Oscilações e ondas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA DE PESCA
GABRIELE DOS SANTOS NOGUEIRA
PATRICIA DAIARA SIMIONI
Oscilações e Ondas
Toledo
2014
GABRIELE DOS SANTOS NOGUEIRA
PATRICIA DAIARA SIMIONI
Oscilações e Ondas
Trabalho apresentado ao Curso de Engenharia de Pesca, Centro de Engenharias e Ciências Exatas da Universidade Estadual do Oeste do Paraná, como requesito parcial para obtenção de nota na disciplina de Física Geral e Experimental.
Orientador: Prof. Dra. Rosemeire da Silva de Lucca.
	
Toledo
2014
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES:
Um movimento oscilatório comum, muito importante e básico, é o movimento harmônico simples. Corpos vibram com movimento harmônico simples ou alguma combinação de movimento harmônico simples com diferentes freqüências e amplitudes. 
Assim, 
 					(Eq. 1.1)
é a equação de movimento harmônica simples. Onde k é a chamada de constante elástica, o sinal negativo indica que a força é uma força restauradora. Quando combinamos com a Segunda Lei de Newton (), temos
Ou 	 		 	(Eq. 1.2)
Onde a aceleração é proporcional ao deslocamento e o sinal negativo indica que a aceleração e o deslocamento possuem sentidos opostos. Esse tipo de equação é conhecido como equação diferencial, a partir desta podemos verificar que a solução para a equação diferencial deveria ser uma função seno ou cosseno. Encontramos essa equação,
 			 (Eq. 1.3)
Onde a é a amplitude da oscilação e de velocidade angular. Se a diferença de fase é 0 ou um inteiro vezes 2л, tão se diz que os sistemas estão em fase. Se a diferença de fase δ é л ou um inteiro ímpar vezes л, então se diz que os sistemas estão defasados de 180º. Derivandoduas vezes em relação ao tempo a primeira derivada de da a velocidade 
 			(Eq. 1.4)
 Derivando a velocidade em relação ao tempo temos a aceleração:
 		(Eq. 1.5)
Essa condição é satisfação se , ou
						(Eq. 1.6)
Com a amplitude A e a constante de fase δ podem ser determinadas a partir da posição inicial e de velocidade inicial do sistema. Onde a equação fica
 					 (Eq. 1.7)
De maneira similar em , temos:
				 (Eq. 1.8)
Como se sabe as funções seno e cosseno são periódicas, a posição, a velocidade e a aceleração são descritas nas funções seno e cosseno:
		(Eq. 1.9)
Dizemos que uma partícula executa um movimento periódico quando as grandezas características do movimento da partícula se repetem depois de um tempo chamado período e designado pela letra T.
					(Eq. 1.10)
O inverso do período é a freqüência, :
 					(Eq. 1.11)
Substituindo T na Equação 1.10 obtemos a seguinte expressão para a velocidade angular em função da freqüência:
				(Eq. 1.12)
No caso de uma massa presa a uma mola, as expressões ficam da seguinte forma:
				(Eq. 1.13)
EXEMPLO: Uma massa de 50,0 g é presa a extremidade inferior de uma mola vertical e colocada em vibração. Se a velocidade máxima da massa é 15, 0 cm/s e o período 0, 500 s, ache 
(a) a constante de elasticidade da mola
 (b) a amplitude do movimento 
 (c) a frequência de oscilação
	
PÊNDULO SIMPLES:
Um pêndulo simples é definido por um fio de comprimento L que suspende um peso de massa m. Para iniciar o seu movimento, o pêndulo pode ser largado de um ângulo com a vertical, oscilando com um período T. As unidades de gravidade, comprimento e massa são, respectivamente, m/s², m e kg. A partir de Tipler(2009), podemos definir o período como sendo:
						(Eq. 2.1)
Como o período tem dimensão de tempo, a massa m não poderia ser associada à equação anterior, pois não é possível uma combinação com as variáveis consideradas no problema que cancele a dimensão de kg. Já para o ângulo inicial, por ser adimensional, também não é considerado na igualdade.
Para um corpo suspenso, as forças que atuam no sistema são o seu peso e a tensão do fio , como estão representados na Figura 1.
Figura 1 – Pêndulo simples e as forças que atuam sobre a massa m.
Sendo,
					(Eq. 2.2)
					(Eq. 2.3)
Analisando a componente tangencial e relacionando-a a segunda lei de Newton, temos:
					(Eq. 2.4)
Onde o comprimento de arco s se relaciona com o ângulo através de . Derivando duas vezes s e em relação a T:
						(Eq. 2.5)
Substituindo a Eq. 5 na Eq. 4 e eliminando as massas, tem-se:
					(Eq. 2.6)
Notamos que o movimento do pêndulo não depende de sua massa. Tendendo a um pequeno valor, nota-se que Portanto,
, 					(Eq. 2.7)
Comparando a equação anterior com o problema de um corpo e uma mola, observa-se que o movimento do pêndulo se aproxima de um movimento harmônico simples para deslocamentos angulares pequenos, podendo relacionar:
, onde 				(Eq. 2.8)
Desta forma, o período do movimento para pequenas oscilações pode ser definido por:
					(Eq. 2.9)
A solução da Equação 8 é:
					(Eq. 2.10)
Onde é o deslocamento angular máximo, a velocidade angular e o argumento.
EXEMPLO: Na Terra, certo pêndulo simples executa oscilações com período de 1s.
a) Qual o período desse pêndulo se posto a oscilar na Lua, onde a aceleração da gravidade é 6 vezes menor?
Como , temos:
Sabendo que :
b) Que aconteceria com o período desse pêndulo à medida que fosse removido para uma região livre de ações gravitacionais? 
R: Remover o pêndulo para uma região livre de ações gravitacionais é o mesmo que dizer que a aceleração gravitacional tende a zero. Pela equação do período do pêndulo simples, este período tenderia a infinito.
MOVIMENTO ONDULATÓRIO
Pode ser descrito como Y =f(x-vt) que descreve a propagação de uma perturbação representada pela função f(x), sem distorção, ao longo do eixo X, para a direita, com velocidade v.
Estudamos um caso particular importante, aquele em que a função f(x) é uma função harmônica (seno ou coseno).
 			(Eq. 3.1)
As características desta função de duas variáveis, são as seguintes:
A função seno é periódica e se repete quando o argumento é incrementado em 2p . A função Y(x, t) se repete quando x é incrementada em 2p/k.
 		(Eq. 3.2)
Se trata de uma função periódica, de período espacial ou comprimento de onda l =2p/k. O comprimento k é denominado número de onda.
Quando é propagado um movimento ondulatório harmônico, um ponto x do meio descreve um Movimento Harmônico Simples de amplitude 0 e freqüência angular =kv.
			(Eq. 3.3)
O período da oscilação é P=2p/, e a freqüência  f =1/P.
A igualdade  =kv, nos permite relacionar o período espacial ou comprimento de onda  e o período de oscilação P de um ponto do meio.
				(Eq. 3.4)
 				(Eq. 3.5)
O comprimento de onda λ está relacionada com a freqüência f da forma  =v/f . Para uma velocidade de propagação v, quanto maior é o comprimento de onda menor é a freqüência e vice-versa.
4)ONDAS TRANSVERSAIS E ONDAS LONGITUDINAIS:
Uma onda mecânica é causada por uma perturbação em um meio. As ondas transversais e as longitudinais são dois tipos fundamentais de ondas, elas podem se propagar por meio solido. Em uma onda longitudinal, o deslocamento molecular se dá na direção em que a onda se propaga. Na onda transversal a direção de propagação da onda é perpendicular ao plano onde ocorre a vibração que produz a onda. Considerando uma corda de comprimento L presa por suas terminações, onde o centro é em O e está em uma das extremidades, e o sistema de coordenadas sendo com o eixo coincidindo com a direção da corda. Quando deslocamos um ponto no eixo produzimos uma onda transversal, e com as extremidades fixas temos , assim temos para os pontos sobre o eixo a seguinte relação:
				 (Eq. 4.1)
Como o deslocamento transversal do ponto fixo da corda () é função de e do tempo , podemos escrever :
			(Eq. 4.2)
Considerando a identidade a equação fica da seguinte forma:
 		(Eq. 4.3)
De acordo com a identidade podemos escrever a equação assim:
 		(Eq. 4.4)
De modonormal de ordem a vibração é dado por: , assim omitindo o índice que indica a ordem , obtemos:
 			(Eq. 4.5)
Para interpretar a equação fixamos um tempo , que neste caso, varia em função de . Assim para calcular a velocidade do deslocamento da perturbação ao longo do eixo , basta focalizar em um ponto da corda no instante , deste modo temos a equação:
 			(Eq. 4.6)
Considerando as equações 4.5 e 4.6, temos:
 		(Eq. 4.7)
Da igualdade concluímos:
			(Eq. 4.8)
EXEMPLO: A mão da pessoa, segurando a extremidade de uma corda tensa e flexível, produz uma perturbação que se propaga ao longo da corda. A perturbação denomina-se pulso e o movimento do pulso constituí uma onda. A mão da pessoa é a fonte e a corda é o meio em que a onda se propaga.
Observe na figura uma onda periódica propagando-se numa corda
a)Classifique o tipo de onda, dizendo se é transversal ou longitudinal.
R: Como a direção de propagação é perpendicular à direção de vibração, concluímos que a onda é transversal.
b) O que representam as distâncias a e .
R: a: amplitude; λ: comprimento de onda
ONDA HARMÔNICA: 
Uma onda harmônica simples pode ser produzida, por exemplo, numa corda longa movendo-se uma de suas extremidades para cima e para baixo, com igual deslocamento vertical. Após algumas oscilações da corda, sua configuração se tornará periódica como ilustra a figura abaixo
Figura 01
Considere, num instante t=0, um comprimento de onda λ de uma onda senoidal de amplitude A como mostra a figura abaixo
Figura 2
Amplitude ( A ) é o deslocamento máximo de um segmento do meio em relação a sua posição de equilíbrio (definido quando não há onda).
Comprimento de onda (λ) se define como distância mínima entre quaisquer dois pontos do meio que se encontram em movimento idêntico (com a mesma elongação e no mesmo ciclo do movimento). É mais fácil determinar como a distância entre duas cristas ou dois vales adjacentes (figura 3).
O período (T ) da onda se define como o tempo mínimo para que um segmento do meio realize uma oscilação completa. Outra definição frequentemente usada é que o T é o tempo que a onda precisa para se deslocar na distância igual a um comprimento de onda.
Frequência da onda ( f ) é o inverso do período f = 1 T . Descreve o número de oscilações completas que um segmento do meio executa em um segundo.
Velocidade de propagação da onda ( v ) é a velocidade de propagação da perturbação no meio. Ela depende das propriedades do meio, enquanto as outras características ondulatórias dependem da fonte que produz a onda.
Figura 3
Enquanto a onda se move pela corda, a mesma se movimenta para cima e para baixo, em um movimento harmônico simples com a freqüência do vibrador. A onda percorre uma distancia de um comprimento de onda durante o período , onde sua rapidez é dada por 
 					(Eq. 5.1)
Usando a relação .
Com a relação descreve-se o comprimento de onde e freqüência para todas, já com a função seno descrevemos o deslocamento:
				(Eq. 5.2)
Ou
 			(Eq. 5.3)
Onde é o numero de onda, dado por:
 					(Eq. 5.4)
Quando trabalhando com uma onda harmônica simples, usualmente escolhemos a localização da origem em . Para uma onda viajando no sentido + x, com velocidade v continua e substituído x na equação 00 por (ver pulsos de onda) e com =0 fica:
 	(Eq. 5.5)
Ou
 			(Eq. 5.6)
Onde 
				(Eq. 5.7)
E a freqüência angular relacionada com a freqüência e com o período T, sendo:
Substituindo na equação 00 e , temos:
ONDAS SONORAS HARMÔNICAS: 
Essas ondas podem ser geradas através de um diapão ou por um alto-falante que esta vibrando em movimento harmônico simples. As fontes vibratórias fazem com que as molécuas de ar que estão próximas a ela oscilem em um movimento harmônico simples, sendo em torno de duas posições de equilíbrio. Essas moléculas colidem-se umas com as outras fazendo que se propague a onda sonora. O deslocamento das moléculas em relação as suas posições de equilíbrio ocorre ao longo da direção de propagação da onda, causando variações da pressão do ar e da massa específica. Quando o deslocamento for zero, a massa específica e a pressão estarão em um máximo ou em um mínimo, onde seu deslocamento será máximo ou mínimo, a massa específica e a pressão estarão em seu equilíbrio. Uma onda de pressão é dada por
			(Eq. 6.1)
sendo p a pressão menos a pressão de equilíbrio local, e p0 será o valor máximo de p, esta é a chamada amplitude de pressão. Mostra-se que a amplitude de pressão p0 relaciona-se com a amplitude de deslocamento s0 por
						(Eq. 6.2)
onde v será a rapidez de propagação, enquanto que p será a massa específica de equilíbrio do gás. Quando uma onda sonora harmônica viaja no ar, junto ao deslocamento das moléculas, massa específica e pressão irão variar senoidalmente com a frequência da fonte que estará vibrando.
REFLEXÃO E DIFRAÇÃO DE ONDAS:
A quantidade de energia que será refletida por uma superfície dependerá da superfície. Materiais que são mais rígidos como paredes planas, pavimentos e tetos são bons refletores de ondas sonoras, enquanto que aqueles materiais que apresentam-se porosos e menos rígidos, como por exemplo tecidos e revestimentos de móveis, absorvem mais o som incidente. É comum colocar material absorvente nas paredes e no teto para reduzir de anfiteatros para reduzir as reflexões, evitando assim os ecos causados pela reflexão. 
Exemplo: Em salas onde ocorrem concertos, coloca-se uma concha refletora atrás da orquestra, e também os painéis refletores são pendurados no teto para refletir e dirigir o som de volta para a platéia.
A onda ao encontrar-se parcialmente bloqueada por algum obstáculo apresentará uma parte que não será bloqueada, desviando-se para trás do obstáculo. Este desvio denomina-se de difração. Boa parte das difrações ocorre com as ondas que passam a poucos comprimentos de onda da borda do obstáculo. Caso o obstáculo apresentar alguma falha (furo) de alguns comprimentos de ondas, algumas conseguirão atravessá-las a alguns comprimentos de onda da borda. Sendo assim, as frentes de ondas planas que se desviam e se espalham, tornam-se ondas esféricas ou circulares. O processo de difração é uma das características-chave que distinguem as ondas de partículas.
O grau de difração de uma onda dependerá se o seu comprimento de onda for grande ou pequeno, em relação à largura da falha. Se caso o comprimento de onda for igual ou maior que a falha, irá ocorrer grandes difrações, como no caso (a), no entanto se o comprimento de onda for pequeno em relação a falha, será pequeno o efeito de difração, como no caso (b).
EFEITO DOOPLER:
Se o receptor e a fonte sonora se locomovem um em relação ao outro, a frequência recebida não será a mesma frequência da fonte. Se estiverem se aproximando, a frequência recebida será maior que a frequência da fonte, denominado este de efeito Doopler. Considera-se uma fonte se movendo com rapidez ut e um receptor estacionário. A fonte terá frequência ft (com período Tf = 1/ft). Onde a frequência recebida fv e o numero das cristas de onda que passam pelo receptor por uma unidade de tempo, estará relacionada com o comprimento de onda λ (distância entre cristas) e com rapidez de onda v por
Frλ = v (receptor estacionário) 				(Eq. 8.1)
Uma crista de onda deixará a fonte no tempo t1, enquanto que a segunda deixará a fonte no tempo t2. Sendo o tempo entre esses dois eventos Tf = t2 – t1, e neste tempo a fonte ea crista que deixa a fonte no tempo t1, percorrem as distâncias ufTf e vTf, respectivamente. Contudo, a distância do tempo t2 entre a crista e a fonte deixa o tempo t1 com um comprimento de onda λ igual. À frente da fonte, λ = λa = (v – uf)Tf, e atrás da fonte, λ = λb = (v + uf)Tf, desde que uf< v. Pode-se expressar λa e λb como
				(Eq. 8.2)
sendo o sinal negativo usado se λ = λa com o sinal negativo valendo para λ = λb. Substitui-se Tf por 1/ff. Substitui-se λ n\ Equação 8.1, onde rearranjado, fica
					(Eq. 8.3)
Quando o receptor move-se em relação ao meio, a frequência queserá recebida será diferente simplesmente pelo fato de o receptor passar por um número maior ou menor de cristas de onda em um determinado tempo. Seja Tf o tempo entre as chegadas de cristas sucessivas para um receptor que esta se movendo com rapidez ur. Durante o tempo de chagada das duas cristas sucessivas, cada uma terá viajado uma distância vTf e, ao mesmo tempo, o receptor percorrerá uma distância urTf. Caso o receptor se mover no sentido oposto ao da onda, no tempo Tf, a distância percorrida pela crista mais a distância percorrido pelo receptor será igual ao comprimento de onda. Sendo, vTf + urTr = λ, ou Tf = λ/(v + ur). Como ff = λ/Tf temos
				(Eq. 8.4)
se o receptor se locomover no mesmo sentido que a onda, a frequência recebida será menor, escolhendo-se o sinal negativo. Caso o receptor mover-se em sentido oposto ao da onda, a frequência será maior escolhendo-se o sinal positivo. Substituindo λ na Equação 15-38, obtêm-se
				(Eq. 8.5 a)
As escolhas dos sinais (positivo ou negativo) são facilmente determinadas quando lembra-se que a frequência tende a crescer quando a fonte move-se ao encontro do receptor como quando o receptor que move-se ao encontro da fonte. Por exemplo, caso o receptor mover-se de encontro com a fonte, o sinal positivo será selecionado no numerador, fazendo com que aumente a frequência recebida; se caso a fonte se afastar do receptor, o sinal positivo será selecionado no denominador, fazendo com que a equação diminua a frequência recebida. A Equação 8.5a ficará mais simétrica, onde se tornará mais fácil de ser lembrada, se for expressa na forma
					(Eq. 8.5b)
Mostra-se que se ambos ur e uf forem menores que a rapidez da onda v, o deslocamento de frequência Δf = fr – ff será dado aproximadamente por
	(u << v)				(Eq. 8.6)
Onde u = uf ± ut será a rapidez da fonte em relação ao receptor.
EXEMPLO: A buzina de um carro apresenta uma frequência de 400 Hz. Caso a buzina tocar enquanto o carro move-se com rapidez de uf= 34 m/s (cerca de 122 km/h) em ar parado, de encontro a um receptor estacionário. Determinar o comprimento de onda do som que chegará ao receptor. Considera-se que a rapidez do som do ar é de 343 m/s.
O deslocamento Doopler e relatividade
A frequência dependerá de quem se deslocará em relação ao meio, pois cada situação apresenta-se diferente em relação ao ponto de percepção das atividades sonoras. Porém as outras ondas como a magnética e a luz não precisam de algum meio de propagação, diferente das ondas sonoras. Deve-se haver duas modificações nos cálculos do efeito Doopler, onde ondas rápidas passam por um receptor © que apresenta-se independente ao movimento do receptor e também ao intervalo de tempo de cristas com ondas sucessivas, sendo Tf = 1/ff no referencial da fonte, onde o referencial do receptor é referencial quando ambos referenciais apresentam-se em movimento relativo, sendo pela dilatação do tempo e pela contração do movimento relativístico. A frequência que foi recebida dependerá da rapidez relativa de aproximação (ou afastamento) u, relacionando-se com a frequência emitida por:
PULSOS 
DE ONDA
Pulso de onda transversal em uma mola. O movimento do meio de propagação é perpendicular á direção do movimento da perturbação. 
A figura mostra um pulso em uma corda no tempo t=0. A forma de corda nesse instante pode ser representada por alguma função y=f(x). No tempo seguinte o pulso está mais avançado na corda. Se considerarmos como um novo preceito com origem em O’, o pulso está estacionário. A corda agora é descrita por f(x’) em todos os tempos. E 
as coordenadas dos dois referencias
 são relacionadas por:
Logo a forma referencial original da onda no sentido +
 é
E para onda no sentido –
 éQuando a fonte e o receptor se aproximam escolhe-se os sinais que desloquem a frequência para cima e vice-versa. Novamente, quando u << c, Δf/ff≈±u/c, como dado na equação acima.
Bibliografia:
SAY, M. G. Eletricidade Geral Fundamentos. 2004. Hemus.
BAUER, W. Westfall, G. D., Dias, H.. Física para Universitários - Relatividade, Oscilações, Ondas e Calor.AMGH Editora Ltda, 2013.
WATARI, K. Mecânica Clássica 2, Volume 2.
LUIZ, A. M. Física 2: Gravitação, ondas e termodinâmica: teoria e problemas resolvidos. Editora Livraria da Física,2007. 1ª edição. São Paulo.
Triple, P. A., Mosca, G. FÍSICA PARA CIENTISTAS E ENGENHEIROS: Mecânica, Oscilações e ondas, Termodinamica. Volume 1. 6ª Edição. Editora LTC.