Calculo Diferencial e Integral II

Prévia do material em texto

Ca´lculo Diferencial e Integral II
Claudio Aguinaldo Buzzi
Departamento de Matema´tica
UNESP - Campus de Sa˜o Jose´ do Rio Preto
I´ndice
1 Superf´ıcies especiais 4
1.1 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Func¸o˜es reais de duas varia´veis reais 9
2.1 Domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Curvas de n´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais 12
3.1 Domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Superf´ıcies de n´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Noc¸o˜es topolo´gicas no plano e no espac¸o 14
Primeira Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Limites e continuidade: definic¸a˜o e propriedades 17
Segunda Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6 Derivadas parciais 25
6.1 Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Terceira Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.3 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Quarta Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.5 Derivac¸a˜o de func¸o˜es definidas implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Quinta Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.6 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.7 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Sexta Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.8 Generalizac¸a˜o do Teorema do Valor Me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.9 Fo´rmula de Taylor com resto de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.10 Extremos Locais: Ma´ximos e Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Se´tima Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.11 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Revisa˜o de Integrais de func¸o˜es de uma varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7 Integral dupla 100
7.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Oitava Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ii
7.5 Mudanc¸a de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Nona Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8 Integral tripla 129
8.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Propriedades da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.3 Mudanc¸a de Varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
De´cima Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9 Func¸o˜es Vetoriais 137
9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.2 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.5 Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco . . . . . . . . 138
10 Integral de Linha 140
Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
De´cima Primeira Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1 Func¸a˜o Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2 Diferenciais Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.3 Independeˆncia dos Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.4 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
De´cima Segunda Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11 Integral de Superf´ıcies 164
11.1 Noc¸o˜es sobre superf´ıcies e planos tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.2 Integral de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.3 Teoremas de Gauss e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.4 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
De´cima Terceira Lista de Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Quarta Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
iii
Aula 1: 24/02/2010
Conteu´do Programa´tico do Curso
1. Superf´ıcies especiais.
(a) Planos
(b) Cilindros
(c) Qua´dricas
2. Func¸o˜es reais de duas varia´veis reais.
(a) Domı´nio
(b) Gra´fico
(c) Curvas de n´ıvel
3. Func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais.
(a) Domı´nio
(b) Superf´ıcies de n´ıvel
4. Noc¸o˜es topolo´gicas no plano e no espac¸o.
5. Limites e continuidade: definic¸a˜o e propriedades.
6. Derivadas parciais.
(a) Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
(b) Diferenciabilidade
(c) Vetor gradiente
(d) Regra da cadeia
(e) Derivac¸a˜o de func¸o˜es definidas implicitamente
(f) Derivada direcional
(g) Derivadas parciais de ordem superior
(h) Generalizac¸a˜o do Teorema do Valor Me´dio
(i) Fo´rmula de Taylor com resto de Lagrange
(j) Aproximac¸a˜o linear
(k) Diferenciais
(l) Extremos locais: ma´ximos e mı´nimos
(m) Multiplicadores de Lagrange
(n) Aplicac¸o˜es
1
7. Integral dupla.
(a) Definic¸a˜o
(b) Propriedades
(c) Teorema de Fubini
(d) Mudanc¸a de varia´veis
(e) Aplicac¸o˜es
8. Integral tripla.
(a) Definic¸a˜o
(b) Propriedades
(c) Mudanc¸a de varia´veis
(d) Aplicac¸o˜es
9. Func¸o˜es vetoriais.
(a) Definic¸a˜o
(b) Operac¸o˜es
(c) Limite e continuidade
(d) Derivada
(e) Curvas parametrizadas: vetores tangentes, comprimento de arco
10. Integral de linha.
(a) Independeˆncia de caminhos
(b) Diferenciais exatas
(c) Func¸a˜o potencial
(d) Teorema de Green
11. Integral de superf´ıcie.
(a) Teoremas de Gauss e de Stokes
(b) Aplicac¸o˜es
Bibliografia
1. Guidorizzi, H. L. - Um curso de ca´lculo, Vol. 2 e 3, LTC, Rio de Janeiro, 2001.
2. Pinto, D. e Caˆndida, F. M. - Ca´lculo diferencial e integral de va´rias varia´veis, UFRJ,
Rio de Janeiro, 2003.3. Stewart, J. - Ca´lculo, Vol. 2, Thompson, Sa˜o Paulo, 2004
2
4. Flemming, D. M. e Gonc¸alves, M. B. - Ca´lculo B, Pearson Prentice Hall, Sa˜o Paulo,
2007.
5. Anton, H. - Ca´lculo: um novo horizonte, Bookman, 2000.
6. Thomas, G. B. - Ca´lculo, Vol. 2, Addison-Wesley, Sa˜o Paulo, 2003.
Avaliac¸a˜o
Sera˜o aplicadas 4 provas. A me´dia final sera´ obtida como uma me´dia aritme´tica entre as
notas dos semestres. A mate´ria da primeira prova sera´ tudo o que for visto ate´ o dia da prova.
A mate´ria da segunda prova sera´ toda a mate´ria do primeiro semestre. A mate´ria da terceira
prova sera´ a mate´ria que for vista do in´ıcio do segundo semestre ate´ o dia da terceira prova.
A mate´ria da quarta prova sera´ toda a mate´ria do segundo semestre.
Se a nota da segunda prova for maior que a nota da primeira prova, enta˜o a nota do
primeiro semestre sera´ a nota da segunda prova. Se a nota da segunda prova for menor ou
igual a nota da primeira prova, enta˜o a nota do primeiro semestre sera´ a me´dia aritme´tica
das notas da primeira e segunda provas.
Se a nota da quarta prova for maior que a nota da terceira prova, enta˜o a nota do segundo
semestre sera´ a nota da quarta prova. Se a nota da quarta prova for menor ou igual a nota
da terceira prova, enta˜o a nota do segundo semestre sera´ a me´dia aritme´tica das notas da
terceira e quarta provas.
Somente os alunos que perderem uma das 4 provas, por motivo justificado, podera˜o fazer
outra prova no dia 02/12.
Ao final do curso os alunos que obtiverem me´dia igual ou superior a 5,0 (cinco) e pelo
menos 70% de frequ¨eˆncia sera˜o aprovados. Os alunos que tiverem me´dia inferior a 5,0 (cinco)
e pelo menos 70% de frequ¨eˆncia podera˜o fazer uma prova de recuperac¸a˜o. Nesse caso a me´dia
final e´ obtida fazendo-se a me´dia aritme´tica entre a me´dia anterior com a nota da recuperac¸a˜o.
Se a me´dia final for igual ou superior a 5,0 (cinco) o aluno sera´ aprovado, caso contra´rio sera´
reprovado. Os alunos que tiverem frequ¨eˆncia inferior a 70% sera˜o reprovados por faltas.
As datas das provas:
Prova 1: Sexta, 30 de abril.
Prova 2: Sexta, 18 de junho.
Prova 3: Quinta, 30 de setembro.
Prova 4: Terc¸a, 30 de novembro.
Prova Perdida: Quinta, 02 de dezembro.
Recuperac¸a˜o: Quinta, 09 de dezembro.
3
Aula 2: 26/02/2010
1 Superf´ıcies especiais
1.1 Planos
Um plano no espac¸o fica completamente determinado por um ponto P0(x0, y0, z0) do plano
e um vetor n que e´ ortogonal ao plano. Este vetor ortogonal n e´ chamado vetor normal.
Seja P (x, y, z) um ponto arbitra´rio do plano, e sejam r0 e r os vetores posic¸a˜o de P0 e P . O
vetor r− r0 e´ representado pelo segmento orientado com origem em P0 e extremidade em P .
O vetor n e´ perpendicular a r− r0 e tambe´m ortogonal a todos os vetores paralelos ao plano.
Figura 1: Plano em R3.
Da´ı temos a equac¸a˜o
n(˙r − r0) = 0.
A equac¸a˜o anterior e´ chamada equac¸a˜o vetorial do plano.
Se n = (a, b, c), r = (x, y, z) e r0 = (x0, y0, z0) enta˜o a equac¸a˜o anterior se torna
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
que e´ chamada equac¸a˜o escalar do plano.
Colecionando todos os termos constantes da equac¸a˜o, ela pode ser escrita na forma
ax+ by + cz + d = 0
que e´ chamada equac¸a˜o geral do plano.
Exemplo: Encontre a equac¸a˜o geral do plano que passa pelos pontos P (1, 3, 2), Q(3,−1, 6)
e R(5, 2, 0).
Temos que determinar um vetor normal ao plano. Para isso considere dois vetores paralelos
ao plano u = Q − P = (2,−4, 4) e v = R − P = (4,−1,−2). Seja agora o vetor n que e´ o
produto vetorial entre u e v:
n = u× v =
∣∣∣∣∣∣
i j k
2 −4 4
4 −1 −2
∣∣∣∣∣∣ = (12, 20, 14).
A equac¸a˜o do plano fica
12(x− 1) + 20(y − 3) + 14(z − 2) = 0, ou seja, 6x+ 10y + 7z − 50 = 0.
4
1.2 Cilindros
Um me´todo muito eficiente de esboc¸ar superf´ıcies no espac¸o tridimensional e´ calcular as
intersecc¸o˜es da superf´ıcie com planos. Nesta e na pro´xima sec¸a˜o usaremos esse me´todo para
esboc¸ar as superf´ıcies.
Definic¸a˜o 1. Um cilindro e´ uma superf´ıcie que consiste de retas paralelas a uma reta dada
(chamada geratriz) e que passam por uma curva plana dada (chamada diretriz).
Figura 2: Superf´ıcie z = x2.
Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = x2.
Note que a equac¸a˜o na˜o envolve a varia´vel y. Isso significa que todo plano da forma
y = k (paralelo ao plano xz) intersepta em uma curva de equac¸a˜o z = x2. Essas curvas sa˜o
para´bolas. A figura 2 mostra como o esboc¸o e´ formado tomando a para´bola z = x2 no plano
xz e movendo-a na direc¸a˜o do eixo y. Esta superf´ıcie e´ chamada cilindro parabo´lico. Nesse
caso a para´bola z = x2, no plano xz, e´ a diretriz e o eixo y e´ a geratriz.
O fato ocorrido no exemplo anterior, de uma das varia´veis na˜o aparecer na equac¸a˜o da
superf´ıcie, e´ t´ıpico das superf´ıcies que possuem como geratriz um dos eixos coordenados.
(a) (b)
Figura 3: Superf´ıcies x2 + y2 = 1 e y2 + z2 = 1.
Exemplo: Esboce as superf´ıcies (a) x2 + y2 = 1 e (b) y2 + z2 = 1.
(a) Como z esta´ ausente na equac¸a˜o, enta˜o a intersecc¸a˜o com planos da forma z = k representa
uma circunfereˆncia de raio 1, no plano z = k e centrado no ponto (0, 0, k).
(b) Como x esta´ ausente na equac¸a˜o, enta˜o a intersecc¸a˜o com planos da forma x = k representa
uma circunfereˆncia de raio 1, no plano x = k e centrado no ponto (k, 0, 0).
5
1.3 Qua´dricas
Definic¸a˜o 2. Qua´drica e´ o lugar geome´trico dos pontos (x, y, z) de R3 que satisfazem uma
equac¸a˜o do segundo grau do tipo
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0,
onde A, B, C, . . . , J sa˜o constantes.
Observamos que atrave´s de rotac¸o˜es e translac¸o˜es toda qua´drica pode ser colocada em
uma das seguintes formas normais
Ax2 +By2 + Cz2 + J = 0 ou Ax2 +By2 + Iz = 0.
Exemplo: Esboce a qua´drica
x2 +
y2
9
+
z2
4
= 1.
Substituindo z = 0 na equac¸a˜o, obtemos x2 + y
2
9
= 1 que e´ a equac¸a˜o de uma elipse no
plano z = 0 de ve´rtices (±1, 0, 0) e (0,±3, 0). De forma geral, calculando a intersecc¸a˜o com
planos paralelos aos planos coordenados obtemos:
x2 +
y2
9
= 1− k
2
4
, z = k (se − 2 ≤ k ≤ 2),
y2
9
+
z2
4
= 1− k2, x = k (se − 1 ≤ k ≤ 1),
x2 +
z2
4
= 1− k
2
9
, y = k (se − 3 ≤ k ≤ 3).
A figura 4 mostra o esboc¸o da qua´drica que e´ chamada elipso´ide pois a intersecc¸a˜o com os
planos coordenados sa˜o elipses.
Figura 4: Elipso´ide.
Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = 4x2 + y2.
Colocando x = 0 obtemos a para´bola z = y2 no plano yz. Se colocamos x = k, obtemos
z = 4x2 + k2. Isso significa que se fatiamos a qua´drica com planos paralelos ao plano yz
obtemos ainda para´bolas mas com o ve´rtice cada vez mais alto. Se colocamos z = k, com
k > 0, obtemos elipses 4x2+y2 = k. Conhecendo essas intersecc¸o˜es com os planos paralelos aos
planos coordenados podemos esboc¸ar a qua´drica conforme a figura 5. Devido as intersecc¸o˜es
darem elipses e para´bolas, essa superf´ıcie e´ chamada parabolo´ide el´ıptico.
6
Figura 5: Parabolo´ide El´ıptico.
7
Aula 3: 03/03/2010
Exemplo: Esboce a superf´ıcie z = y2 − x2.
Colocando x = k obtemos para´bolas z = y2−k2 com concavidade voltada para cima (veja
figura 6 (a) e (d)). Quando fatiamos por planos y = k obtemos para´bolas z = −x2 + k2 com
concavidade voltada para baixo (veja figura 6 (b) e (e)). Se colocamos z = k, com k 6= 0,
obtemos hipe´rboles y2 − x2 = k. E se z = 0, obtemos retas y = ±x (ver figura 6 (c) e (f)).
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figura 6: Cortes na qua´drica z = y2 − x2.
Juntando essas informac¸o˜es obtemos a qua´drica dada na figura 7. Devido as intersecc¸o˜es
darem hipe´rboles e para´bolas, essa superf´ıcie e´ chamada parabolo´ide hiperbo´lico.
Figura 7: Parabolo´ide Hiperbo´lico.
Exemplo: Esboce a superf´ıcie
x2
4
+ y2 − z
2
4
= 1.
A intersecc¸a˜o com planos da forma z = k obtemos a elipse
x2
4
+ y2= 1 +
k2
4
,
e as intersecc¸o˜es com os planos coordenados xz e yz sa˜o as hipe´rboles
x2
4
− z
2
4
= 1 e y2 − z
2
4
= 1.
A superf´ıcie obtida e´ chamada hiperbolo´ide de uma folha e e´ apresentada na figura 8.
8
Figura 8: Hiperbolo´ide de uma folha.
2 Func¸o˜es reais de duas varia´veis reais
2.1 Domı´nio
Definic¸a˜o 3. Seja D um conjunto de pares ordenados de nu´meros reais. Uma func¸a˜o real
de duas varia´veis reais e´ uma correspondeˆncia f : D ⊂ R × R → R que associa a cada
par (x, y) ∈ D um u´nico nu´mero real denotado por f(x, y). Nesse caso o conjunto D e´ o
domı´nio de f .
y
x
D
(x, y)
f(x, y)
R
Figura 9: Func¸a˜o real de duas varia´veis reais.
Observamos que se for apresentado apenas a lei de definic¸a˜o da func¸a˜o enta˜o fica suben-
tendido que o o domı´nio e´ o maior conjunto poss´ıvel de pares de nu´meros reais onde aquela
lei pode ser aplicada. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo: Encontre o domı´nio da func¸a˜o
f(x, y) =
xy − 5
2
√
y − x.
Para que a raiz quadrada do denominador esteja bem definida temos que ter y ≥ x, e
como esta´ no denominador, na˜o podemos ter y = x. Portanto o domı´nio de f e´ D = {(x, y) ∈
R
2 : y > x}. Na Figura 10 esta´ representado o domı´nio de f .
9
y
x
y > x
Figura 10: Domı´nio de f .
2.2 Gra´fico
Definic¸a˜o 4. Seja D ⊂ R2 e f : D → R. O gra´fico de f e´ o conjunto
Graf(f) = {(x, y, f(x, y)) ∈ R3 : (x, y) ∈ D}.
Exemplo: Considere a func¸a˜o f(x, y) =
√
9− x2 − y2. Observe que o domı´nio e´ o conjunto
dos pontos onde 9 − x2 − y2 ≥ 0, ou seja, D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 9}. O conjunto D e´
formado pela circunfereˆncia de centro (0, 0) e raio 3 e todos os pontos no seu interior. Para
calcular o gra´fico, substitu´ımos f(x, y) por z e elevamos ao quadrado obtendo x2+y2+z2 = 9.
E como z ≥ 0 enta˜o o gra´fico e´ o hemisfe´rio superior da esfera centrada em (0, 0, 0) e raio 3.
Veja figura 11.
Figura 11: Gra´fico de f .
2.3 Curvas de n´ıvel
Definic¸a˜o 5. Seja D ⊂ R2 e f : D → R. A curva de n´ıvel k de f e´ o conjunto
f−1(k) = {(x, y) ∈ D : f(x, y) = k}.
As curvas de n´ıvel servem por exemplo para aplicac¸o˜es em topografia. Veja figura 12.
10
10m
10m
4m
4m
2m
2m
Figura 12: Topografia.
11
Aula 4: 05/03/2010
Exemplo: Esboce algumas curvas de n´ıvel do exemplo anterior.
f(x, y) = k ⇔
√
9− x2 − y2 = k ⇔ x2 + y2 = 9− k2.
Figura 13: Curvas de n´ıvel de f .
Exemplo: Esboce algumas curvas de n´ıvel de g(x, y) = −x2 + y2.
O gra´fico de g e´ o parabolo´ide hiperbo´lico. Seja k > 0, enta˜o o g−1(k) = {(x, y) ∈ R2 :
y2 − x2 = k}, ou seja e´ uma hipe´rbole de ve´rtices (0,±√k). Se k = 0, enta˜o g−1(0) =
{(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 = 0}, ou seja e´ o par de retas y = ±x. Seja k < 0, enta˜o o
g−1(k) = {(x, y) ∈ R2 : y2 − x2 = k}, ou seja e´ uma hipe´rbole de ve´rtices (±√−k, 0).
k = 0
k = −1
k = −2
k = 1
k = 2
Figura 14: Curvas de n´ıvel de g.
3 Func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais
3.1 Domı´nio
Definic¸a˜o 6. Seja D um conjunto de triplas ordenadas de nu´meros reais. Uma func¸a˜o real
de treˆs varia´veis reais e´ uma correspondeˆncia f : D ⊂ R3 → R que associa a cada tripla
(x, y, z) ∈ D um u´nico nu´mero real denotado por f(x, y, z). Nesse caso o conjunto D e´ o
domı´nio de f .
Conforme no caso de duas varia´veis, se for apresentado apenas a lei de definic¸a˜o da func¸a˜o
enta˜o fica subentendido que o o domı´nio e´ o maior conjunto poss´ıvel de triplas de nu´meros
reais onde aquela lei pode ser aplicada.
12
z
y
D
(x, y)
f(x, y)
R
x
Figura 15: Func¸a˜o real de treˆs varia´veis reais.
3.2 Superf´ıcies de n´ıvel
Definic¸a˜o 7. Seja D ⊂ R3 e f : D → R. A superf´ıcie de n´ıvel k de f e´ o conjunto
f−1(k) = {(x, y, z) ∈ D : f(x, y, z) = k}.
Exemplo: Esboce algumas superf´ıcies de n´ıvel de f(x, y, z) = z −
√
x2 + y2.
Observe que para k = 0 temos z =
√
x2 + y2, que e´ a equac¸a˜o do cone com ve´rtice em
(0, 0, 0). Quando fazemos f(x, y, z) = k temos z − k =
√
x2 + y2, que e´ a equac¸a˜o do cone
com ve´rtice em (0, 0, k). Veja a figura 16.
k = 1
k = 0
k = −1
Figura 16: Superf´ıcies de n´ıvel de f .
Exemplo: Descreva as superf´ıcies de n´ıvel de f(x, y, z) = x2 − y2 + z2.
As superf´ıcies de n´ıvel sa˜o dadas pela equac¸a˜o x2−y2+z2 = k. Observe que se k e´ positivo
enta˜o a superf´ıcie e´ um hiperbolo´ide de uma folha, se k = 0 enta˜o a superf´ıcie e´ um cone
de duas folhas e se k e´ negativo enta˜o a superf´ıcie e´ um hiperbolo´ide de duas folhas. Veja a
figura 17.
k > 0
k = 0
k < 0
Figura 17: Superf´ıcies de n´ıvel de g.
13
4 Noc¸o˜es topolo´gicas no plano e no espac¸o
Definic¸a˜o 8. Definimos a norma de um vetor (x, y) ∈ R2 como sendo o nu´mero real
‖(x, y)‖ =
√
x2 + y2.
Com o conceito de norma, podemos definir o conceito de bola aberta.
Definic¸a˜o 9. Sejam (x0, y0) um ponto de R
2 e r > 0 um nu´mero real. O conjunto
{(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < r}
chama-se bola aberta de centro (x0, y0) e raio r.
Exemplo: Esboce a bola aberta de centro (2, 1) e raio 1.
Devemos esboc¸ar o conjunto {(x, y) ∈ R2 : ‖(x, y)− (2, 1)‖ < 1}. Em outras palavras, os
pontos (x, y) que satisfazem
√
(x− 2)2 + (y − 1)2 < 1, ou ainda, (x−2)2+(y−1)2 < 1. Esse
conjunto e´ formado pelos pontos do que esta˜o dentro da circunfereˆncia de centro (2, 1) e raio
1.
1
2
Figura 18: Bola Aberta.
Observe que na figura 18 a circunfereˆncia esta´ tracejada pois seus pontos na˜o pertence a`
bola aberta.
Definic¸a˜o 10 (Ponto Interior). Seja A um subconjunto na˜o vazio de R2. Dizemos que (x0, y0)
e´ um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x0, y0) contida em A.
14
Primeira Lista de Exerc´ıcios
1. Encontre a equac¸a˜o do plano nas seguintes situac¸o˜es:
(a) Plano que passa pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 1) e (1, 1, 0).
(b) Plano que passa pelo ponto (−2, 8, 10) e e´ perpendicular a` reta x = 1 + t, y = 2t
e z = 4− 3t.
(c) Plano que contem as retas x = 3+2t, y = t, z = 8− t e x = 3t, y = 1+ t, z = 7− t.
2. Esboce as superf´ıcies:
(a) y2 + 4z2 = 4.
(b) z = 4− x2.
(c) x− y2 = 0.
(d) z = cosx.
3. Descreva o domı´nio de f e ache os valores funcionais indicados
(a) f(x, y) =
y + 2
x
; f(3, 1), f(1, 3) e f(2, 0).
(b) f(u, v) =
uv
u− 2v ; f(2, 3), f(−1, 4) e f(0, 1).
(c) f(x, y, z) = 2 + tg(x) + ysen(z); f(pi
4
, 4, pi
6
) e f(0, 0, 0).
4. Esboce o gra´fico de f .
(a) f(x, y) = 6− 2x− 3y.
(b) f(x, y) =
√
72 + 4x2 − 9y2.
(c) f(x, y) =
√
y2 − 4x2 − 16.
5. Esboce as curvas de n´ıvel para os dados valores do n´ıvel k.
(a) f(x, y) = y2 − x2, em k = −4, 0, 9.
(b) f(x, y) = x2 − y, em k = −2, 0, 3.
(c) f(x, y) = (x− 2)2 + (y + 3)2, em k = 1, 4, 9.
6. Ache a equac¸a˜o da superf´ıcie de n´ıvel que conte´m o ponto P .
(a) f(x, y, z) = x2 + 4y2 − z2, em P = (2,−1, 3).
(b) f(x, y) = z2y + x, em P = (1, 4,−2).
7. Se x e´ a velocidade do vento (em m/seg) e y e´ a temperatura (em oC), enta˜o o fator de
resfriamento eo´lico F (em (kcal/m2)/hr) e´ dado por
F = (33− y)(10√x− x+ 10, 5).
(a) Ache as velocidades e temperaturas para as quais F e´ 0. (Admita que 0 ≤ x ≤ 50
e −50 ≤ y ≤ 50.)
(b) Se F ≥ 1400, pode ocorrer congelamento em partes expostas do corpo humano.
Esboce o gra´fico da curva de n´ıvel F = 1400.
15
Aula 5: 10/03/2010
Exemplo: Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0}.
Figura 19: Pontos interiores.
Qualquer ponto (x, y), com x > 0 e y > 0, e´ ponto interior de A. Basta escolher o raio
da bola menor que o mı´nimo entre x e y. No entanto, os pontos da forma (x, y), com x = 0
ou y = 0, na˜o sa˜o pontos interiores. Qualquer bola aberta centrada em um ponto da forma
(x, 0) na˜o esta´ contida no conjunto A. Veja a figura 19.
Definic¸a˜o 11 (Conjunto Aberto). Dizemos que um subconjunto A ⊂ R2 e´ aberto se todo
ponto de A e´ponto interior de A.
Exemplos:
• O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0} na˜o e´ aberto, pois como vimos no
exemplo anterior ele possui pontos da forma (x, 0) e (0, y) que na˜o sa˜o pontos interiores.
• O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 e y > 0} e´ aberto, pois todos os seus pontos sa˜o
pontos interiores.
• O conjunto B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y
2
2
< 1} e´ aberto. Veja a figura 20.
Figura 20: Interior da elipse.
Definic¸a˜o 12 (Ponto de Acumulac¸a˜o). Seja A um subconjunto de R2 e seja (a, b) um ponto
de R2. Dizemos que (a, b) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de A se toda bola aberta de centro
(a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) de A, com (x, y) 6= (a, b).
16
Em outras palavras, (a, b) e´ ponto de acumulac¸a˜o de A se existem pontos de A, distintos
de (a, b), ta˜o pro´ximos de (a, b) quanto se queira.
Exemplo: Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}.
• (0, 0) e´ ponto de acumulac¸a˜o de A.
• (1, 0) e´ ponto de acumulac¸a˜o de A.
• (2, 0) na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de A.
Figura 21: Interior do c´ırculo.
Observamos que podem ocorrer casos em que um ponto (a, b) pertence ao conjunto A, mas
na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de A. Nesse caso, esses pontos sa˜o chamados de pontos isolados
de A. Por exemplo, em um conjunto com um nu´mero finito de pontos todos os pontos sa˜o
isolados. Para cada ponto (a, b), basta escolher uma bola aberta que tenha como raio um
nu´mero menor que a distaˆncia mı´nima de (a, b) aos outros pontos do conjunto.
Observac¸a˜o: Observamos que as noc¸o˜es topolo´gicas no espac¸o sa˜o exatamente as mesmas do
plano. A u´nica diferenc¸a e´ que a norma de um vetor (x, y, z) de R3 e´ dada por
√
x2 + y2 + z2.
Por exemplo a bola aberta em R3 de centro (2, 1, 1) e raio 1 e´ constitu´ıda pelos pontos interiores
a` esfera de centro (2, 1, 1) e raio 1.
5 Limites e continuidade: definic¸a˜o e propriedades
De posse da definic¸a˜o de ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto, podemos definir a noc¸a˜o de
limite para func¸o˜es reais de duas varia´veis reais.
Definic¸a˜o 13 (Limite). Sejam f : A ⊂ R2 → R uma func¸a˜o, (x0, y0) um ponto de acumulac¸a˜o
de A e L um nu´mero real. Dizemos que o limite de f(x, y), quando (x, y) tende a (x0, y0) e´
L e escrevemos
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que todo (x, y) ∈ A com a propriedade
0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ se tenha |f(x, y)− L| < ε.
17
y0
x0
A
δ
L L+ εL− ε
Figura 22: Definic¸a˜o de limite.
Escrevendo de maneira mais resumida temos lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L se :
∀ε > 0 ∃δ > 0 : (x, y) ∈ A e 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ |f(x, y)− L| < ε.
O limite de f(x, y), quando (x, y) tende a (x0, y0) e´ L significa que se (x, y) esta´ no domı´nio
de f e pertence a` bola de centro (x0, y0) e raio δ e (x, y) 6= (x0, y0), enta˜o a imagem f(x, y)
pertence ao intervalo (L− ε, L+ ε). Veja a figura 22.
Exemplo: Seja f(x, y) = k uma func¸a˜o constante. Mostre que lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = k.
De fato, dado ε > 0, basta tomar um δ > 0 qualquer. Da´ı se 0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ
enta˜o temos |f(x, y)− L| = |k − k| = 0 < ε.
Exemplo: Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x. Mostre que lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = x0.
Inicialmente observe que |x − x0| =
√
(x− x0)2 ≤
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 = ‖(x, y) −
(x0, y0)‖.
De posse da observac¸a˜o anterior, dado ε > 0 qualquer, temos que encontrar δ > 0 que
satisfac¸a a definic¸a˜o de limite. Muito bem, escolha δ igual ao ε > 0 dado. Nesse caso, temos
que para todo (x, y) ∈ R2 vale:
0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− x0| = |x− x0| ≤ ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ = ε.
Ou seja, mostramos que
0 < ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− x0| < ε.
18
Aula 6: 12/03/2010
Exemplo: A func¸a˜o f(x, y) =
−x2 + y2
x2 + y2
tem limite em (0, 0)?
A resposta dessa pergunta e´ na˜o, pois quando calculamos f nos pontos da forma (x, 0)
temos f(x, 0) = −1 e em pontos da forma (0, y) temos f(0, y) = 1. Para provarmos de
maneira rigorosa, suponha que o limite exista e seja L. Se L ≤ 0, temos
|f(0, y)− L| = |1− L| = 1− L ≥ 1.
Se L > 0, temos
|f(x, 0)− L| = | − 1− L| = 1 + L > 1.
Portanto, dado ε = 1, na˜o e´ poss´ıvel encontrar δ > 0 de tal forma que todos os pontos (x, y),
com 0 < ‖(x, y)‖ < δ, satisfac¸am |f(x, y)− L| < ε.
Para a pro´xima definic¸a˜o necessitaremos do conceito de func¸a˜o vetorial cont´ınua, a ser
estudada em um cap´ıtulo posterior. Uma aplicac¸a˜o de um intervalo I ⊂ R em R2 e´ uma
correspondeˆncia α : I → R2 que a cada t ∈ I associa um α(t) = (α1(t), α2(t)) ∈ R2. Dizer
que α e´ cont´ınua, e´ o mesmo que dizer que α1 : I → R e α2 : I → R sa˜o cont´ınuas.
Definic¸a˜o 14 (Curva ou caminho). Seja I ⊂ R um intervalo. Uma curva ou caminho em
R
2 e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua α : I → R2.
Exemplo: A equac¸a˜o vetorial da reta α(t) = (x0 + at, y0 + bt) e´ um exemplo de caminho. E´
a reta que passa pelo ponto (x0, y0) e tem a direc¸a˜o do vetor (a, b). Veja figura 23-(a). Outro
exemplo de caminho e´ dado por β(t) = (t2, t). Observe que esse caminho e´ a para´bola x = y2.
Veja figura 23-(b).
(x0, y0)
(a, b)
(a) (b)
Figura 23: Caminhos.
Definic¸a˜o 15. Dados (x0, y0) ∈ D ⊂ R2, uma func¸a˜o f : D → R e um caminho α : I → D
passando por (x0, y0), isto e´ α(t0) = (x0, y0) para algum t0 ∈ I, enta˜o definimos o limite
pelo caminho α, da func¸a˜o f quando (x, y) tende a (x0, y0) por
lim
t→t0
f(α(t)).
19
Exemplo: Considere a func¸a˜o f(x, y) =
−x2 + y2
x2 + y2
e (x0, y0) = (0, 0). Considere ainda os
caminhos α1(t) = (t, 0) e α2(t) = (0, t). Ambos caminhos passam pelo (0, 0) quando t = 0.
Temos
lim
t→0
f(α1(t)) = lim
t→0
−t2
t2
= −1, e
lim
t→0
f(α2(t)) = lim
t→0
t2
t2
= 1.
Proposic¸a˜o 1. Se existem pelo menos dois caminhos α1 e α2, passando pelo ponto (x0, y0),
tais que limt→t0 f(α1(t)) 6= limt→t0 f(α2(t)), enta˜o na˜o existe lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y).
Proposic¸a˜o 2. Se para algum caminho α o limite limt→t0 f(α(t)) na˜o existe, enta˜o na˜o existe
lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y).
Exemplo: Usando a proposic¸a˜o anterior temos que lim
(x,y)→(0,0)
cos
x
x2 + y2
na˜o existe. De fato,
se considerarmos o caminho α(t) = (t, 0), enta˜o o limite de uma varia´vel real lim
t→0
cos
1
t
na˜o
existe.
Exemplo: Mostre que lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2 na˜o existe. Para isso, considere os seguintes caminhos
α1(t) = (t+ t
2, t) e α2(t) = (t− t2, t). Da´ı temos
lim
t→0
f(α1(t)) = lim
t→0
t4 + t3
t4 + 2t3 + t2 − t2 = limt→0
1 + t
2 + t
=
1
2
, e
lim
t→0
f(α2(t)) = lim
t→0
−t4 + t3
t4 − 2t3 + t2 − t2 = limt→0
1− t
−2 + t = −
1
2
.
Portanto na˜o existe o limite.
Teorema 1 (Teorema do Confronto). Sejam f, g, h : D ⊂ R2 → R e (x0, y0) um ponto de
acumulac¸a˜o de D. Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) para todo (x, y) ∈ D, lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
e lim
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) = L, enta˜o lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) = L.
Proposic¸a˜o 3. Sejam f, g : D ⊂ R2 → R e (x0, y0) um ponto de acumulac¸a˜o de D. Se g e´
limitada e lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = 0, enta˜o lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)g(x, y) = 0.
Observac¸a˜o: Uma func¸a˜o g : D ⊂ R2 → R e´ limitada se existe M ∈ R tal que |g(x, y)| < M
para todo (x, y) ∈ D.
Exemplo: Calcule lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
.
Inicialmente observe que x2 + y2 ≥ x2 ≥ 0, portanto x2
x2+y2
≤ 1. Enta˜o consideramos
f(x, y) = x e g(x, y) = x
2
x2+y2
. Dai f(x, y)g(x, y) = x
3
x2+y2
, g e´ limitada e lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Portando usando a proposic¸a˜o anterior conclu´ımos que o limite e´ zero.
20
Aula 7: 17/03/2010
Proposic¸a˜o 4 (Propriedades operato´rias). Se lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L1 e lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x, y) =
L2 enta˜o
• lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y) + g(x, y)] = L1 + L2;
• lim
(x,y)→(x0,y0)
[kf(x, y)] = kL1;
• lim
(x,y)→(x0,y0)
[f(x, y)g(x,y)] = L1L2;
• lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
g(x, y)
=
L1
L2
se L2 6= 0.
Definic¸a˜o 16 (Continuidade). Sejam U ⊂ R2, f : U → R e (x0, y0) ∈ U . Dizemos que f e´
cont´ınua em (x0, y0) se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ U , com
‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ, implica |f(x, y)− f(x0, y0)| < ε.
De maneira mais abreviada f e´ cont´ınua em (x0, y0) ∈ U se:
∀ε > 0 ∃δ > 0 : (x, y) ∈ U e ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ ⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < ε.
Observac¸o˜es:
1. Se (x0, y0) e´ um ponto isolado de U , enta˜o f e´ cont´ınua. Observe que independe da f
pois se o ponto e´ isolado enta˜o existe uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio δ tal que
o u´nico ponto de U na bola e´ (x, y) = (x0, y0). E nesse caso, |f(x, y)− f(x0, y0)| = 0.
2. Se (x0, y0) e´ um ponto de acumulac¸a˜o de U enta˜o f e´ cont´ınua em (x0, y0) se:
• (x0, y0) ∈ U .
• Existe lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
• lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Exemplos:
1. A func¸a˜o constante f : R2 → R dada por f(x, y) = k e´ cont´ınua em todo ponto
(x0, y0) ∈ R2 pois lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = k = f(x0, y0).
2. A func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = x e´ cont´ınua em todo ponto (x0, y0) ∈ R2 pois
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = x0 = f(x0, y0).
21
3. A func¸a˜o f : R2 → R dada por
f(x, y) =


x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0),
na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) pois na˜o existe lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y).
De fato, tomando-se os caminhos α1(t) = (t, t) e α2(t) = (0, t) temos
lim
t→0
f(α1(t)) = lim
t→0
0
2t2
= 0 e lim
t→0
f(α2(t)) = lim
t→0
−t2
2t2
= −1
2
.
4. Verifique que a func¸a˜o do exemplo anterior e´ cont´ınua no ponto (1, 0).
De fato, ja´ provamos que o limite da func¸a˜o h(x, y) = x quando (x, y) tende a (x0, y0)
e´ x0. Portanto lim(x,y)→(1,0) h(x, y) = 1. Utilizando o item (3) da Proposic¸a˜o 4 temos
lim(x,y)→(1,0) h(x, y).h(x, y) = 1.1 = 1, ou seja,
lim
(x,y)→(1,0)
x2 = 1.
De maneira ana´loga, usando o fato que o limite da func¸a˜o g(x, y) = y quando (x, y)
tende a (x0, y0) e´ y0 e o item (3) da Proposic¸a˜o 4, prova-se que
lim
(x,y)→(1,0)
y2 = 0.0 = 0.
Agora, utilizamos o item (2) da Proposic¸a˜o 4 para garantir que
lim
(x,y)→(1,0)
(−1)y2 = (−1).0 = 0.
O item (1) da Proposic¸a˜o 4 garante que lim(x,y)→(1,0) x2 + (−1)y2 = 1 + 0 = 1. Com a
mesma ide´ia provamos que lim(x,y)→(1,0) x2 + y2 = 1+ 0 = 1. Finalmente usamos o ı´tem
(4) da Proposic¸a˜o 4 para concluir que
lim
(x,y)→(1,0)
x2 − y2
x2 + y2
=
1
1
= 1.
Pelo fato de (1, 0) ser um ponto de acumulac¸a˜o de R2 e f(1, 0) = 1 = lim(x,y)→(1,0) f(x, y),
conclu´ımos que f e´ cont´ınua no ponto (1, 0).
Teorema 2. Sejam f : A ⊂ R2 → R e g : B ⊂ R → R duas func¸o˜es tais que f(A) ⊂ B. Se
f e´ cont´ınua em (x0, y0) ∈ A e g e´ cont´ınua em f(x0, y0), enta˜o a composta h : A→ R, dada
por h(x, y) = g(f(x, y)) e´ cont´ınua em (x0, y0).
Demonstrac¸a˜o: Dado ε > 0, inicialmente usamos a hipo´tese que g e´ cont´ınua em f(x0, y0)
para assegurar que existe δ1 > 0 tal que
u ∈ B e |u− f(x0, y0)| < δ1 =⇒ |g(u)− g(f(x0, y0))| < ε. (1)
22
A
f g
g ◦ f
f(x0, y0) ∈ B g(f(x0, y0))
(x0, y0)
Figura 24: Composic¸a˜o de func¸o˜es cont´ınuas.
Posteriormente usamos esse δ1 > 0 encontrado, desempenhando o papel do ε na hipo´tese de
que f e´ cont´ınua em (x0, y0), para assegurar a existeˆncia de δ > 0 que satisfaz
(x, y) ∈ A e ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| < δ1. (2)
De (1) e (2) segue que
(x, y) ∈ A e ‖(x, y)− (x0, y0)‖ < δ =⇒ |g(f(x, y))− g(f(x0, y0))| < ε.
Portanto g ◦ f e´ cont´ınua em (x0, y0). �
Proposic¸a˜o 5. Sejam f, g : X ⊂ R2 → R func¸o˜es cont´ınuas em (x0, y0) ∈ X e k uma
constante real. Enta˜o
1. A func¸a˜o f + g e´ cont´ınua em (x0, y0).
2. A func¸a˜o kf e´ cont´ınua em (x0, y0).
3. A func¸a˜o f.g e´ cont´ınua em (x0, y0).
4. A func¸a˜o
f
g
e´ cont´ınua em (x0, y0), desde que g(x0, y0) 6= 0.
Exemplo: Ja´ vimos que f(x, y) = x e´ cont´ınua e do curso de ca´lculo I sabemos que g(u) = u2
e´ cont´ınua. Portanto, usando o Teorema 2 temos que h(x, y) = g◦f(x, y) = x2 e´ cont´ınua. Da
mesma forma conclu´ımos que L(x, y) = y2 e´ cont´ınua. Usando agora o item 1) da proposic¸a˜o
anterior temos que a func¸a˜o (h + L)(x, y) = x2 + y2 e´ cont´ınua. Da mesma forma que
provamos que h e´ cont´ınua, temos que M(x, y) = x3 e´ cont´ınua. Finalmente, usando o item
4) da proposic¸a˜o anterior, temos
(
M
h+ L
)
(x, y) =
x3
x2 + y2
e´ cont´ınua em (x0, y0) desde que
(h + L)(x0, y0) 6= 0, ou seja, desde que (x0, y0) 6= (0, 0). Portanto, a func¸a˜o
F (x, y) =


x3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua em todo ponto (x0, y0) 6= (0, 0). A pergunta e´: E no ponto (0, 0)? F e´ cont´ınua?
Como f(0, 0) = 0 e (0, 0) e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio de F , devemos verificar se
lim(x,y)→(0,0) F (x, y) = 0. Observamos que x
3
x2+y2
= x. x
2
x2+y2
, onde x
2
x2+y2
e´ limitada e x tende a
zero. Portanto F e´ cont´ınua em todos os pontos de R2.
23
Segunda Lista de Exerc´ıcios
1. Verifique quais dos conjuntos abaixo sa˜o abertos do R2.
(a) {(x, y) ∈ R2|x = 1 e 1 < y < 3}.
(b) {(x, y) ∈ R2|x+ y > 3 e x2 + y2 < 16}.
(c) {(x, y) ∈ R2|xy > 0}.
2. Determine o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o do conjunto dado.
(a) {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1}.
(b) {(x, y) ∈ R2|x e y inteiros}.
(c) {(x, y) ∈ R2|x+ y ≥ 1}.
3. Calcule, caso exista.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x · sen 1
x2 + y2
, (b) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
,
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
, (d) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y ,
(e) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2 , (f) lim(x,y)→(0,0)
xy
y − x3
4. Seja f(x, y) =
2xy2
x2 + y4
.
(a) Considere a reta γ(t) = (at, bt), com a2 + b2 > 0; mostre que quaisquer que sejam
a e b,
lim
t→0
f(γ(t)) = 0.
(b) Calcule lim
t→0
f(δ(t)) = 0, onde δ(t) = (t2, t).
(c) O limite abaixo existe? Por queˆ?
lim
(x,y)→(0,0)
2xy2
x2 + y4
5. Calcule
lim
(x,y)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k
||(h, k)|| ,
onde f(x, y) = x2 + y.
6. Determine o conjunto dos pontos de descontinuidade. Justifique a resposta.
(a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6.
(b) f(x, y) = ln x−y
x2+y2
.
(c) f(x, y) =
{ x−3y
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
24
Aula 8: 24/03/2010
6 Derivadas parciais
6.1 Definic¸a˜o e interpretac¸a˜o geome´trica
Antes de estudarmos derivadas de func¸o˜es reais de mais de uma varia´vel real vamos recordar
a definic¸a˜o de derivabilidade de func¸o˜es reais de uma u´nica varia´vel real. Seja I um intervalo
aberto de R e x0 ∈ I. Dizemos que uma func¸a˜o f : I → R e´ deriva´vel em x0 se existe o
limite
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 .
Esse limite e´ denotado por f ′(x0) e e´ chamado de derivada de f em x0.
Geometricamente esse limite e´ interpretado como o coeficiente angular da reta tangente
ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0)), isto e´, se a reta tangente faz aˆngulo θ com o eixo x, enta˜o
f ′(x0) = tan θ. Veja a figura 25.
f(x0)
θ
x0
Figura 25: Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada de func¸o˜es de uma varia´vel real.
Considere agora U ⊂ R2 um subconjunto aberto de R2, (x0, y0) ∈ U e f : U → R
uma func¸a˜o real de duas varia´veis. Se fixamos y0 enta˜o temos uma func¸a˜o de uma varia´vel
g : A → R definida por g(x) = f(x, y0), onde A = {x ∈ R : (x, y0) ∈ U}. Por exemplo, se
f(x, y) = 7x2 + 3y3 + 5xy e fixamos y = 2 temos g(x) = f(x, 2) = 7x2 + 10x+ 24.
Da mesma forma, fixado x0, temos uma func¸a˜o de uma varia´vel h : B → R definida por
h(y) = f(x0, y), onde B = {y ∈ R : (x0, y) ∈ U}.
A derivada da func¸a˜o g(x) = f(x, y0) no ponto x = x0, quando existe, chama-se derivada
parcial de f , em relac¸a˜o a x, no ponto (x0, y0), e denotamos por
∂f
∂x
(x0, y0). Analogamente,a derivada da func¸a˜o h(y) = f(x0, y) no ponto y = y0, quando existe, chama-se derivada
parcial de f , em relac¸a˜o a y, no ponto (x0, y0), e denotamos por
∂f
∂y
(x0, y0). De maneira mais
resumida temos:
Definic¸a˜o 17. Sejam f : U ⊂ R2 → R uma func¸a˜o definida no aberto U e x0, y0) ∈ U .
Definimos a derivada parcial de f, em relac¸a˜o a x, no ponto (x0, y0) (quando existe) e
a derivada parcial de f, em relac¸a˜o a y, no ponto (x0, y0) (quando existe) por
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
x→x0
f(x, y0)− f(x0, y0)
x− x0 e
∂f
∂y
(x0, y0) = lim
y→y0
f(x0, y)− f(x0, y0)
y − y0 .
25
Se os limites da definic¸a˜o anterior existem para todo (x, y) ∈ U enta˜o podemos definir as
func¸o˜es
∂f
∂x
: U → R e ∂f
∂y
: U → R. A func¸a˜o ∂f
∂x
e´ chamada derivada parcial de primeira
ordem de f em relac¸a˜o a x e a func¸a˜o
∂f
∂y
e´ chamada derivada parcial de primeira ordem de
f em relac¸a˜o a y.
Exemplo: Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x2 + 5y3 + 3xy. Calcule ∂f
∂x
(1, 2),
∂f
∂y
(1, 2),
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y).
Considere g(x) = f(x, 2) = x2+6x+40 e h(y) = f(1, y) = 5y3+3y+1. Logo g′(x) = 2x+6
e h′(y) = 15y2 + 3. Portanto
∂f
∂x
(1, 2) = g′(1) = 8 e
∂f
∂y
(1, 2) = h′(2) = 63.
As func¸o˜es ∂f
∂x
e ∂f
∂y
sa˜o dadas por
∂f
∂x
(x, y) = 2x+ 3y e
∂f
∂y
(x, y) = 15y2 + 3x.
Exemplo: Considere agora f(x, y) = 2xy − 4y. Logo temos
∂f
∂x
(x, y) = 2y e
∂f
∂y
(x, y) = 2x− 4.
Exemplo: Considere agora f(x, y) = exy. Logo temos
∂f
∂x
(x, y) = yexy e
∂f
∂y
(x, y) = xexy.
Exemplo: Calcule a func¸a˜o ∂f
∂x
, onde a func¸a˜o f : R2 → R e´ dada por
f(x, y) =


x3 − y2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
Para os pontos (x, y) 6= (0, 0), usamos a regra de derivac¸a˜o de func¸o˜es de uma varia´vel
dada por
[
f
g
]′
=
f ′g − fg′
g2
e calculamos
∂f
∂x
(x, y) =
[3x2][x2 + y2]− [x3 − y2][2x]
[x2 + y2]2
=
x4 + 3x2y2 + 2xy2
[x2 + y2]2
.
Para o ponto (x, y) = (0, 0) temos que calcular usando a definic¸a˜o de derivada parcial.
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0 = limx→0
x3−02
x2+02
− 0
x− 0 = limx→0
x
x
= 1.
26
Portanto temos que
∂f
∂x
(x, y) =


x4 + 3x2y2 + 2xy2
[x2 + y2]2
, se (x, y) 6= (0, 0),
1, se (x, y) = (0, 0).
Agora veremos a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial. Observe que se f : U ⊂
R
2 → R e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis e (x0, y0) ∈ U , enta˜o o gra´fico da func¸a˜o g(x) =
f(x, y0) e´ a intersecc¸a˜o do gra´fico de f com o plano y = y0. Portanto
∂f
∂x
(x0, y0) = g
′(x0) e´ o
coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f contida no plano y = y0 e que passa pelo
ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Veja a figura 26.
f(x0, y0)
θ
y0x0
Figura 26: Interpretac¸a˜o geome´trica da derivada parcial.
Analogamente temos que ∂f
∂y
(x0, y0) e´ o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de
f contida no plano x = x0 e que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
27
Aula 9: 26/03/2010
No Ca´lculo I vale o seguinte resultado “Se f : A ⊂ R→ R e´ deriva´vel em x0 ∈ A, enta˜o f
e´ cont´ınua em x0”. Veremos no pro´ximo exemplo que uma func¸a˜o f : A ⊂ R2 → R pode ter
as derivadas parciais em um ponto (x0, y0) ∈ A e mesmo assim na˜o ser cont´ınua nesse ponto.
Exemplo: Mostre que a func¸a˜o
f(x, y) =


xy
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
tem derivadas parciais em (0, 0), mas na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
Inicialmente vamos calcular
∂f
∂x
(0, 0) usando a definic¸a˜o
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0 = limx→0
0− 0
x− 0 = 0.
Analogamente temos
∂f
∂y
(0, 0) = lim
y→0
f(0, y)− f(0, 0)
y − 0 = limy→0
0− 0
y − 0 = 0.
Para mostrar que f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0), vamos mostrar que o limite lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y)
na˜o existe. Para isso consideramos os caminhos α1(t) = (t, t) e α2(t) = (t, 0). Logo
lim
t→0
f(α1(t)) = lim
t→0
t2
2t2
=
1
2
e lim
t→0
f(α2(t)) = lim
t→0
t.0
t2 + 02
= 0.
Derivadas parciais de func¸o˜es de treˆs ou mais varia´veis
Da mesma forma que definimos as derivadas parciais para func¸o˜es de duas varia´veis pode-
mos definir para func¸o˜es de treˆs varia´veis da seguinte forma:
Definic¸a˜o 18. Sejam U ⊂ R3 um aberto, f : U → R uma func¸a˜o e (x0, y0, z0) ∈ U . Defini-
mos as derivadas parciais com respeito a x, y e z no ponto (x0, y0, z0) respectivamente pelos
seguintes limites (quando eles existem):
∂f
∂x
(x0, y0, z0) = lim
x→x0
f(x, y0, z0)− f(x0, y0, z0)
x− x0 ,
∂f
∂y
(x0, y0, z0) = lim
y→y0
f(x0, y, z0)− f(x0, y0, z0)
y − y0 e
∂f
∂z
(x0, y0, z0) = lim
z→z0
f(x0, y0, z)− f(x0, y0, z0)
z − z0 ;
Exemplo: Calcule as derivadas parciais da func¸a˜o f(x, y, z, w) = exyz + w2z. Temos
∂f
∂x
(x, y, z, w) = exyzyz,
∂f
∂y
(x, y, z, w) = exyzxz,
∂f
∂z
(x, y, z, w) = exyzxy + w2 e
∂f
∂w
(x, y, z, w) = 2wz.
28
6.2 Diferenciabilidade
No curso de Ca´lculo I, dizemos que uma func¸a˜o f : A ⊂ R→ R e´ diferencia´vel em x0 ∈ A se
existe o limite
lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
E como
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= a⇐⇒ lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
h
= 0,
podemos afirmar que f : A ⊂ R→ R e´ diferencia´vel em x0 ∈ A se existe a ∈ R tal que
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)− ah
|h| = 0.
Inspirado na observac¸a˜o anterior temos a seguinte definic¸a˜o de diferenciabilidade para
func¸o˜es de duas varia´veis.
Definic¸a˜o 19. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) ∈ A. Dizemos
que f e´ diferencia´vel em (x0, y0) se existem a, b ∈ R tais que
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk
‖(h, k)‖ = 0.
Exemplo: Prove que a func¸a˜o f(x, y) = x2y e´ diferencia´vel em todo ponto (x0, y0) ∈ R2.
Considere a = 2x0y0 e b = x
2
0. Temos
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk
‖(h, k)‖ =
lim
(h,k)→(0,0)
(x0 + h)
2(y0 + k)− x20y0 − 2x0y0h− x20k√
h2 + k2
=
lim
(h,k)→(0,0)
2x0hk + h
2y0 + h
2k√
h2 + k2
=
lim
(h,k)→(0,0)
[
2x0k
h√
h2 + k2
+ hy0
h√
h2 + k2
+ hk
h√
h2 + k2
]
= 0.
Na u´ltima linha acima usamos o fato que a func¸a˜o
h√
h2 + k2
e´ limitada e as func¸o˜es 2x0k,
hy0 e hk tendem a zero quando (h, k)→ (0, 0).
Teorema 3. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) ∈ A. Se f e´
diferencia´vel em (x0, y0) enta˜o f e´ cont´ınua em (x0, y0).
Demonstrac¸a˜o: Como (x0, y0) ∈ A e´ um ponto de acumulac¸a˜o de A, basta mostrar que
existe o limite lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) e que e´ igual a f(x0, y0).
Por hipo´tese f e´ diferencia´vel em (x0, y0), logo existem a, b ∈ R tais que
f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ah + bk + E(h, k) com
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
‖(h, k)‖ = 0
29
Observe que lim
(h,k)→(0,0)
‖(h, k)‖ = 0 e lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
‖(h, k)‖ = 0 implica que lim(h,k)→(0,0)E(h, k) =
0.
Observamos ainda que lim
(h,k)→(0,0)
[ah+bk] = 0. Portanto, passando o limite quando (h, k)→
(0, 0) na expressa˜o f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + ah + bk + E(h, k), obtemos
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0).
Portanto
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0),
concluindo a demonstrac¸a˜o. �
30
Aula 10: 31/03/2010
Teorema 4. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) ∈ A. Se f e´
diferencia´vel em (x0, y0) enta˜o f tem derivadas parciais em (x0, y0).
Demonstrac¸a˜o: Por hipo´tese f e´ diferencia´vel em (x0, y0), logo existem a, b ∈ R tais que
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ah− bk
‖(h, k)‖ = 0.
Fazendo k = 0 na expressa˜o do limite anterior temos
lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)− ah
‖(h, 0)‖ = 0⇐⇒ limh→0
f(x0 + h, y0)−f(x0, y0)
h
= a,
ou seja,
∂f
∂x
(x0, y0) = a.
Analogamente, fazendo h = 0 temos
lim
k→0
f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)− bk
‖(h, 0)‖ = 0⇐⇒ limk→0
f(x0, y0 + bk)− f(x0, y0)
h
= b,
ou seja,
∂f
∂y
(x0, y0) = b. �
Observac¸a˜o 1. Da demonstrac¸a˜o do teorema anterior conclu´ımos que os nu´meros reais a e
b da definic¸a˜o de diferenciabilidade sa˜o exatamente as derivadas parciais com respeito a x e
a y respectivamente.
Corola´rio 1. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) ∈ A. A func¸a˜o f
e´ diferencia´vel em (x0, y0) se, e somente se,
1. f admite derivadas parciais em (x0, y0), e
2. lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
‖(h, k)‖ = 0, onde
E(h, k) = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0).h+
∂f
∂y
(x0, y0).k.
Observac¸o˜es:
1. Se uma das derivadas parciais na˜o existir, enta˜o f na˜o sera´ diferencia´vel nesse ponto.
2. Se ambas derivadas parciais existirem em (x0, y0), mas o limite do corola´rio anterior na˜o
existir ou na˜o for zero, enta˜o f na˜o sera´ diferencia´vel em (x0, y0).
3. Se f na˜o for cont´ınua em (x0, y0), enta˜o f na˜o sera´ diferencia´vel em (x0, y0).
31
Exemplos:
1. A func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) =
√
x2 + y2 e´ cont´ınua em (0, 0), mas na˜o e´
diferencia´vel nesse ponto.
De fato, as func¸o˜es h(x, y) = x2 e m(x, y) = y2 sa˜o cont´ınuas logo a func¸a˜o n(x, y) =
(h + m)(x, y) = x2 + y2 e´ cont´ınua. Sabemos do curso de Ca´lculo I que a func¸a˜o
r(u) =
√
u e´ cont´ınua. E como a composic¸a˜o de func¸o˜es cont´ınua e´ uma func¸a˜o cont´ınua,
conclu´ımos que f(x, y) =
√
x2 + y2 = r(n(x, y)) e´ cont´ınua em qualquer ponto (x, y).
Em particular ela e´ cont´ınua em (0, 0).
Para provar que f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0) veremos que f na˜o possui as derivadas
parciais em (0, 0). Observe que
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0 = limx→0
√
x2
x
.
Esse limite na˜o existe pois para x > 0 temos
√
x2
x
= 1 e para x < 0 temos
√
x2
x
= −1.
Isto e´, os limites laterais sa˜o distintos. O mesmo ocorre para
∂f
∂y
(0, 0).
2. A func¸a˜o
f(x, y) =


2xy2
x2 + y4
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0),
e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique.
A func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0), pois f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0). Para ver que
f na˜o e´ cont´ınua em (0, 0) basta considerar os caminhos α1(t) = (t, 0) e α2(t) = (t
2, t).
Da´ı
lim
t→0
f(α1(t)) = lim
t→0
2t02
t2 + 04
= 0
e
lim
t→0
f(α2(t)) = lim
t→0
2t2t2
t4 + t4
= 1.
3. A func¸a˜o
f(x, y) =


x3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0),
e´ diferencia´vel em (0, 0)? Justifique.
Inicialmente observe que f e´ cont´ınua pois
lim
(x,y)→(0,0)
x = 0 e
x2
x2 + y2
e´ limitada
Portanto
lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
= 0 = f(0, 0).
32
Agora vamos verificar se existem as derivadas parciais
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0).
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x− 0 = limx→0
x3
x2+02
− 0
x− 0 = limx→0
x3
x3
= 1
∂f
∂y
(0, 0) = lim
y→0
f(0, y)− f(0, 0)
y − 0 = limx→0
0− 0
y − 0 = 0
Resta verificar se
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
‖(h, k)‖ = 0,
onde E(h, k) = f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− 1.h− 0.k = h
3
h2 + k2
− h. Chame
G(h, k) =
E(h, k)
‖(h, k)‖ =
h3
h2+k2
− h√
h2 + k2
=
−hk2
(h2 + k2)
√
h2 + k2
.
Tome o caminho α(t) = (t, t). Da´ı
lim
t→0
G(α(t)) = lim
t→0
−t3
(t2 + t2)
√
2t2
= lim
t→0
−t
2
√
2|t| ,
o qual na˜o existe pois
lim
t→0+
−t
2
√
2|t| = −
1
2
√
2
e lim
t→0−
−t
2
√
2|t| =
1
2
√
2
.
Portanto o limite
lim
(h,k)→(0,0)
f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− 1.h− 0.k
‖(h, k)‖
na˜o existe e enta˜o f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0).
33
Terceira Lista de Exerc´ıcios
1. Determine as derivadas parciais.
(a) f(x, y) = 5x4y2 + xy3 + 4.
(b) f(x, y) = x
3+y2
x2+y2
.
(c) f(x, y) = e−x
2−y2 .
(d) f(x, y) = xyexy.
(e) f(x, y) = arctgx
y
.
(f) f(x, y) = (x2 + y2)ln(x2 + y2).
(g) f(x, y) = xsenycos(x2+y2) .
2. Considere a func¸a˜o z = xy
2
x2+y2
. Verifique que x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
3. Considere a func¸a˜o z = xsenx
y
. Verifique que x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
4. Seja φ : R→ R uma func¸a˜o de uma varia´vel real, diferencia´vel e tal que φ′(1) = 4. Seja
g(x, y) = φ(x
y
). Calcule
(a) ∂g
∂x
(1, 1).
(b) ∂g
∂y
(1, 1).
5. Determine ∂f
∂x
e ∂f
∂y
sendo f(x, y) =
{
x+y4
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
6. Dizemos que (x0, y0) e´ um ponto cr´ıtico de z = f(x, y) se
∂f
∂x
(x0, y0) = 0 e
∂f
∂y
(x0, y0) = 0.
Determine caso existam, os pontos cr´ıticos da func¸a˜o dada:
(a) f(x, y) = x2 + y2.
(b) f(x, y) = 2x+ y3.
(c) f(x, y) = x2 − 2xy + 3y2 + x− y.
(d) f(x, y) = x4 + 4xy + y4.
7. Prove que as func¸o˜es dadas sa˜o diferencia´veis.
(a) f(x, y) = x2y2.
(b) f(x, y) =
1
xy
.
(c) f(x, y) =
1
x+ y
.
8. A func¸a˜o f e´ diferencia´vel? Justifique com detalhes.
(a) f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
34
(b) f(x, y) =
x2y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
(c) f(x, y) =
x4
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0.
(d) f(x, y) = x4 + y3.
(e) f(x, y) = ln(1 + x2 + y2).
(f) f(x, y) = cos(x2 + y2).
9. Determine o conjunto dos pontos em que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel. Justifique com
detalhes.
(a) f(x, y) =
{ xy
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(b) f(x, y) =
{
x3
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(c) f(x, y) =
{
xy3
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
35
Aula 11: 07/04/2010
Agora vamos discutir uma condic¸a˜o suficiente para diferenciabilidade. Vamos mostrar que
se as derivadas parciais existem em todo ponto de uma vizinhanc¸a de (x0, y0) e sa˜o func¸o˜es
cont´ınuas em (x0, y0), enta˜o a func¸a˜o e´ diferencia´vel em (x0, y0).
Antes de enunciarmos o teorema que da´ uma condic¸a˜o suficiente de diferenciabilidade,
vamos recordar um dos mais importantes teoremas do curso de Ca´lculo I.
Teorema do Valor Me´dio Se f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel
em (a, b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c).
Observe que se chamarmos b = a + h a expressa˜o anterior fica
f(a+ h)− f(a) = f ′(c)h.
Teorema 5. Sejam A ⊂ R2 um aberto, f : A → R uma func¸a˜o e (x0, y0) um ponto de
A. Se as derivadas parciais ∂f
∂x
e ∂f
∂y
existem em A e sa˜o cont´ınuas em (x0, y0), enta˜o f e´
diferencia´vel em (x0, y0).
Demonstrac¸a˜o: Como A e´ aberto e (x0, y0) ∈ A, segue que existe uma bola aberta de
centro em (x0, y0) contida em A. Sejam h e k nu´meros reais pequenos o suficiente para que
(x0 + h, y0 + k) ∈ B. Podemos escrever
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) = f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0 + k) + f(x0, y0 + k)− f(x0, y0).
Fac¸amos G(x) = f(x, y0 + k). Logo f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0 + k) = G(x0 + h)−G(x0). E
pelo Teorema do Valor Me´dio temos que existe x¯ entre x0 e x0 + h tal que
G(x0 + h)−G(x0) = G′(x¯)h = ∂f
∂x
(x¯, y0 + k)h.
Da mesma forma existe y¯ entre y0 e y0 + k tal que
f(x0, y0 + k)− f(x0, y0) = ∂f
∂y
(x0, y¯)k.
Portanto temos
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) = ∂f
∂x
(x¯, y0 + k)h +
∂f
∂y
(x0, y¯)k.
Subtraindo de ambos os membros ∂f
∂x
(x0, y0)h+
∂f
∂y
(x0, y0)k, ficamos com
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f
∂x
(x0, y0)h− ∂f
∂y
(x0, y0)k =
[
∂f
∂x
(x¯, y0 + k)− ∂f
∂x
(x0, y0)
]
h +
[
∂f
∂y
(x0, y¯)− ∂f
∂y
(x0, y0)
]
k.
36
Dividindo a expressa˜o por ‖(h, k)‖ = √h2 + k2 temos
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)h− ∂f∂y (x0, y0)k
‖(h, k)‖ =[
∂f
∂x
(x¯, y0+ k)− ∂f
∂x
(x0, y0)
]
h√
h2 + k2
+
[
∂f
∂y
(x0, y¯)− ∂f
∂y
(x0, y0)
]
k√
h2 + k2
.
Agora fazemos o limite com (h, k) tendendo a (0, 0). Pelo fato das func¸o˜es derivadas parciais
∂f
∂x
e ∂f
∂y
serem cont´ınuas em (x0, y0) segue que as expresso˜es entre colchetes na equac¸a˜o anterior
tendem a zero. Por outro lado, as func¸o˜es h√
h2+k2
e k√
h2+k2
sa˜o limitadas. Conclu´ımos que
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)h− ∂f∂y (x0, y0)k
‖(h, k)‖ = 0.
Portanto a func¸a˜o f e´ diferencia´vel no ponto (x0, y0). �
Definic¸a˜o 20. Dizemos que uma func¸a˜o f : A ⊂ R2 → R, A aberto, e´ de classe C1 em A se
∂f
∂x
e ∂f
∂y
existem e sa˜o cont´ınuas em todos os pontos de A.
Da´ı temos a seguinte consequeˆncia do Teorema 5.
Corola´rio 2. Seja f : A ⊂ R2 → R onde A e´ aberto. Se f e´ de classe C1 em A enta˜o f e´
diferencia´vel em todos os pontos de A.
Exemplo: Mostre que a func¸a˜o f(x, y) = sen(x2 + y2) e´ diferencia´vel em todos os pontos de
R
2.
Basta observar que as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) = cos(x2 + y2).2x e
∂f
∂y
(x, y) = cos(x2 + y2).2y
sa˜o func¸o˜es cont´ınuas. Logo aplicando o teorema anterior temos que f e´ diferencia´vel em todo
ponto de R2.
Exemplo: Seja f : R2 → R a func¸a˜o dada por
f(x, y) =
{
(x2 + y2)sen 1
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
Mostre que f e´ diferencia´vel em (0, 0), mas as func¸o˜es derivadas parciais ∂f
∂x
e ∂f
∂y
na˜o sa˜o
cont´ınuas em (0, 0).
Primeiro vejamos que f e´ diferencia´vel em (0, 0). Calculamos as derivadas parciais em
(0, 0).
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
x2sen 1
x2
− 0
x− 0 = limx→0x sen
1
x2
= 0.
Nesse limite anterior usamos o fato da func¸a˜o g(x) = x tender a zero e a func¸a˜o h(x) = sen 1
x2
ser limitada. De maneira ana´loga temos
∂f
∂y
(0, 0) = 0.
37
Calculando agora
lim
(h,k)→(0,0)
f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− ∂f
∂x
(0, 0)h− ∂f
∂y
(0, 0)k
‖(h, k)‖ =
lim
(h,k)→(0,0)
h2 + k2√
h2 + k2
sen
1
h2 + k2
= lim
(h,k)→(0,0)
√
h2 + k2sen
1
h2 + k2
= 0,
pois
√
h2 + k2 tende a zero e sen 1
h2+k2
e´ limitada.
Passamos agora a provar que as derivadas parciais na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0). Vimos que
∂f
∂x
(0, 0) = 0. Nos pontos (x, y) 6= (0, 0) derivamos usando a regra do produto e obtemos
∂f
∂x
(x, y) =


2xsen
1
x2 + y2
− 2x
x2 + y2
cos
1
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
Tomando-se o caminho α(t) = (t, t) vemos que o limite
lim
t→0
∂f
∂x
(α(t))
na˜o existe. Logo ∂f
∂x
na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
De modo ana´logo prova-se que ∂f
∂y
na˜o e´ cont´ınua em (0, 0).
38
Aula 12: 09/04/2010
Vimos que se uma func¸a˜o f : A ⊂ R2 → R, com A aberto, e´ diferencia´vel em (x0, y0) ∈ A
temos
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)h− ∂f∂y (x0, y0)k
‖(h, k)‖ = 0.
Chamando x = x0 + h e y = y0 + k temos
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)(x− x0)− ∂f∂y (x0, y0)(y − y0)
‖(x, y)− (x0, y0)‖ = 0.
Agora vamos chamar
E(x, y) = f(x, y)− f(x0, y0)− ∂f∂x(x0, y0)(x− x0)− ∂f∂y (x0, y0)(y − y0),
T (x, y) = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f∂y (x0, y0)(y − y0).
Portanto temos
f(x, y) = T (x, y) + E(x, y) com
lim
(x,y)→(x0,y0)
E(x, y)
‖(x, y)− (x0, y0)‖ = 0.
Observac¸o˜es:
1. A func¸a˜o T (x, y) e´ a u´nica func¸a˜o afim (isto e´, uma func¸a˜o que tem como gra´fico um
plano) que aproxima f(x, y) com um erro E(x, y) que tende a zero “mais rapidamente”
que ‖(x, y)− (x0, y0)‖ quando (x, y) tende a (x0, y0).
2. Se f na˜o for diferencia´vel no ponto (x0, y0), mas existirem
∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0), enta˜o
o plano dado pelo gra´fico de T (x, y) existira´, mas na˜o sera´ um plano tangente ao gra´fico
de f .
Definic¸a˜o 21. Seja f : A ⊂ R2 → R uma func¸a˜o definida no aberto A e diferencia´vel em
(x0, y0) ∈ A. O plano
z − f(x0, y0) = ∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0)
e´ o plano tangente ao gra´fico de f pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
Observe que um vetor normal ao plano tangente e´ o vetor
n =
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0),−1
)
.
Usando essa observac¸a˜o podemos definir a reta normal ao gra´fico de f .
Definic¸a˜o 22. Seja f : A ⊂ R2 → R uma func¸a˜o definida no aberto A e diferencia´vel em
(x0, y0) ∈ A. A reta
(x, y, z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + λ
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0),−1
)
, para todo λ ∈ R,
e´ a reta normal ao gra´fico de f pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
39
Exemplo: Seja f(x, y) = 3x3y − x2. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta
normal ao gra´fico de f pelo ponto (1, 1, f(1, 1)).
Calculando f(1, 1) obtemos f(1, 1) = 3.13.1 − 12 = 2. As derivadas parciais sa˜o dadas
por ∂f
∂x
(x, y) = 9x2y − 2x e ∂f
∂y
(x, y) = 3x3. Calculando no ponto (1, 1) vem ∂f
∂x
(1, 1) = 7 e
∂f
∂y
(1, 1) = 3. Como a equac¸a˜o do plano tangente e´ z−f(1, 1) = ∂f
∂x
(1, 1)(x−1)+ ∂f
∂y
(1, 1)(y−1)
obtemos z − 2 = 7(x− 1) + 3(y − 1), ou seja, a equac¸a˜o do plano tangente e´
7x+ 3y − z = 8
e a reta normal e´
(x, y, z) = (1, 1, 2) + λ(7, 3,−1), λ ∈ R.
Exemplo: Determine o plano tangente e a reta normal ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2 em
(0, 1, f(0, 1)).
Temos f(0, 1) = 1, ∂f
∂x
(x, y) = 2x e ∂f
∂y
(x, y) = 2y. Logo ∂f
∂x
(0, 1) = 0 e ∂f
∂y
(0, 1) = 2.
Portanto a equac¸a˜o do plano e´ z − 1 = 2(y − 1), ou seja,
2y − z = 1
e a equac¸a˜o da reta normal e´
(x, y, z) = (0, 1, 1) + λ(0, 2,−1), λ ∈ R.
Exemplo: Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que seja tangente
ao gra´fico de f(x, y) = xy.
Seja (a, b, f(a, b)) o ponto em que o plano tangencia o gra´fico de f . Esse plano e´ dado por
z − ab = b(x− a) + a(y − b).
Como os pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) pertencem ao plano, basta substituir esses valores na
equac¸a˜o do plano e determinar os valores de a e b. Temos
b+ a− 2 = ab,
−b+ a− 1 = ab.
Resolvendo esse sistema obtemos a = 3 e b = 1
2
. Portanto o plano procurado e´
x+ 6y − 2z = 3.
Exemplo: Considere f(x, y) =
x3
x2 + y2
. Mostre que todos os planos tangentes ao gra´fico de
f passam pela origem.
Calculando as derivadas parciais temos
∂f
∂x
(x, y) =
3x2(x2 + y2)− x3(2x)
(x2 + y2)2
=
x4 + 3x2y2
(x2 + y2)2
40
∂f
∂y
(x, y) =
−x3(2y)
(x2 + y2)2
=
−2x3y
(x2 + y2)2
.
Os planos tangentes ao gra´fico de f pelo ponto (a, b, f(a, b)) sa˜o dados por
z − a
3
a2 + b2
=
a4 + 3a2b2
(a2 + b2)2
(x− a) + −2a
3b
(a2 + b2)2
(y − b).
Substituindo x = 0 e y = 0 no lado direito da equac¸a˜o acima obtemos
(a4 + 3a2b2)(−a) + (−2a3b)(−b)
(a2 + b2)2
=
−a5 − 3a3b2 + 2a3b2
(a2 + b2)2
=
−a3
a2 + b2
.
Exemplo: Seja f : R2 → R a func¸a˜o dada por
f(x, y) =


xy2
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
Mostre que o gra´fico de f na˜o admite plano tangente em (0, 0, 0).
Basta mostrarmos que f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0). Calculando as derivadas parciais
em (0, 0) temos ∂f
∂x
(0, 0) = 0 e ∂f
∂y
(0, 0) = 0. Denotando
G(h, k) =
f(0 + h, 0 + k)− f(0, 0)− ∂f
∂x
(0, 0)h− ∂f
∂y
(0, 0)k√
h2 + k2
=
hk2√
h2 + k2
e escolhendo o caminho α(t) = (t, t) temos
lim
t→0
G(α(t)) = lim
t→0
t3
2t2
√
2t2
= lim
t→0
1
2
√
2
t
|t|
o qual na˜o existe.
41
Aula 13: 14/04/2010
Sejam A ⊂ R2 um aberto e f : A→ R uma func¸a˜o diferencia´vel em (x0, y0) ∈ A. Considere
a transformac¸a˜o linear (func¸a˜o linear)
L : R2 → R dada por L(h, k) = ∂f
∂x
(x0, y0)h+
∂f
∂y
(x0, y0)k.
A func¸a˜o L e´ a u´nica transformac¸a˜o linear de R2 em R que aproxima o acre´scimo f(x0 +
h, y0+k)− f(x0, y0) com erro E(h, k) que tende a zero “mais ra´pido”do que ‖(h, k)‖ quando
(h, k) tende a (0, 0), isto e´,
f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) = L(h, k) + E(h, k)
lim
(h,k)→(0,0)
E(h, k)
‖(h, k)‖ = 0
Definic¸a˜o 23. A transformac¸a˜o linear L : R2 → R dada por
L(h, k) =
∂f
∂x
(x0, y0)h +
∂f
∂y
(x0, y0)k
e´ chamada diferencial de f no ponto (x0, y0).
Sabemos que o gra´fico de
T (x, y) = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0)
e´ o plano tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
Fazendo x = x0 + h e y = y0 + k temos
T (x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) +
∂f
∂x
(x0, y0)h+
∂f
∂y
(x0, y0)k,
isto e´,
T (x0 + h, y0 + k) = f(x0, y0) + L(h, k) = T (x0, y0) + L(h, k).
Portanto L(h, k) e´ a variac¸a˜o que T sofre quando passa de (x0, y0) para (x0 + h, y0 + k). Por
outro lado, f(x0+h, y0+ k)− f(x0, y0) e´ a variac¸a˜o que f sofre quando passa de (x0, y0) para
(x0 + h, y0 + k). Usaremos o s´ımbolo ∆f para denotar a variac¸a˜o que f sofre quando passa
de (x, y) para (x+ dx, y + dy), isto e´,
∆f = f(x+ dx, y + dy)− f(x, y)
e denotaremos a diferencial de f por df , isto e´,
df =
∂f
∂x
(x, y)dx+
∂f
∂y
(x, y)dy.
Como conclusa˜o temos ∆f e´ aproximadamente df e escrevemos
∆f ∼= df.
42
Exemplo: Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x2y.
1. Calcule a diferencial df .
2. Usando a diferencial, calcule um valor aproximado para ∆f , quando passa de x = 1 e
y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01.
3. Qual e´ o erro cometido na aproximac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: Para o ı´tem 1., a diferencial e´ dada por
df =
∂f
∂x
(x, y)dx+
∂f
∂y
(x, y)dy.
Portanto
df = 2xydx+ x2dy.
Para o ı´tem 2., usamos o fato que ∆f ∼= df . Da´ı
∆f ∼= df = 2xydx+ x2dy = 2.1.2.(0, 02) + 12.(0, 01) = 0, 08 + 0, 01 = 0, 09.
Para o ı´tem 3., calculamos ∆f e depois comparamos com df .
∆f = f(1.02, 2.01)− f(1, 2) = (1.02)2(2.01)− 2 = 0.091204
Portanto o erro e´ 0.001204.
Exemplo: Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆A na a´rea de um retaˆngulo quando
os lados variam de x = 2 e y = 3 para x = 2.01 e y = 2.97.
Soluc¸a˜o: Considere a func¸a˜o A(x, y) = xy. Logo
dA =
∂A
∂x
(x, y)dx+
∂A
∂y
(x, y)dy = ydx+ xdy.
Logo
∆A ∼= dA = 3(0.01) + 2(−0.03) = −0.03
Por curiosidade ∆A = (2.01)(2.97)− (2)(3) = 5.9697− 6 = −0.0303, logo o erro cometido e´
de 0.0003.
6.3 Vetor Gradiente
Definic¸a˜o 24. Sejam A ⊂ R2 um aberto e f : A → R uma func¸a˜o que possui derivadas
parciais em (x0, y0) o vetor
∇f(x0, y0) =
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0)
)
,
chama-se vetor gradiente de f em (x0, y0).
Exemplo: Considere a func¸a˜o f : R2 → R dada por f(x, y) = x3 + y4. Calcule o vetor
gradiente de f no ponto (1, 1).
Soluc¸a˜o: Inicialmente calculamos as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) = 3x2 e
∂f
∂y
(x, y) = 4y3,
logo, avaliando no ponto (1, 1) temos
∇f(1, 1) = (3, 4).
43
Quarta Lista de Exerc´ıcios
1. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o dada
no ponto dado.
(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
(b) f(x, y) = 3x3y − xy em (1,−1, f(1,−1)).
(c) f(x, y) = xex
2−y2 em (2, 2, f(2, 2)).
2. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao gra´fico de
f(x, y) = x2 + y2.
3. Sabendo-se que z = 2x + y e´ o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) no ponto (1, 1, 3),
calcule ∂f
∂x
(1, 1) e ∂f
∂y
(1, 1).
4. Determine os planos que sejam tangentes ao gra´fico de f(x, y) = x2+y2 e que contenham
a intersecc¸a˜o dos planos x+ y + z = 3 e z = 0.
5. Seja β um plano que e´ tangente aos gra´ficos de f(x, y) = 2+x2+y2 e g(x, y) = −x2−y2.
Mostre que a2 + b2 = 1, sendo (a, b, f(a, b) o ponto em que β tangencia o gra´fico de f .
6. Calcule a diferencial.
(a) z = x3y2.
(b) z = sen(xy).
(c) T = ln(1 + p2 + v2).
7. Seja z = xex
2−y2 .
(a) Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆z em z, quando passa de x = 1 e
y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002.
(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 1, 002.
8. A altura de um cone e´ h = 20cm e o raio da base e´ r = 12cm. Calcule um valor
aproximado para a variac¸a˜o ∆V no volume quando h aumenta 2mm e r decresce 1mm.
9. Calcule ∇f(x, y) sendo.
(a) f(x, y) = x2y.
(b) f(x, y) = x
y
.
(c) f(x, y) = ex
2−y2 .
10. Seja f(x, y) = x2 − y2. Represente geometricamente ∇f(x0, y0), sendo (x0, y0) =
(a) (1, 1).
(b) (−1, 1).
(c) (1,−1).
(d) (−1,−1).
44
Aula 14: 16/04/2010
6.4 Regra da Cadeia
Quando estudamos limites por caminhos, vimos que uma curva ou caminho e´ uma aplicac¸a˜o
definida em um intervalo I ⊂ R com valores em R2.
Definic¸a˜o 25 (Curva Diferencia´vel). Uma curva α : I ⊂ R → R2 da forma α(t) =
(α1(t), α2(t)) e´ diferencia´vel em t0 ∈ I se α1 : I → R e α2 : I → R sa˜o deriva´veis em
t0. E nesse caso,
α′(t0) = (α′1(t0), α
′
2(t0)).
Exemplo: Considere a curva α(t) = (cos t, 2sent). Como as func¸o˜es α1(t) = cos t e α2(t) =
2sent sa˜o deriva´veis em t0 =
pi
2
segue que α e´ diferencia´vel em t0 =
pi
2
e
α′(t0) = (−sen(pi
2
), 2 cos(
pi
2
)) = (−1, 0).
Como curiosidade, se chamamos x = cos t e y = 2sent temos que para todo t os pontos da
curva α pertencem a` elipse x2+
y2
4
= 1. O ponto α(pi
2
) = (0, 2) e´ um dos ve´rtices da elipse. Se
representamos o vetor α′(pi
2
) = (−1, 0) com origem no ponto (0, 2) temos a figura 27. De fato
isso e´ a interpretac¸a˜o f´ısica de que α(t0) e´ a posic¸a˜o da part´ıcula na trajeto´ria α no instante
t = t0 e α
′(t0) e´ a velocidade instantaˆnea da part´ıcula no instante t = t0.
(0, 2)
α′(pi
2
)
Figura 27: Uma curva diferencia´vel e sua derivada.
Teorema 6 (Regra da Cadeia). Sejam A ⊂ R2 aberto, f : A → R uma func¸a˜o, I ⊂ R um
intervalo aberto e γ : I → R2 uma curva tal que γ(t) ∈ A para todo t ∈ I. Nessas condic¸o˜es,
se γ for diferencia´vel em t0 e f diferencia´vel em γ(t0), enta˜o a composta F (t) = f(γ(t)) sera´
diferencia´vel em t0 e
F ′(t0) = 〈∇f(γ(t0)), γ′(t0)〉.
Demonstrac¸a˜o: Chamando γ(t0) = (x0, y0) e usando o fato que f e´ diferencia´vel em
(x0, y0) temos
f(x, y)− f(x0, y0) = ∂f
∂x
(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y
(x0, y0)(y − y0) + E(x, y)
com lim
(x,y)→(x0,y0)
E(x, y)
‖(x, y)− (x0, y0)‖ = 0.
45
Substituindo x = γ1(t) e y = γ2(t) temos
f(γ(t))− f(γ(t0)) = ∂f
∂x
(γ(t0))(γ1(t)− γ1(t0)) + ∂f
∂y
(γ(t0))(γ2(t)− γ2(t0)) + E(γ(t)).
Em outras palavras
f(γ(t))− f(γ(t0)) = 〈∇(γ(t0)), (γ(t)− γ(t0))〉+ E(γ(t)).
Dividindo por (t− t0) temos
f(γ(t))− f(γ(t0))
t− t0 = 〈∇(γ(t0)),
γ(t)− γ(t0)
t− t0 〉+
E(γ(t))
t− t0 .
Fazendo o limite quando t tende a t0 obtemos
F ′(t0) = 〈∇(γ(t0)), γ′(t0)〉.
�
Exemplo: Considere f(x, y) = xy e γ(t) = (t3, t2). Inicialmente vamos calcular a composta
e depois a derivada da composta.
F (t) = f(γ(t)) = f(t3, t2) = t3t2 = t5.
Dai a derivada e´ F ′(t) = 5t4. Agora vamos calcular usando a fo´rmula da Regra da Cadeia
F ′(t) = 〈∇(γ(t)), γ′(t)〉. Observe que
∂f
∂x
(x, y) = y ⇒ ∂f
∂x
(γ(t)) = t2,
∂f
∂y
(x, y) = x⇒ ∂f
∂y
(γ(t)) = t3.
Dai temos
〈∇(γ(t)), γ′(t)〉 = 〈(t2, t3), (3t2, 2t)〉 = 3t4 + 2t4 = 5t4.
Agora veremos uma outra notac¸a˜o para a Regra da Cadeia. Fazendo γ(t) = (x(t), y(t))
temos
∇f(γ(t)) =
(
∂f
∂x
(x(t), y(t)),
∂f
∂y
(x(t), y(t))
)
e γ′(t) =
(
dx
dt
(t),
dy
dt
(t)
)
.
Omitindo a varia´vel t na fo´rmula F ′(t) = 〈∇(γ(t)), γ′(t)〉 obtemos
dF
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
.
Exemplo: Sejam z = f(x, y) = x2y, x = x(t) = et
2
e y = y(t) = 2t + 1. Calcule
dz
dt
.
Utilizando a fo´rmula anterior temos
dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
= 2xy[2tet
2
] + x2[2] = 2et
2
(2t+ 1)(2tet
2
) + [et
2
]22 = e2t
2
[8t2 + 4t+ 2].
De uma outra forma, calculando a composta primeiro temos
z = x2y = e2t
2
(2t+ 1)⇒ dz
dt= 4te2t
2
(2t+ 1) + e2t
2
2 = e2t
2
[8t2 + 4t+ 2].
46
Exemplo: Seja F (t) = f(et
2
, sent) onde f(x, y) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
1. Expresse F ′(t) em termos das derivadas parciais de f .
2. Calcule F ′(0) sabendo que
∂f
∂y
(1, 0) = 5.
Soluc¸a˜o: Para o ı´tem 1. temos
F ′(t) =
∂f
∂x
(et
2
, sent).2tet
2
+
∂f
∂y
(et
2
, sent). cos t.
Para o ı´tem 2. temos
F ′(0) = 2.0.e0
∂f
∂x
(1, 0) + 1
∂f
∂y
(1, 0) =
∂f
∂y
(1, 0) = 5.
47
Aula 15: 23/04/2010
Exemplo: Suponha que f : R2 → R e´ diferencia´vel e que f(3x+ 1, 3x− 1) = 4 para todo x.
Mostre que
∂f
∂x
(3x+ 1, 3x− 1) = −∂f
∂y
(3x+ 1, 3x− 1).
Soluc¸a˜o: Chamando x = t e derivando vem
0 =
∂f
∂x
(3t+ 1, 3t− 1)dx
dt
+
∂f
∂y
(3t+ 1, 3t− 1)dy
dt
= 3
∂f
∂x
(3t+ 1, 3t− 1) + 3∂f
∂y
(3t+ 1, 3t− 1).
Da´ı, dividindo por 3 e voltando a chamar t = x temos o requerido.
Sejam A ⊂ R2 e B ⊂ R2 conjuntos abertos, f : A → R e g, h : B → R func¸o˜es
diferencia´veis tais que g(B)× h(B) ⊂ A. Considere a func¸a˜o F : B → R dada por F (u, v) =
f(g(u, v), h(u, v)). O objetivo agora e´ calcular
∂F
∂u
e
∂F
∂v
.
Para calcular ∂F
∂u
, basta fazer v constante e aplicar a regra da cadeia. Portanto temos
∂F
∂u
=
∂f
∂x
∂g
∂u
+
∂f
∂y
∂h
∂u
.
Para calcular ∂F
∂v
, basta fazer u constante e aplicar a regra da cadeia. Portanto temos
∂F
∂v
=
∂f
∂x
∂g
∂v
+
∂f
∂y
∂h
∂v
.
Exemplo: Seja F (r, θ) = f(x, y), onde x = r cos θ e y = rsenθ, calcule
∂F
∂r
e
∂F
∂θ
.
Utilizando a fo´rmula anterior temos
∂F
∂r
(r, θ) =
∂f
∂x
(x, y)
∂x
∂r
(r, θ) +
∂f
∂y
(x, y)
∂y
∂r
(r, θ) =
∂f
∂x
(x, y) cos θ +
∂f
∂y
(x, y)senθ
e
∂F
∂θ
(r, θ) =
∂f
∂x
(x, y)
∂x
∂θ
(r, θ) +
∂f
∂y
(x, y)
∂y
∂θ
(r, θ) =
∂f
∂x
(x, y)(−rsenθ) + ∂f
∂y
(x, y)r cos θ,
portanto
∂F
∂r
(r, θ) = cos θ
∂f
∂x
(r cos θ, rsenθ) + senθ
∂f
∂y
(r cos θ, rsenθ)
e
∂F
∂θ
(r, θ) = −rsenθ∂f
∂x
(r cos θ, rsenθ) + r cos θ
∂f
∂y
(r cos θ, rsenθ).
6.5 Derivac¸a˜o de func¸o˜es definidas implicitamente
Em muitas situac¸o˜es uma func¸a˜o na˜o e´ definida de forma expl´ıcita. Ela e´ definida de forma
impl´ıcita. Mais precisamente, temos a seguinte definic¸a˜o.
48
Definic¸a˜o 26. Sejam A ⊂ R2, f : A → R, e g : I ⊂ R → R uma func¸a˜o tal que o gra´fico
de g esta´ contido em A. Dizemos que a func¸a˜o g e´ definida implicitamente pela equac¸a˜o
f(x, y) = 0 se para todo x ∈ I tivermos f(x, g(x)) = 0.
Exemplo: A func¸a˜o y(x) =
√
1− x2 e´ definida implicitamente por x2 + y2 = 1.
A ide´ia agora e´ calcular a derivada g′(x) de uma func¸a˜o deriva´vel y = g(x) definida
implicitamente por uma equac¸a˜o f(x, y) = 0, onde f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel. Sabemos
que f(x, g(x)) = 0 para todo x. Enta˜o e´ so´ derivar e aplicar a regra da cadeia. Logo
∂f
∂x
(x, y)
dx
dx
+
∂f
∂y
(x, y)
dg
dx
(x) = 0
isto e´
∂f
∂x
(x, y) +
∂f
∂y
(x, y)g′(x) = 0,
portanto temos
g′(x) = −
∂f
∂x
(x, y)
∂f
∂y
(x, y)
,
desde que
∂f
∂y
(x, y) 6= 0.
No exemplo anterior temos f(x, y) = x2 + y2 − 1, logo
g′(x) = −
∂f
∂x
(x, y)
∂f
∂y
(x, y)
= −2x
2y
= − x√
1− x2 .
Analogamente, pode-se calcular a derivada h′(y) de uma func¸a˜o deriva´vel x = h(y) definida
implicitamente por uma equac¸a˜o f(x, y) = 0, onde f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel. Sabemos
que f(h(y), y) = 0 para todo y. Enta˜o e´ so´ derivar e aplicar a regra da cadeia. Logo
∂f
∂x
(x, y)
dh
dy
(y) +
∂f
∂y
(x, y)
dy
dy
= 0
isto e´
∂f
∂x
(x, y)h′(y) +
∂f
∂y
(x, y) = 0,
portanto temos
h′(y) = −
∂f
∂y
(x, y)
∂f
∂x
(x, y)
,
desde que
∂f
∂x
(x, y) 6= 0.
49
Exemplo: A func¸a˜o diferencia´vel y = y(x) e´ definida implicitamente pela equac¸a˜o y3+ xy+
x3 = 3. Expresse
dy
dx
em termos de x e y.
Soluc¸a˜o 1 : Considere f(x, y) = y3 + xy + x3 − 3. Da´ı temos
y′(x) = −
∂f
∂x
(x, y)
∂f
∂y
(x, y)
= −3x
2 + y
3y2 + x
.
Soluc¸a˜o 2 : Derivamos a expressa˜o y3 + xy + x3 = 3 em relac¸a˜o a x e obtemos
d
dx
[y3 + xy + x3] =
d
dx
[3]⇒ 3y2y′(x) + y + xy′(x) + 3x2 = 0.
Da´ı isolamos y′(x) na expressa˜o anterior e obtemos
y′(x)(3y2 + x) + (3x2 + y) = 0⇒ y′(x) = −3x
2 + y
3y2 + x
.
50
Quinta Lista de Exerc´ıcios
1. Seja f(x, y) = x2 + y2 e seja γ(t) = (x(t), y(t)) uma curva diferencia´vel cuja imagem
esta´ contida na curva de n´ıvel f(x, y) = 1. Seja γ(t0) = (x0, y0). Prove que o produto
escalar de γ′(t0) com ∇f(x0, y0) e´ zero. Interprete geometricamente.
2. Calcule dz
dt
nos casos abaixo.
(a) z = senxy, x = 3t e y = t2.
(b) z = x2 + 3y2, x = sent e y = cost.
(c) z = ln(1 + x2 + y2), x = sen3t e y = cos3t.
3. Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1).
(a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f .
(b) Calcule g′(0) admitindo que ∂f
∂x
(0,−1) = 1
3
.
4. Suponha que, para todo x, f(3x, x3) = arctgx.
(a) Calcule ∂f
∂x
(3, 1) admitindo ∂f
∂y
(3, 1) = 2.
(b) Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (3, 1, f(3, 1)).
5. Admita que, para todo (x, y),
4y
∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 2.
Calcule g′(t), sendo g(t) = f(2cost, sent).
6. Admita que, para todo (x, y),
4y
∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 0.
Prove que f e´ constante sobre a elipse x
2
4
+ y2 = 1.
7. A imagem da curva γ(t) = (2t, t2, z(t)) esta´ contida no gra´fico de z = f(x, y). Sabe-se
que f(2, 1) = 3, ∂f
∂x
(2, 1) = 1 e ∂f
∂y
(2, 1) = −1 Determine a equac¸a˜o da reta tangente a γ
no ponto γ(1).
8. Admita que, para todo (x, y),
x
∂f
∂x
(x, y)− y∂f
∂y
(x, y) = 0.
Mostre que g(t) = f(t, 2
t
), t > 0, e´ constante.
9. Sejam f = f(t) e g = g(x, y) func¸o˜es diferencia´veis tais que g(t, f(t)) = 0, para todo
t. Suponha que f(0) = 1, ∂g
∂x
(0, 1) = 2 e ∂g
∂y
(0, 1) = 4. Determine a equac¸a˜o da reta
tangente a γ(t) = (t, f(t)), no ponto γ(0).
51
10. Sejam f = f(x, y, z) e g = g(x, y) func¸o˜es diferencia´veis tais que para todo (x, y) no
domı´nio de g, f(x, y, g(x, y)) = 0. Suponha que g(1, 1) = 3, ∂f
∂x
(1, 1, 3) = 2, ∂f
∂y
(1, 1, 3) =
5 e ∂f
∂z
(1, 1, 3) = 10. Determine a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de g, no ponto
(1, 1, 3).
11. Seja F (x, y, z) = f
(
x
y
, y
z
, z
x
)
. Mostre que
x
∂F
∂x
+ y
∂F
∂y
+ z
∂F
∂z
= 0.
52
Aula 16: 28/04/2010
Aula de Du´vidas, Revisa˜o e Exerc´ıcios.
53
Aula 17: 30/04/2010
Primeira Prova de Ca´lculo II
1. Esboce a curva de n´ıvel c = 1
2
da func¸a˜o f(x, y) =
1
x2 + 2y2
.
2. Calcule, caso exista.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
.
(b) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
.
3. Seja f(x, y) =
√
x2 + y2, (x, y) ∈ R2. Calcule o plano tangente ao gra´fico de f passando
pelo ponto (3,−4, 5).
4. Considere a func¸a˜o f(x, y) =
{
x2√
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0)
.
(a) Verifique se f e´ cont´ınua em (0, 0).
(b) Calcule ∂f
∂x
(0, 0) e ∂f
∂y
(0, 0).
(c) Verifique se f e´ diferencia´vel em (0, 0).
5. Sejam f : R2 → R e (x0, y0) ∈ R2. Verifique se cada uma das sentenc¸as abaixo e´
verdadeira ou falsa. Justifique com detalhes.
(a) Se as derivadas parciais ∂f
∂x
e ∂f
∂y
sa˜o cont´ınuas, enta˜o f e´ cont´ınua.
(b) Se ∂f
∂x
(x0, y0) e
∂f
∂y
(x0, y0) existem, enta˜o f e´ diferencia´vel em (x0, y0).
Boa Prova!
54
Resoluc¸a˜o da Prova
1. Temos que f(x, y) = c se, e somente se, x2 + 2y2 = 2. Portanto a curva de n´ıvel e´ a
elipse dada por
x2
2
+ y2 = 1.
O esboc¸o e´ apresentado na figura abaixo.
√
2
1
−√2
−1
Figura 28: Curva de n´ıvel c = 1