Variáveis Aleatórias Contínuas

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Introduc¸a˜o
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Recordamos que:
Definic¸a˜o: Uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X e´ uma func¸a˜o
mensura´vel do espac¸o amostral Ω nos reais (ou seja, X : Ω 7→ R)
que pode assumir qualquer valor num intervalo real. Dessa forma,
Im(X ) = I ⊂ R.
Obs.: Na˜o e´ poss´ıvel associar uma tabela de probabilidades pontuais ou
frequeˆncias a uma varia´vel aleato´ria cont´ınua.
Exemplos: tempo de durac¸a˜o de uma chamada telefoˆnica; tempo
de vida de uma laˆmpada, altura das pessoas, tempo de espera numa
fila de banco, etc.
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Introduc¸a˜o
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Para calcular probabilidades associadas a v.a. cont´ınuas necessitamos do
conceito de “func¸a˜o de densidade de probabilidade”(f.d.p.).
Definic¸a˜o: A func¸a˜o de densidade de probabilidade assoaciada a
uma v.a. X e´ uma func¸a˜o f que verifica:
(i) f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ R;
(ii)
∫ ∞
−∞
f (x)dx = 1· (f e´ integra´vel)
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Introduc¸a˜o
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
A probabilidade de que uma v.a. cont´ınua X pertenc¸a a um
intervalo real [a, b], a < b e´ dada por P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f (x)dx ·
Em particular, P(X = a) = 0, ∀a ∈ R·
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Introduc¸a˜o
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Notac¸a˜o: Se X e´ uma v.a. cont´ınua com func¸a˜o de densidade de probabilidade
f , por vezes escrevemos fX ao inve´s f .
Definic¸a˜o: A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada (f.d.a.) de uma v.a.
cont´ınua e´ dada por
FX (x) =
∫ x
−∞
f (u)du, ∀ x ∈ R·
Note que, FX (x) = P(X ≤ x), ∀ x ∈ R·
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Introduc¸a˜o
Propriedades
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada FX (.) de uma varia´vel cont´ınua
X satisfaz as seguintes propriedades:
1. FX (.) e´ na˜o-decrescente, ou seja, se a < b ⇒ FX (a) ≤ FX (b),
∀a, b ∈ R;
2. limx→+∞ FX (x) = 1 e limx→−∞ FX (x) = 0;
3. dFX (x)dx = F
′
X (x) = fX (x), ∀ x onde FX (.) e´ diferencia´vel.
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Introduc¸a˜o
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Exemplo: Seja X uma v.a. cont´ınua com f.d.p.:
fX (x) =

x , 0 ≤ x < 1,
2− x , 1 ≤ x ≤ 2,
0, caso contra´rio.
Note que:
f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R;∫ 2
0
f (x)dx =
∫ 1
0
xdx +
∫ 2
1
(2− x)dx = 1·
Podemos tambe´m calcular P(0 < X ≤ 0.8) = ∫ 0.8
0
xdx = 0.32
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Introduc¸a˜o
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Definic¸a˜o: Seja X uma v.a. cont´ınua com f.d.p. fX . A esperanc¸a
de X e´ dada por
E (X ) =
∫ ∞
−∞
xfX (x)dx ·
Notac¸a˜o: E (X ), µ, µX , X¯n, etc.
Dizemos que X teˆm me´dia, ou que a me´dia de X existe, se
E (X ) < +∞·
Proposic¸a˜o: Se
∫∞
−∞ |x |fX (x)dx <∞, enta˜o E (X ) < +∞·
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Proposic¸a˜o: Sejam X uma v.a. cont´ınua com f.d.p. fX e g uma
func¸a˜o. A esperanc¸a de Y = g(X ) e´ dada por
g(X ) =
∫ ∞
−∞
g(x)fX (x)dx ·
Definic¸a˜o: Seja X uma v.a. cont´ınua com densidade fX . Definimos
o momento de ordem k , ou k-e´simo momento, de X por
mk = E (X
k)·
Dizemos que X teˆm o momento de ordem k se E (X k) < +∞·
Proposic¸a˜o: Se E (|X |k) < +∞, enta˜o E (X k) < +∞, k ≥ 1·
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Observamos que:
Caso discreto: E(X k) =
∑∞
i=0 x
k
i P(X = xi );
Caso cont´ınuo: E(X k) =
∫∞
−∞ x
k fX (x)dx ·
Exerc´ıcio: Para a func¸a˜o fX abaixo, calcular E (X 2) e E (X 3)·
fX (x) =

x , 0 ≤ x < 1,
2− x , 1 ≤ x ≤ 2,
0, caso contra´rio.
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Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Definic¸a˜o: Seja X uma v.a. cont´ınua com densidade fX e me´dia
E (X ). Definimos a variaˆncia de X por Var(X ) = E ([X − E (X )2])·
Notac¸a˜o: Var(X ), σ2, σ2X , S
2, etc.
Dizemos que X teˆm variaˆncia se Var(X ) < +∞·
Proposic¸a˜o: Se E (X 2) < +∞, enta˜o Var(X ) < +∞.
Definic¸a˜o: Seja X uma v.a. cont´ınua com densidade fX e me´dia
E (X ). Definimos o desvio padra˜o de X por DP(X ) =
√
Var(X )·
Notac¸a˜o: DP(X ), σ, σX , S , etc.
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Introduc¸a˜o
Varia´veis Aleato´rias Cont´ınuas
Obs.: Note que assim como no caso discreto, ambas as quantidades
oferecem medidas de dispersa˜o da varia´vel X em relac¸a˜o ao valor
esperado E (X ).
Exemplo: Seja X uma v.a. cont´ınua cuja f.d.p. e´ dada por
fX (x) =

x , 0 ≤ x < 1,
2− x , 1 ≤ x ≤ 2,
0, caso contra´rio·
E (X ) =
∫∞
−∞ xfX (x)dx =
∫ 1
0
x2dx +
∫ 2
1
x(2− x)dx = 1,
Var(X ) =
∫∞
−∞[x − E (X )]2fX (x)dx =
∫∞
−∞[x − 1]2fX (x)dx = 16 ·
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Introduc¸a˜o
Propriedades da Esperanc¸a e Variaˆncia
Propriedades: Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua e sejam a,
b ∈ R, enta˜o
(i) E (aX + b) = aE(X ) + b;
(ii) Var (aX + b) = a2Var(X );
(iii) Var (X ) = E
(
X 2
)− [E (X )]2 ·
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	Introdução