05.eq.reta circunf.

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Plano cartesiano, estudo da reta e da circunferência
Nesta parte da matéria, será feita uma ligação entre geometria e álgebra. Serão estudados pontos,
retas, circunferências, etc. e esse estudo será feito com o auxílio da álgebra para determinar a equação
da reta, circunferência, etc.
Par ordenado
Chama-se par ordenado todo conjunto formado por dois elementos. Assim, {3,4}, {pi,4}, {a,b}
indicam pares. Lembrando o conceito de igualdade de conjuntos, inverter a ordem dos elementos não
produz um novo par:
{3, 4} = {4, 3}, {pi, 4} = {4, pi}, {a, b} = {b, a}
Em Matemática, há situações en que é preciso distinguir pares pela ordem dos elementos. Por
exemplo, no sistema de equações:{
x+ y = 3
x− y = 1
Nesse caso, x = 2 e y = 1 é solução ao passo que x = 1 e y = 2 não é solução. Sendo assim,
não podemos representar a solução desse sistema por um conjunto, pois teríamos {2, 1} = {1, 2}, o
que seria uma contradição porque o primeiro conjunto seria a solução do sistema e o segundo, não.
Por causa disso dizemos que a solução é o para ordenado (2, 1) onde fica subentendido que o primeiro
elemento 2 refere-se a incógnita x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y.
Propriedade: (a, b) = (c, d)⇔ a = c e b = d.
O plano cartesiano
É formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem
das coordenadas.
No plano cartesiano, cada ponto possui uma abscissa x e uma ordenada y. Os dois eixos dividem
o plano cartesiano em quatro regiões ou quadrantes.
OBS:
• Todos os pontos do eixo dos x têm ordenadas iguais a 0.
• Todos os pontos do eixo dos y têm abscissas iguais a 0.
Produto cartesiano
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B
o conjunto A×B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y) onde o primeiro elemento pertence
a A e o segundo elemento pertence a B.
A×B = {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B}
Exemplos:
1
1) Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2} temos
A×B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}
B ×A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
2) Se A = [1, 3) e B = {1, 4}
Só podemos representar A×B graficamente, pois tem-se um intervalo de números reais (existindo
um número infinito de valores possíveis de serem representados).
3) A = [1, 3) e B = [1, 4]
Só podemos representar A×B graficamente.
Observações:
1. A×A = A2.
2. A×B 6= B ×A.
Simetria de pontos
Considere o ponto P(a,b) no 1oquadrante. Tems que o simétrico a P em relação:
1. ao eixo x, é (a,-b);
2. ao eixo y, é (-a,b);
3. a origem, é (-a,-b);
Ponto médio
Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), vamos obter as coordenadas do ponto médio do segmento
AB(AB).
Seja M(xM , yM ) o ponto médio do AB. Temos que:
xM =
xA+xB
2 e yM =
yA+yB
2
2
Exemplo: M = (11, 12) é o ponto médio do segmento AB, com A = (3, 15). Obtenha as coorde-
nadas de B.
Seja B(xB, yB), temos:
3 + xB = 22⇒ xB = 19
15 + yB = 24⇒ yB = 9
Logo, B(19, 9).
Distância entre dois pontos
Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), vamos calcular a distância entre A e B.
Inicialmente, vamos supor que xA 6= xB e yA 6= yB.
O segmento horizontal AC mede |xA − xB|, enquanto que o segmento vertical BC mede BC =
|yB − yA|.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2
(AB)2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2
AB =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
Esta fórmula também é válida quando xA = xB e yA = yB.
Exemplo: Calcule a distância entre A(2,13) e B(11,1).
AB =
√
(11− 2)2 + (1− 13)2 =√92 + (−12)2 = √81 + 144 = √225 = 15.
Logo, a distância entre A e B é de 15 unidades.
Equação da reta
Equação reduzida
Toda reta não vertical possui uma equação do tipo y = mx+ n, onde m e n são constantes.
Demonstração. Considere uma reta r, não vertical. Seja V (0, n) o ponto onde a reta intercepta
o eixo dos y, e seja α o ângulo que a reta forma com o eixo dos x, conforme a figura.
Consideramos o caso em que α é agudo. Seja P (x, y) um ponto qualquer da reta r diferente de
V (0, n). No triângulo retângulo indicado na figura, temos:
tgα =
y − n
x− 0 ⇒ tgα =
y − n
x
3
Indicando tgα por m, temos:
m =
y − n
x
Esta equação é satisfeita para todos os pontos P (x, y) da reta r, inclusive para o ponto V (0, n),
pois substituindo x = 0 em y = mx+ n, obtém-se y = n. Sendo satisfeita por todos os pontos da reta
r, y = mx+ n é chamada de equação da reta r.
De modo análogo, pode-se mostrar que no caso em que α é obtuso a afirmação também é válida.
Logo, toda reta não vertical possui uma equação do tipo y = mx+ n. �
A equação y = mx+n é chamada de equação reduzida da reta; m é chamado de coeficiente angular
ou declividade e n é chamado de coeficiente linear. O coeficiente linear é a ordenada do ponto onde a
reta intercepta o eixo dos y.
Exemplo 1) Determine a equação da reta que passa pelo (4;2) e tem coeficiente angular m = 6/5.
Temos y = (6/5)x+ n. Substituindo (4;2) obtemos n = −14/15.
Logo, a equação reduzida da reta é y = (6/5)x− 14/5
Exemplo 2) A equação reduzida de uma reta r é y = 3x+ 9. Dê as coordenadas do ponto I onde
r intercepta o eixo dos x e do ponto V onde r intercepta o eixo dos y.
Exemplo 3) Dentre os pontos da reta de equação y = 3x+ 4, qual é aquele que possui ordenada
igual à abscissa?
Exemplo 4) Obtenha o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(3,2) e B(7,22).
Retas horizontais e verticais
Considere a reta horizontal h da figura.
Todos os pontos dessa reta têm ordenadas iguais a 2. Por isso, a equação de h é y = 2 = 0x + 2,
com m = 0 e n = 2.
Como h é paralela ao eixo dos x dizemos que sua inclinação é α = 0◦. Portanto, continua válido
que:
m = tgα, pois m = tg0o e m = yB−yAxB−xA =
0
xB−xA = 0.
Exemplo: Qual a equação reduzida da reta que passa pelo ponto (-3,10) e que é paralela ao eixo
das abscissas?
4
Considere a reta vertical v da figura.
Todos os pontos dessa reta têm abscissas iguais a 3. Por isso, a equação de v é x = 3.
Não existem valores de m e n que transformem y = mx + n em x = 3, isto é, a equação da reta
vertical v não pode ser apresentada na forma da equação reduzida.
Portanto a reta vertical v não possui equação reduzida, coeficiente angular, nem coeficiente linear.
Quanto ao coeficiente angular, veja que não se define tgα para este caso com α = 90o. Quanto ao
coeficiente linear, veja que a reta v não intercepta o eixo dos y.
Exemplo: Determine a equação da reta que passa pelo ponto (8,13) e é perpendicular à reta de
equação y = 5.
Equação geral
Vimos que se uma reta for vertical, ela não possui uma equação reduzida y = mx + n. Quando a
reta é vertical sua equação é de outro tipo, qual seja, x = k.
Veremos que toda reta possui uma equação do tipo ax+by+c = 0 (com a e b não simultaneamente
nulos), que é chamada de equação geral da reta.
Vamos considerar dois casos: um com uma reta não vertical e outro com uma reta vertical.
Considere a reta não vertical r de equação reduzida y = 34x − 5. Para todos os pontos dessa reta
tem-se:
y = 34x− 5 ou 4y = 3x− 20, logo, 3x− 4y − 20 = 0 que é a equação geral de r.
Considere a reta vertical v de equação x = 7. Para todos os pontos dessa reta tem-se: x = 7, logo,
x− 7 = 0 é a equação geral da reta vertical v.
Exemplo 1) Todos os pontos P(x,y) de uma reta satisfazem a equação 5x − 2y + 7 = 0. Dê a
equação reduzida da reta.
Exemplo 2) A reta de equação 4x+3y− 12 = 0 intercepta o eixo dos x no ponto I e o eixo dos y
no ponto V. Calcule a distância entre I e V.
Exercícios propostos
1. Nas duas figuras, ABCD é um quadrado com lados de 4 unidades; M é o ponto médio do lado
AB e N é o ponto médio do lado AD. Obtenha as coordenadas dos pontos A, B, C, D, M e N.
5
2. Considere o segmento AB, com A(3,-2) e B(5,1).
(a) Esse segmento será prolongado, no sentido de A para B, de modo que seu comprimentoduplique. Até que ponto se dará o prolongamento?
(b) Resolva o exercício do item anterior, supondo que o prolongamento fosse feito no sentido de
B para A.
3. Sendo A(1,10) e B(9,-2), quais são as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em
quatro partes iguais?
4. Num triângulo ABC, o vértice A é A(15,2), o ponto médio do lado BC é M(10,-6) e o ponto
médio do lado AB é N(18,-1). Calcule as coordenadas do ponto médio do lado AC.
5. Calcule a distância entre A e B em cada um dos casos:
(a) A(7,9) e B(11,12)
(b) A(6,2) e B(11,14)
(c) A(1,-19) e B(10,21)
(d) A(-2,-3) e B(4,-11)
6. Calcule o perímetro do triângulo de vértices A(4,5), B(10,-3) e C(-11,-3).
7. Uma circunferência passa pelo ponto P(3,11) e tem centro C(10,-13). Quanto mede o raio da
circunferência?
8. Sejam A = [1, 3) e B = [1, 2]. Represente graficamente A × B e as relações R1 = {(x, y) ∈
A×B | y = x} e R2 = {(x, y) ∈ A×B | y = x− 1}.
9. Determinar o valor de a, de modo que :
(a) (5a− 3,−4a+ 2) pertença ao 1◦ quadrante.
(b) (a+
√
3,−2a− 4) pertença ao 4◦ quadrante.
10. Dados os conjuntos A = [1, 3], B = [−3, 1) e C = (−2, 1], representar graficamente os produtos:
(a) A×B
(b) B ×A
(c) A× C
(d) C ×A
(e) B2
(f) C2
11. Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(2,4) e tem coeficiente angular igual
a 3.
12. Uma reta passa pelo ponto P(3,2) e seu coeficiente linear é -19. Calcule seu coeficiente angular.
13. Qual a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(3,-2) e B(-1,-10)?
14. Obtenha o coeficiente angular da reta de equação 2x+ 6y − 7 = 0
15. A equação reduzida de uma reta é y = x3 + 2. Dê a equação geral desta reta.
16. Dê a equação geral da reta determinada pelos pontos A(-1,5) e B(6,5).
17. Quais os pontos da reta x+ y− 7 = 0 que distam 5 unidades da origem O do sistema cartesiano?
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Estudo da circunferência
Estudaremos a equação da circunferência. Assim, dada equação da circunferência poderemos obter
a medida do raio e as coordenadas do seu centro. Da mesma forma, conhecidas as medidas do raio e
as coordenadas do centro, poderemos obter a equação da circunferência.
Equação da circunferência
Considere uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r. Seja P (x, y) um ponto qualquer dessa
circunferência. A distância de P a C é igual a r. Então: d(P,X) = r
Logo,
√
(xc − x)2 + (yc − y)2 = r
Elevando ao quadrado os dois membros, temos:
(xc − x)2 + (yc − y)2 = r2
Portanto, a equação da circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é:
(xc − x)2 + (yc − y)2 = r2
Exemplo 1: Sendo A(−1, 3) e B(7, 9), escreva a equação da circunferência de diâmetro AB.
O centro é o ponto médio de AB. Portanto, o centro é C(3, 6).
Vamos calcular o diâmetro de AB: d(A,B) =
√
82 + 122 = 10.
Como 2r = 10⇒ r = 5.
Assim, a equação da circunferência é: (x− 3)2 + (y − 6)2 = 25
Exemplo 2: Escreva a equação da circunferência centrada na origem e de raio unitário.
Exercícios:
1. Dê a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos:
(a) C = (1, 2) e r = 3
(b) C = (2, 3) e r = 4
(c) C = (−3, 4) e r = 6
(d) C = (−1,−1) e r = 1
(e) C = (5, 0) e r = 7
(f) C = (0, 0) e r = 5
2. Escreva a equação da circunferência de centro C(1,2) que passa pelo ponto P(6,6).
3. Um diâmetro de certa circunferência tem suas extremidades em (1,4) e (5,10). Qual é a equação
desta circunferência?
4. Faça o gráfico de (x− 2)2 + (y + 2)2 = 4.
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