Integral Indefinida, Integral Definida, Áreas entre curvas e Integração por Substituição

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Universidade Veiga de Almeida
Ciclo Ba´sico das Engenharias
Ca´lculo Diferencial e Integral Aplicado I
6a Lista de Exerc´ıcios
Prof(a): Andreia Nogueira
Conteu´do: Integral Indefinida, Integral Definida, A´reas entre curvas e Integrac¸a˜o por Substituic¸a˜o
1. Calcule as seguintes integrais: (integrais imediatas e integrais usando a te´cnica de substituic¸a˜o simples)
(1.1)
∫
x(1 + x3)dx
(1.2)
∫
x1/3(2− x)2dx
(1.3)
∫ (
( 3
√
x)2 − 2
)
dx
(1.4)
∫ (x−√x
3
)
dx
(1.5)
∫ (
(2− x)√x
)
dx
(1.6)
∫
x5 + 2x2 − 1
x4
dx
(1.7)
∫ ( 2
x
+ 3ex
)
dx
(1.8)
∫ ( 3
x2
− 1
)
dx
(1.9)
∫
(4sen(x) + 2cos(x))dx
(1.10)
∫
sec(x)(sec(x) + tg(x))dx
(1.11)
∫
e2xdx
(1.12)
∫ ( 1
x
− 2ex − cosec2(x)
)
dx
(1.13)
∫
(sen(3x)cos(3x))dx
(1.14)
∫
cos3(x)sen(x)dx
(1.15)
∫
sen(2x)
3 + cos(2x)
dx
(1.16)
∫
tg−1(x)
1 + x2
dx
1
2
(1.17)
∫
x√
x− 1dx
(1.18)
∫
3x√
4x2 + 5
dx
(1.19)
∫
(1 + sen(x))9cos(x)dx
(1.20)
∫
sen(3x)
1 + cos(3x)
dx
(1.21)
∫
cos(8x)dx
(1.22)
∫
esen(x)cos(x)dx
(1.23)
∫
sec3(2x)tg(2x)dx
(1.24)
∫
dx
ex
(1.25)
∫
sen2(x)cos(x)dx
(1.26)
∫
e3xdx
(1.27)
∫
x
√
9− 5x2dx
2. Calcule as seguintes integrais definidas:
(2.1)
∫ 2
1
(
1
x
+
1
x3
)
dx
(2.2)
∫ 4
2
4
5x4
dx
(2.3)
∫ pi
2
0
sen(x)dx
(2.4)
∫ pi
−pi
cos(x)dx
(2.5)
∫ 1
0
x
x2 + 1
dx
3. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pela para´bola y = x2, o eixo dos x e as retas x = 2 e x = 4. Esboce a regia˜o.
4. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pela curva y = x3, o eixo dos x e as retas x = −1 e x = 2. Esboce a regia˜o.
5. Calcule a a´rea da regia˜o entre o gra´fico de y = x2 e as reta y = x + 2. Esboce a regia˜o.
6. Desafio: Esboce e encontre a regia˜o entre o eixo x e a hipe´rbole
4
x− 1 , para 2 ≤ x ≤ 3.
3
7. Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gra´fico de y =
√
x. Esboce a regia˜o.
8. Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 2 e pelo gra´fico de y = x2. Esboce a regia˜o.
Gabarito
1
(1.1)
x2
2
+
x5
5
+ c
(1.2) 3x4/3 − 12
7
x7/3 +
3
10
x10/3 + c
(1.3)
3
5
x5/3 − 2x + c
(1.4)
1
6
x2 − 2
9
x3/2 + c
(1.5)
4
3
x3/2 − 2
5
x5/2 + c
(1.6)
x2
2
− 2
x
+
1
3x3
+ c
(1.7) 2ln|x|+ 3ex + c
(1.8) − 3
x
− x + c
(1.9) −4cos(x) + 2sen(x) + c
(1.10) tg(x) + sec(x) + c
(1.11)
e2x
2
+ c
(1.12) ln|x| − 2ex + cotg(x) + c
(1.13)
1
6
sen2(3x) + c
(1.14) −cos
4(x)
4
+ c
(1.15) −1
2
ln|3 + cos(2x)|+ c
(1.16)
1
2
(tg−1(x))2 + c
(1.17)
2
3
(x− 1)3/2 + 2(x− 1)1/2 + c
(1.18)
3
4
√
4x2 + 5 + c
(1.19)
(1 + sen(x))10
10
+ c
(1.20) −1
3
ln|1 + cos(3x)|+ c
(1.21)
sen(8x)
8
+ c
(1.22) esen(x) + c
(1.23)
1
6
sec3(2x) + c
(1.24) −e−x + c
4
(1.25)
sen3(x)
3
+ c
(1.26)
e3x
3
+ c
(1.27)
−1
15
(9− 5x2)3/2 + c
2
(2.1)
8ln(2) + 3
8
(2.2)
7
240
(2.3) 1
(2.4) 0
(2.5)
ln(2)
2
3 A =
56
3
u.a.
4 A =
17
4
u.a.
5 A =
9
2
u.a.
6 A = 4ln(2)u.a.
7 A =
14
3
u.a.
8 A =
5
3
u.a.