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Aula 05 Raciocínio Lógico p/ PF - Agente - 2014 Professor: Marcos Piñon Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 46 AULA 05: Probabilidade SUMÁRIO PÁGINA 1. Resolução das questões da Aula 04 1 2. Probabilidades 19 3. Exercícios Comentados nesta aula 37 4. Exercícios Propostos 40 5. Gabarito 46 1 - Resolução das questões da Aula 04 (Texto para as questões 199 a 201) De acordo com o primeiro lema de Kaplansky, a quantidade de subconjuntos de {1, 2, 3,..., n} com p elementos, em que não há números consecutivos, é dada pela fórmula abaixo. )!1p2n(!p )!1pn( ++−− +−− Uma das aplicações desse lema é a contagem do número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que 2 meninas não fiquem em posições adjacentes. A estratégia para se realizar essa contagem compreende quatro passos. Em primeiro lugar, deve-se contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas; esse procedimento deve ser feito utilizando-se o lema de Kaplansky. Em seguida, deve-se contar o número de maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. O próximo passo consiste em contar o número de maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes. Por fim, deve-se usar o princípio multiplicativo. Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 199 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Diante dos dados acima, é correto afirmar que o número de maneiras de se sentar 4 meninas e 6 meninos em uma fila de 10 cadeiras, de modo que não fiquem 2 meninas em posições adjacentes, é superior a 600.000. Solução: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 46 Conforme instruções da questão, vamos dividir o cálculo em quatro etapas: 1 - Contar o número de maneiras de se escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas 2 - Contar o número de maneiras de se organizar as meninas nessas cadeiras 3 - Contar o número de maneiras de se distribuir os meninos nas cadeiras restantes 4 - Usar o princípio multiplicativo É dito na questão que a primeira etapa nós resolvemos com o lema de Kaplansky. Assim, para n = 10 e p = 4, temos: )!1p2n(!p )!1pn( +− +− = )!14.210(!4 )!1410( +− +− )!1p2n(!p )!1pn( +− +− = )!1810(!4 !7 +− )!1p2n(!p )!1pn( +− +− = !3!.4 !4.5.6.7 )!1p2n(!p )!1pn( +− +− = 1.2.3 5.6.7 = 35 Portanto, temos 35 maneiras de escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas. Agora, para contar o número de maneiras que podemos arrumar as quatro meninas nessas quatro cadeiras, utilizaremos a permutação, pois temos quatro meninas para serem distribuídas em quatro cadeiras, modificando apenas suas posições (ordem). P(4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 Portanto, temos 24 maneiras de organizar as meninas nessas cadeiras. Agora, para contar o número de maneiras que podemos arrumar os seis meninos nas seis cadeiras restantes, utilizaremos novamente a permutação, pois temos seis meninos para serem distribuídos em seis cadeiras, modificando apenas suas posições (ordem). P(6) = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 46 Por fim, utilizaremos o princípio multiplicativo para encontrar a solução para o problema: S = 35 × 24 × 720 = 604800 Portanto, item correto. 200 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Em face dos dados apresentados, é correto afirmar que o número de maneiras de se escolher as 4 cadeiras entre as 10 disponíveis sem que haja cadeiras consecutivas é superior a 40. Solução: Vimos na questão anterior que temos 35 maneiras de escolher 4 cadeiras sem que haja cadeiras consecutivas. Item errado. 201 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A partir dos dados acima, é correto concluir que o número de maneiras de se organizar as 4 meninas nas 4 cadeiras escolhidas é igual a 16. Solução: Vimos anteriormente que temos 24 maneiras de organizar as 4 meninas nas 4 cadeiras. Item errado. (Texto para as questões 202 a 204) Alberto, Bruno, Sérgio, Janete e Regina assistirão a uma peça de teatro sentados em uma mesma fila, lado a lado. Nessa situação, julgue os itens subsequentes. 202 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Caso Janete e Regina sentem-se nas extremidades da fila, então a quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 24. Solução: Nessa questão, devemos dividir as cinco pessoas em dois grupos: Grupo 1: Pessoas que sentarão nas extremidades (Janete e Regina) Grupo 2: Pessoas que sentarão no meio (Alberto, Bruno e Sérgio) Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 46 Para calcular a quantidade de maneiras de se organizar o grupo 1, utilizaremos a permutação, pois temos duas pessoas para ocuparem dois lugares, onde a única coisa que muda é a posição (ordem). P1 = 2! = 2.1 = 2 Para calcular a quantidade de maneiras de se organizar o grupo 2, utilizaremos novamente a permutação, pois temos três pessoas para ocuparem três lugares, onde a única coisa que muda é a posição (ordem). P2 = 3! = 3.2.1 = 6 Assim, utilizando o princípio multiplicativo, o total de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a: Total = P1 × P2 = 2 × 6 = 12 Item errado. 203 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de como essas 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 120. Solução: Bom, agora não temos nenhuma restrição quanto à posição de cada elemento. Assim, como teremos 5 pessoas para ocuparem 5 lugares, onde a única mudança é a posição ocupada por cada um, utilizaremos a permutação: P(5) = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Item correto. 204 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considere que Sérgio e Janete sentem um ao lado do outro. Nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de como as 5 pessoas poderão ocupar os assentos é igual a 48. Solução: Nesse tipo de situação, nós dividimos o cálculo em três etapas: 1 - Consideramos que Sérgio e Janete são uma única pessoa. Com isso, calculamos a permutação de 4 pessoas. 2 – Calculamos a permutação de Sérgio e Janete nos dois lugares ocupados por eles. 3 – Utilizamos o princípio multiplicativo Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 46 Para calcular a primeira etapa, faremos a permutação de 4 pessoas: P(4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 Para calcular a segunda etapa, faremos a permutação de 2 pessoas: P(2) = 2! = 2.1 = 2 Por fim, utilizaremos o princípio multiplicativo: T = P(4) × (P2) = 24 × 2 = 48 Item correto. (Texto para as questões 205 e 206) Julgue os itens seguintes, considerando que planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez. 205 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de12 escolhas possíveis. Solução: Nessa questão, para escolhermos três benefícios entre cinco possíveis, utilizaremos a combinação de cinco elementos, três a três, pois a ordem dos elementos não importa: C(5, 3) = )!35!.(3 !5 − C(5, 3) = !2!.3 !3.4.5 C(5, 3) = 2 20 = 10 Portanto, há menos de 12 escolhas possíveis. Item correto. 206 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Suponha que os funcionários de uma empresa se organizem em 10 grupos para contratar um plano previdenciário com apenas um benefício em cada contrato, de modo que a renda por invalidez seja contratada por 3 grupos, a pensão por morte, o pecúlio por morte e o Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 46 pecúlio por invalidez sejam contratados por 2 grupos cada, e a renda por aposentadoria seja contratada por 1 grupo. Nessas condições, a quantidade de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será inferior a 7 x 104. Solução: Nessa questão, temos: 3 grupos com renda por invalidez 2 grupos com pensão por morte 2 grupos com pecúlio por morte 2 grupos com pecúlio por invalidez 1 grupo com renda por aposentadoria Agora, queremos dividir os grupos para a contratação dos 5 benefícios. Assim, podemos começar com a contratação da renda por invalidez: C(10, 3) = )!310!.(3 !10 − = )!7!.(3 !7.8.9.10 = 2.3 8.9.10 = 120 Agora, vamos à contratação da pensão por morte. Como já utilizamos 3 grupos, só restaram 10 – 3 = 7 grupos: C(7, 2) = )!27!.(2 !7 − = )!5!.(2 !56.7 = 2 6.7 = 21 Agora, vamos à contratação do pecúlio por morte. Como já utilizamos 3 + 2 = 5 grupos, só restaram 10 – 5 = 5 grupos: C(5, 2) = )!25!.(2 !5 − = )!3!.(2 !34.5 = 2 4.5 = 10 Agora, vamos à contratação do pecúlio por invalidez. Como já utilizamos 3 + 2 + 2 = 7 grupos, só restaram 10 – 7 = 3 grupos: C(3, 2) = )!23!.(2 !3 − = )!1!.(2 !2.3 = 1 3 = 3 Por fim, resta a contratação da renda por aposentadoria. Como já utilizamos 3 + 2 + 2 + 2 = 9 grupos, só restou 10 – 9 = 1 grupo, restando então uma única possibilidade. Assim, utilizando o princípio multiplicativo, o total de maneiras em que esses 10 grupos poderão ser divididos para a contratação dos 5 benefícios básicos será: T = 120 × 21 × 10 × 3 × 1 = 75.600 maneiras Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 7 de 46 Item errado. (Texto para as questões 207 e 208) Entre 3 mulheres e 4 homens, 4 serão escolhidos para ocupar, em uma empresa, 4 cargos de igual importância. Julgue os itens a seguir, a respeito das possibilidades de escolha dessas 4 pessoas. 207 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se 2 mulheres e 2 homens forem os escolhidos, então a quantidade de maneiras distintas de se ocupar os cargos é igual a 12” é uma proposição falsa. Solução: Essa proposição é uma condicional “p → q”, que nós já sabemos que só é falsa quando “p” é verdadeira e “q” é falsa. Assim, vamos verificar se, escolhendo 2 mulheres e 2 homens, a quantidade de maneiras distintas de se ocupar os cargos é diferente de 12. Caso seja diferente, a proposição será falsa, caso seja igual a 12, a proposição será verdadeira. Vamos dividir nosso cálculo em três etapas: 1 – Escolhemos duas mulheres entre as três possíveis 2 – Escolhemos dois homens entre os quatro possíveis 3 – Utilizamos o princípio multiplicativo Para realizar a primeira etapa, utilizaremos a combinação, já que a ordem dos elementos não importa: C(3, 2) = )!23!.(2 !3 − C(3, 2) = )!1!.(2 !2.3 C(3, 2) = 1 3 = 3 Para realizar a segunda etapa, utilizaremos novamente a combinação, já que a ordem dos elementos não importa: C(4, 2) = )!24!.(2 !4 − C(4, 2) = )!2!.(2 !2.3.4 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 8 de 46 C(4,2) = 2 3.4 C(4,2) = 2 12 = 6 Por fim, utilizamos o princípio multiplicativo: T = C(3, 2) × C(4, 2) = 3 ×6 = 18 Portanto, escolhendo 2 mulheres e 2 homens, a quantidade de maneiras distintas de se ocupar os cargos é diferente de 12. Assim, a proposição é falsa e o item está correto. 208 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A proposição “Se todas as mulheres forem escolhidas, então a quantidade de escolhas distintas para a ocupação das vagas é igual a 3” é uma proposição verdadeira. Solução: Nessa questão, novamente nós temos uma condicional “p → q”. Para checar se ela é falsa, consideramos o “p” verdadeiro e testamos o “q”, caso o “q” seja falso, a proposição será falsa. Assim, vamos considerar que todas as mulheres foram escolhidas. Com isso, só restou uma vaga para ser disputada entre os quatro homens. Portanto, teremos quatro maneiras distintas para a ocupação das vagas. Portanto, considerando o “p” verdadeiro, o “q” fica falso, o que faz com que a proposição seja falsa. Item errado. (Texto para as questões 209 e 210) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 209 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100. Solução: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 46 Nessa questão, temos 5 elementos para ocuparem 5 posições diferentes dentro do veículo. Com isso, utilizaremos a permutação de 5 elementos: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 Item correto. 210 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes. Solução: Nessa questão, nós temos 2 opções para o cargo de delegado, duas opções para o cargo de perito, duas opções para o cargo de escrivão e quatro opções para os dois cargos de agente. Assim, temos: Delegado: 2 opções Perito: 2 opções Escrivão: 2 opções Agente: C(4, 2) = )!24!.(2 !4 − = )!2!.(2 !2.3.4 = 2 12 = 6 opções Total de possibilidades = 2 × 2 × 2 × 6 = 48 possibilidades Item errado. (Texto para a questão 211) Estudos revelam que 95% dos erros de digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um código de barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos da mesma sequência; esse último tipo de erro corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a senha de acesso de um usuário a seu provedor de email seja formada por 8 algarismos, escolhidos entreos algarismos de 0 a 9, julgue o item seguinte. 211 - (SERPRO - 2013 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de o usuário, ao digitar a sua senha, cometer um erro do tipo troca entre dois algarismos da própria sequência é superior a 30. Solução: Essa quantidade de maneiras é dada pela combinação dos 8 dígitos, 2 a 2: C(8, 2) = )!28!.(2 !8 − = )!6.(2 !6.7.8 = 2 7.8 = 28 possibilidades Portanto, item errado. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 10 de 46 (Texto para as questões 212 a 215) A figura acima representa, de forma esquemática, a divisão territorial de uma cidade. As linhas representam as pistas e os quadrados, os terrenos. No ponto O há um pronto socorro com uma ambulância para o transporte de pacientes. O pronto socorro conta com 2 motoristas para a ambulância, 3 médicos e 10 enfermeiros e, sempre que for necessário o transporte de paciente, são escolhidos um motorista, um médico e três enfermeiros para o acompanhamento. O pronto socorro tem convênio com dez postos de combustível, de modo que a ambulância é abastecida utilizando-se vales-combustível, podendo ser abastecida mais de uma vez em um mesmo posto. Com base nessa situação, julgue os próximos itens. 212 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Considere que tenha ocorrido um acidente no ponto P e que a ambulância deva se deslocar de O para P percorrendo as pistas apenas nos sentidos norte e leste. Neste caso, há 1.001 maneiras distintas de a ambulância chegar ao local do acidente. Solução: Essa é uma questão bastante interessante. Percebam que, independentemente do caminho escolhido, se considerarmos que a ambulância irá seguir apenas nos sentidos leste e norte, ela irá percorrer 4 vias no sentido norte (N) e 10 vias no sentido leste (L): Caminho1: LLLLLLLLLLNNNN Caminho2: LLLLLLLLLNNNNL Caminho3: LLLLLLLLNNNNLL ... Assim, o que devemos calcular é a quantidade de maneiras distintas de ordenar estas 14 vias. Para isso, utilizaremos a permutação com repetição: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 46 Pr = !....c!.b!.a !n Pr = !4!.10 !14 Pr = 1.2.3.4!.10 !10.11.12.13.14 Pr = 23.4 11.12.13.14 Pr = 7 × 13 × 11 = 1001 Portanto, o item está correto. 213 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Se a cada transporte de paciente toda a equipe de acompanhamento é substituída, então, nesse caso, há mais de 250 maneiras distintas de substituição da equipe que estava trabalhando. Solução: Bom, nós temos os seguintes profissionais: Motoristas: 2 Médicos: 3 Enfermeiros: 10 A equipe é formada por 1 motorista, 1 médico e 3 enfermeiros. Assim, na troca de equipes, nós teremos os seguintes profissionais disponíveis: Motoristas: 2 − 1 = 1 Médicos: 3 − 1 = 2 Enfermeiros: 10 − 3 = 7 Com isso, para a nova equipe, teremos as seguintes possibilidades: 1 motorista: 1 possibilidade 1 médico: 2 possibilidades 3 enfermeiros: C(7, 3) = )!37!.(3 !7 − = )!4.(1.2.3 !4.5.6.7 = 7 × 5 = 35 possibilidades Por fim, o total de possibilidades para a nova equipe será: 1 × 2 × 35 = 70 possibilidades 7 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 46 Portanto, o item está errado. 214 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Há mais de 3.000 maneiras distintas de se escolher uma equipe de profissionais para o transporte de paciente. Solução: Agora nós temos todos os profissionais disponíveis: Motoristas: 2 Médicos: 3 Enfermeiros: 10 Assim, teremos as seguintes opções para a equipe: 1 motorista: 2 possibilidades 1 médico: 3 possibilidades 3 enfermeiros: C(10, 3) = )!310!.(3 !10 − = )!7.(1.2.3 !7.8.9.10 = 6 720 = 120 possibilidades Com isso, o total de possibilidades para a equipe será: 2 × 3 × 120 = 720 possibilidades Portanto, o item está errado. 215 - (CETURB/ES - 2010 / CESPE) Se o motorista abastece a ambulância utilizando quatro vales-combustível por mês e um vale a cada abastecimento, então, desconsiderando-se a ordem dos abastecimentos, há mais de 700 maneiras distintas de utilização dos vales. Solução: Essa é uma questão onde utilizamos a combinação com repetição, pois a ordem não importa e a ambulância pode ser abastecida mais de uma vez em um mesmo posto. Temos 10 postos e vamos formar grupos de 4 postos, podendo repeti-los, ou seja, n = 10 e p = 4: Cr(m, p) = C(m + p – 1, p) Cr(10, 4) = C(10 + 4 – 1 , 4) Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 13 de 46 Cr(10, 4) = C(13, 4) C(13, 4) = )!413!.(4 !13 − C(13, 4) = )!9.(1.2.3.4 !9.10.11.12.13 C(13, 4) = 2.3.4 10.11.12.13 C(13, 4) = 2 1430 = 715 maneiras distintas. Portanto, item correto. (Texto para as questões 216 e 217) Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 216 - (TRT 17 - 2013 / Cespe) Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, haverá mais de 500 maneiras de se organizar o calendário dessas avaliações. Solução: Nessa questão, podemos fazer o seguinte: Disciplina 1: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Disciplina 2: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Disciplina 3: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Disciplina 4: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Total de possibilidades para o calendário: 5 × 5 × 5 × 5 = 625 possibilidades Isso é o mesmo que os cinco dias da semana agrupados de 4 em 4 podendo se repetirem ou não, ou seja, um arranjo com repetição: Ar (5, 4) = 54 = 625 possibilidades. Portanto, item correto. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 46 217 - (TRT 17 - 2013 / Cespe) Se em cada dia da semana ocorrer a avaliação de no máximo uma disciplina, então, nesse caso, a quantidade de maneiras distintas de se organizar o calendário de avaliações será inferior a 100. Solução: Para resolver esta questão, podemos fazer o seguinte: Disciplina 1: 5 opções de data (segunda, terça, quarta, quinta ou sexta feira) Disciplina 2: 4 opções de data (pois não pode ser a mesma da disciplina 1) Disciplina 3: 3 opções de data (pois não pode ser a mesma das disciplina 1 e 2) Disciplina 4: 2 opções de data (pois não pode ser a mesma das disciplina 1, 2 e 3) Total de possibilidades em que as 4 disciplinas ocorrem em datas diferentes: 5 × 4 × 3 × 2 = 120 possibilidades.Isso é o mesmo que os cinco dias da semana agrupados de 4 em 4 sem repetição, ou seja, um arranjo simples: As (5, 4) = )!45( !5 − = )!1( !5 = )1( !5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 possibilidades. Portanto, item errado. (Texto para as questões 218 a 221) Considerando que, na fruteira da casa de Pedro, haja 10 uvas, 2 maçãs, 3 laranjas, 4 bananas e 1 abacaxi, julgue os próximos itens. 218 - (TRT 17 - 2013 / Cespe) Se Pedro desejar comer apenas um tipo de fruta, a quantidade de maneiras de escolher frutas para comer será superior a 100. Solução: Bom, uma primeira observação é que, em minha opinião, o Cespe falhou em não informar que as frutas de um mesmo tipo são todas iguais, ou seja, as 10 uvas são iguais, as 2 maçãs são iguais, etc.. Assim, como Pedro deseja comer apenas um tipo de fruta, teremos o seguinte: Uva: 10 opções (ele pode comer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ou 10 uvas) Maçã: 2 opções (ele pode comer 1 ou 2 maçãs) Laranja: 3 opções (ele pode comer 1, 2 ou 3 laranjas) Banana: 4 opções (ele pode comer 1, 2, 3 ou 4 bananas) Abacaxi: 1 opção (ele só pode comer 1 abacaxi) Aplicando o princípio aditivo, temos: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 15 de 46 Total = 10 + 2 + 3 + 4 + 1 = 20 opções Item errado. 219 - (TRT 17 - 2013 / Cespe) Há mais de 1.330 maneiras distintas de Pedro escolher pelo menos uma fruta entre aquelas que estão em sua fruteira. Solução: Nessa questão, temos o seguinte: Uva: 11 opções (ele pode comer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ou 10 uvas) Maçã: 3 opções (ele pode comer 0, 1 ou 2 maçãs) Laranja: 4 opções (ele pode comer 0, 1, 2 ou 3 laranjas) Banana: 5 opções (ele pode comer 0, 1, 2, 3 ou 4 bananas) Abacaxi: 2 opção (ele pode comer 0 ou 1 abacaxi) Aplicando o princípio multiplicativo, temos: Total = 11 × 3 × 4 × 5 × 2 = 1320 opções. Porém, como ele quer que Pedro coma pelo menos uma fruta, devemos excluir a opção em que ele escolhe 0 uva, 0 maçã, 0 laranja, 0 banana e 0 abacaxi. Assim, o total de possibilidades fica: Total = 1320 − 1 = 1319 possibilidades Item errado. 220 - (TRT 17 - 2013 / Cespe) Se, para fazer uma salada de frutas, Pedro deve escolher pelo menos dois tipos de frutas, em qualquer quantidade, então há menos de 1.000 maneiras distintas de Pedro escolher frutas para compor sua salada. Solução: Agora, devemos eliminar do cálculo da questão anterior os casos em que Pedro escolhe apenas um tipo de fruta: Apenas uva: 10 possibilidades Apenas maçã: 2 possibilidades Apenas laranja: 3 possibilidades Apenas banana: 4 possibilidades Apenas abacaxi: 1 possibilidade Total = 1319 − 10 − 2 − 3 − 4 −1 = 1299 maneiras. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 16 de 46 Item errado. 221 - (TRT 17 - 2013 / Cespe) Se Pedro desejar comer apenas bananas, haverá quatro maneiras de escolher algumas frutas para comer. Solução: Bom, essa é bem direta. Pedro pode comer: 1 banana ou 2 bananas ou 3 bananas ou 4 bananas Ou seja, aplicando o princípio aditivo: 1 + 1 + 1 + 1 = 4 maneiras de escolher as bananas Item correto. (Texto para as questões 222 a 224) A Mesa Diretora da Câmara dos Deputados, responsável pela direção dos trabalhos legislativos e pelos serviços administrativos da Casa, compõe-se de Presidência — presidente, 1.º e 2.º vice-presidentes — e de Secretaria — 1.º, 2.º, 3.º e 4.º secretários e 1.º, 2.º, 3.º e 4.º suplentes —, devendo cada um desses cargos ser ocupado por um deputado diferente, ou seja, um mesmo deputado não pode ocupar mais de um desses cargos. Supondo que, por ocasião da composição da Mesa Diretora, qualquer um dos 513 deputados possa assumir qualquer um dos cargos na Mesa, julgue os itens a seguir. 222 - (Câmara - 2012 / Cespe) O número correspondente à quantidade de maneiras diferentes de se compor a Mesa Diretora da Câmara dos Deputados pode ser expresso por 513!/502!. Solução: Bom, nessa questão, temos os 513 deputados podendo ocupar qualquer uma das 11 vagas disponíveis. Como essas 11 vagas são todas distintas entre si, ou seja, são ocupações diferentes, utilizaremos o arranjo: A(m, p) = )!pm( !m − A(513, 11) = )!11513( !513 − A(513, 11) = !502 !513 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 46 Portanto, item correto. 223 - (Câmara - 2012 / Cespe) Sabendo-se que, entre os 513 deputados, 45 são do sexo feminino, então o número correspondente à quantidade de maneiras distintas de se compor a Mesa Diretora de forma que pelo menos um dos 11 cargos seja ocupado por deputada pode ser expresso por 45!/34!. Solução: Nessa questão, temos uma restrição na ocupação dos cargos: pelo menos um dos cargos deve ser ocupado por uma mulher. Assim, temos: 1º cargo: 45 possibilidades (tem que haver pelo menos uma mulher) 2º cargos: 513 − 1 = 512 possibilidades (pois um cargo já foi ocupado) 3º cargos: 513 − 2 = 511 possibilidades (pois dois cargos já foram ocupados) 4º cargos: 513 − 3 = 510 possibilidades (pois três cargos já foram ocupados) 5º cargos: 513 − 4 = 509 possibilidades (pois quatro cargos já foram ocupados) 6º cargos: 513 − 5 = 508 possibilidades (pois cinco cargos já foram ocupados) 7º cargos: 513 − 6 = 507 possibilidades (pois seis cargos já foram ocupados) 8º cargos: 513 − 7 = 506 possibilidades (pois sete cargos já foram ocupados) 9º cargos: 513 − 8 = 505 possibilidades (pois oito cargos já foram ocupados) 10º cargos: 513 − 9 = 504 possibilidades (pois nove cargos já foram ocupados) 11º cargos: 513 − 10 = 503 possibilidades (pois dez cargos já foram ocupados) Total de possibilidades = 45 × 512 × 511 × 510 × 509 × 508 × 507 × 506 × 505 × 504 × 503 Como foi dito na questão que este total era 45!/34!, temos: !34 !45 = !34 !34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45 = 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38 × 37 × 36 × 35 Bom, como o valor calculado e o valor indicado na questão são bem diferentes, concluímos que o item está errado. 224 - (Câmara - 2012 / Cespe) Existem menos de 125.000.000 de maneiras diferentes de se escolher a Presidência da Mesa Diretora da Câmara dos Deputados. Solução: Na Presidência da Mesa Diretora, temos apenas 3 cargos a serem ocupados. Assim, utilizaremos novamente o arranjo: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 18 de 46 A(m, p) = )!pm( !m − A(513, 3) = )!3513( !513 − A(513, 3) = !510 !513 A(513, 3) = !510 !510.511.512.513 A(513, 3) = 513 × 512 × 511 = 134.217.216 possibilidades. Portanto, item errado. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 19 de 46 2 - Probabilidades Vamos começar o estudo das probabilidades com uma definição simplória (que serve para o que nos é exigido nesseconcurso) do que vem a ser probabilidade: A probabilidade de que ocorra um evento resulta do quociente entre os casos favoráveis à ocorrência desse evento sobre os casos possíveis. Probabilidade = PossíveisCasos FavoráveisCasos Assim, a probabilidade de que, ao jogarmos uma moeda, o resultado seja cara é 2 1 , pois temos um caso favorável (cara) e dois casos possíveis (cara ou coroa). Já a probabilidade de jogarmos um dado e o resultado ser o número 6 é 6 1 , pois temos apenas um caso favorável (o número 6) e seis casos possíveis (os números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Devemos lembrar que essas probabilidades podem aparecer de outras formas, como porcentagens ( 2 1 = 50%) ou na forma decimal ( 2 1 = 0,5). Uma observação que precisamos fazer é o que ocorre quando todos os casos possíveis são favoráveis. Nesse caso nós teremos: P = PossíveisCasos FavoráveisCasos = PossíveisCasos PossíveisCasos = 1 = 100% Vejam que isso é bem lógico, mas nós precisamos ter isso em mente. Chamamos de espaço amostral o conjunto de todos os resultados possíveis. No caso do lançamento de uma moeda, o espaço amostral é {cara, coroa}, no caso do lançamento de um dado, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Percebam que os casos favoráveis são subconjuntos do espaço amostral. No caso do lançamento de uma moeda sair cara, o caso favorável {cara} é um subconjunto do espaço amostral {cara, coroa}. No caso do lançamento do dado sair o número 6, o caso favorável {6} é um subconjunto do espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vejamos alguns exemplos: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 20 de 46 Ex1: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola dessa urna e ela ser ímpar e vermelha? Bom, conforme vimos acima, a probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5 (3 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10 (10 opções) Assim, a probabilidade é: P = PossíveisCasos FavoráveisCasos = 10 3 = 0,3 = 30% Outro exemplo: Ex2: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas dessa urna, com reposição, e elas serem ímpares e vermelhas? Para retirar cada bola, vimos que a probabilidade de ela ser ímpar e vermelha é 10 3 . Agora, como queremos que as duas bolas sejam ímpares e vermelhas, usamos o princípio multiplicativo, e a probabilidade total é dada por: Pt = P1 × P2 = 10 3 × 10 3 = 100 9 = 0,09 = 9% Ex3: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos duas bolas dessa urna, sem reposição, e elas serem ímpares e vermelhas? Para retirar a primeira bola, vimos que a probabilidade de ela ser ímpar e vermelha é 10 3 . Agora, vamos calcular a probabilidade de a segunda bola também ser ímpar e vermelha: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5, menos uma bola já retirada (3 – 1 = 2 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ou 10, menos uma bola já retirada (10 – 1 = 9 opções) Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 21 de 46 P = PossíveisCasos FavoráveisCasos = 9 2 Como queremos que as duas bolas sejam ímpares e vermelhas, a probabilidade total é dada por: Pt = 10 3 × 9 2 = 90 6 = 6,67% Probabilidade Complementar Vimos que a probabilidade de sair o número 6 ao lançarmos um dado é igual 6 1 . Agora, e a probabilidade de que o resultado do lançamento do dado não seja o número 6? Temos cinco casos favoráveis (1, 2, 3, 4 ou 5) e seis casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5 ou 6). P = PossíveisCasos FavoráveisCasos = 6 5 Percebam que soma da probabilidade de sair o número 6 com a probabilidade de não sair o número 6 é: 6 1 + 6 5 = 6 51+ = 6 6 = 1 = 100% Podemos definir que dois eventos são complementares quando a união entre seus casos favoráveis resulta em todos os casos possíveis e eles não possuem nenhum caso favorável em comum. Com isso, chamando de “A” a probabilidade de um evento ocorrer, chamaremos de “ A ” a probabilidade desse evento não ocorrer. Assim: P(A) + P( A ) = 1 Ou P( A ) = 1 – P(A) Vejamos um exemplo: Ex4: Num baralho completo, com 52 cartas, 13 de cada naipe, deseja-se saber qual a probabilidade de se retirar ao acaso uma carta do naipe copas. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 22 de 46 Casos Favoráveis: 13 cartas Casos Possíveis: 52 cartas P(copas) = 52 13 = 0,25 = 25% Agora, e se eu quisesse saber a probabilidade de, ao retirar uma carta, ela não ser do naipe copas? Casos Favoráveis: 39 cartas Casos Possíveis: 52 cartas P(não copas) = 52 39 = 0,75 = 75% Outra forma de se chegar ao mesmo resultado é lembrando que retirar uma carta de copas e retirar uma carta que não seja de copas são eventos complementares. Assim: P(não copas) = 1 – P(copas) P(não copas) = 1 – 0,25 P(não copas) = 0,75 Probabilidade Condicional Outro ponto importante que devemos saber é a probabilidade condicional. O que veremos aqui é a probabilidade de um segundo evento acontecer, dado que um primeiro evento já aconteceu. Vamos ver um exemplo: Ex5: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola ímpar dessa urna, sabendo que ela é vermelha? Não há nenhuma novidade aqui, só devemos ficar atentos aos casos possíveis, pois com a informação de que a bola é vermelha essa quantidade sofre uma alteração: Casos Favoráveis: Bolas 1, 3 ou 5 (3 opções) Casos Possíveis: Bolas 1, 2, 3, 4 ou 5 (5 opções) Assim, a probabilidade é: P = PossíveisCasos FavoráveisCasos = 5 3 = 0,6 = 60% Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 46 Vejam que ao informar que a bola é vermelha, a questão tirou a possibilidade da bola ser 6, 7, 8, 9 ou 10, pois essas bolas são azuis. Nós costumamos representar a probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um evento B já ocorreu por P(A | B). Outra forma de calcularmos a probabilidade condicional é por meio da seguinte equação. P(A | B) = )B(P )BA(P ∩∩ Voltemos ao nosso último exemplo. Vamos separar os dois eventos, a bola ser ímpar (A) e a bola ser vermelha (B): Casos Favoráveis à bola ser ímpar (A): {1, 3, 5, 7, 9} Casos Favoráveis à bola ser vermelha(B): {1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {1, 3, 5} Assim, temos as seguintes probabilidades: P(B) = 10 5 P(A ∩ B) = 10 3 Utilizando a equação, podemos encontrar a probabilidade de A, dado que B ocorreu: P(A | B) = )B(P )BA(P ∩ = 10 5 10 3 = 5 3 Vamos construir um diagrama semelhante ao que vimos na aula sobre conjuntos para entendermos melhor essa probabilidade condicional: 1 3 5 2 4 7 9 6 8 10 Espaço Amostral Vermelhas Ímpares Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 24 de 46 No diagrama acima o retângulo representa o espaço amostral, enquanto que o circulo vermelho representa as bolas vermelhas e o círculo preto as bolas ímpares. Como é dito que a bola retirada é vermelha, tratamos esse caso como se nosso espaço amostral passasse a ser o círculo vermelho, pois só nos interessa as bolas vermelhas. Dentro desse “novo” espaço amostral, os caso favoráveis que nos interessa são justamente aqueles que se encontram na interseção dos conjuntos Bolas Vermelhas e Bolas Ímpares, representada pela área verde {1, 3, 5}. Quando os eventos A e B não possuem qualquer relação, P(A | B) = P(A), pois não importa se o evento B ocorreu ou não, já que ele não tem nenhuma influência no evento A. Assim, podemos perceber que para eventos independentes a probabilidade da interseção de A e B é igual ao produto P(A).P(B). P(A | B) = )B(P )BA(P ∩ P(A ∩ B) = P(A | B).P(B) P(A ∩ B) = P(A).P(B) Para finalizar a teoria, vamos ver agora como calcular a probabilidade da união de dois conjuntos. Lembram na aula sobre conjuntos quando eu pedi para vocês decorarem a equação que nos dá a quantidade de elementos da união de dois conjuntos? Pois a equação para a probabilidade da união de dois conjuntos é muito semelhante: P(A ∪∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Vamos ver um exemplo: Ex6: Numa urna há 10 bolas semelhantes, o que as distinguem é que 5 bolas são vermelhas, numeradas de um a cinco, e 5 bolas são azuis, numeradas de 6 a 10. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola que seja ímpar ou vermelha? Vamos resolver essa questão diretamente por meio da equação: P(Vermelha) = 10 5 P(Ímpar) = 10 5 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 46 P(Vermelha ∩ Ímpar) = 10 3 Assim, utilizando a equação, temos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 10 5 + 10 5 – 10 3 P(A ∪ B) = 10 7 Vamos, agora, representar o que calculamos por meio do diagrama: Percebam que a probabilidade de escolhermos bolas ímpares ou vermelhas é dada por: P(Vermelha ∪ Ímpar) = PossíveisCasos FavoráveisCasos = 10 7 Pronto, acabamos com a teoria! Vamos às questões! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (Texto para as questões 225 a 227) Para jogar o Yathzee, jogo de dados criado em 1956, os jogadores lançam simultaneamente, em turnos, 5 dados de 6 faces numeradas de 1 a 6, buscando obter a maior pontuação possível, de acordo com as regras estipuladas. Dois exemplos de combinações pontuadas no jogo são a sequência máxima — o jogador obtém as faces de números 1, 2, 3, 4 e 5 — e a chance — a pontuação do jogador é a soma dos números das faces dos 5 dados. A combinação Yathzee, que dá nome ao jogo, ocorre quando as faces dos 5 dados apresentam o mesmo número. Internet: <www.hasbro.com> (com adaptações). Com base no texto acima e considerando um único lançamento simultâneo dos cinco dados, julgue os itens a seguir. 1 3 5 2 4 7 9 6 8 10 Espaço Amostral Ímpares Vermelhas Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 46 225 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter a sequência máxima é inferior a 776.7 750 . Solução: Nessa questão, para calcular a probabilidade de ocorrência da sequência, temos: 1º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência (1, 2, 3, 4 ou 5). P1 = 6 5 2º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto o número que sair no dado 1. P2 = 6 15 − = 6 4 3º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1 e 2. P3 = 6 25 − = 6 3 4º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1, 2 e 3. P4 = 6 35 − = 6 2 5º dado: pode ser qualquer um dos cinco elementos da sequência, exceto os números que saírem nos dados 1, 2, 3 e 4. P5 = 6 45 − = 6 1 Assim, a probabilidade total é: Pt = 6 5 . 6 4 . 6 3 . 6 2 . 6 1 = 7776 120 Item correto. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 46 226 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter um Yathzee é igual a 296.1 1 . Solução: Nessa questão, vamos calcular o número de casos favoráveis ao Yathzee e o número de casos possíveis para o lançamento dos cinco dados: Casos favoráveis: (1, 1, 1, 1, 1) (2, 2, 2, 2, 2) (3, 3, 3, 3, 3) (4, 4, 4, 4, 4) (5, 5, 5, 5, 5) (6, 6, 6, 6, 6) Total = 6 casos favoráveis Casos possíveis: Total = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 65 casos possíveis Assim, a probabilidade de se obter um Yathzee é: P = 56 6 = 46 1 = 1296 1 Item correto. 227 - (MEC - 2011 / CESPE) Se o resultado do lançamento não apresentar faces com números iguais, então a maior pontuação possível na combinação chance será inferior a 18 pontos. Solução: Se o resultado do lançamento pudesse apresentar faces com números iguais, a maior pontuação possível seria: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 Como o resultado não apresenta faces com números iguais, a maior pontuação possível será: 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 20 Item errado. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 28 de 46 (Texto para as questões 228 e 229) As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humanos de uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a 2 1 ; que a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 4 1 ; que a probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 12 7 . Nessa situação hipotética, a probabilidade de 228 - (EBC - 2011 / CESPE) os dois candidatos serem contratados é igual a 6 1 . Solução: Nessa questão, para facilitar o entendimento, vamos desenhar o seguinte diagrama:Assim, temos: A probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a 2 1 A área azul do diagrama abaixo tem 2 1 de chances de acontecer. Sérgio Carlos Sérgio Carlos 2 1 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 29 de 46 a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 4 1 A área laranja do diagrama abaixo tem 4 1 de chances de acontecer. A probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 12 7 . A área verde do diagrama abaixo tem 12 7 de chances de acontecer. Também podemos concluir que a probabilidade de a área branca do diagrama abaixo acontecer é dada por 1 – 12 7 = 12 5 . O que nós queremos calcular é a probabilidade de tanto Sérgio quanto Carlos serem contratados, representada pela área amarela abaixo. Sérgio Carlos Sérgio Carlos Sérgio Carlos 12 5 4 1 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 30 de 46 Vimos que: e Portanto, a probabilidade da área amarela é: 12 5 – 4 1 = 12 35 − = 12 2 = 6 1 Item correto. 229 - (EBC - 2011 / CESPE) nenhum dos dois candidatos ser contratado é igual a 3 1 . Solução: Nessa questão, vamos utilizar os diagramas da questão anterior. Assim, sabendo que a probabilidade da área azul é 2 1 e da área laranja é 4 1 , podemos concluir que a probabilidade da área branca é: Sérgio Carlos 12 5 Sérgio Carlos 4 1 Sérgio Carlos 2 1 4 1 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 31 de 46 1 – 2 1 – 4 1 = 4 124 −− = 4 1 Item errado. (Texto para as questões 230 a 232) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Considerando essa situação, julgue os itens seguintes. 230 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. Solução: Nessa questão, vamos desenhar o diagrama para visualizarmos melhor o que a questão está querendo: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito Esses eleitores estão representados pela área azul do diagrama Prefeito Vereador Prefeito Vereador 980 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 32 de 46 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos Esses eleitores estão representados pela área branca do diagrama Para calcular o total de pessoas na área amarela, sabendo que o total de entrevistados é 2.000, temos: 2.000 – 980 – 680 = 340 Portanto, a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a: P = possíveiscasos favoráveiscasos = 000.2 340 = 0,17 Item correto. 231 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. Solução: A quantidade de pessoas que disseram que votaria no prefeito esta representada pelas áreas azul e amarela: Prefeito Vereador 980 680 Prefeito Vereador 980 680 340 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 33 de 46 Portanto, a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é: P = possíveiscasos favoráveiscasos = 000.2 340980 + = 000.2 1320 = 0,66 Item errado. 232 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Solução: Essa questão quer que encontremos o total de elementos da área verde abaixo: Supondo que a probabilidade de as áreas amarela ou branca (x) ocorrerem seja de 0,4. temos: P(vereador) = 000.2 340x + = 0,4 x + 340 = 0,4.2000 x + 340 = 800 x = 800 – 340 x = 460 Como o total de elementos das áreas branca (x) e verde (y) é igual a 680, temos: x + y = 680 460 + y = 680 Prefeito Vereador 980 680 340 x y Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 34 de 46 y = 680 – 460 y = 220 Item correto. (Texto para as questões 233 e 234) A prova objetiva de um concurso público é formada de itens para julgamento. O candidato deverá julgar cada um deles e marcar na folha de respostas, para cada item, o campo indicado com a letra C se julgar que o item é CERTO, ou o campo indicado com a letra E, se julgar que o item é ERRADO. Nenhum item poderá ficar sem marcação nem poderá haver dupla marcação, C e E. Em cada item, o candidato receberá pontuação positiva se acertar a resposta, isto é, se sua marcação, C ou E, coincidir com o gabarito divulgado pela organização do concurso. Nos cinco itens que avaliavam conhecimentos de matemática, um candidato fez suas marcações de forma aleatória. Nesse caso, a probabilidade de esse candidato 233 - (IBAMA - 2013 / CESPE) acertar exatamente três desses cinco itens é inferior à probabilidade de acertar exatamente dois deles. Solução: Nessa questão, temos um total de cinco questões. Para cada questão, o candidato pode acertar ou errar, ou seja, há duas possibilidades de resultado para cada uma das cinco questões. Com isso, podemos calcular o total de casos possíveis: Casos Possíveis = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32 possibilidades Para os casos favoráveis, temos a seguinte situação: 3 acertos: Podemos ter as seguintes situações: Acertou, acertou, acertou, errou, errou Acertou, acertou, errou, acertou, errou Acertou,acertou, errou, errou, acertou ... Essa quantidade de vezes é dada pela permutação dos 5 elementos com um deles se repetindo 3 vezes e o outro se repetindo 2 vezes (ou seja, uma permutação com repetição em que n = 5, a = 3 e b = 2): Casos Favoráveis = Pr = !b!.a !n = !2!.3 !5 = 2!.3 !3.4.5 = 2 4.5 = 2 20 = 10 possibilidades Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 35 de 46 Assim, temos a seguinte probabilidade para exatamente 3 acertos: P = possíveiscasos favoráveiscasos = 32 10 Agora, vamos calcular a probabilidade de 2 acertos: 2 acertos: Podemos ter as seguintes situações: Acertou, acertou, errou, errou, errou Acertou, errou, errou, acertou, errou Acertou, errou, errou, errou, acertou ... Vejam que é a mesma situação de três acertos, uma permutação com repetição em que n = 5, a = 3 e b = 2: Casos Favoráveis = Pr = !b!.a !n = !2!.3 !5 = 2!.3 !3.4.5 = 2 4.5 = 2 20 = 10 possibilidades Assim, temos a seguinte probabilidade para exatamente 2 acertos: P = possíveiscasos favoráveiscasos = 32 10 Podemos concluir, então, que a probabilidade de esse candidato acertar exatamente três desses cinco itens é igual à probabilidade de acertar exatamente dois deles. Item errado. 234 - (IBAMA - 2013 / CESPE) acertar exatamente três desses itens de matemática é inferior a 1/3. Solução: Vimos na questão anterior, que a probabilidade de esse aluno acertar exatamente três dos cinco itens de matemática é dada por: P = possíveiscasos favoráveiscasos = 32 10 Como 32 10 é um número inferior a 1/3, concluímos que o item está correto. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 36 de 46 (Texto para a questão 235) Uma entrevista foi realizada com 46 empregados de uma empresa, entre os quais 24 eram do sexo masculino e 22, do feminino. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 235 - (MP - 2013 / CESPE) Se exatamente 5 entre os empregados do sexo masculino tiverem idade inferior a 20 anos e se 2 empregados forem escolhidos ao acaso entre os 46 empregados dessa empresa, então a probabilidade de esses dois empregados escolhidos serem do sexo masculino e terem idade inferior a 20 anos será maior do que 100 1 . Solução: Nessa questão, queremos escolher 2 funcionários que sejam do sexo masculino e com idade inferior a 20 anos: 1º funcionário: Casos Favoráveis: 5 opções Casos Possíveis: 46 opções P1 = possíveiscasos favoráveiscasos = 46 5 2º funcionário: Casos Favoráveis: 5 − 1 = 4 opções (pois já escolhemos o 1º funcionário) Casos Possíveis: 46 − 1 = 45 opções (pois já escolhemos o 1º funcionário) P2 = possíveiscasos favoráveiscasos = 45 4 Para finalizar, basta aplicarmos o princípio multiplicativo: Ptotal = P1 × P2 = 46 5 × 45 4 = 207 2 < 100 1 Portanto, item errado. 23 9 2 Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 37 de 46 3 - Questões comentadas nesta aula (Texto para as questões 225 a 227) Para jogar o Yathzee, jogo de dados criado em 1956, os jogadores lançam simultaneamente, em turnos, 5 dados de 6 faces numeradas de 1 a 6, buscando obter a maior pontuação possível, de acordo com as regras estipuladas. Dois exemplos de combinações pontuadas no jogo são a sequência máxima — o jogador obtém as faces de números 1, 2, 3, 4 e 5 — e a chance — a pontuação do jogador é a soma dos números das faces dos 5 dados. A combinação Yathzee, que dá nome ao jogo, ocorre quando as faces dos 5 dados apresentam o mesmo número. Internet: <www.hasbro.com> (com adaptações). Com base no texto acima e considerando um único lançamento simultâneo dos cinco dados, julgue os itens a seguir. 225 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter a sequência máxima é inferior a 776.7 750 . 226 - (MEC - 2011 / CESPE) A probabilidade de se obter um Yathzee é igual a 296.1 1 . 227 - (MEC - 2011 / CESPE) Se o resultado do lançamento não apresentar faces com números iguais, então a maior pontuação possível na combinação chance será inferior a 18 pontos. (Texto para as questões 228 e 229) As entrevistas e as análises dos currículos dos candidatos Carlos e Sérgio, realizadas pelo setor de recursos humanos de uma empresa, revelaram que a probabilidade de Sérgio ser contratado é igual a 2 1 ; que a probabilidade de apenas Carlos ser contratado é igual a 4 1 ; que a probabilidade de Carlos não ser contratado é igual a 12 7 . Nessa situação hipotética, a probabilidade de 228 - (EBC - 2011 / CESPE) os dois candidatos serem contratados é igual a 6 1 . Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 38 de 46 229 - (EBC - 2011 / CESPE) nenhum dos dois candidatos ser contratado é igual a 3 1 . (Texto para as questões 230 a 232) Uma pesquisa de opinião, para verificar a viabilidade das candidaturas de um candidato a prefeito e de um candidato a vereador de determinado município, entrevistou 2.000 pessoas: 980 responderam que votariam apenas no candidato a prefeito; 680 responderam que votariam apenas no candidato a vereador ou que não votariam em nenhum dos dois candidatos. Considerando essa situação, julgue os itens seguintes. 230 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria nos dois candidatos é igual a 0,17. 231 - (EBC - 2011 / CESPE) A probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a prefeito é superior a 0,68. 232 - (EBC - 2011 / CESPE) Se a probabilidade de um entrevistado, escolhido ao acaso, ter respondido que votaria no candidato a vereador for igual a 0,40, então 220 dos entrevistados responderam que não votariam em nenhum dos dois candidatos. (Texto para as questões 233 e 234) A prova objetiva de um concurso público é formada de itens para julgamento. O candidato deverá julgar cada um deles e marcar na folha de respostas, para cada item, o campo indicado com a letra C se julgar que o item é CERTO, ou o campo indicado com a letra E, se julgar que o item é ERRADO. Nenhum item poderá ficar sem marcação nem poderá haver dupla marcação, C e E. Em cada item, o candidato receberá pontuação positiva se acertar a resposta, isto é, se sua marcação, C ou E, coincidir com o gabarito divulgado pela organização do concurso. Nos cinco itens que avaliavam conhecimentos de matemática, um candidato fez suas marcações de forma aleatória. Nesse caso, a probabilidade de esse candidato 233 - (IBAMA - 2013 / CESPE) acertar exatamente três desses cinco itens é inferior à probabilidade de acertar exatamente dois deles. 234 - (IBAMA - 2013 / CESPE) acertar exatamente três desses itens de matemática é inferior a 1/3.Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 39 de 46 (Texto para a questão 235) Uma entrevista foi realizada com 46 empregados de uma empresa, entre os quais 24 eram do sexo masculino e 22, do feminino. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 235 - (MP - 2013 / CESPE) Se exatamente 5 entre os empregados do sexo masculino tiverem idade inferior a 20 anos e se 2 empregados forem escolhidos ao acaso entre os 46 empregados dessa empresa, então a probabilidade de esses dois empregados escolhidos serem do sexo masculino e terem idade inferior a 20 anos será maior do que 100 1 . Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 40 de 46 4 - Questões para praticar! A solução será apresentada na próxima aula (Texto para as questões 236 e 237) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 236 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Caso se selecionem, ao acaso, duas pessoas, entre as 210 da amostra, a probabilidade de que ambas tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas será superior a 6 1 . 237 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Entre as 210 pessoas da amostra, para se selecionar, ao acaso, ao menos duas que tenham procurado a unidade do DETRAN para solucionar pendências relacionadas à documentação de veículos ou ao menos duas que a tenham procurado para resolver problemas relacionados a multas, o menor número de pessoas que devem ser selecionadas será igual a 73. (Texto para as questões 238 e 239) Em uma cidade, uma emissora de televisão inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a aceitação desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa, cujo resultado mostrou que, das 1.200 pessoas entrevistadas, 770 pretendem assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao programa B e 590 não pretendem assistir ao programa B. Escolhendo-se ao acaso uma das pessoas entrevistadas, julgue os próximos itens, com base no resultado da pesquisa. 238 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir aos dois programas é superior a 4 1 . 239 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) A probabilidade de essa pessoa pretender assistir a apenas um dos programas é igual a 4 3 . (Texto para as questões 240 a 242) Célia e Melissa são candidatas ao cargo de presidente de uma empresa. A escolha será decidida na assembléia de acionistas Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 41 de 46 e cada acionista poderá votar nas duas candidatas, em apenas uma ou em nenhuma delas. Uma pesquisa entre os 100 acionistas da empresa revelou a seguinte tendência: • 16 acionistas não votariam em nenhuma dessas 2 candidatas; • 28 acionistas votariam apenas em Melissa; • 65 acionistas votariam apenas em Célia ou apenas em Melissa. Nesse caso, escolhendo-se um acionista ao acaso, a probabilidade de ele votar 240 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) apenas em Célia é inferior a 0,4. 241 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) nas duas candidatas é igual a 0,2. 242 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) em Melissa é superior a 0,45. (Texto para as questões 243 a 245) Considerando que, em uma concessionária de veículos, tenha sido verificado que a probabilidade de um comprador adquirir um carro de cor metálica é 1,8 vez maior que a de adquirir um carro de cor sólida e sabendo que, em determinado período, dois carros foram comprados, nessa concessionária, de forma independente, julgue os itens a seguir. 243 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que ao menos um dos dois carros comprados seja de cor sólida é igual a 784 460 . 244 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que os dois carros comprados sejam de cor metálica é 3,24 vezes maior que a probabilidade de que eles sejam de cor sólida. 245 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de que somente um dos dois carros comprados seja de cor metálica é superior a 50%. (Texto para a questão 246) Estimou-se que, na região Norte do Brasil, em 2009, havia 1.074.700 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.747.000 habitantes, e que na região Centro-Oeste, no mesmo ano, havia 840.433 analfabetos com 15 anos de idade ou mais, em uma população total de, aproximadamente, 10.505.415 habitantes. A partir dessas informações, julgue o item subsequente. 246 - (PREVIC - 2010 / CESPE) A probabilidade de uma pessoa com 15 anos de idade ou mais escolhida ao acaso em 2009, na região Norte ou na região Centro- Oeste, ser analfabeta é inferior a 20%. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 42 de 46 (Texto para a questão 247) Estudo divulgado pelo Instituto de Pesquisas Econômicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social está entre as maiores causas da violência entre jovens. Um dos fatores que evidenciam a desigualdade social e expõem a população jovem à violência é a condição de extrema pobreza, que atinge 12,2% dos 34 milhões de jovens brasileiros, membros de famílias com renda per capita de até um quarto do salário mínimo, afirma a pesquisa. Como a violência afeta mais os pobres, é usual fazer um raciocínio simplista de que a pobreza é a principal causadora da violência entre os jovens, mas isso não é verdade. O fato de ser pobre não significa que a pessoa será violenta. Existem inúmeros exemplos de atos violentos praticados por jovens de classe média. Internet: <http://amaivos.uol.com.br> (com adaptações). Tendo como referência o texto acima, julgue o item seguinte. 247 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidade de ambos serem atingidos pela condição de extrema pobreza será inferior a 1,5%. (Texto para as questões 248 e 249) Dos 420 detentos de um presídio, verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, por homicídio e 140, por outros crimes. Verificou-se, também, que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. 248 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A quantidade de maneiras distintas de se selecionarem dois detentos entre os condenados por outros crimes, que não roubo ou homicídio, para participarem de um programa destinado à ressocialização de detentos é inferior a 10.000. 249 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Selecionando-se ao acaso dois detentos desse presídio, a probabilidade de que ambos tenham sido condenados por roubo ou ambos por homicídio será superior a 6 1 . (Texto para a questão 250) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaramde pelo menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 43 de 46 250 - (TCDF - 2012 / CESPE) A probabilidade de uma empresa selecionada ao acaso no conjunto E já ter participado de exatamente 10 procedimentos licitatórios é igual a 0 1110 N NN − . (Texto para a questão 251) Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes. Considerando essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 251 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Se cinco dos citados policiais forem escolhidos, aleatoriamente e independentemente dos cargos, então a probabilidade de que esses escolhidos constituam uma equipe com a exigência inicial será superior a 20%. (Texto para a questão 252) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de P que não estão no conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 3 2 são de A e 5 3 são de B, julgue os itens a seguir. 252 - (MPU - 2013 / CESPE) Selecionando-se ao acaso um processo em trâmite na unidade em questão, a probabilidade de que ele não envolva autoridade influente será superior a 30%. (Texto para as questões 253 a 256) Estudos revelam que 95% dos erros de digitação de uma sequência numérica — como, por exemplo, um código de barras ou uma senha — são a substituição de um algarismo por outro ou a troca entre dois algarismos da mesma sequência; esse último tipo de erro corresponde a 80% dos casos. Considerando esses fatos e que a senha de acesso de um usuário a seu provedor de email seja formada por 8 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9, julgue os itens de 41 a 45. 253 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a probabilidade de ocorrer um erro de troca entre dois algarismos da própria sequência no momento da digitação de uma sequência numérica é de 80%. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 44 de 46 254 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Infere-se das informações que a probabilidade de um erro ocorrido na digitação de uma sequência numérica ser do tipo substituição de um algarismo por outro é de 15%. 255 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a senha, o usuário cometer um erro, a probabilidade de o erro dever-se à troca entre dois algarismos adjacentes da sequência será igual a 20%. 256 - (SERPRO - 2013 / CESPE) Se, ao digitar a sua senha, o usuário cometer um erro do tipo substituição de um algarismo por outro, então a probabilidade de que tal substituição ocorria no primeiro algarismo da senha será igual a 0,1. (Texto para as questões 257 e 258) Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. As avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 257 - (TRT 17 - 2013 / Cespe) Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um mesmo dia será inferior a 1%. 258 - (TRT 17 - 2013 / Cespe) Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo independente dos demais, a probabilidade de que haja mais de uma avaliação em determinado dia será superior a 80%. (Texto para as questões 259 e 260) Considerando que, em uma pesquisa de rua, cada entrevistado responda sim ou não a cada uma de dez perguntas feitas pelos entrevistadores, julgue o item seguinte. 259 - (TCE/RO - 2013 / Cespe) Se um entrevistado responder à pesquisa aleatoriamente, a probabilidade de ele responder sim a pelo menos uma pergunta será superior a 99%. 260 - (TCE/RO - 2013 / Cespe) Será necessário entrevistar mais de mil pessoas para se garantir que duas pessoas respondam igualmente a todas as perguntas. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 45 de 46 (Texto para a questão 261) Considere que, em um conjunto S de 100 servidores públicos admitidos por concurso público, para cada x = 1, 2, 3, ..., Sx, seja o subconjunto de S formado pelos servidores que prestaram exatamente x concursos até que no concurso de número x foram aprovados pela primeira vez; considere, ainda, que Nx seja a quantidade de elementos de Sx. A respeito desses conjuntos, julgue o item a seguir. 261 - (Polícia Federal - 2014 / Cespe) Considere que Sx para x = 1, 2, 3 e 4 represente conjuntos não vazios. Nessa situação, a probabilidade de um servidor público selecionado ao acaso no conjunto S ter prestado no máximo 4 concursos até ser aprovado pela primeira vez é igual 100 N4 . (Texto para a questão 262) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se inscreveram para o cargo B. A respeito dessa situação hipotética, julgue o item subsecutivo. 262 - (Polícia Federal - 2014 / Cespe) Selecionando-se ao acaso dois candidatos entre os 1.200, a probabilidade de que ambos tenham-se inscrito no concurso para o cargo A ou para o cargo B é superior a 1/6. Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) Teoria e exercícios comentados Prof Marcos Piñon – Aula 05 Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 46 de 46 5 - Gabarito 225 - C 226 - C 227 - E 228 - C 229 - E 230 - C 231 - E 232 - C 233 - E 234 - C 235 - E 236 - E 237 - C 238 - E 239 - C 240 - C 241 - E 242 - C 243 - C 244 - C 245 - E 246 - C 247 - C 248 - C 249 - E 250 - C 251 - E 252 - C 253 - E 254 - C 255 - C 256 - E 257 - C 258 - C 259 - C 260 - C 261 - E 262 - E
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