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Regra de L’Hôpital, Construção de Gráficos

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Universidade Veiga de Almeida
Ciclo Ba´sico das Engenharias
Ca´lculo Diferencial e Integral I
5a Lista de Exerc´ıcios
Prof(a): Andreia Nogueira
Conteu´do: Regra de L’Hoˆpital, Construc¸a˜o de Gra´ficos
1. Calcule os seguintes limites, usando a Regra de L’Hoˆpital.
(1.1) lim
x→0
sen(x)− x
cos(x)− ex
(1.2) lim
x→0
3x − 10x
sen(x)
(1.3) lim
x→pi−
1 + cos(x)√
pi − x
(1.4) lim
x→+∞
(ln(x))3
x2
(1.5) lim
x→+∞
ex + x2
e2x + x
(1.6) lim
x→0
3x− senx
x
(1.7) lim
x→0
√
1 + x− 1
x
(1.8) lim
x→0
√
1 + x− 1− x/2
x2
(1.9) lim
x→0
senx
2x2 − x
(1.10) lim
x→0
x · senx
2− 2cosx
(1.11) lim
x→0
1− cosx
x2
(1.12) lim
x→0
x− senx
x3
2. Determine os pontos cr´ıticos de f(x) = x3− 12x− 5 e identifique os intervalos onde f e´ crescente e decrescente.
3. Determine os pontos cr´ıticos de f(x) = (x2 − 3) · ex e identifique os intervalos onde f e´ crescente e decrescente.
1
2
4. Para cada func¸a˜o dada abaixo, determine o que e´ pedido:
(4.1) f(x) =
2x
x2 + 1
(4.2) f(x) = x3 + 3x2 − 4
(4.3) f(x) = 2
x2 − 4
(x− 1)2
(4.4) f(x) =
ex
x+ 1
(a) Domı´nio;
(b) Ass´ıntotas horizontais e verticais;
(c) Intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o. Pontos de ma´ximo e mı´nimo relativos;
(d) Intervalos onde o gra´fico possui concavidade para cima e concavidade para baixo. Pontos de inflexa˜o,
caso existam;
(e) Esboc¸o do gra´fico.
Gabarito
1
1.1) 0
1.2) ln(3)− ln(10) = ln(3/10)
1.3) 0
1.4) 0
1.5) 0
1.6) 2
1.7)
1
2
1.8) −1
8
1.9) -1
1.10) 1
1.11)
1
2
1.12)
1
6
2. Pontos cr´ıticos x = −2 e x = 2. f e´ crescente em : (−∞,−2) e (2,+∞). f e´ decrescente em : (−2, 2).
3. Pontos cr´ıticos x = −3 e x = 1. f e´ crescente em : (−∞,−3) e (1,+∞). f e´ decrescente em : (−3, 1).
4. O gabarito da questa˜o (4) foi feito separadamente, com todo desenvolvimento e esboc¸o dos gra´ficos.