•  Derivada	
  total:	
  
	
  
€ 
∂B
∂t ≡
∂B
∂t
$ 
% 
& 
' 
( 
) 
z
expressa	
  a	
  variação	
  com	
  o	
  
tempo,	
  numa	
  posição	
  fixa	
  
€ 
DB
Dt =
∂B
∂t + v•∇B
expressa	
  a	
  variação	
  com	
  o	
  	
  
tempo	
  em	
  relação	
  a	
  um	
  “material”	
  
arbitrário	
  
14	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Teorema	
  do	
  Transporte	
  de	
  Reynolds	
  
• 	
  O	
  teorema	
  do	
  transporte	
  é	
  uma	
  generalização	
  da	
  Regra	
  de	
  Leibnitz	
  para	
  
diferenciação	
  de	
  uma	
  integral,	
  1-­‐D,	
  quando	
  ambos	
  integrando	
  e	
  limites	
  de	
  integração	
  
variam	
  
€ 
D
Dt B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡ δt→0lim
1
δt B t + δt( )dV - B t( )dV Vm ( t )∫Vm ( t+δt )∫[ ]
& 
' 
( 
) 
* 
+ 
Adicionando	
  e	
  subtraindo	
  o	
  termo:	
  	
  
€ 
B t + δt( )dVVm ( t )∫
 
€ 
D
Dt B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡ δt→0lim
1
δt B t + δt( )dV - B t + δt( )dV Vm ( t )∫Vm ( t+δt )∫[ ]
= lim 1
δt B t+δt( )dV Vm( t+δt )−Vm( t )∫[ ]
' 
( ) 
* 
+ , 
                 
+
1
δt B t + δt( )dV Vm ( t )∫ − B t( )dVVm ( t )∫[ ]
≡
∂B
∂t dVVm( t )∫
               
15	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
€ 
D
Dt B x,t( )dVVm ( t )∫[ ] =
∂B
∂t + ∇ • Bu( )
% 
& ' 
( 
) * 
dV
Vm ( t )∫
€ 
lim 1
δt B t + δt( )dV Vm ( t+δt )−Vm ( t )∫[ ]
% 
& ' 
( 
) * 
= lim 1
δt B t + δt( )u•nδdA Am ( t )∫[ ]
% 
& ' 
( 
) * 
= B t( )u•nδdAAm ( t )∫
Usando	
  o	
  teorema	
  da	
  divergêngia,	
  chega-­‐se	
  a	
  forma	
  final	
  para	
  	
  
o	
  Teorema	
  de	
  Transporte:	
  
Caso	
  o	
  volume	
  esteja	
  se	
  movendo	
  a	
  uma	
  velocidade	
  u*,	
  	
  
diferente	
  da	
  velocidade	
  do	
  fluido	
  u:	
  
€ 
D*
Dt* B x,t( )dVV *m ( t )∫[ ] =
∂B
∂t + ∇ • Bu
*( )% & ' 
( 
) * 
dV
V *m ( t )∫
D*
Dt* ≡
∂
∂t + u
* •∇
16	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  de	
  Conservação	
  de	
  Massa	
  	
  
•  A	
  equação	
  de	
  conservação	
  de	
  massa	
  
(con_nuidade)	
  pode	
  ser	
  derivada	
  usando	
  o	
  
conceito	
  de	
  volume	
  material	
  e	
  o	
  Teorema	
  de	
  
Transporte:	
  
€ 
D
Dt ρdVVm ( t )∫[ ] =
∂ρ
∂t + ∇ • ρu( )
& 
' ( 
) 
* + 
dV
Vm ( t )∫ = 0
€ 
∂ρ
∂t +∇ • ρu( ) = 0 ou 
Dρ
Dt + ρ∇ • u( ) = 0 
€ 
∇ • (ρu) = ρ ∇ • u + u •∇ ρ
17	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Em	
  coordenadas	
  cartesianas:	
  
€ 
∂ρ
∂t +
∂ ρu( )
∂x +
∂ ρv( )
∂y +
∂ ρw( )
∂z = 0
Em	
  coordenadas	
  cilíndricas:	
  
€ 
∂ρ
∂t +
∂ rρur( )
r ∂r +
∂ ρuθ( )
r ∂θ +
∂ ρuz( )
∂z = 0
18	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Casos	
  par_culares	
  
•  Densidade	
  constante	
  (fluido	
  real:	
  ρ=ρ(p,T);	
  
fluido	
  incompressível,	
  boa	
  hipótese	
  quando	
  
M=|u|/usom<<1)	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  Obs:	
  a	
  validade	
  da	
  equação	
  acima	
  não	
  implica	
  
na	
  incompressibilidade	
  do	
  fluido	
  
•  Regime	
  permanente:	
  
	
  
€ 
∇ •u ≡ div u = 0
€ 
∇ • ρu ≡ div ρu = 0
19	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Taxa	
  de	
  deformação	
  
•  A	
  taxa	
  de	
  deformação	
  no	
  ponto	
  de	
  interseção	
  
de	
  2	
  curvas	
  materiais	
  é	
  descrita	
  pela	
  taxa	
  
instântanea	
  de	
  variação	
  do	
  comprimento	
  das	
  
curvas	
  e	
  pela	
  taxa	
  de	
  variação	
  do	
  ângulo	
  entre	
  
elas	
  
20	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Tensor	
  taxa	
  de	
  deformação	
  
€ 
Dij =
taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = j
metade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i≠ j
# 
$ 
% 
D = 12 ∇v( ) + ∇v( )
T[ ] parte simétrica de ∇v( )
∇v( ) =D+ W
W : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ∇v( ))
Wij	
  …	
  ½	
  da	
  soma	
  da	
  taxa	
  de	
  rotação,	
  de	
  acordo	
  com	
  a	
  regra	
  da	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  mão	
  direita,	
  em	
  torno	
  da	
  direção	
  k	
  de	
  elementos	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  materiais	
  instantâneamente	
  alinhados	
  com	
  i	
  e	
  j	
  
€ 
w ≡ tr ε •W( ) = εijkWkjei =
1
2 εijk
∂vk
∂z j
−εijk
∂v j
∂zk
& 
' 
( ( 
) 
* 
+ + ei = εijk
∂vk
∂z j
ei = rot v( )vetor	
  vor_cidade:	
  	
  
representação	
  polar	
  de	
  W	
  
21	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
•  A	
  direção	
  de	
  w	
  é	
  a	
  do	
  eixo	
  de	
  rotação	
  do	
  fluido	
  
•  Primeiro	
  Teorema	
  de	
  Cauchy:”O	
  componente	
  do	
  vetor	
  
vor_cidade	
  em	
  qualquer	
  direção	
  é	
  a	
  soma	
  das	
  taxas	
  de	
  
rotação	
  (no	
  sen_do	
  da	
  regra	
  da	
  mão	
  direita)	
  sobre	
  a	
  direção	
  
dos	
  elementos	
  em	
  quaisquer	
  direções	
  perpendiculares	
  a	
  ela	
  e	
  
a	
  cada	
  uma	
  outra”	
  
•  Se	
  podemos	
  escrever	
  	
  
€ 
w = 0 esc. irrotacional
w ≠ 0 esc. rotacional
€ 
v = −∇P⇒ w = 0 pois rot ∇α( ) = 0 sempre
22	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Tensor	
  Taxa	
  de	
  
Deformação:	
  
	
  
€ 
D = 12 ˙ γ 
23	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
24	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  de	
  conservação	
  de	
  
momentum	
  
•  Da	
  Segunda	
  Lei	
  de	
  Newton:	
  
•  Aplicando	
  num	
  volume	
  material	
  de	
  fluido:	
  € 
taxa variação quantidade
movimento linear num corpo
em relação a um ref inercial
" 
# 
$ 
$ 
$ 
% 
& 
' 
' 
' 
=
soma das forças
agindo sobre o
corpo
" 
# 
$ 
$ 
$ 
% 
& 
' 
' 
' 
€ 
D
Dt ρudVVm ( t )∫[ ] =
soma das forças
agindo em Vm (t)
$ 
% 
& 
' 
( 
) 
25	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐RioTipos	
  de	
  força	
  
•  Forças	
  de	
  corpo:	
  associadas	
  a	
  presença	
  de	
  
campos	
  externos	
  (Ex.:	
  força	
  gravitacional).	
  
Neste	
  curso	
  só	
  iremos	
  considerar	
  o	
  efeito	
  da	
  
força	
  gravitacional.	
  
•  Forças	
  de	
  contato	
  ou	
  de	
  superecie:	
  forças	
  do	
  
material	
  fora	
  de	
  Vm(t)	
  sobre	
  Vm(t)	
  
	
  	
  
26	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Segunda	
  Lei	
  de	
  Newton	
  para	
  Vm	
  
	
  
•  Vetor	
  tensão	
  t:	
  força	
  local	
  de	
  superecie	
  por	
  
unidade	
  de	
  área	
  
•  Usando	
  o	
  Teorema	
  do	
  Transporte	
  
 
€ 
D
Dt ρudVVm ( t )∫
$ 
% & 
' 
( ) 
taxa variação QML em Vm
       
= ρgdV
Vm ( t )
∫
força gravitacional
     
+ tdA
Am ( t )
∫
força agindo sobre a superfície de Vm
     
€ 
∂ ρu( )
∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg
& 
' 
( 
) 
* 
+ dVVm ( t )∫ = tAm ( t )∫ dA
27	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Tensor	
  das	
  tensões	
  
•  Seja	
  l	
  	
  a	
  dimensão	
  caracterís_ca	
  de	
  
Vm.	
  Quando	
  l →0,	
  a	
  integral	
  de	
  
volume	
  vai	
  a	
  zero	
  mais	
  rapidamente	
  
do	
  que	
  a	
  integral	
  de	
  área	
  do	
  vetor	
  
tensão.	
  Assim,	
  da	
  eq.	
  de	
  momentum	
  
aplicada	
  ao	
  tetraedro:	
  
€ 
lim
l→0
t
Am ( t )∫ dA→ 0
Princípio	
  de	
  equilíbrio	
  da	
  tensão	
  
€ 
t(n) ΔAn − t(e1) ΔA1 − t(e2) ΔA2 − t(e3) ΔA3 = 0
Logo:	
  
28	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
	
  
Então:	
  	
  
€ 
ΔAi = ΔAn n•ei( ) i =1,2,3
€ 
t(n) − t(e1) n•e1( ) − t(e2) n•e2( ) − t(e3) n•e3( )[ ]ΔAn = 0
No	
  limite	
  l →0:	
  
 
€ 
t(n) = n• e1t(e1)( ) + e2t(e2)( ) + e3t(e3)( )[ ]
Tensor das tensões T
             
t(x p ,n) = n•T(x p )
€ 
t
Am ( t )∫ dA = n•TAm ( t )∫ dA = ∇ •T( )Vm ( t )∫ dV
Então:	
  
29	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  de	
  momentum	
  linear	
  
•  A	
  equação	
  de	
  momentum	
  fica	
  então:	
  
€ 
∂ ρu( )
∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T
& 
' 
( 
) 
* 
+ dVVm ( t )∫ = 0
Como	
  Vm	
  é	
  arbitrário,	
  o	
  integrando	
  tem	
  que	
  ser	
  nulo:	
  
€ 
∂ ρu( )
∂t +∇ • ρuu( ) = ρg +∇ •T
Combinando	
  a	
  eq.	
  acima	
  com	
  a	
  eq.	
  con_nuidade:	
  
€ 
ρ
∂ u( )
∂t + u•∇ u( )
% 
& 
' 
( 
) 
* = ρg + ∇ •T Equação	
  de	
  Cauchy	
  
30	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  de	
  momento	
  angular	
  
•  Observando	
  as	
  equações	
  de	
  massa	
  e	
  
momentum,	
  vemos	
  que	
  temos	
  mais	
  
incógnitas	
  (u,	
  p,	
  T)	
  do	
  que	
  equações	
  
•  Generalização	
  da	
  Segunda	
  Lei	
  de	
  Newton:	
  
€ 
D
Dt x × ρu( )dV = soma dos torques agindo sobre VmVm( t )∫
 
€ 
 
Taxa de variação de momento 
angular em Vm
         
31	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
 
€ 
D
Dt x × ρu( )dV = x × n•T( ) + r[ ]Am ( t )∫
Torque forças superfície
         Vm( t )
∫ dA + x × ρg + ρc[ ]Vm ( t )∫
Torque forças corpo
         
dV
Hipótese:	
  torques	
  devido	
  a	
  pares	
  de	
  forças	
  nulos	
  (r=0,	
  c=0).	
  Obs:	
  fluidos	
  
ferrosos,	
  c≠0.	
  Aplicando	
  o	
  Teo	
  Transporte	
  (lado	
  esquerdo)	
  e	
  o	
  Teo	
  divergência:	
  	
  
 
€ 
x × ∂ ρu( )
∂t + ∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T
' 
( 
) 
* 
+ 
, + ε T
. 
/ 
0 
1 
2 
3 
dV
Vm ( t )∫ = 0
€ 
ε ijk =
+1 se (ijk) for permutação par de (123)
-1 se (ijk) for permutação ímpar de (123)
0 qualquer outro caso (algum índice igual) 
# 
$ 
% 
& 
% 
Usando	
  a	
  Eq.	
  momentum	
  linear	
  e	
  considerando	
  que	
  Vm	
  é	
  
arbitrário,	
  chega-­‐se	
  a	
  ε°T=0,	
  e	
  portanto:	
  T=TT,	
  i.e.,	
  o	
  tensor	
  das	
  tensões	
  tem	
  que	
  ser	
  
simétrico.	
  
Obs:	
  se	
  c≠0,	
  ε°T-­‐ρc=0,	
  e	
  T	
  não	
  é	
  simétrico.	
  
Assim:	
  
32	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  de	
  conservação	
  de	
  Energia	
  
	
  
“A	
  taxa	
  de	
  variação	
  de	
  energia	
  com	
  o	
  tempo,	
  das	
  energias	
  
interna	
  e	
  ciné_ca	
  de	
  um	
  corpo,	
  com	
  relação	
  às	
  estrelas	
  fixas	
  é	
  
igual	
  a	
  taxa	
  de	
  trabalho	
  das	
  forças	
  que	
  agem	
  sobre	
  ele	
  mais	
  a	
  
taxa	
  de	
  transferência	
  de	
  energia	
  para	
  o	
  corpo”	
  
€ 
˙ E at = ˙ E e − ˙ E s + ˙ E g
33	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
•  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  :	
  velocidade	
  local	
  do	
  meio	
  cononuo	
  
•  ρu:	
  energia	
  interna	
  (representa	
  en.	
  ciné_ca	
  
adicional	
  a	
  nível	
  molecular)	
  
•  Primeira	
  Lei	
  da	
  Termodinâmica	
  
 
€ 
D
Dt
ρv
2
2
+ ρu
# 
$ 
% 
& 
' 
( dVVm ( t )∫
taxa de variação de energia em Vm
           
=
Taxa de trabalho
feito sobre Vm pelas 
forças externas
* 
+ 
, 
- 
, 
. 
/ 
, 
0 
, 
+
Fluxo de calor
através das
fronteiras de Vm
* 
+ 
, 
- 
, 
. 
/ 
, 
0 
, 
+
Taxa de energia
gerada 
internamente
* 
+ 
, 
- 
, 
. 
/ 
, 
0 
, 
€ 
v 2 = v⋅ v
34	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  de	
  conservação	
  de	
  energia	
  na	
  
forma	
  diferencial	
  
€ 
D
Dt
ρv
2
2
+ ρu
# 
$ 
% 
& 
' 
( dVVm ( t )∫ = t(n) • v[ ]dAAm ( t )∫ + (ρg) • v[ ]dV − q•n[ ]dA + ˙ q dVVm ( t )∫Am ( t )∫Vm ( t )∫
q:	
  vetor	
  fluxo	
  de	
  calor	
  (cruza	
  a	
  superecie	
  de	
  Vm).	
  Posi_vo	
  quando	
  calor	
  é	
  
transferido	
  a	
  Vm	
  
Usando	
  o	
  Teo	
  Transporte	
  e	
  o	
  Teo	
  Divergência,	
  e	
  igualando	
  o	
  integrando	
  a	
  zero:	
  
 
€ 
∂ ρe( )
∂t
taxa var. en.
   
+ div ρe v( )
fluxo en. por 
convecção
     =
˙ q 
em. gerada
 − divq
fluxo calor cond.
 + ρ v⋅ g
trab. força
gravitacional
   + div Tv( )
trab. forças
viscosas e de pressão
     
€ 
e = u + v 2 /2
div Tv( ) = vdivT+ tr Tgradv( )
35	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
•  Balanço	
  de	
  Energia	
  Mecânica:	
  u•(eq.	
  Cauchy)	
  
•  Balanço	
  de	
  Energia	
  Térmico:	
  subs_tuindo	
  a	
  eq.	
  
acima	
  na	
  Eq.	
  conservação	
  energia	
  
€ 
ρ
2
Dv 2
Dt = ρg( ) • v+ v• divT( )
 
€ 
ρ
Du
Dt
variação en.
interna por un. vol.
   
= ˙ q 
geração
en. por un.
vol.
 −divq
ganho en.
por 
condução
   −p div v
aumento rev. de
en. int. 
por compressão
     + tr τ∇ v( )
aumento irrev. 
en. int. por
dissipação viscosa
     
 
€ 
T = −pΙ + τ
D ≡ 12 ∇ v+∇ v
T( )
∇ v ≡ 12 ∇ v+∇ v
T( )
parte simétrica
       
+
1
2 ∇ v+∇ v
T( )
parteanti-simétrica
       
=D+ W
D:Tensor	
  taxa	
  de	
  deformação	
  
W:	
  Tensor	
  vor_cidade	
  	
  
36	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
•  Usando	
  a	
  entalpia	
  específica:	
  h≡u+p/ρ	
  	
  o	
  balanço	
  
de	
  energia	
  térmico	
  fica:	
  
•  Novas	
  incógnitas:	
  u	
  (ou	
  h),	
  q	
  
•  Relações	
  entre	
  u	
  (ou	
  h)	
  e	
  θ	
  e	
  p	
  podem	
  ser	
  ob_das	
  
assumindo	
  o	
  equilíbrio	
  termodinâmico:	
  € 
ρ
Dh
Dt = ˙ q − div q +
Dp
Dt + tr τ∇v( )
€ 
dh = CPdθ +
1
ρ
−θ
∂ 1/ ρ( )
∂θ
& 
' 
( 
) 
* 
+ 
p
, 
- 
. 
/ . 
0 
1 
. 
2 . 
dp
⇒
Dh
Dt = CP
Dθ
Dt +
1
ρ
−θ
∂ 1/ ρ( )
∂θ
& 
' 
( 
) 
* 
+ 
p
, 
- 
. 
/ . 
0 
1 
. 
2 . 
Dp
Dt
37	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  de	
  energia	
  em	
  termos	
  da	
  
temperatura	
  
•  A	
  equação	
  de	
  balanço	
  de	
  energia	
  térmico	
  
fica	
  (sem	
  o	
  termo	
  de	
  geração):	
  
 
€ 
ρCp
Dθ
Dt = tr τ∇v( )
dissipação viscosa
     
− div q − ∂ lnv
∂ lnθ
( 
) 
* 
+ 
, 
- 
p
Dp
Dt
trabalho de compressão 
     
 
€ 
ρCv
Dθ
Dt = tr τ∇v( )
dissipação viscosa
     
− div q − θ ∂p
∂θ v
divv
trabalho de compressão 
     
38	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Segunda	
  Lei	
  da	
  Termodinâmica	
  
•  Princípio	
  da	
  desigualdade	
  de	
  entropia	
  
€ 
D
Dt ρs( )Vm ( t )∫ dV +
n•q
θAm ( t )
∫ dA ≥ 0
Usando	
  o	
  Teo	
  Transporte	
  e	
  o	
  Teo	
  Divergência:	
  
€ 
ρ
Ds
Dt + ∇ •
q
θ
% 
& 
' 
( 
) 
* ≥ 0
Usando	
  relações	
  termodinâmicas,	
  chega-­‐se	
  a:	
  
€ 
1
θ
tr τ∇v( ) + p∇ • v( ) − q •∇θ
θ 2
≥ 0
39	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Comentários	
  
•  A	
  solução	
  de	
  problemas	
  de	
  mecânica	
  dos	
  fluidos	
  é	
  
ob_da	
  com	
  a	
  solução	
  das	
  equações	
  de	
  conservação	
  
de	
  massa,	
  momento	
  linear	
  e	
  energia	
  
•  A	
  equação	
  de	
  momento	
  angular	
  e	
  a	
  Segunda	
  Lei	
  
aparecem	
  apenas	
  indiretamente,	
  como	
  restrições	
  às	
  
equações	
  cons_tu_vas	
  para	
  τ	
  e	
  q	
  
•  Incógnitas:	
  u	
  (3),	
  τ	
  	
  (9),	
  q	
  (3),	
  θ	
  e	
  p	
  (total:17)	
  
•  Equações:	
  Conservação	
  de	
  massa	
  (1),	
  momento	
  linear	
  
(3),	
  energia	
  (1)	
  e	
  momento	
  angular	
  (reduz	
  as	
  9	
  
incógnitas	
  τij	
  para	
  6).	
  
•  Temos	
  então	
  14	
  incógnitas	
  e	
  5	
  equações	
  
⇒Equações	
  cons_tu_vas	
  para	
  τ	
  	
  e	
  q	
  
40	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equações	
  cons_tu_vas	
  
•  Fluidos	
  (ou	
  outros	
  materiais)	
  tem	
  uma	
  estrutura	
  
molecular	
  definida,	
  e	
  não	
  são	
  indivisíveis	
  e	
  
homogêneos	
  como	
  quando	
  assumidos	
  como	
  meio	
  
cononuo	
  
•  Equações	
  cons_tu_vas	
  são	
  relações	
  entre	
  T	
  e	
  q	
  
(representam	
  processos	
  de	
  transporte	
  molecular)	
  e	
  
os	
  campos	
  (macroscópicos)	
  de	
  velocidade	
  e	
  
temperatura.	
  Em	
  outras	
  palavras,	
  elas	
  vão	
  fornecer	
  
a	
  relação	
  entre	
  a	
  resposta	
  de	
  um	
  material	
  a	
  uma	
  
dada	
  solicitação	
  (campo	
  de	
  escoamento/
temperatura)	
  
41	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Princípios	
  que	
  devem	
  ser	
  sa_sfeitos	
  	
  
•  Determinismo:	
  A	
  tensão	
  em	
  um	
  corpo	
  é	
  
determinada	
  pela	
  história	
  do	
  movimento	
  que	
  o	
  
corpo	
  descreveu	
  
•  Ação	
  local:	
  O	
  movimento	
  do	
  material	
  for	
  a	
  de	
  uma	
  
vizinhança	
  arbitrariamente	
  pequena	
  em	
  torno	
  de	
  
uma	
  parocula	
  não	
  influencia	
  a	
  tensão	
  nesta	
  parocula	
  
•  Indiferença	
  ao	
  referencial:	
  As	
  descrições	
  do	
  
comportamento	
  do	
  material	
  (relações	
  cons_tu_vas)	
  
têm	
  que	
  ser	
  indiferentes	
  ao	
  referencial	
  	
  
42	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  cons_tu_va	
  para	
  q:	
  Lei	
  de	
  Fourier	
  
•  A	
  equação	
  foi	
  proposta	
  a	
  par_r	
  da	
  observação	
  de	
  
que	
  
•  A	
  equação	
  sa_sfaz	
  ao	
  princípio	
  de	
  obje_vidade	
  
(indiferença	
  ao	
  referencial)	
  
•  Processo	
  de	
  troca	
  de	
  calor	
  é	
  considerado	
  
instantâneo	
  
•  Fluido	
  é	
  considerado	
  homogêneo	
  
•  A	
  equação	
  proposta	
  foi	
  validada	
  
experimentalmente	
  
 
€ 
q = − K
Tensor 
condutividade
térmica, > 0
 •∇θ
€ 
q = q ∇θ ,derivadas de θ de maior ordem( )
43	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Lei	
  de	
  Fourier	
  de	
  condução	
  de	
  calor	
  
•  Para	
  um	
  fluido	
  isotrópico,	
  o	
  fluxo	
  de	
  calor	
  
depende	
  da	
  magnitude	
  do	
  gradiente	
  de	
  
temperatura	
  e	
  não	
  da	
  sua	
  orientação	
  (K=kI):	
  
•  A	
  Segunda	
  Lei	
  impõe	
  que	
  k>0	
  
	
  
€ 
q = −k∇θ Lei	
  de	
  Fourier	
  
44	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
D:	
  parte	
  simétrica	
  de	
  	
  	
  
Equação	
  cons_tu_va	
  para	
  o	
  tensor	
  das	
  
tensões	
  -­‐	
  Fluido	
  Newtoniano	
  
	
  	
  	
  
	
  
€ 
T+ pI = τ ∇u, termos de maior ordem de derivadas em u( )
τ:	
  tensão	
  desviadora	
  
Considerando	
  que	
  τ	
  sa_sfaz	
  ao	
  princípio	
  de	
  obje_vidade,	
  
é	
  simétrico	
  e	
  depende	
  apenas	
  da	
  história	
  do	
  movimento:	
  
€ 
τ = τ D( )
€ 
∇u : 12 ∇u−∇u
T( )Ω:	
  parte	
  an_-­‐simétrica	
  de	
  
€ 
∇u : 12 ∇u+∇u
T( )
45	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
Equação	
  cons_tu_va	
  para	
  Fluidos	
  Newtonianos	
  
•  A	
  forma	
  mais	
  geral	
  para	
  Τ	
  é:	
  
•  A	
  forma	
  linear	
  mais	
  geral	
  para	
  T,	
  consistente	
  com	
  as	
  
hipóteses	
  anteriores	
  é:	
  
	
  	
  
€ 
T = x0Ι + x1D+ x2D⋅ ⋅D
xk = xk ΙD ,ΙΙD ,ΙΙΙD( )
€ 
T = −p + λtrD( )I+ 2µD
Equação	
  ConsLtuLva	
  para	
  Fluidos	
  Newtonianos	
  
46	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio	
  
•  Se	
  o	
  fluido	
  for	
  também	
  incompressível:	
  
•  A	
  equação	
  cons_tu_va	
  é	
  sa_sfeita	
  pela	
  maioria	
  
dos	
  gases	
  e	
  líquidos	
  com	
  baixos	
  e	
  moderados	
  
pesos	
  moleculares	
  
•  Observa-­‐se	
  que	
  a	
  restrição	
  imposta	
  pelo	
  balanço	
  
de	
  momento	
  angular	
  é	
  sa_sfeita	
  por	
  T	
  e	
  q	
  
•  A	
  Segunda	
  Lei	
  é	
  sa_sfeita	
  se:	
  	
  
€ 
trD =∇ • u = 0
T = −pI+ 2µD
 
€ 
λ +
2
3µ
# 
$ 
% 
& 
' 
( 
viscosidade de bulk
     
≥ 0 , µ ≥ 0 ,k ≥ 0
47	
  Profa.	
  Mônica	
  Naccache	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PUC-­‐Rio