Aula 01 Matrizes

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ÁLGEBRA LINEAR
Professor Alex Coelho
2015
*
a12x 2 +
a13x 3 +
a1nx n =
b1
a11x 1 +
Matrizes
Conceitos Básicos
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a1n
...
...
a2n
Amxn = [aij]mxn
Matriz de ordem m por n de elementos aij 
Consideremos o sistema
... +
a21x 1 +
a22x 2 +
a23x 3 +
... +
a2nx n =
b2
a31x 1 +
a32x 2 +
a33x 3 +
... +
a3nx n =
b3
...
am1x 1 +
am2x 2 +
am3x 3 +
... +
amnx n =
bm
*
Matrizes
Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
Matriz de ordem m por n de elementos aij 
3x5
a13=
2
a34=
7
*
Assim, iremos introduzir o conceito de Matriz:
 É uma representação em forma de tabela, de uma planilha de dados, de uma grade de valores distribuída por linhas e colunas.
Freqüentemente nos deparamos com conjuntos de números que são operados essencialmente da mesma maneira, isso sugere tratá-los em bloco.
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Matrizes
Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
A natureza dos elementos
A forma
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Matrizes
Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
Segundo a forma em:
Retangular
Quadrada
Coluna
Linha
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Se o número de colunas é igual a um
Se o número de linhas é igual a um
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m
*
Matrizes
Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
Segundo a natureza dos elementos em:
Real
Complexa
Nula
se todos os seus elementos são reais
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
se todos os seus elementos são nulos
*
Matrizes
Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
Segundo a natureza dos elementos em:
Triangular Superior
Triangular Inferior
uma matriz quadrada em que os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos
uma matriz quadrada em que os elementos acima
da diagonal principal são nulos
*
Matrizes
Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
Segundo a natureza dos elementos em:
Diagonal
Escalar
uma matriz quadrada em que os 
elementos não principais são nulos
uma matriz diagonal em que os 
elementos principais são iguais
*
Matrizes
Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
Segundo a natureza dos elementos em:
Simétrica
Densa
Dispersa
se os elementos aij são iguais aos aji
se a maioria dos seus elementos são não nulos
se a maioria dos seus elementos são nulos
*
Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes
do mesmo tipo
denomina-se soma de 
3
3
6
6
4
0
5
4
6
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição. 
Operações com Matrizes
*
Matrizes
Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm simétricos
A soma de matrizes
do mesmo tipo
*
Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e l um escalar
O produto de l por A é uma matriz C 
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por l
Operações com Matrizes
do mesmo tipo de A
*
Matrizes
Operações com Matrizes
e os escalares l e m as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B
do mesmo tipo
*
Matrizes
Amxn = [aij]mxn
Matriz de ordem m por n de elementos aij 
Consideremos o sistema
=
Operações com Matrizes
*
Matrizes
1
2
3
2
5
3
2
1
2
3
2
5
3
1
0
2
=
x
3
3
x
3
=
2
x
3
Operações com Matrizes
*
Matrizes
1
2
3
2
5
3
2
1
2
3
2
5
3
1
0
2
=
x
3
3
x
3
8
2
x
3
Operações com Matrizes
*
Matrizes
1
2
3
2
5
3
2
1
2
3
2
5
3
1
0
2
=
x
3
3
x
3
8
2
x
3
12
Operações com Matrizes
*
Matrizes
1
2
3
2
5
3
2
1
2
3
2
5
3
1
0
2
=
x
3
3
x
3
8
2
x
3
12
15
Operações com Matrizes
*
Matrizes
1
2
3
2
5
3
2
1
2
3
2
5
3
1
0
2
=
x
3
3
x
3
8
2
x
3
12
15
Operações com Matrizes
*
Matrizes
1
2
3
2
5
3
2
1
2
3
2
5
3
1
0
2
=
x
3
3
x
3
8
2
x
3
12
15
15
Operações com Matrizes
*
Matrizes
1
2
3
2
5
3
2
1
2
3
2
5
3
1
0
2
=
x
3
3
x
3
8
2
x
3
12
15
15
29
Operações com Matrizes
*
Matrizes
1
2
3
2
5
3
2
1
2
3
2
5
3
1
0
2
=
x
3
3
x
3
8
2
x
3
12
15
15
29
27
Operações com Matrizes
*
Matrizes
Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por: 
mxp
e escreve-se C=AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo
*
Matrizes
Operações com Matrizes
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.
*
Matrizes
Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
e escreve-se B=AT
*
Matrizes
Operações com Matrizes
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,
as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B e a um escalar.
*
Questão 1
*
Questão 2
*
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