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Aula 1 Teoria dos conjuntos

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Dessa forma, podemos classificar os conjuntos numéricos em:
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os
outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais
conjuntos serão vistos a seguir.
 
Podemos citar, como exemplo, a necessidade de se atribuir números de telefones às
pessoas.
Matemática para negócios / Aula 1 - Teoria dos conjuntos
Introdução
Nesta aula, você terá oportunidade de desenvolver o conceito e aplicações de
conjuntos dos números naturais, apresentando as operações de adição; subtração;
multiplicação e divisão, com as suas propriedades de fechamento; comutativa;
associativa; distributiva e elemento neutro; aplicando as regras de sinais nas
operações de adição; subtração; multiplicação e divisão para o conjunto dos números
reais.
 
Bons estudos!
INTRO OBJETIVOS CRÉDITOS
Teoria dos conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam
entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente
caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números naturais, dos inteiros, dos racionais,
dos irracionais e, por fim, o dos números reais.
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os
relacionamentos entre eles. Veja a seguir:
Noções sobre conjuntos
Agora vamos conhecer alguns aspectos importantes dos conjuntos.
Conjunto vazio
É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por:
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B,
diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B.
União de conjuntos
Fonte: Shutterstock
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto
representado por A ∪ B por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Interseção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B o conjunto
representado por A Ո B formado por todos os elementos pertencentes a A e B,
simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto
representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não
pertencem a B, ou seja:
Podemos representar a união, interseção e diferença entre os conjuntos da seguinte
forma:
A representação de conjuntos pode ser:
Conjunto dos números naturais (N)
N é conjunto dos números naturais:
REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTO ÚNICO
RELAÇÃO ENTRE DOIS CONJUNTOS
RELAÇÃO ENTRE TRÊS CONJUNTOS
Onde n representa o elemento genérico do conjunto.
 Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão.
 Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de
infinitos elementos, como acontece com N.
O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada.
Escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao número zero), uma
medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita).
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
No conjunto dos números naturais, estão definidas duas operações:
Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o
produto pertence igualmente a N. Em símbolos, temos:
Conjunto dos números inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros (Z) pode ser representado por:
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto
de Z:
Temos também outros subconjuntos de Z:
Conjunto dos números racionais (Q)
O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas
o mesmo não acontece à divisão.
Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos
números racionais (Q).
O conjunto dos números racionas (Q) é inicialmente descrito como o conjunto dos
quocientes entre dois números inteiros.
 
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração
(com o numerador e denominador ϵ Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união
do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
 
Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que:
Assim, podemos construir o diagrama:
No conjunto Q, destacamos os seguintes subconjuntos:
Assim, podemos escrever:
A representação decimal das frações pode ser feita da seguinte forma:
Forma decimal: divisão do numerador pelo denominador
Conjunto dos números irracionais (I)
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não
podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros).
 
Vejamos alguns exemplos:
Conjunto dos números reais (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), definimos o conjunto
dos números reais como:
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos
importantes:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais.
Como subconjuntos de “I” temos:
Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Veja alguns exemplos:
Atividades
Questão 1: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números
naturais ímpares, efetue a operação: Np ∪ 𝐍𝐢
N*
{ }
N
N*-
Corrigir
Questão 2: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números
naturais ímpares, efetue a operação: Np ∩𝐍𝐢.
N*
{0}
N
N*-
Corrigir
Questão 3: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 4}, então:
A – B = {0}
A ∪B={1, 3, 4}
A ⊂ B
A ⊃ B
Corrigir

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