Espaços Vetoriais

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ÁLGEBRA LINEAR
PROF. ALEX COELHO
2015 / 1
Espaços Vetoriais
Em álgebra temos várias estruturas diferentes, por exemplo: 
Grupos
Anéis
Corpos
Espaços Vetoriais 
(Este é o objeto principal do nosso trabalho nesta parte da disciplina).
Espaços Vetoriais
Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre um corpo ao conjunto , tal que:
 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades:
 
	 
A3) Elemento Neutro: 	
	A2) Comutativa:
A1) Associativa: 	
A4) Elemento Oposto:
Espaços Vetoriais
2) Existe uma Multiplicação por Escalar:
com as seguintes propriedades:
 
	 
M3) 	
	M2) 
M1) 	
M4)
Notação: 	
Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto de vetores do plano.
A reta real.
O espaço vetorial , sendo as operações definidas da seguinte forma: 
Adição:
Multiplicação por Escalar:
Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto das n-uplas reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
O conjunto das matrizes com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais das matrizes. 
Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto dos polinômios de grau  n
Contra-Exemplos
Considere o conjunto dos números reais e as operações abaixo definidas:
e
Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M4), pois 
Contra-Exemplos
Considere o conjunto dos pares ordenados do plano cartesiano e as operações abaixo definidas:
e
Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M2), pois 
Exercícios
Verifique se o conjunto abaixo, com as operações definidas é um espaço vetorial:
Exercícios
Sejam e dois espaços vetoriais reais. Mostre que é um espaço vetorial em relação às operações:
e
3. Verificar se o conjunto com as operações definidas por:
(x1,y1) + (x2,y2) = (x1.x2, y1 . y2)
 α . (x,y) = (xα, yα)
é um espaço vetorial sobre o conjunto dos reais.