Raciocínio Lógico Aula 07 Agente Polícia Federal

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Aula 07
Raciocínio Lógico p/ PF - Agente - 2014
Professor: Marcos Piñon
Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente) 
Teoria e exercícios comentados 
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AULA 07: Problemas Geométricos 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Resolução das questões da Aula 06 1 
2. Geometria Plana 22 
3. Geometria Espacial 39 
4. Exercícios Comentados nesta aula 54 
5. Exercícios Propostos 56 
6. Gabarito 60 
1 - Resolução das questões da Aula 06 
(Texto para as questões de 286 a 288) Uma equipe de 10 profissionais, 
composta por 2 juízes, 4 promotores e 4 defensores públicos, atuou durante 
4 dias em julgamentos de processos em determinado tribunal. A cada dia 
atuaram 1 juiz, 1 promotor e 1 defensor público. Na escala de trabalho, conta 
que Gerson, Marta e Julia atuaram na segunda-feira; Luiz, Paula e Carlos 
atuaram na terça-feira; Bianca e Adalberto atuaram na quarta-feira; Luiz e 
Diogo atuaram na quinta-feira. 
Nessa situação, sabendo que Edna é defensora pública e atuou na quarta ou 
na quinta-feira, que a juíza Marta atuou em 2 dias, que Gerson e Bianca são 
promotores e que 3 promotores são do sexo masculino, julgue os itens 
seguintes: 
286 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Diogo e Carlos são promotores. 
Solução: 
Vamos começar organizando as informações: 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
Sabe-se ainda que: 
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- Edna é defensora pública 
- Edna atuou na quarta ou na quinta-feira 
- Marta é juíza 
- Marta atuou em 2 dias 
- Gerson é promotor 
- Bianca é promotora 
- 3 promotores são do sexo masculino 
 
Para facilitar a explicação, os juízes serão marcados pela cor vermelha, os 
promotores pela cor azul e os defensores pela cor verde. Assim: 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Olhando para a segunda-feira, podemos concluir que Júlia é defensora, pois já 
temos um promotor e uma juíza atuando nesse dia. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Podemos perceber, também, que Luiz está atuando em dois dias (terça e quinta-
feira), o que nos leva a concluir que ele é Juiz, já que temos apenas dois juízes 
para atuar nos quatro dias e Marta atua em apenas 2 dias. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Agora, podemos concluir que Marta atua na quarta-feira, já que temos Luiz (que é 
juiz) atuando na terça e na quinta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Podemos concluir, agora, que Adalberto é defensor, pois já temos uma promotora 
e uma juíza atuando na quarta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
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Sabemos, também, que Edna é defensora e que ela atuou na quarta ou na quinta-
feira. Como na quarta nós já temos 3 pessoas atuando, podemos concluir que 
Edna atuou na quinta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna 
 
Como na quinta-feira nós já temos um juiz e uma defensora, podemos concluir que 
Diogo é promotor. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna 
 
Por fim, falta sabermos as profissões de Paula e Carlos. Já sabemos quem são os 
dois juízes (Marta e Luiz), três promotores (Bianca, Gerson e Diogo) e três 
defensores (Adalberto, Julia e Edna). Portanto, faltam um promotor e um defensor. 
Sabendo que 3 promotores são do sexo masculino, podemos concluir que Carlos 
é o promotor e que Paula é a defensora que faltam. Assim: 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna 
 
Portanto, concluímos que o item está correto. 
 
 
287 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Os 2 juízes são do sexo feminino. 
 
Solução: 
 
Vimos na resolução da questão anterior que os dois juízes são Marta e Luiz. 
Portanto, apenas um dos juízes é do sexo feminino. Item errado. 
 
 
288 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Adalberto e Paula são defensores públicos. 
 
Solução: 
 
Novamente, utilizando as informações obtidas anteriormente, vimos que Paula e 
Adalberto são defensores públicos. Item correto. 
 
 
289 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Em determinado município, há, cadastrados, 
58.528 eleitores, dos quais 29.221 declararam ser do sexo feminino e 93 não 
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informaram o sexo. Se, entre os eleitores que não informaram o sexo, o 
número de eleitores do sexo masculino for o dobro do número de eleitores 
do sexo feminino, então, nesse município, os eleitores do sexo masculino 
são maioria. 
 
Solução: 
 
Primeiramente, devemos encontrar a quantidade de eleitores que declararam ser 
do sexo masculino (x): 
 
29221 + 93 + x = 58528 
 
x = 58528 – 29221 – 93 
 
x = 29214 
 
Agora, chamando de y o número de eleitores do sexo feminino entre os 93 que 
não informaram o sexo, e, supondo que a quantidade de homens é o dobro da 
quantidade de mulheres, temos: 
 
y + 2.y = 93 
 
3.y = 93 
 
y = 
3
93
 = 31 
 
Assim, considerando que entre os eleitores que não informaram o sexo, o número 
de eleitores do sexo masculino é o dobro do número de eleitores do sexo 
feminino, temos: 
 
Total do sexo masculino: 29214 + 2 × 31 = 29214 + 62 = 29276 
 
Total do sexo feminino: 29221 + 31 = 29252 
 
Portanto, há mais homens que mulheres. Item correto. 
 
 
(Texto para as questões de 290 a 292) As atividades de manutenção, 
operação e instalação na área de informática de um escritório são 
desenvolvidas por Edson, Humberto e Danilo; cada um é responsável por 
uma única atividade. Os seus salários são: R$ 2.300,00, R$ 2.400,00 e 
R$ 2.500,00. Sabe-se que o responsável pela instalação de sistemas, que é 
irmão de Danilo, não tem o maior salário; Edson é o operador de sistemas; o 
responsável pela manutenção tem o menor salário. 
 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 
 
290 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Danilo é o operado de sistemas. 
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Solução: 
 
Para facilitar a resolução dessa questão, vamos montar a seguinte tabela: 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson 
Humberto 
Danilo 
 
Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabela: 
 
 
Edson é o operador de sistemas.Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não 
Danilo Não 
 
 
O responsável pela instalação de sistemas é irmão de Danilo. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não 
Danilo Não Não 
 
Com isso, podemos concluir que Danilo é o responsável pela Manutenção e que 
Humberto é o responsável pela instalação. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não Não Sim 
Danilo Sim Não Não 
 
 
O responsável pela manutenção tem o menor salário. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não Não 
Humberto Não Não Sim Não 
Danilo Sim Não Não Sim Não Não 
 
 
O responsável pela instalação de sistemas não tem o maior salário 
 
 
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 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não Não Não Sim 
Humberto Não Não Sim Não Sim Não 
Danilo Sim Não Não Sim Não Não 
 
Com isso, podemos concluir que Danilo não é o operador de sistemas. Item 
errado. 
 
 
291 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) O salário do instalador de sistemas é igual a 
R$ 2.400,00. 
 
Solução: 
 
A partir das informações da questão anterior, podemos concluir que o salário do 
instalador de sistemas (que é Humberto) é igual a R$ 2.400,00. Item correto. 
 
 
292 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Edson tem o maior salário. 
 
Solução: 
 
Mais uma vez, a partir do que vimos anteriormente, Edson tem o maior salário. 
Item correto. 
 
 
293 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a 
votação dura 10 horas, cada seção eleitoral possui apenas uma urna, todos 
os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então, 
nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais. 
 
Solução: 
 
Vamos organizar as informações: 
 
Total de eleitores: 2.500 eleitores 
 
Duração da votação: 10 horas 
 
Quantidade de urnas por seção eleitoral: 1 
 
Tempo de votação por eleitor: 1 minuto e meio 
 
Bom, com as informações da questão, vamos, primeiro, calcular quantos eleitores 
votam em um dia de votação com uma única seção eleitoral: 
 
Duração da votação: 10 horas = 10 x 60 minutos = 600 minutos 
 
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Nº de eleitores / seção / dia de votação: 
meioeutomin1
utosmin600
 = 
5,1
600
 = 400 eleitores 
 
Assim, o total de seções necessárias para que 2500 eleitores votem num dia é 
dado por: 
 
400
500.2
 = 6,25 
 
Agora, como o número de seções não pode ser um número fracionário, devemos 
arredondar esse número para cima, pois, com apenas 6 seções, 100 pessoas 
deixam de votar. 
 
Portanto, serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais neste município para 
que os 2.500 eleitores desta cidade possam votar. Item correto. 
 
 
294 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y 
e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os tempos médios de votação nessas seções 
são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, 
respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 
minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do 
número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral 
que tem o maior número de eleitores é a X. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos chamar de x, y e z o número de eleitores das seções X, Y 
e Z. Assim: 
 
As seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores 
 
x + y + z = 1.500 (equação 1) 
 
O número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de 
eleitores das seções X e Z 
 
y = 
2
)zx( +
 
 
2.y = x + z (equação 2) 
 
Substituindo o valor de x + z da equação 2 na equação 1, temos: 
 
x + y + z = 1.500 
 
y + 2.y = 1.500 
 
3.y = 1.500 
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y = 
3
1500
 = 500 eleitores 
 
Voltando para a equação 1, temos: 
 
x + y + z = 1.500 
 
x + 500 + z = 1.500 
 
x + z = 1.500 – 500 
 
x + z = 1.000 
 
z = 1000 – x (equação 3) 
 
 
Os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 
2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação 
nas três seções é de 2.175 minutos 
 
1,5.x + 2.y + 1.z = 2175 
 
1,5.x + 2.(500) + z = 2175 
 
1,5.x + 1000 + z = 2175 
 
1,5.x + z = 2175 – 1000 
 
1,5.x + z = 1175 (equação 4) 
 
Agora, substituindo o valor de z da equação 3 na equação 4, temos: 
 
1,5.x + z = 1175 
 
1,5.x + 1000 – x = 1175 
 
0,5.x = 1175 – 1000 
 
0,5.x = 175 
 
x = 
5,0
175
 = 350 
 
Voltando para a equação 3, temos: 
 
z = 1000 – x 
 
z = 1000 – 350 = 650 
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Portanto, a seção que tem o maior número de eleitores é a seção Z. Item errado. 
 
 
(Texto para as questões 295 e 296) Um banner da Corregedoria Regional 
Eleitoral do Espírito Santo, parcialmente reproduzido abaixo, alerta a 
população acerca de possíveis irregularidades no processo de alistamento e 
cadastro de eleitores. 
 
 
 
De acordo com o panfleto apresentado, João, José, Pedro, Marta e Lurdes 
tenham cometido crimes, cada um por motivo diferente do outro. Sabe-se 
que: 
 
- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta; 
 
- as mulheres não omitiram declaração em documento; 
 
- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo 
oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta; 
 
- Pedro ou Marta deram declaração falsa; 
 
- José e João se alistaram de forma não fraudulenta. 
 
Considerando o banner e as informações hipotéticas apresentadas acima, 
julgue os itens seguintes. 
 
295 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A pessoa responsável pelo aliciamento é do 
sexo feminino. 
 
Solução: 
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Para resolver esta questão, vamos preencher a seguinte tabelinha: 
 
 Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João 
José 
Pedro 
Marta 
Lurdes 
 
Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabelinha: 
 
 
- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta; 
 
 Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não 
José Não 
Pedro Não 
Marta 
Lurdes 
 
 
- as mulheres não omitiram declaração em documento; 
 
 Alistar-se de 
formafraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não 
José Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes Não 
 
 
- José e João se alistaram de forma não fraudulenta. 
 
 
 
 
 
 
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 Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não 
José Não Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes Não 
 
 
- Pedro ou Marta deram declaração falsa; 
 
 Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes Não Não 
 
Podemos perceber que só restou a José e a João terem aliciado e induzido outra 
pessoa a alistar-se de forma fraudulenta ou omitido declaração em documento, 
pois eles não se alistaram, não transferiram domicilio nem deram declaração falsa. 
Assim: 
 
 Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não 
Marta Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
 
- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo 
oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta; 
 
Como quem aliciou e induziu foi um homem (José ou João), podemos concluir que 
quem alistou-se de forma fraudulenta foi uma mulher. Assim: 
 
 
 
 
 
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 Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não Não 
Marta Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
O que nos leva a concluir que Pedro deu a declaração falsa: 
 
 Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não Sim Não 
Marta Não Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
Portanto, a pessoa responsável pelo aliciamento é do sexo masculino (José ou 
João). Item errado. 
 
 
296 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Pedro deu declaração falsa. 
 
Solução: 
 
Vimos na questão anterior que foi Pedro quem deu a declaração falsa. Item 
correto. 
 
 
(Texto para as questões 297 e 298) Um cliente contratou os serviços de 
cartão pré-pago de uma financeira e, em seguida, viajou. Esse cliente gastou 
metade do limite do cartão com hospedagem, 
3
1
 com combustível e 
9
1
 com 
alimentação. Nesse caso, 
 
297 - (Assembléia Legislativa/CE - 2011 / CESPE) o cliente gastou todo o 
limite do cartão contratado com hospedagem, combustível e alimentação. 
 
Solução: 
 
Essa é uma questão bem simples. Vamos chamar de x o limite total do cartão. 
Assim: 
 
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Gasto com Hospedagem = 
2
1
 de x = 
2
x
 
 
Gasto com Combustível = 
3
1
 de x = 
3
x
 
 
Gasto com Alimentação = 
9
1
 de x = 
9
x
 
 
Assim, apenas com hospedagem, combustível e alimentação o cliente gastou: 
 
Total gasto = 
2
x
 + 
3
x
 + 
9
x
 = 
18
x.2x.6x.9 ++
 = 
18
x.17
 
 
Total que sobrou = x – 
18
x.17
 = 
18
x.17x.18 −
 = 
18
x
 
 
Com isso, concluímos que ainda restou 
18
1
 do limite do cartão. Item errado. 
 
 
298 - (Assembléia Legislativa/CE - 2011 / CESPE) se o gasto do cliente com 
hospedagem utilizando o cartão pré-pago atingiu o montante de R$ 1.500,00, 
então, nesse cartão, o seu gasto com combustível foi de R$ 1.000,00. 
 
Solução: 
 
Sabemos que metade do limite do cartão foi gasto com hospedagem, ou seja, 
50% do limite corresponde a R$ 1.500,00. Assim: 
 
 
2
x
 = 1.500 
 
x = 2 x 1.500 
 
x = R$ 3.000,00 
 
Portanto, o limite total é igual a R$ 3.000,00. Com isso, podemos calcular o gasto 
com combustível: 
 
Gasto com combustível = 
3
x
 = 
3
3000
 = R$ 1.000,00 
 
Item correto. 
 
 
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(Texto para as questões 299 a 301) O Flamengo, o Corinthians e o Cruzeiro 
foram convidados para jogos amistosos de futebol contra times europeus. 
Os jogos serão realizados em Lisboa, em Roma e em Paris, nos dias 22, 23 e 
24 de agosto. Além disso, sabe-se que: 
 
� cada clube jogará apenas uma vez; 
� somente um jogo acontecerá em cada dia; 
� em cada cidade ocorrerá apenas um jogo; 
� o Flamengo jogará em Roma; 
� o Cruzeiro jogará no dia 24; 
� o jogo do dia 23 será em Lisboa. 
 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
 
299 - (ANS - 2013 / CESPE) O Flamengo jogará no dia 22. 
 
Solução: 
 
Bom, temos a informação que cada clube jogará apenas uma vez, somente um 
jogo acontecerá em cada dia e que em cada cidade ocorrerá apenas um jogo. 
Assim, a melhor forma de resolver essa questão é montando uma tabelinha. 
Vejamos: 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo 
Corinthians 
Cruzeiro 
 
Agora, vamos preencher a tabela com base nas informações da questão: 
 
o Flamengo jogará em Roma; 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não 
Corinthians Não 
Cruzeiro Não 
 
o Cruzeiro jogará no dia 24; 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não Não 
Corinthians Não Não 
Cruzeiro Não Não Não Sim 
 
o jogo do dia 23 será em Lisboa. 
 
Com essa informação, podemos concluir que o cruzeiro não jogará em Lisboa, já 
que seu jogo é dia 24. Podemos concluir também, que o Flamengo não jogará dia 
23, pois seu jogo será em Roma: 
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 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não Não Não 
Corinthians Não Não 
Cruzeiro Não Não Não Não Sim 
 
Concluímos, então, que o Cruzeiro jogará em Paris e que o Flamengo jogará dia 
22: 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não Sim Não Não 
Corinthians Não Não Não Não 
Cruzeiro Não Não Sim Não Não Sim 
 
 
Por fim, concluímos que o Corinthiansjogará dia 23 em Lisboa: 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não Sim Não Não 
Corinthians Sim Não Não Não Sim Não 
Cruzeiro Não Não Sim Não Não Sim 
 
 
Portanto, o item está correto, já que o Flamengo jogará dia 22. 
 
 
300 - (ANS - 2013 / CESPE) O jogo em Paris ocorrerá no dia 24. 
 
Solução: 
 
Com base nas informações obtidas na questão anterior, concluímos que este item 
está correto, já que o Cruzeiro jogará dia 24 em Paris. 
 
 
301 - (ANS - 2013 / CESPE) O Corinthians jogará em Paris 
 
Solução: 
 
Com base nas informações obtidas anteriormente, concluímos que este item está 
errado, já que o Corinthians jogará no dia 23 em Lisboa. 
 
 
(Texto para a questão 302) Considere que a empresa X tenha disponibilizado 
um aparelho celular a um empregado que viajou em missão de 30 dias 
corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de 
R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido 
limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará 
com as despesas, julgue o item a seguir. 
 
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302 - (PC-DF - 2013 / CESPE) Considere que, em uma nova missão, o preço 
das ligações tenha passado a depender da localidade, mesma cidade ou 
cidade distinta da de origem da ligação, e do tipo de telefone para o qual a 
ligação tenha sido feita, celular, fixo ou rádio. As tabelas abaixo mostram 
quantas ligações de cada tipo foram feitas e o valor de cada uma: 
 
 celular fixo rádio 
mesma cidade 6 3 1 
cidade distinta 7 1 3 
Tabela I: número de ligações realizadas por tipo de telefone 
 
 mesma cidade cidade distinta 
celular 0,20 0,50 
fixo 0,15 0,30 
rádio 0,20 0,20 
Tabela II: preço de cada ligação, em reais 
 
Nessas condições, se A = 





317
136
 for a matriz formada pelos dados da 
tabela I, e B = 










20,020,0
30,015,0
50,020,0
 for a matriz formada pelos dados da tabela II, 
então a soma de todas as entradas da matriz A × B será igual ao valor total 
das ligações efetuadas. 
 
Solução: 
 
A primeira coisa que devemos entender é qual será o valor total das ligações 
efetuadas. Assim, temos: 
 
Para a mesma cidade, foram feita 6 ligações para celular, 3 ligações para fixo e 1 
ligação para rádio, ou seja, o valor total foi: 
 
6 × 0,20 + 3 × 0,15 + 1 × 0,20 = 1,2 + 0,45 + 0,2 = R$ 1,85 
 
 
Para uma cidade distinta, foram feitas 7 ligações para celular, 1 ligação para fixo e 
3 ligações para rádio, ou seja, o valor total foi: 
 
7 × 0,50 + 1 × 0,30 + 3 × 0,20 = 3,5 + 0,3 + 0,6 = R$ 4,40 
 
Portanto, o custo total foi de 1,85 + 4,4 = R$ 6,25 
 
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Agora, devemos comparar se este valor é igual ao valor da soma dos elementos 
da matriz resultante da multiplicação entre as matrizes A e B acima. Vejamos: 
 
 
A x B = 
 






317
136
 x 










20,020,0
30,015,0
50,020,0
 = 
 






×+×+××+×+×
×+×+××+×+×
20,0330,0150,0720,0315,0120,07
20,0130,0350,0620,0115,0320,06
 = 
 






++++
++++
6,03,05,36,015,04,1
2,09,032,045,02,1
 = 
 






4,415,2
1,485,1
 = 
 
Assim, a soma de todos os elementos dessa matriz fica: 
 
1,85 + 4,1 + 2,15 + 4,4 = R$ 12,50 
 
Portanto, a soma de todas as entradas da matriz A × B NÃO será igual ao valor 
total das ligações efetuadas. Item errado. 
 
 
 
 
(Texto para as questões 303 a 306) A figura acima ilustra um brinquedo 
virtual, em que duas bolas — I e II — se movimentam em uma haste a partir 
do momento que o brinquedo é ligado, ambas com a mesma velocidade e de 
maneira contínua, indo de uma extremidade à outra. A bola I se movimenta 
de A para B e de B para A; a bola II, de A para C e de C para A. Antes de o 
brinquedo ser ligado, devem ser indicados valores nos mostradores TI e TII. 
Indicar TI = M significa que a bola I levará M segundos para ir de A até B; 
TII = N significa que a bola II levará N segundos para ir de A até C. O 
mostrador Tempo indica há quantos segundos o brinquedo está ligado. No 
momento que o brinquedo é ligado, os movimentos se iniciam sempre a 
partir do ponto A. 
 
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Com relação às funcionalidades do brinquedo descrito acima, julgue os itens 
a seguir. 
 
303 - (AFT - 2013 / CESPE) Se TI = 3 e TII = 9, então, toda vez que o mostrador 
Tempo indicar um múltiplo de 6, as bolas I e II se encontrarão no ponto A. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, devemos entender que a bola I voltará ao ponto A a cada 2 vezes 
o tempo TI, pois ela leva TI para ir de A até B e levará o mesmo TI para ir de B até 
A. O mesmo ocorre com a bola II, ela levará 2 vezes TII para voltar ao ponto A. 
Com isso, podemos concluir que sempre em tempos múltiplos de 2×TI e 2×TII, as 
bolas I e II se encontrarão no ponto A. 
 
Com TI = 3 e TII = 9, temos: 
 
2 × TI = 2 × 3 = 6 segundos 
 
2 × TII = 2 × 9 = 18 segundos 
 
Portanto, a cada 6 segundos a bola I se encontrará no ponto A, mas apenas a 
cada 18 segundos a bola II se encontrará no ponto A. Item errado. 
 
 
304 - (AFT - 2013 / CESPE) Se TI = 5 e TII = 8, então, depois que o brinquedo 
foi ligado, as bolas nunca mais se encontrarão simultaneamente no ponto A. 
 
Solução: 
 
Questão semelhante à anterior. Assim, sempre em tempos múltiplos de 2×TI e 
2×TII, as bolas I e II se encontrarão no ponto A: 
 
Com TI = 5 e TII = 8, temos: 
 
2 × TI = 2 × 5 = 10 segundos 
 
2 × TII = 2 × 8 = 16 segundos 
 
Para saber quando as duas bolas se encontrarão simultaneamente no ponto A, 
calculamos o m.m.c. entre 10 e 16: 
 
m.m.c. entre 10 e 16 = 80 (pois 10 = 2 × 5 e 16 = 24. Assim, m.m.c. = 24 × 5 = 80) 
 
Portanto, a cada 80 segundos as duas bolas se encontrarão simultaneamente no 
ponto A. Item errado. 
 
 
305 - (AFT - 2013 / CESPE) Se TI = 3, então, quando o mostrador Tempo 
indicar 15 segundos, a bola I estará no ponto B. 
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Solução: 
 
Sabemos que a cada TI a bola I vai de A para B e em seguida de B para A em 
novo período TI, e assim sucessivamente. Com isso, podemos dividir 15 segundos 
por TI, para sabermos quantas vezes a bola I percorreu a distancia entre os pontos 
A e B: 
 
15 ÷ 3 = 5 com resto igual a zero 
 
Como este resultado foi um número ímpar (5), e o resto foi igual a zero, 
concluímos que a bola I estará em B após 15 segundos, pois já sabemos que a 
cada 2 vezes TI ela retorna ao ponto A. Item correto. 
 
 
306 - (AFT - 2013 / CESPE) Se TII = 5, então, quando o mostrador Tempo 
indicar 64 segundos, a bola II estará mais próxima de C do que de A. 
 
Solução: 
 
Questão semelhante à anterior. Vamos dividir 64 segundos por TII para sabermos 
quantas vezes a bola II percorreu a distancia entre os pontos A e C. Em seguida, 
com o resto da divisão, analisaremos se a bola II estará mais perto deA ou de C: 
 
64 ÷ 5 = 12 com resto igual a 4 
 
Assim, após percorrer 12 vezes a distância entre A e C a bola II se encontrará em 
A. Em seguida, após mais 4 segundos (o resto da divisão) a bola II estará mais 
próxima de C do que de A, pois faltará apenas mais 1 segundo para chegar em C. 
Item correto. 
 
 
(Texto para as questões 307 a 309) Paulo, Tiago e João, auditores do 
trabalho, nasceram, um deles em Brasília, o outro, em Goiânia e o terceiro, 
em Curitiba. Suas idades são 25, 27 e 28 anos. Sabe-se que João não nasceu 
em Brasília e não tem 25 anos; que o auditor que nasceu em Goiânia tem 28 
anos; que Paulo não nasceu em Curitiba nem tem 25 anos; e que Tiago 
nasceu na região Centro-Oeste. 
 
Com base nessas informações, julgue os seguintes itens. 
 
307 - (AFT - 2013 / CESPE) O auditor brasiliense tem 27 anos. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos começar desenhando a tabelinha para organizar as 
informações: 
 
 
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 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo 
Tiago 
João 
 
Agora, vamos preencher a tabela com as informações da questão: 
 
 
João não nasceu em Brasília e não tem 25 anos 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo 
Tiago 
João Não Não 
 
 
Paulo não nasceu em Curitiba nem tem 25 anos 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago 
João Não Não 
 
Aqui podemos concluir que Tiago tem 25 anos, pois nem João nem Paulo 
possuem esta idade: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago Sim Não Não 
João Não Não 
 
 
Tiago nasceu na região Centro-Oeste 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago Não Sim Não Não 
João Não Não 
 
Aqui podemos concluir que João nasceu em Curitiba, pois nem Paulo nem Tiago 
nasceram nesta cidade: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago Não Sim Não Não 
João Não Não Sim Não 
 
 
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o auditor que nasceu em Goiânia tem 28 anos 
 
Bom, como João nasceu em Curitiba, ele não possui 28 anos: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago Não Sim Não Não 
João Não Não Sim Não Não 
 
Assim, concluímos que João possui 27 anos: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não Não 
Tiago Não Sim Não Não 
João Não Não Sim Não Sim Não 
 
Podemos concluir também que Paulo possui 28 anos e, com isso, concluir que ele 
nasceu em Goiânia, sobrando para Tiago nascer em Brasília: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Sim Não Não Não Sim 
Tiago Sim Não Não Sim Não Não 
João Não Não Sim Não Sim Não 
 
 
Como Tiago é o auditor brasiliense e possui 25 anos, concluímos que o item está 
errado. 
 
 
308 - (AFT - 2013 / CESPE) Paulo nasceu em Goiânia. 
 
Solução: 
 
Utilizando as informações da questão anterior, concluímos que Paulo nasceu em 
Goiânia. Item correto. 
 
 
309 - (AFT - 2013 / CESPE) O auditor que nasceu em Curitiba tem 25 anos. 
 
Solução: 
 
Vimos que João nasceu em Curitiba e possui 27 anos. Item errado. 
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Vamos tratar hoje dos “Problemas Geométricos”. Antes, vamos relembrar um 
pouco da Geometria Básica. Vamos lá: 
 
2 - Geometria Plana 
 
 
Ponto, reta e plano 
 
O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita 
de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto 
por uma letra maiúscula do alfabeto (A, B, C, P, ...). 
 
Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em 
sequência. É possível perceber que sobre um ponto passa um número infinito de 
retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta, a qual 
passaremos a chamar por uma letra minúscula do alfabeto (s, t, q, r, ...). Além 
disso, chama-se de semirreta aquela que começa em um ponto qualquer de uma 
reta e não tem fim. Já o segmento de reta é aquele que começa em um ponto 
qualquer da reta e termina em outro ponto desta mesma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
O plano será definido por três pontos não-colineares (que não estão na mesma 
reta). Todas as retas que passam por dois desses pontos que definem o plano 
estão contidas nele. Denominaremos o plano por uma letra grega minúscula 
qualquer (α, β, γ, ...). 
 
 
Posições relativas entre retas, semirretas, segmentos e planos 
 
Duas retas distintas podem assumir diferentes posições no espaço. Elas podem 
ser: paralelas, coincidentes, concorrentes, perpendiculares ou reversas. 
 
 
• Retas Paralelas 
 
 
Duas retas serão paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não 
possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum. 
 
• Retas Coincidentes 
 
 
 
s 
r 
s 
r 
 
Reta 
Semirreta 
Segmento de reta 
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Duas retas são ditas coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem 
todos os pontos em comum. 
 
 
• Retas Concorrentes 
 
 
 
Retas concorrentes são aquelas que possuem apenas um ponto comum, elas se 
tocam apenas uma vez. 
 
 
• Retas Perpendiculares 
 
 
 
Duas retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes. Sua 
peculiaridade é que o ângulo formado por essas duas retas é igual a 90°. 
 
 
 
• Retas Reversas 
 
 
 
 
Duas retas serão ditas reversas se, ao mesmo tempo, elas não forem paralelas e 
não possuírem nenhum ponto em comum. 
 
Podemos, também, definir outras posições relativas das retas, semirretas, 
segmentos e planos: 
 
• Semirretas Opostas 
 
 
Duas semirretas são denominadas opostas se elas estão numa mesma reta, 
possuem um mesmo ponto de origem e possuem sentidos opostos (na figura 
acima o ponto “O” divide a reta em duas semirretas opostas). 
 
 
• Segmentos Consecutivos 
 
 
Dois segmentos de reta são ditos consecutivos se a extremidade de um dos 
segmentos é também a extremidade do outro, ou seja, se uma extremidade de um 
coincide com uma extremidade do outro. Na figura acima, os segmentos AB e BC 
são consecutivos. 
 
• Segmentos Colineares 
s 
r 
. 
s 
r 
. . 
s 
r 
. O 
. . . . A B C D 
. . . 
A B 
C 
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Dois segmentos de reta serão colineares se eles pertencerem a uma mesma reta. 
Na figura acima, os segmentos AB e CD são colineares. 
 
• Segmentos Congruentes 
 
 
 
Dois segmentos serão congruentes se eles tiverem as mesmas medidas. Na 
figura acima, os segmentos AB e CD são congruentes, pois ambos medem cinco 
centímetros. 
 
• Segmentos Adjacentes 
 
 
Dois segmentos serão ditosadjacentes se eles forem consecutivos e colineares, 
e ainda, se possuírem apenas uma extremidade em comum e não tiverem outros 
pontos em comum. Na figura acima, AB e BC são adjacentes. 
 
• Reta paralela a um plano 
 
 
 
Uma reta será paralela a um plano se eles não tiverem nenhum ponto em comum. 
 
• Reta contida num plano 
 
 
Uma reta estará contida num plano se todos os seus pontos pertencerem a este 
plano. 
 
• Reta secante (ou concorrente) a um plano 
 
 
 
 
 
Uma reta será secante (ou concorrente) a um plano se ambos só tiverem um 
ponto em comum. 
 
Se o ângulo que se formar entre a reta e o plano for 90°, dizemos que eles são 
perpendiculares. 
 
 
Ângulos 
 
. . . . 
5 cm 
5 cm 
A B 
C D 
. . . A B C 
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Podemos definir um ângulo como sendo uma região formada pela abertura de 
duas semirretas que possuem uma origem em comum. A origem dessas duas 
semirretas chama-se vértice do ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Existe uma semirreta importante no estudo dos ângulos que é a bissetriz. Ela tem 
origem no vértice de um ângulo qualquer e o divide em dois ângulos iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
As unidades de medida mais comuns para os ângulos são radianos ou graus. 
Existem outras unidades, porém, muito pouco usadas e não merecem que 
percamos nosso tempo com elas. 
 
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo 
ângulo, dividido pelo raio do círculo. Já a medida em graus de um ângulo é o 
comprimento desse mesmo arco, dividido pela circunferência do círculo e 
multiplicada por 360. 
 
 
 
α (em radianos) = 
R
L
 
 
 
α (em graus) = 
R..2
L
pi
.360 
 
 
Obs: Veremos mais na frente que o comprimento da circunferência vale 2.pi.R. 
 
Agora, vamos verificar as seguintes classificações dos ângulos: quanto à medida, 
quanto à posição e quanto à complementação. 
 
. s O 
r 
α 
α/2 
α/2 
Bissetriz 
s 
r 
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• Classificação quanto à medida 
 
Os ângulos podem ser: 
 
Nulo: O ângulo nulo é aquele que mede 0° (ou 0 radianos ). 
 
Agudo: O ângulo será agudo, se sua medida valer mais que 0° (ou 0 radianos) e 
menos que 90° (ou 2pi radianos). 
 
Reto: O ângulo reto é aquele que mede exatamente 90° (o u 2pi radianos). 
 
Obtuso: O ângulo será obtuso, se sua medida valer mais que 90° (ou 2pi 
radianos) e menos que 180° (ou pi radianos). 
 
Raso: O ângulo raso é aquele que mede 180° (ou pi radianos). 
 
 
• Classificação quanto à posição 
 
Congruentes: Dois ângulos são classificados como congruentes, quando eles 
possuem a mesma medida. 
 
Consecutivos: Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um 
deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Na figura abaixo, α e ββ são 
consecutivos. 
 
 
 
 
 
 
 
Adjacentes: Dois ângulos são classificados como adjacentes quando são 
consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Na figura abaixo, αα e β são 
adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
Opostos pelo vértice: São ângulos formados por duas retas concorrentes e que 
possuem seus dois lados nas mesmas retas. Na figura abaixo, α e β são opostos 
pelo vértice. 
 
 
α β 
β 
α 
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• Classificação quanto à complementação 
 
Complementares: Dizemos que α e β são complementares quando a soma de 
suas medidas é igual a 90°. Assim, dizemos que α é o complemento de β e vice-
versa. 
 
Suplementares: Dizemos que α e β são suplementares quando a soma de suas 
medidas é igual a 180°. Assim, dizemos que α é o suplemento de β e vice-versa. 
 
 
Circunferência 
 
Podemos definir uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos de um 
plano que possuem a mesma distância (raio) de um ponto fixo (centro). 
 
O segmento de reta que passa pelo centro e une dois pontos da circunferência é 
chamado de diâmetro (D). Esse diâmetro vale o dobro do raio (R). 
 
 
D = 2.R 
 
 
 
 
 
 
 
O comprimento da circunferência, ou perímetro (P), é igual a: 
 
P = 2.pipi.R ou P = pi.D 
 
 
A área de uma circunferência é dada pela seguinte expressão: 
 
Área = pi.R2 ou Área = pi.
4
D2
 
 
 
Polígonos 
 
O polígono é uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se 
interceptam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do 
α 
β 
D 
R 
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polígono. Os pontos de interseção são denominados vértices do polígono. Os 
polígonos podem ser: Convexo ou Côncavo. 
 
O Polígono Convexo é aquele construído de modo que os prolongamentos dos 
lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um 
polígono convexo, então todo o segmento de reta tendo estes dois pontos como 
extremidades, estará inteiramente contido no polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Polígono Côncavo é aquele construído de modo que existam dois pontos 
contidos no polígono de forma que o segmento de reta com esses dois pontos nas 
extremidades possua pontos fora do polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulos 
 
Os triângulos são polígonos que possuem três lados e a soma de seus ângulos 
internos vale 180°. Para podermos garantir a exist ência de um triângulo, devemos 
garantir que cada lado seja menor que a soma dos outros dois lados. Além disso, 
devemos garantir que cada lado seja maior que o módulo da diferença entre os 
outros dois lados e que os seus três vértices não estejam numa mesma reta: 
 
 a < b + c 
 a > |b - c| 
 
 
Eles podem ter as seguintes classificações: 
 
- Quanto à medida dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo) 
- Quanto à medida dos lados (equilátero, isósceles e escaleno) 
 
 
Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus ângulos 
 
• Triângulo Acutângulo 
 
b 
a 
c 
A 
B 
A 
B 
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O triângulo é classificado como acutângulo, quando ele possui todos os ângulos 
menores que 90°. 
 
• Triângulo Retângulo 
 
Classificamos o triângulo como retângulo, quando ele possui um ângulo medindo 
exatamente 90°. Nesse triângulo, os lados que forma m o ângulo reto denominam-
se catetos, e o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa. 
 
Cabe destacar logo agora o Teorema de Pitágoras. Esse teorema estabelece que 
o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos: 
 
 
 
 
 
 
 
(Hipotenusa)2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2 
 
 
 
• Triângulo obtusângulo 
 
O triângulo é classificado como obtusângulo, quando possui um ângulo medindo 
mais de 90°. 
 
 
Classificaçãodos triângulos quanto à medida dos seus lados 
 
 
• Triângulo equilátero 
 
O triângulo é classificado como equilátero, quando todos os seus lados possuem 
a mesma medida. Este triângulo também possui todos os seus ângulos medindo 
60° (é dito equiângulo). 
 
• Triângulo Isósceles 
 
O triângulo é classificado como isósceles, quando possui dois lados de mesma 
medida. Pode-se dizer que o triângulo equilátero é um caso particular do triângulo 
isósceles, quando o terceiro lado também apresenta a mesma medida dos outros 
dois. 
 
• Triângulo Escaleno 
 
Classificamos o triângulo como escaleno se todos os seus lados possuírem 
medidas diferentes. 
 
Cateto 1 
Cateto 2 
Hipotenusa 
. 
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Existem algumas medidas dos triângulos que devem ser destacadas 
 
 
Mediatriz, Altura, Mediana e Bissetriz 
 
• Mediatriz 
 
A mediatriz de um triângulo é a semirreta perpendicular a um lado do triângulo, 
traçada a partir do seu ponto médio. 
 
 
 
 
 
 
 
As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado de 
circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (o 
triângulo fica dentro da circunferência). O circuncentro pode ficar dentro ou fora do 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Altura 
 
A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Ela é o segmento de 
reta que liga um vértice ao seu lado oposto, ou ao prolongamento do seu lado 
oposto, formando um ângulo reto com esse lado, que é chamado de base dessa 
altura. Na figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”. 
 
 
 
 
 
O ponto de encontro das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro. No 
triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o 
vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. 
 
 
 
 
 
 
h 
a 
. 
x 
x 
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• Mediana 
 
A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une o vértice do triângulo ao 
ponto médio do lado oposto. 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto de interseção das três medianas é chamado de baricentro do triângulo. 
O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice 
ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste 
vértice 
 
 
 
 
 
 
Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade desta 
hipotenusa. 
 
• Bissetriz 
 
A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de 
um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo 
em dois ângulos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
O ponto de encontro das três bissetrizes internas do triângulo chama-se incentro. 
O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo 
é denominado círculo inscrito. 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, cabe destacar que os dois segmentos de reta que ligam um vértice do 
triângulo aos pontos em que o circulo inscrito tangencia os lados do triângulo, 
possuem a mesma medida. 
α α 
2.a a 
x x 
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Área do triângulo 
 
Para se calcular a área de um triângulo, devemos primeiro saber quem é a altura 
do triângulo. A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Na 
figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”. Pode-se calcular a área de um 
triângulo multiplicando-se um lado qualquer desse triângulo por sua altura relativa 
e dividindo o resultado por dois. 
 
 
 Área = 
2
h.a
 
 
 
Num triângulo retângulo, as alturas relativas às bases que formam o ângulo reto 
coincidem com os lados desse triângulo, conforme figura abaixo. Assim, para 
calcular a área desse triângulo basta multiplicar esses dois catetos e dividir o 
resultado por dois. 
 
 
 
 Área =
2
b.a
 
 
 
 
Outra forma de calcular a área de um triângulo é por meio da medida de seus 
lados. Assim, um triângulo de lados a, b e c, possui a seguinte área: 
 
 
Área = )cs).(bs).(as.(s −−−− , onde s = 
2
cba ++++
 (semi-perímetro) 
 
 
 
Semelhança entre triângulos 
 
Podemos definir a semelhança entre dois triângulos da seguinte forma: 
 
“Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos 
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.” 
 
 
 
h 
a 
. 
. 
a 
b 
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Os triângulos 1 e 2 são ditos semelhantes se: 
 
∧
X = 
∧
A 
∧
Y = 
∧
B 
∧
Z = 
∧
C 
c
z
b
y
a
x
== 
 
A semelhança de triângulos possui um teorema fundamental que numa prova 
pode nos ajudar a rapidamente identificar dois triângulos semelhantes: 
 
“Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois 
em dois pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao 
primeiro” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que a reta r é paralela ao lado AB, os triângulos ABC e XYC são 
semelhantes. 
 
Existem outras formas de se determinar que dois triângulos são semelhantes: 
 
 
AA (Ãngulo-Ãngulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos internos 
correspondentes iguais, então os dois triângulos são semelhantes. 
 
LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são 
proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados 
por estes lados são iguais, então os triângulos são semelhantes. 
a 
b c 
y z 
x 
X 
Y Z 
B 
A 
C 1 
2 
A B 
C 
X Y 
r 
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LLL (Lado-Lado-Lado): Se as medidas dos lados de um triângulo são 
respectivamente proporcionais às medidas dos lados homólogos de outro 
triângulo, então os dois triângulos são semelhantes. 
 
 
Quadriláteros 
 
O quadrilátero é o polígono que possui quatro lados e a soma de seus ângulos 
internos vale 360°. As diagonais do quadrilátero sã o segmentos de reta que unem 
seus vértices opostos. 
 
Concentraremos o estudo nos quadriláteros que possuem dois lados opostos 
paralelos. Eles se dividem em dois grupos: os paralelogramos e os trapézios. 
 
Os paralelogramos possuem os lados paralelos dois a dois (lados opostos 
paralelos) e suas diagonais se encontram no ponto médio. Eles se dividem em: 
Quadrados, Retângulos, Losangos e Paralelogramos obliquângulos. 
 
Os trapézios possuem apenas dois de seus lados paralelos, mas o comprimento 
dos seus lados e a medida de seus ângulos variam sem nenhuma relação uns 
com os outros. Eles se dividem em: trapézioretângulo, trapézio isósceles e 
trapézio escaleno. 
 
 
Quadrado: É um quadrilátero que possui todos os lados do mesmo tamanho e 
todos os ângulos iguais a 90°. 
 
 
 
Retângulo: É um quadrilátero que possui todos os ângulos iguais a 90°, seus 
lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos 
diferentes. 
 
 
 
 
Losango: É um quadrilátero que possui todos os lados de mesmo tamanho, seus 
ângulos oposto com a mesma medida e seus ângulos adjacentes com medidas 
diferentes. 
 
 
 
 
 
Paralelogramo obliquângulo: É um quadrilátero que possui seus lados paralelos 
com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes. Seus 
ângulos opostos são congruentes e os adjacentes de medidas diferentes. 
 
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Trapézio Reto: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos 
diferentes, e dois ângulos adjacentes medindo 90°. 
 
 
 
 
 
 
Trapézio Isosceles: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com 
tamanhos diferentes, e dois lados opostos não paralelos de mesmo tamanho. Num 
trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são iguais. 
 
 
 
 
 
Trapézio Escaleno: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com 
tamanhos diferentes e dois lados não paralelos, também de tamanhos diferentes, 
sem nenhum ângulo reto. 
 
 
 
 
 
 
 
Polígonos de “n” lados 
 
Além dos triângulos e dos quadriláteros, os polígonos podem ter 5, 6, 7, ..., n 
lados. Segue uma tabelinha com algumas de suas nomenclaturas: 
 
Nº de lados Nomenclatura Nº de lados Nomenclatura 
3 lados Triângulo 7 lados Heptágono 
4 lados Quadrilátero 8 lados Octógono 
5 lados Pentágono 9 lados Eneágono 
6 lados Hexágono 10 lados Decágono 
 
Uma informação importante a respeito dos polígonos, é a quantidade de diagonais 
que possui cada polígono. Vamos ver alguns exemplos: 
 
Triângulo: Não possui nenhuma diagonal 
 
Quadrilátero: Possui duas diagonais 
 
 
α α 
β β 
90° 
90° 
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Pentágono: Possui cinco diagonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hexágono: Possui nove diagonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebam que fica cada vez mais difícil contar a quantidade de diagonais do 
polígono. Mas existe uma lógica que nos permite estabelecer uma “fórmula” para o 
seu cálculo. Para um polígono convexo de n lados, o número de diagonais é dado 
por: 
 
 
D = 
2
)3n.(n −
 
 
 
Vamos testar a fórmula com os exemplos que vimos acima: 
 
Quadrilátero: 
 
D = 
2
)3n.(n −
 = 
2
)34.(4 −
 = 
2
)1.(4
 = 2 
 
Pentágono: 
 
D = 
2
)3n.(n −
 = 
2
)35.(5 −
 = 
2
)2.(5
 = 5 
 
Hexágono: 
 
d2 d1 
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D = 
2
)3n.(n −
 = 
2
)36.(6 −
 = 
2
)3.(6
 = 9 
 
 
É interessante, também, sabermos como calcular a soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo qualquer. Já sabemos que a soma dos ângulos internos do 
triângulo é igual a 180º e do quadrilátero é igual a 360°. Isso se deve ao fato de 
podermos dividir o quadrilátero em dois triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
Si = 2 x 180° = 360° (S i é a soma dos ângulos internos) 
 
Para o pentágono, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Si = 3 x 180° = 540° 
 
Para um polígono de n lados também podemos fazer a mesma coisa, mas pode 
dar muito trabalho e nos levar a errar na prova. Assim, para um polígono de n 
lados, existe uma expressão que resume o que fizemos: 
 
 
Si = (n – 2) × 180° 
 
 
 
Perímetro 
 
O perímetro de uma figura plana qualquer é o comprimento de seu contorno. 
Assim, o perímetro de um polígono qualquer é igual à soma das medidas de seus 
lados. 
 
 
Áreas de regiões planas 
 
Já vimos como calcular a área de uma circunferência e a área de um triângulo 
qualquer. Vamos ver agora, como encontrar a área dos outros polígonos. 
 
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Área dos paralelogramos: A área de um paralelogramo é dada pelo produto da 
base por sua altura relativa. 
 
 
Área = base × altura 
 
 
No caso do quadrado, a base e a altura coincidem com seus lados (L). Como os 
lados do quadrado são iguais, temos: 
 
 
Área do quadrado = L2 
 
 
No caso do retângulo, a base e a altura também coincidem com seus lados (L1 e 
L2). Assim: 
 
 
Área do retângulo = L1 × L2 
 
 
No caso do losango, é possível demonstrar que sua área é igual à metade do 
produto de suas diagonais. Assim: 
 
 
Área do losango = 
2
2D1D ××
 
 
 
Por fim, no caso de um trapézio qualquer, é possível demonstrar que a sua área é 
igual ao produto da média de seus lados paralelos por sua altura relativa: 
 
 
Área do trapézio = 
2
AlturaBase2) (Base1 ××++++
 
 
 
Ainda, cabe destacar que para calcular a área de qualquer polígono, podemos 
dividi-lo em triângulos, calcular suas áreas e somá-las. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área do pentágono = A1 + A2 + A3 Área do hexágono = A1 + A2 + A3 + A4 
1 
1 
2 
3 
2 
3 
4 
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3 - Geometria Espacial 
 
 
A Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde estudamos as 
figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de 
sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: 
prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro e esfera. 
 
 
 
 
 
 
Cada plano do sólido é chamado de face. 
 
As arestas são os segmentos de reta que unem duas faces do sólido. 
 
Os vértices são os pontos onde mais de duas arestas do sólido se encontram. 
 
 
Prisma 
 
O prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se 
situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas 
podem ser retos ou oblíquos. O prisma cujas bases são paralelogramos é 
chamado de paralelepípedo. 
 
Prisma reto 
 
As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são perpendiculares ao plano da 
base e as faces laterais são retangulares. O prisma reto que possui em todas as 
faces um quadrado é chamado de cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
Prisma oblíquo 
 
As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são oblíquas ao plano da base e 
as faces laterais não são retangulares. 
 
 
 
 
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• Altura do prisma 
 
A altura do prisma é a medida da distância entre sua base inferior e sua base 
superior. 
 
 
• Área Lateral e ÁreaTotal 
 
A área lateral do prisma é dada pela soma das áreas de cada quadrilátero de 
suas faces laterais. No caso de um prisma com base triangular, teremos que sua 
área lateral será igual à soma das áreas dos três quadriláteros que formam suas 
faces laterais. 
 
A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas 
duas bases, a inferior e a superior. 
 
 
• Volume 
 
O volume do prisma é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida 
de sua altura: 
 
 
 
V = Área da base ×× Altura 
 
 
 
Pirâmide 
 
Uma pirâmide é todo um sólido formado por uma face inferior (base) e um vértice 
que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões 
triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da 
pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de 
lados do polígono da base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Altura da pirâmide 
 
A altura da pirâmide é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior. 
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• Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral da pirâmide é dada pela soma das áreas de cada triângulo de suas 
faces laterais. No caso de uma pirâmide com base quadrada, teremos que sua 
área lateral será igual à soma das áreas dos quatro triângulos que formam suas 
faces laterais. 
 
A área total da pirâmide é igual a soma de sua área lateral com a área de sua 
base. 
 
 
• Volume 
 
O volume da pirâmide é calculado multiplicando-se a área de sua base pela 
medida de sua altura e dividindo-se o resultado por 3: 
 
 
Vpirâmide = 
3
AlturaBase da Área ×
 
 
 
Pose ser cobrado numa prova o volume, a área lateral ou alguma outra medida de 
um tronco de pirâmide. Mas o que é isso? Simples, o tronco de uma pirâmide é 
obtido ao se traçar uma seção transversal em uma pirâmide, conforme mostrado 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O tronco da pirâmide está representado pelo sólido limitado pelas arestas azuis. 
 
Normalmente o que é cobrado é o tronco de pirâmide formado a partir de um corte 
paralelo à base. Assim, para calcular o volume do tronco dessa pirâmide, temos: 
 
 
Vtronco = Vpirâmide maior – Vpirâmide menor 
 
 
O mesmo serve para a área lateral do tronco. 
 
Pirâmide 
maior 
Pirâmide 
menor 
Tronco da 
pirâmide 
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Cilindro 
 
O cilindro é semelhante a um prisma, sendo que sua base é um círculo. Ele pode 
ser formado pela rotação de um quadrado ou retângulo em torno de um de seus 
lados. 
 
 
 
 
 
 
• Altura do cilindro 
 
A altura do cilindro é a medida da distância entre sua base inferior e sua base 
superior. 
 
 
• Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral do cilindro é dada por: 
 
Alateral = 2.pipi.R.h 
 
 
A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas 
duas bases, a inferior e a superior. 
 
 
Atotal = 2.pipi.R.h + pipi.R2 + pipipipi.R2 = 2.pipi.R.(h + R) 
 
 
• Volume 
 
O volume do cilindro é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida 
de sua altura: 
 
 
V = Abase ×× Altura = pi.R2.h 
 
 
 
Cone 
 
Aqui, só iremos tratar dos cones circulares retos, que são os cones onde a 
projeção do vértice na sua base coincide com o centro da circunferência. Um cone 
é semelhante a uma pirâmide, sendo que sua base é um círculo. Ele pode ser 
formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 
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A hipotenusa desse triângulo é chamada de geratriz (ou apótema), que é a medida 
do segmento de reta que liga o vértice do cone à borda da sua base. 
 
 
 
 
 
• Altura do cone 
 
A altura do cone é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior. Para 
um cone onde a geratriz é igual ao diâmetro da base (cone equilátero), a altura 
vale: 
 
h = R. 3 
 
 
• Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral do cone é dada por: 
 
 
Alateral = pi.R.g 
 
 
A área total do cone é igual à soma de sua área lateral com a área de sua base. 
 
 
Atotal = pi.R.g + pi.R2 = pipi.R.(R + g) 
 
 
 
• Volume 
 
O volume do cone é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida 
de sua altura e dividindo-se esse resultado por 3: 
 
 
V = 
3
AlturaAbase ×
= 
3
.h.R 2pipi
 
 
 
Semelhante ao que vimos para a pirâmide, pode ser cobrado numa prova as 
medidas de um tronco de cone. Utilizaremos os mesmo conceitos vistos lá em 
cima. 
 
 
Esfera 
 
geratriz 
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A esfera é um sólido formado por uma superfície curva onde todos os seus pontos 
possuem a mesma distância de um outro ponto denominado centro. Ela pode ser 
formada pelo giro de uma semi-circunferência em torno de um eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Área 
 
A área da superfície de uma esfera é dada por: 
 
 
Área = 4.pi.R2 
 
 
 
• Volume 
 
O volume de uma esfera é dado por: 
 
 
Volume = 
3
R.π.4 3
 
 
 
Ufa! Agora vamos às questões! 
R 
R 
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(Texto para as questões de 310 e 311) Três crianças costumam brincar de 
caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de 
posse de uma bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma 
bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o 
mapa e a bússola para que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O 
mapa consiste em uma sequência de instruções formadas pelo número de 
passos em linha reta e um sentido — a partir da bandeirinha —, que deve ser 
observada para se encontrar o tesouro. 
 
A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as 
crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem 
apresentada, julgue os itens seguintes. 
 
310 - (MEC - 2011 / CESPE) Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira 
caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a 
terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices corresponderão 
às posições finais das crianças será equilátero. 
 
Solução: 
 
Vamos, primeiro, tentar desenhar o triângulo da questão: 
 
 
 
No desenho acima, os traços azuis representam os caminhos e o triangulo 
vermelho é o que devemos analisar se é equilátero ou não. Com um desenho bem 
feito nós já podemos perceber que o triângulo é isósceles e não equilátero, haja 
vista que um dos lados é menor do que os outros dois. Uma forma de provar isso 
é que num triângulo equilátero seus ângulos internos são iguais. Observe que os 
ângulos dos vértices SO e SE possuem 
8
3
 da circunferência cada um, enquanto 
que o ângulo do vérticeN possui 
8
2
 da circunferência, conforme demonstrado na 
figura abaixo: 
 
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Assim, o item está errado. 
 
 
311 - (MEC - 2011 / CESPE) O mapa contendo as instruções “4 passos para o 
norte, 5 passos para o sudeste e 5 passos para o oeste” conduzirá ao 
mesmo ponto que o mapa com a instrução “2 passos para o oeste”. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos desenhar os caminhos indicados pelos dois mapas: 
 
 
 
 
 
 Mapa 1 Mapa 2 
 
Novamente, com um desenho bem feito, podemos perceber que a questão está 
errada. De qualquer forma, vamos analisar os mapas. Percebam que a última 
instrução do mapa 1 é para oeste, assim como o mapa 2. Com isso, podemos 
concluir que, para os mapas levarem ao mesmo lugar, é necessário que a última 
instrução do mapa 1 faça o menino cruzar o ponto de partida quando faltarem 
ainda 2 passos para oeste, ou seja, após o terceiro passo. 
 
 
 
 
 
 
 Mapa 1 
 
Agora, percebam que andar para o norte e andar para oeste são direções 
perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90º entre si. Além disso, andar 
para o norte e andar para sudeste formam um ângulo de 45º, da mesma forma 
que andar para sudeste e andar para oeste também formam. Assim, podemos 
concluir que o triângulo formado pelo mapa 1 é isósceles, já que possui 2 ângulos 
de 45º e um ângulo de 90°. A base desse triângulo i sósceles é a segunda 
instrução do mapa, portanto, ela mede 5 passos. Assim: 
 
 
P P 
P 
2 3 
4 5 
4 
5 
5 
2 
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Por fim, percebam que há uma contradição nos dois últimos desenhos, pois no 
primeiro desenho os lados do triângulo são 3, 4 e 5, e no segundo desenho dois 
dos lados do triângulo possuem a mesma medida. 
 
Portanto, o item está errado. 
 
 
(Texto para as questões 312 e 313) Nas retas paralelas, R e S, que distam 
10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S; 
dois pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. 
Julgue os itens que se seguem, acerca dos triângulos cujos vértices são 
escolhidos entre esses 9 pontos. 
 
312 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Nenhum desses triângulos tem área superior 
138 cm2. 
 
Solução: 
 
Vamos, primeiro, desenhar o que o texto nos informa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bom, agora devemos analisar se algum dos triângulos formados pelos nove 
pontos marcados nas retas pode ter uma área superior a 138 cm2. Sabemos que a 
área de um triângulo é dada por: 
 
 
 Área = 
2
hxa
 
 
 
Com isso, podemos ver que a área do triângulo será maior, quando sua base e 
sua altura forem as maiores possíveis. Assim, se a base for formada pelos pontos 
5 
45º 45º 
90º 
R 
S 
10 cm 
7 cm 
h 
a 
. 
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extremos da reta “S”, teremos uma base de 28 cm, que é a maior possível. 
Ligando essa base a qualquer um dos pontos da reta “R”, teremos uma altura de 
10 cm. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área = 
2
hxa
 = 
2
10x28
= 
2
280
 = 140 cm2 
 
Portanto, como existe a possibilidade de a área de um triângulo formado pelos 
pontos das retas “R” e “S” possuir mais do que 138 cm2, o item está errado. 
 
 
313 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Todos esses triângulos têm área superior a 
32 cm2. 
 
Solução: 
 
Para formarmos os triângulos necessariamente teremos que utilizar pontos das 
duas retas, pois três pontos numa mesma reta não formam um triângulo. Assim, o 
menor triângulo possível de ser formado com esses pontos terá uma base de 7cm 
e uma altura de 10 cm: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área = 
2
hxa
 = 
2
10x7
= 
2
70
 = 35 cm2 
 
Portanto, se o menor triângulo possível de ser formado com esses pontos possui 
35 cm2, podemos concluir que todos os triângulos têm área superior a 32 cm2. 
Item correto. 
R 
S 
10 cm 
28 cm 
R 
S 
10 cm 
7 cm 
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314 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considerando 20 pontos sobre uma 
circunferência, em posições distintas, o polígono que tem vértices nesses 20 
pontos tem 170 diagonais. 
 
Solução: 
 
Bom, para resolver essa questão, devemos nos lembrar de como encontrar o 
número de diagonais de um polígono qualquer. Para isso, vamos utilizar a 
seguinte equação: 
 
D = 
2
)3n.(n −
, onde D é a quantidade de diagonais e n o número de lados do 
polígono. 
 
No nosso caso, como o polígono possui 20 vértices, ele também possui 20 lados. 
Assim: 
 
D = 
2
)3n.(n −
 
 
D = 
2
)320.(20 −
 
 
D = 10 x 17 = 170 
 
Item correto. 
 
 
(Texto para a questão 315) A figura abaixo ilustra uma quadra de basquete 
correspondente a um retângulo com 28 m de comprimento e 15 m de largura. 
O círculo central tem diâmetro de 3,6 m, e o ponto O, seu centro, coincide 
com o centro do retângulo. O ponto A está sobre o círculo central, no ponto 
de interseção deste com a reta que une o centro da quadra com o vértice B, 
conforme apresentado na figura. Durante a partida, um jogador marca 
pontos para sua equipe se, depois de arremessar a bola, acertá-la no cesto 
que fica no campo adversário. Dependendo da distância do arremesso e da 
circunstância da partida, um acerto da bola no cesto pode valer 1, 2 ou 3 
pontos. 
 
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Com base nessas informações e tomando 15,88 como valor aproximado de 
25,252 , julgue os itens seguintes. 
 
315 - (IFB - 2010 / CESPE) O comprimento do segmento AB é superior a 
14,2m. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos começar encontrando o comprimento do segmento OB. 
Vejamos: 
 
 
 
Podemos ver na figura acima que o segmento OB é a hipotenusa do triângulo 
vermelho. Assim: 
 
OB2 = 142 + 7,52 
 
OB2 = 196 + 56,25 
 
OB2 = 252,25 
 
OB = 25,252 = 15,88 m 
 
Assim, podemos desenhar o segmento OB da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Sabemos que OB mede 15,88 m. Além disso, sabemos que OA é igual ao raio do 
círculo central, que possui 3,6 m de diâmetro. Com isso, temos: 
 
OA = R 
 
OA = 
2
D
 
 
O A B 
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OA = 
2
6,3
 = 1,8 m 
 
Por fim, podemos encontrar o comprimento de AB: 
 
AB = OB – OA 
 
AB = 15,88 – 1,8 
 
AB = 14,08 m 
 
Portanto, o item está errado. 
 
 
(Texto para as questões 316 e 317) A área de um retângulo é 23 m2 e a soma 
das medidas de seus 4 lados é 20 m. Com relação a esse retângulo, julgue os 
itens seguintes.