Notas de Aula de Geometria Riemanniana

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Rodney Josue´ Biezuner 38
Prova: Pela Proposic¸a˜o 1.12, a mudanc¸a de coordenadas da base Bx para a base By e´ dada por
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
=
n∑
j=1
∂yj
∂xi
∂
∂yj
∣∣∣∣
p
.
O resultado segue enta˜o da Proposic¸a˜o 1.8. �
Obtemos tambe´m da discussa˜o que se segue a` Proposic¸a˜o 1.8 que se
[ω]B∗x
= (ωx1 , . . . , ω
x
n) ,
[ω]B∗y = (ω
y
1 , . . . , ω
y
n) ,
enta˜o
ωix =
n∑
j=1
∂yj
∂xi
ωyj .
Podemos agora entender a terminologia antiga em que vetores tangentes eram chamados vetores contrava-
riantes, enquanto que covetores tangentes eram chamados vetores covariantes. E´ importante ressaltar que
esta terminologia nada tem a ver com functores covariantes e contravariantes da teoria de categorias.
1.4 Tensores
1.4.1 Definic¸a˜o
1.16 Definic¸a˜o. Seja V um espac¸o vetorial real de dimensa˜o finita e V ∗ seu espac¸o dual.
Um k-tensor covariante em V (ou tensor covariante de ordem k) e´ uma func¸a˜o real k-linear
T : V × . . .× V︸ ︷︷ ︸
k vezes
−→ R.
Um l-tensor contravariante em V (ou tensor contravariante de ordem l) e´ uma func¸a˜o real l-linear
T : V ∗ × . . .× V ∗︸ ︷︷ ︸
l vezes
−→ R.
Um tensor do tipo (k, l) e´ um tensor k-covariante e l-contravariante, isto e´, uma func¸a˜o real multilinear
T : V × . . .× V︸ ︷︷ ︸
k vezes
× V ∗ × . . .× V ∗︸ ︷︷ ︸
l vezes
−→ R.
O espac¸o vetorial real dos k-tensores covariantes sobre V sera´ denotado por T k (V ); o espac¸o vetorial dos
l-tensores contravariantes sobre V sera´ denotado por Tl (V ) e o espac¸o vetorial dos (k, l) tensores sobre V
sera´ denotado por T kl (V ). Estes espac¸os vetoriais sa˜o chamados espac¸os tensoriais. �
1.17 Exemplo. Um 1-tensor covariante e´ simplesmente um covetor. Formas bilineares, entre elas o produto
interno, sa˜o 2-tensores covariantes. Determinantes sa˜o n-tensores covariantes em Rn. �
Algumas identificac¸o˜es naturais (isto e´, independente de especificac¸a˜o de bases):
• 0-tensores sa˜o nu´meros reais:
T 0 (V ) = R;
• tensores do tipo (k, 0) sa˜o k-tensores covariantes:
T k0 (V ) = T
k (V ) ;
Rodney Josue´ Biezuner 39
• tensores do tipo (0, l) sa˜o l-tensores contravariantes:
T 0l (V ) = Tl (V ) ;
• 1-tensores covariantes sa˜o covetores:
T 1 (V ) = V ∗
• 1-tensores contravariantes sa˜o vetores:
T1 (V ) = V
∗∗ = V.
1.18 Proposic¸a˜o. Seja End (V ) o espac¸o vetorial dos operadores lineares sobre V . Enta˜o existe um iso-
morfismo natural
T 11 (V )
∼= End (V ) .
Prova. Um isomorfismo natural Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) pode ser definido por
Φ (A) (v, ω) = ω (Av) .
�
1.19 Proposic¸a˜o. Considere o espac¸o vetorial L
(
V k × (V ∗)l ;V
)
das aplicac¸o˜es multilineares
T : V × . . .× V︸ ︷︷ ︸
k vezes
× V ∗ × . . .× V ∗︸ ︷︷ ︸
l vezes
−→ V.
Enta˜o existe um isomorfismo natural
T kl+1 (V )
∼= L
(
V k × (V ∗)l ;V
)
.
Prova. Este pode ser definido por
(ΦT )
(
v1, . . . , vk, ω
1, . . . , ωl, ωl+1
)
= ωl+1
(
T
(
v1, . . . , vk, ω
1, . . . , ωl
))
.
�
1.4.2 Produto Tensorial
1.20 Definic¸a˜o. Sejam T e S tensores de tipos (k, l) e (p, q), respectivamente. Seu produto tensorial e´
o tensor T ⊗ S do tipo (k + p, l + q) definido por
(T ⊗ S) (v1, . . . , vk+p, ω1, . . . , ωl+q) = T (v1, . . . , vk, ω1, . . . , ωl)S (vk+1, . . . , vk+p, ωl+1, . . . , ωl+q) .
�
1.21 Exemplo. Sejam ω1, ω2 dois covetores (1-tensores covariantes). Enta˜o
ω1 ⊗ ω2 (v1, v2) = ω1 (v1)ω2 (v2)
e´ um 2-tensor covariante (uma forma bilinear). �
Usando produtors tensoriais, podemos obter uma base para o espac¸o tensorial T kl (V ):
Rodney Josue´ Biezuner 40
1.22 Proposic¸a˜o. Se
B = {e1, . . . , en}
e´ uma base para o espac¸o vetorial V e
B∗ =
{
e1, . . . , en
}
e´ a correspondente base dual para V ∗, enta˜o
Bkl =
{
ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl
}
16i1,...,ik6n
16j1,...,jl6n
(1.26)
e´ uma base para o espac¸o tensorial T kl (V ). Ale´m disso, qualquer tensor T ∈ T kl (V ) se escreve na forma
T =
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
T j1...jli1...ik e
i1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl , (1.27)
onde
T j1...jli1...ik = T
(
ei1 , . . . , eik , e
j1 , . . . , ejl
)
. (1.28)
Em particular, dimT kl (V ) = n
k+l.
Prova. Primeiro mostraremos que Bkl gera o espac¸o tensorial T
k
l (V ). Seja T ∈ T kl (V ) um tensor qualquer
e defina
T j1...jli1...ik = T
(
ei1 , . . . , eik , e
j1 , . . . , ejl
)
.
Se v1, . . . , vk ∈ V , ω1, . . . , ωl ∈ V ∗ sa˜o vetores e covetores arbitra´rios, expressos em coordenadas por
vr =
n∑
ir=1
virr eir e ω
s =
n∑
js=1
ωsjse
js
para r = 1, . . . , k e s = 1, . . . , l, segue da multilinearidade que
T
(
v1, . . . , vk, ω
1, . . . , ωl
)
= T
 n∑
i1=1
vi11 ei1 , . . . ,
n∑
ik=1
vikk eik ,
n∑
j1=1
ω1j1e
j1 , . . . ,
n∑
jl=1
ωljle
jl

=
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
vi11 . . . v
ik
k ω
1
j1 . . . ω
l
jl
T
(
ei1 , . . . , eik , e
j1 , . . . , ejl
)
=
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
T j1...jli1...ik v
i1
1 . . . v
ik
k ω
1
j1 . . . ω
l
jl
=
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
T j1...jli1...ik e
i1 (v1) . . . e
ik (vk) ej1
(
ω1
)
. . . ejl
(
ωl
)
=
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
T j1...jli1...ik e
i1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl
(
v1, . . . vk, ω
1, . . . , ωl
)
.
Para mostrar que Bkl e´ linearmente independente, suponha que exista uma combinac¸a˜o linear nula
T =
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
Cj1...jli1...ike
i1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl = 0
Rodney Josue´ Biezuner 41
para algumas constantes Cj1...jli1...ik ∈ R. Como
ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl)
= ei1 (er1) . . . e
ik (erk) ej1 (e
s1) . . . ejl (e
sl)
= δr1i1 . . . δ
rk
ik
δj1s1 . . . δ
jl
sl
,
segue que
0 = T (er1 , . . . , erk , e
s1 , . . . , esl) = Cs1...slr1...rk
para todos os ı´ndices r1, . . . , rk, s1, . . . , sl = 1, . . . , n. �
Este resultado mostra que um tensor e´ completamente determinado pela sua ac¸a˜o em todas as sequeˆncias
poss´ıveis de covetores e vetores das bases de V ∗ e V .
Observe que, se F ∈ T kl (V ), G ∈ T pq (V ) e T = F ⊗G ∈ T k+pl+q (V ), enta˜o
T
j1...jljl+1...jl+q
i1...ikik+1...ik+p
= T
(
ei1 , . . . , eik , eik+1 , . . . , eik+p , e
j1 , . . . , ejl , ejl+1 , . . . , ejl+q
)
= F
(
ei1 , . . . , eik , e
j1 , . . . , ejl
)
G
(
eik+1 , . . . , eik+p , e
jl+1 , . . . , ejl+q
)
de modo que
T
j1...jljl+1...jl+q
i1...ikik+1...ik+p
= F j1...jli1...ikG
jl+1...jl+q
ik+1...ik+p
. (1.29)
1.4.3 Mudanc¸a de Base
1.23 Proposic¸a˜o. Sejam B1 = {e1, . . . , en} ,B2 = {f1, . . . , fn} duas bases para o espac¸o vetorial V e
B∗1 =
{
e1, . . . , en
}
,B∗2 =
{
f1, . . . , fn
}
as respectivas bases duais para V ∗. Sejam A a matriz de mudanc¸a
de coordenadas da base B1 para a base B2, e
(
A−1
)T
a matriz de mudanc¸a de coordenadas da base dual B∗1
para a base dual B∗2, isto e´,
ei =
n∑
j=1
Ajifj e e
k =
n∑
l=1
(
A−1
)k
l
f l.
Sejam
T =
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
Ej1...jli1...ike
i1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl
=
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
F j1...jli1...ik f
i1 ⊗ . . .⊗ f ik ⊗ fj1 ⊗ . . .⊗ fjl
as expresso˜es em coordenadas para um tensor T ∈ T kl (V ) em relac¸a˜o a estas bases. Enta˜o
Ej1...jli1...ik =
n∑
r1,...,rk=1
s1,...,sl=1
Ar1i1 . . . A
rk
ik
(
A−1
)j1
s1
. . .
(
A−1
)jl
sl
F s1...slr1...rk . (1.30)
Rodney Josue´ Biezuner 42
Prova. Segue da u´ltima proposic¸a˜o e por multilinearidade que
Ej1...jli1...ik
= T
(
ei1 , . . . , eik , e
j1 , . . . , ejl
)
= T
(
n∑
r1=1
Ar1i1 fr1 , . . . ,
n∑
rk=1
Arkik frk ,
n∑
s1=1
(
A−1
)j1
s1
fs1 , . . . ,
n∑
sl=1
(
A−1
)jl
sl
fsl
)
=
n∑r1,...,rk=1
s1,...,sl=1
Ar1i1 . . . A
rk
ik
(
A−1
)j1
s1
. . .
(
A−1
)jl
sl
T (fr1 , . . . , frk , f
s1 , . . . , fsl)
=
n∑
r1,...,rk=1
s1,...,sl=1
Ar1i1 . . . A
rk
ik
(
A−1
)j1
s1
. . .
(
A−1
)jl
sl
F s1...slr1...rk .
�
1.24 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel. Para cada p ∈ M definimos o espac¸o tensorial
tangente T kl (TpM) a M em p. Seja ϕ : U −→ ϕ (U) uma carta de uma vizinhanc¸a de um ponto p ∈M . A
base coordenada
Bp =
{
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xn
∣∣∣∣
p
}
do espac¸o tangente TpM associada a` carta ϕ e sua respectiva base dual
B∗p =
{
dx1
∣∣
p
, . . . , dxn|p
}
da˜o origem a` base coordenada associada a` carta ϕ para o espac¸o tensorial tangente T kl (TpM)
(
Bkl
)
p
=
{
dxi1
∣∣
p
⊗ . . .⊗ dxik ∣∣
p
⊗ ∂
∂xj1
∣∣∣∣
p
⊗ . . .⊗ ∂
∂xjl
∣∣∣∣
p
}
16i1,...,ik6n
16j1,...,jl6n
(1.31)
�
1.25 Corola´rio. Seja M uma variedade diferencia´vel n-dimensional e ϕ : U −→ ϕ (U) , ψ : V −→ ψ (V )
duas cartas para vizinhanc¸as de p = ϕ (x) = ψ (y) em M . Sejam
Bx =
{
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xn
∣∣∣∣
p
}
,
By =
{
∂
∂y1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂yn
∣∣∣∣
p
}
as bases coordenadas de TpM induzidas pelas cartas ϕ e ψ, respectivamente, e
B∗x =
{
dx1
∣∣
p
, . . . , dxn|p
}
,
B∗y =
{
dy1
∣∣
p
, . . . , dyn|p
}
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suas respectivas bases duais. Sejam
Tp =
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
Ej1...jli1...ik (p) dx
i1
∣∣
p
⊗ . . .⊗ dxik ∣∣
p
⊗ ∂
∂xj1
∣∣∣∣
p
⊗ . . .⊗ ∂
∂xjl
∣∣∣∣
p
=
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
F j1...jli1...ik (p) dy
i1
∣∣
p
⊗ . . .⊗ dyik ∣∣
p
⊗ ∂
∂yj1
∣∣∣∣
p
⊗ . . .⊗ ∂
∂yjl
∣∣∣∣
p
as expresso˜es em coordenadas para um tensor Tp ∈ T kl (TpM) em relac¸a˜o a estas bases. Enta˜o
Ej1...jli1...ik (p) =
n∑
r1,...,rk=1
s1,...,sl=1
∂yr1
∂xi1
. . .
∂yrk
∂xik
∂xj1
∂ys1
. . .
∂xjl
∂ysl
F s1...slr1...rk (p) . (1.32)
Prova: Segue das Proposic¸o˜es 1.12, 1.15 e 1.23. �
1.4.4 Trac¸o de Tensores
O trac¸o de uma matriz A =
(
Aij
)
n×n e´ definido por
trA =
n∑
i=1
Aii.
A partir disso pode-se definir o trac¸o de um operador linear sobre um espac¸o vetorial real de dimensa˜o finita
como sendo o trac¸o de qualquer uma de suas representac¸o˜es matriciais com respeito a uma base fixada pois
pode-se provar que o trac¸o independe da base escolhida, ou seja, que o trac¸o e´ uma noc¸a˜o independente de
coordenadas. Usando o isomorfismo natural entre o espac¸o vetorial End (V ) dos operadores lineares sobre V
e T 11 (V ), podemos definir logo de in´ıcio o trac¸o para operadores lineares independemente de coordenadas.
Ale´m da vantagem o´bvia de se ter uma definic¸a˜o que na˜o se refere a coordenadas, a maior vantagem e´ que
ela sera´ naturalmente generalizada para definir o trac¸o de tensores.
Observe que e´ uma consequeˆncia da Proposic¸a˜o 1.22 que os produtos tensoriais da forma ω⊗ v, ω ∈ V ∗,
v ∈ V , geram T 11 (V ); em outras palavras, todo (1, 1)-tensor e´ uma combinac¸a˜o linear de tais produtos
tensoriais.
1.26 Definic¸a˜o. O trac¸o de (1, 1)-tensores e´ o funcional linear tr : T 11 (V ) −→ R definido por
tr (ω ⊗ v) = ω (v)
em produtos tensoriais e estendido linearmente a todo T 11 (V ).
Se Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) e´ o endomorfimo natural, enta˜o o trac¸o de um operador linear A ∈ End (V )
e´ definido por
trA = tr (Φ (A)) .
�
1.27 Proposic¸a˜o. Se T ∈ T 11 (V ) se escreve em coordenadas na forma
T =
n∑
i,j=1
T ji e
i ⊗ ej ,
enta˜o
trT =
n∑
i=1
T ii . (1.33)
Rodney Josue´ Biezuner 44
Se A ∈ End (V ), enta˜o
trA =
n∑
i=1
Aii. (1.34)
Prova: Por definic¸a˜o,
trT =
n∑
i,j=1
T ji tr
(
ei ⊗ ej
)
=
n∑
i,j=1
T ji e
i (ej) =
n∑
i,j=1
T ji δ
i
j =
n∑
i=1
T ii .
Da´ı, como
trA =
n∑
i=1
[Φ (A)]
i
i ,
e, pela Proposic¸a˜o 1.18,
[Φ (A)]
j
i = Φ (A)
(
ei, e
j
)
= ej (Aei) = e
j
(
n∑
k=1
Aki ek
)
=
n∑
k=1
Aki e
j (ek) =
n∑
k=1
Aki δjk
= Aji ,
segue a segunda expressa˜o. �
O conceito de trac¸o pode ser generalizado para tensores de qualquer tipo, produzindo uma operac¸a˜o que
diminui a ordem total do tensor em 2, 1 para a parte covariante e 1 para a parte contravariante. Antes
observe que, dado um tensor T do tipo (k, l) e ı´ndices p, q, cada (k − 1, l − 1)-upla fixada(
v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl
) ∈ V k−1 × (V ∗)l−1
define um tensor S ∈ T 11 (V ), que depende da (k − 1, l − 1)-upla escolhida, atrave´s da expressa˜o
S (v, ω) = T
(
v1, . . . , vp−1, v, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ω, ωq+1, . . . , ωl
)
.
Em outras palavras, fixados v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl,
T
(
v1, . . . , vp−1, ·, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ·, ωq+1, . . . , ωl
)
e´ um (1, 1)-tensor.
1.28 Definic¸a˜o. Dado um tensor T do tipo (k, l) e ı´ndices p, q, o trac¸o de T com respeito aos ı´ndices p, q
(´ındice covariante p e ı´ndice contravariante q) e´ o tensor trT do tipo (k − 1, l − 1) definido por
(trT )
(
v1, . . . , vp−1, vp, . . . , vk−1, ω1, . . . , ωq−1, ωq, . . . , ωl−1
)
= trT
(
v1, . . . , vp−1, ·, vp, . . . , vk−1, ω1, . . . , ωq−1, ·, ωq, . . . , ωl−1
)
.
Se for necessa´rio explicitar os ı´ndices em relac¸a˜o aos quais foi tomado o trac¸o, denotaremos trpq T . �
1.29 Proposic¸a˜o. Se T ∈ T kl (V ) se escreve em coordenadas na forma
T =
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
T j1...jli1...ik e
i1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl .
Rodney Josue´ Biezuner 45
enta˜o as coordenadas de
trT =
n∑
i1,...,ik−1=1
j1,...,jl−1=1
(trT )
j1...jl−1
i1...ik−1 e
i1 ⊗ . . .⊗ eik−1 ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl−1
sa˜o dadas por
(trT )
j1...jl−1
i1...ik−1 =
n∑
i=1
T
j1...jq−1ijq...jk−1
i1...ip−1iip...il−1 . (1.35)
Prova: Por definic¸a˜o, se S e´ o tensor T
(
ei1 , . . . , eip−1 , ·, eip , . . . , eik−1 , ej1 , . . . , ejq−1 , ·, ejq , . . . , ejl−1
)
, enta˜o
(trT )
j1...jl−1
i1...ik−1 = (trT )
(
ei1 , . . . , eip−1 , eip , . . . , eik−1 , e
j1 , . . . , ejq−1 , ejq , . . . , ejl−1
)
= trS
=
n∑
i=1
Sii
=
n∑
i=1
T
(
ei1 , . . . , eip−1 , ei, eip , . . . , eik−1 , e
j1 , . . . , ejq−1 , ei, ejq , . . . , ejl−1
)
=
n∑
i=1
T
j1...jq−1ijq...jl−1
i1...ip−1iip...ik−1 .
�
1.5 Fibrados Tensoriais
1.30 Definic¸a˜o. SejaM uma variedade diferencia´vel de dimensa˜o n com um atlas Φ = {ϕα : Uα −→M}α∈A.
O fibrado (k, l)-tensorial de M e´ a variedade diferencia´vel de dimensa˜o n+ nk+l
T kl M =
{
(p, T ) : p ∈M e T ∈ T kl (TpM)
}
com um atlas
Ψ =
{
ψα : Uα × Rnk+l −→ T kl TM
}
α∈A
definido por
ψα
(
x,
(
T j1...jli1...ik
)
i1,...,ik=1,...,n
j1,...,jl=1...,n
)
=
ϕα (x) , n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
T j1...jli1...ik dx
i1
∣∣
p
⊗ . . .⊗ dxik ∣∣
p
⊗ ∂
∂xj1
∣∣∣∣
p
⊗ . . .⊗ ∂
∂xjl
∣∣∣∣
p
 .
�
Fibrados tensoriais sa˜o fibrados vetoriais (veja o Exerc´ıcio 1.3). Note que
T 0M = C∞ (M) ,
T1M = TM,
T 1M = T ∗M,
T k0 M = T
kM,
T 0l M = TlM.
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O fibrado T 1M e´ chamado o fibrado cotangente.
1.6 Campos Tensoriais
1.31 Definic¸a˜o. Um campo tensorial e´ uma sec¸a˜o do fibrado tensorial. Um campo tensorial dife-
rencia´vel e´ uma sec¸a˜o diferencia´vel do fibrado tensorial.
O espac¸o vetorial dos campos (k, l)-tensoriais diferencia´veis e´ denotado por Tkl (M). �
A menos que seja dito o contra´rio, lidaremos apenas com campos tensoriais diferencia´veis. Note que
T0 (M) = C∞ (M) ,
T1 (M) = T (M) ,
Tk0 (M) = T
k (M) ,
T0l (M) = Tl (M) .
e T1M e´ o espac¸o vetorial dos campos covetoriais.
1.32 Proposic¸a˜o. Seja T : M −→ T kl M um campo tensorial.Para cada carta ϕ : U −→ V uma vizinhanc¸a
V de M , denote a base coordenada associada para o espac¸o tensorial T kl (TpM) por
(
Bkl
)
p
=
{
dxi1
∣∣
p
⊗ . . .⊗ dxik ∣∣
p
⊗ ∂
∂xj1
∣∣∣∣
p
⊗ . . .⊗ ∂
∂xjl
∣∣∣∣
p
}
16i1,...,ik6n
16j1,...,jl6n
para todo p ∈ V , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma
Tp =
n∑
i1,...,ik=1
j1,...,jl=1
T j1...jli1...ik (p) dx
i1
∣∣
p
⊗ . . .⊗ dxik ∣∣
p
⊗ ∂
∂xj1
∣∣∣∣
p
⊗ . . .⊗ ∂
∂xjl
∣∣∣∣
p
. (1.36)
Enta˜o T e´ um campo tensorial diferencia´vel se e somente se para toda carta ϕ as func¸o˜es T j1...jli1...ik : V −→ R
sa˜o diferencia´veis para todos os ı´ndices i1, . . . , ik, j1, . . . , jl = 1 . . . , n.
1.7 Exerc´ıcios
1.33 Exerc´ıcio. Defina explicitamente o fibrado cotangente e mostre que ele e´ um fibrado vetorial. Defina
explicitamente o conceito de campos covetoriais.
1.34 Exerc´ıcio. Mostre que o fibrado tensorial definido pela Definic¸a˜o 1.26 e´ de fato uma variedade dife-
rencia´vel.
1.35 Exerc´ıcio. Mostre que um fibrado tensorial e´ um fibrado vetorial.
1.36 Exerc´ıcio. Demonstre a Proposic¸a˜o 1.32
1.37 Exerc´ıcio. Seja T : M −→ T kl M uma sec¸a˜o do fibrado tensorial. Mostre que T e´ diferencia´vel (e,
portanto, um campo tensorial diferencia´vel) se e somente se para toda vizinhanc¸a V ⊂M e para todos os cam-
pos vetoriais X1, . . . , Xk e para todas os campos covetoriais ω
1, . . . , ωl a func¸a˜o T
(
X1, . . . , Xk, ω
1, . . . , ωl
)
:
V −→ R definida por
T
(
X1, . . . , Xk, ω
1, . . . , ωl
)
(p) = Tp
(
X1 (p) , . . . , Xk (p) , ω
1 (p) , . . . , ωl (p)
)
e´ diferencia´vel.
Cap´ıtulo 2
Me´tricas Riemannianas
2.1 Definic¸a˜o e Exemplos
2.1 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel de dimensa˜o n. Uma me´trica riemanniana em M e´
um campo 2-tensorial covariante diferencia´vel g com as seguintes propriedades:
(i) g e´ sime´trico, isto e´, gp (v, w) = gp (w, v) para todos v, w ∈ TpM ;
(ii) g e´ positivo definido, isto e´, gp (v, v) > 0 para todo v ∈ TpM , v 6= 0.
Uma variedade diferencia´vel M com uma me´trica riemanniana g dada e´ chamada uma variedade rie-
manniana. �
Em outras palavras, uma me´trica riemanniana em M e´ uma aplicac¸a˜o que associa a cada ponto p ∈M um
produto interno (isto e´, uma forma bilinear sime´trica, positiva definida)
gp = 〈·, ·〉p
no espac¸o tangente TpM que varia diferenciavelmente com p no sentido de que se ϕ : U −→ V e´ uma
carta para uma vizinhanc¸a coordenada V de M e Bp =
{
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xn
∣∣∣∣
p
}
e´ a base coordenada de TpM
associada a esta carta para cada p ∈ V , enta˜o as func¸o˜es gij : V −→ R
gij (p) =
〈
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
,
∂
∂xj
∣∣∣∣
p
〉
p
(2.1)
sa˜o diferencia´veis. De fato, escrevendo o tensor me´trica em coordenadas, temos
gp =
n∑
i,j=1
gij (p) dx
i
∣∣
p
⊗ dxj∣∣
p
, (2.2)
e as func¸o˜es componentes gij do tensor me´trica g sa˜o diferencia´veis para toda parametrizac¸a˜o ϕ se e somente
se g e´ diferencia´vel.
Omitindo o s´ımbolo do ponto de atuac¸a˜o p, como frequentemente faremos, escrevemos simplesmente
gij =
〈
∂
∂xi
,
∂
∂xj
〉
(2.3)
e notamos que a simetria do tensor me´trica implica que
gij = gji. (2.4)
47
Rodney Josue´ Biezuner 48
Em particular, quando consideramos a matriz
G = (gij) (2.5)
segue que G e´ uma matriz sime´trica, positiva definida. Observe que devido a` simetria existem apenas
n (n+ 1)
2
componentes potencialmente distintos do tensor me´trica, ao inve´s dos n2 componentes distintos para um
2-tensor covariante geral.
Usando o produto sime´trico de tensores (veja [Lee 1], Cap. 12, p. 315), que no caso de covetores e´
simplesmente
ωη :=
1
2
(ω ⊗ η + η ⊗ ω) (2.6)
e a simetria do tensor me´trica, podemos escrever a expressa˜o
g =
n∑
i,j=1
gijdx
i ⊗ dxj
na forma mais familiar
g =
n∑
i,j=1
gijdx
idxj , (2.7)
ja´ que
g =
n∑
i,j=1
gijdx
i ⊗ dxj =
n∑
i,j=1
1
2
(gij + gji) dx
i ⊗ dxj
=
1
2
n∑
i,j=1
gijdx
i ⊗ dxj + 1
2
n∑
i,j=1
gjidx
i ⊗ dxj
=
1
2
n∑
i,j=1
gijdx
i ⊗ dxj + 1
2
n∑
i,j=1
gijdx
j ⊗ dxi (permutando os ı´ndices i, j)
=
n∑
i,j=1
gij
1
2
(
dxi ⊗ dxj + dxj ⊗ dxi)
=
n∑
i,j=1
gijdx
idxj .
Estritamente falando, uma variedade riemanniana e´ um par (M, g), onde M e´ uma variedade diferencia´vel
e g a me´trica riemanniana, ja´ que uma mesma variedade diferencia´vel pode admitir diferentes me´tricas
riemannianas, como veremos no decorrer deste texto. Contudo, quando na˜o houver perigo de confusa˜o, no´s
vamos nos referir a` variedade riemanniana simplesmente por M .
2.2 Exemplo (Me´trica Euclidiana). A variedade riemanniana mais simples e´ Rn com a me´trica euclidiana
gij = 〈ei, ej〉 = δij . �
2.3 Proposic¸a˜o. Toda variedade diferencia´vel possui uma me´trica riemanniana.
Prova: Seja {ϕα : Uα −→ Vα}α um atlas para M e {fα}α uma partic¸a˜o da unidade de M subordinada a`
cobertura {Vα}α.
Rodney Josue´ Biezuner 49
Em cada Vα podemos definir uma me´trica riemanniana, aquela induzida pela carta: dado p ∈M e vetores
v, w ∈ TpM , eles se escrevem em coordenadas com relac¸a˜o a` base Bp =
{
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xn
∣∣∣∣
p
}
associada a`
carta ϕα por
v =
n∑
i=1
vi
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
e w =
n∑
j=1
wj
∂
∂xj
∣∣∣∣
p
e definimos o produto interno
〈v, w〉αp =
n∑
i=1
viwi.
Esta e´ uma me´trica riemanniana na subvariedade Vα com g
α
ij = δij . Para obter uma me´trica riemanniana
global em M , usamos a partic¸a˜o da unidade, definindo
〈v, w〉p =
∑
α
fα (p) 〈v, w〉αp .
De fato, esta soma e´ finita em uma vizinhanc¸a de p, portanto define um tensor diferencia´vel em M ; ale´m
disso, como uma combinac¸a˜o linear finita positiva de produtos internos e´ um produto interno, ela define um
produto interno em TpM . �
2.4 Exemplo (Me´trica Produto). Se (M1, g1) e (M2, g2) sa˜o duas variedades riemannianas, enta˜o defi-
nimos a me´trica produto g = g1 ⊕ g2 na variedade produto M1 ×M2 por
g(p1,p2) ((v1, w1) , (v2, w2)) = (g1)p1 (v1, v2) + (g2)p2 (w1, w2) (2.8)
para todos (v1, w1) , (v2, w2) ∈ Tp1M1 ⊕ Tp2M2 ∼= T(p1,p2) (M1 ×M2). Observe que a matriz associada a`
me´trica G e´ a matriz diagonal em blocos
G =
[
G1 0
0 G2
]
=
[
(g1)ij 0
0 (g2)ij
]
.
�
2.5 Definic¸a˜o. Sejam M,N variedades riemannianas. Um difeomorfismo F : M −→ N e´ uma isometria
se
〈v, w〉p = 〈dFpv, dFpw〉F (p) (2.9)
para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM . Se existir uma isometria entre M e N , dizemos que M e N sa˜o
isome´tricas.
Dizemos que M e N sa˜o localmente isome´tricas se para todo p ∈ M existe uma vizinhanc¸a Vp de p
em M e uma isometria F : Vp −→ F (Vp).
Dizemos que uma variedade riemanniana (M, g) e´ plana, se ela e´ localmente isome´trica a Rn com a
me´trica euclidiana. �
Observe que o conjunto das isometrias em uma variedade riemanniana possui uma estrutura natural de grupo
em que o produto de isometrias e´ definido como a composic¸a˜o das aplicac¸o˜es. Este grupo e´ denotado por
Isom (M) .
2.6 Exemplo. O grupo de isometrias de Rn com a me´trica euclidiana consiste das composic¸o˜es de aplicac¸o˜es
ortogonais e translac¸o˜es. �
Rodney Josue´ Biezuner 50
E´ fa´cil ver que isometria e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia na classe das variedades riemannianas. Geometria
Riemanniana e´ principalmente o estudo das propriedades que sa˜o invariantes por isometrias.Uma excelente
refereˆncia para o estudo de grupos de isometrias de variedades riemannianas e´ [Kobayashi].
Dizemos que uma aplicac¸a˜o diferencia´vel F : M −→ N entre variedades diferencia´veis e´ uma imersa˜o se
dFp e´ injetiva para todo p ∈M .
2.7 Definic¸a˜o. Sejam M uma variedade diferencia´vel, (N,h) uma variedade riemannianae F : M −→ N
uma imersa˜o. A me´trica induzida por F em M (tambe´m chamada a me´trica do pullback) e denotada
por
g = F ∗h
e´ definida por
〈v, w〉p := 〈dFpv, dFpw〉F (p) (2.10)
para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM . �
Com esta me´trica definida em M , a imersa˜o F torna-se uma imersa˜o isome´trica. Na linguagem do
pullback, um difeomorfismo F entre duas variedades riemannianas (M, g) e (N,h) e´ uma isometria se
g = F ∗h.
2.8 Exemplo (Superf´ıcies n-dimensionais em RN ). Seja M ⊂ Rn+k uma variedade diferencia´vel de
dimensa˜o n, isto e´, uma superf´ıcie n-dimensional. A aplicac¸a˜o inclusa˜o i : M −→ Rn+k e´ uma imersa˜o, de
modo que, se assumirmos a me´trica euclidiana em Rn+k, ela induz em M uma me´trica riemanniana. Neste
caso, a inclusa˜o passa a ser uma imersa˜o isome´trica. Da´ı, como a diferencial dip da inclusa˜o e´ a inclusa˜o
natural de TpM em Rn+k, segue que
〈v, w〉p = 〈v, w〉Rn+k (2.11)
onde 〈·, ·〉Rn+k e´ o produto interno canoˆnico de Rn+k. Uma demonstrac¸a˜o alternativa de que toda variedade
diferencia´vel possui uma me´trica segue enta˜o do Teorema da Imersa˜o de Whitney (isto e´, toda variedade
diferencia´vel de dimensa˜o n pode ser mergulhada em R2n; um mergulho e´ uma imersa˜o injetiva): a me´trica
induzida pela me´trica euclidiana em Rn. Diferentes cartas podem ser usadas para a mesma superf´ıcie n-
dimensional, cada uma dando origem a componentes gij mais ou menos simples.
Um exemplo de superf´ıcie n-dimensional e´ o gra´fico de uma func¸a˜o real. Se U ⊂ Rn e´ um aberto e
f : U → R e´ uma func¸a˜o, enta˜o o gra´fico de f
graf (f) = {(x, f (x)) : x ∈ U}
e´ uma variedade diferencia´vel com a topologia induzida de Rn+1 de dimensa˜o n. Uma carta global para o
gra´fico de f e´ ϕ : Rn −→ graf(f) definida por
ϕ
(
x1, . . . , xn
)
=
(
x1, . . . , xn, f
(
x1, . . . , xn
))
.
Como
∂ϕk
∂xj
=
{
δkj se k 6= n+ 1,
∂f
∂xj
se k = n+ 1,
ou seja,
∂ϕ
∂xj
(x) =
(
0, . . . , 0, 1
j
, 0, . . . 0,
∂f
∂xj
(x)
)
segue que
gij (x) =
〈
∂ϕ
∂xi
(x) ,
∂ϕ
∂xj
(x)
〉
(x,f(x))
=
〈
∂ϕ
∂xi
(x) ,
∂ϕ
∂xj
(x)
〉
Rn+1
= δij +
∂f
∂xi
∂f
∂xj
. (2.12)
Rodney Josue´ Biezuner 51
Outro exemplo de superf´ıcie 2-dimensional e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada por uma curva. Espe-
cificamente seja γ : I −→ R2, γ (t) = (α (t) , β (t)) uma curva parametrizada regular tal que β (t) 6= 0 para
todo t ∈ I; podemos imaginar γ contida no plano yz definindo
γ (t) = (0, α (t) , β (t)) .
Se girarmos esta curva ao redor do eixo z obteremos uma superf´ıcie parametrizada regular S. A imagem de
S e´ a imagem da aplicac¸a˜o ϕ : I × R −→ R3 dada por
ϕ (t, θ) = (α (t) cos θ, α (t) sen θ, β (t)) ;
a partir de ϕ podemos obter cartas locais restringindo o paraˆmetro θ a um intervalo aberto de comprimento
2pi. Da´ı,
∂ϕ
∂t
(t, θ) = (α′ (t) cos θ, α′ (t) sen θ, β′ (t)) ,
∂ϕ
∂θ
(t, θ) = (−α (t) sen θ, α (t) cos θ, 0) ,
donde
g11 (t, θ) =
〈
∂ϕ
∂t
(t, θ) ,
∂ϕ
∂t
(t, θ)
〉
ϕ(t,θ)
=
〈
∂ϕ
∂t
,
∂ϕ
∂t
〉
R3
= [α′ (t)]2 + [β′ (t)]2 ,
g12 (t, θ) =
〈
∂ϕ
∂t
(t, θ) ,
∂ϕ
∂θ
(t, θ)
〉
ϕ(t,θ)
=
〈
∂ϕ
∂t
,
∂ϕ
∂θ
〉
R3
= 0,
g22 (t, θ) =
〈
∂ϕ
∂θ
(t, θ) ,
∂ϕ
∂θ
(t, θ)
〉
ϕ(t,θ)
=
〈
∂ϕ
∂θ
,
∂ϕ
∂θ
〉
R3
= [α (t)]
2
.
Portanto
G (t, θ) =
[
[α′ (t)]2 + [β′ (t)]2 0
0 [α (t)]
2
]
.
�
2.9 Exemplo (Esfera). A me´trica euclidiana induz uma me´trica na esfera de raio R
SnR =
{
x ∈ Rn+1 : ‖x‖2 = (x1)2 + . . .+ (xn+1)2 = R2}
que chamaremos a me´trica canoˆnica de SnR. Denotaremos a esfera unita´ria por Sn, simplesmente. Vamos
ver os coeficientes gij para diferentes cartas da esfera.
a) Como gra´fico de func¸a˜o:
O hemisfe´rio superior da esfera e´ o gra´fico da func¸a˜o f : BR ⊂ Rn −→ R dada por f
(
x1, . . . , xn
)
=√
R2 − (x1)2 − . . .− (xn)2. Como
∂f
∂xi
(x) =
−xi√
R2 − ‖x‖2
,
segue que
gij (x) = δij +
xixj
R2 − ‖x‖2 . (2.13)
Similarmente para o hemisfe´rio inferior. Estas cartas na˜o cobrem o equador da esfera.
b) Como superf´ıcie de revoluc¸a˜o:
A parametrizac¸a˜o da esfera de raio R como superf´ıcie de revoluc¸a˜o e´
(x, y, z) (φ, θ) = (R senφ cos θ,R senφ sen θ,R cosφ).
Rodney Josue´ Biezuner 52
Segue que
G (φ, θ) =
[
R2 0
0 R2 sen2 φ
]
.
c) Atrave´s da projec¸a˜o estereogra´fica:
Na projec¸a˜o estereogra´fica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, R), a reta a partir de N que intercepta o
plano xn+1 = 0 em um ponto x˜ =
(
x1, . . . , xn, 0
)
, intercepta a esfera em um ponto ϕ (x). Portanto, a carta
projec¸a˜o estereogra´fica a partir do polo norte ϕ : Rn −→ SnR\ {N} e´ definida por
ϕ (x) = N + t (x˜−N) = (tx1, . . . , txn, (1− t)R)
onde t > 0 e´ tal que ‖ϕ (x)‖ = R. Ou seja, t e´ tal que
t2 ‖x‖2 + (1− t)2R2 = R2,
donde
t =
2R2
R2 + ‖x‖2 .
Logo,
ϕ
(
x1, . . . , xn
)
=
(
2R2x1
R2 + ‖x‖2 , . . . ,
2R2xn
R2 + ‖x‖2 , R
‖x‖2 −R2
R2 + ‖x‖2
)
, (2.14)
donde
∂ϕk
∂xj
(x) =

2R2δkj
R2 + ‖x‖2 −
4R2xjxk(
R2 + ‖x‖2
)2 se k 6= n+ 1,
4R3xj(
R2 + ‖x‖2
)2 se k = n+ 1.
Segue que as componentes do tensor me´trica nas coordenadas dadas pela carta ϕ sa˜o
gij (x) =
〈
∂ϕ
∂xi
(x) ,
∂ϕ
∂xj
(x)
〉
ϕ(x)
=
〈
n+1∑
k=1
∂ϕk
∂xi
(x) ek,
n+1∑
l=1
∂ϕl
∂xj
(x) el
〉
Rn+1
=
n+1∑
k,l=1
∂ϕk
∂xi
∂ϕl
∂xj
〈ek, el〉Rn+1 =
n+1∑
k,l=1
∂ϕk
∂xi
∂ϕl
∂xj
δkl =
n+1∑
k=1
∂ϕk
∂xi
∂ϕk
∂xj
=
n∑
k=1
 2R2δki
R2 + ‖x‖2 −
4R2xixk(
R2 + ‖x‖2
)2

 2R2δkj
R2 + ‖x‖2 −
4R2xjxk(
R2 + ‖x‖2
)2
+ 16R6xixj(
R2 + ‖x‖2
)4
=
n∑
k=1
 4R4δkiδkj(
R2 + ‖x‖2
)2 − 8R4
(
δkix
jxk + δkjx
ixk
)(
R2 + ‖x‖2
)3 + 16R4xixj
(
xk
)2(
R2 + ‖x‖2
)4
+ 16R6xixj(
R2 + ‖x‖2
)4
=
4R4δij(
R2 + ‖x‖2
)2 − 16R4xixj(
R2 + ‖x‖2
)3 + 16R4xixj ‖x‖2(
R2 + ‖x‖2
)4 + 16R6xixj(
R2 + ‖x‖2
)4
=
4R4δij(
R2 + ‖x‖2
)2 − 16R4xixj(
R2 + ‖x‖2
)3 + 16R4xixj(
R2 + ‖x‖2
)3
=
4R4δij(
R2 + ‖x‖2
)2 .
Rodney Josue´ Biezuner 53
Vamos anotar este resultado para futura refereˆncia:
gij (x) =
4R4(
R2 + ‖x‖2
)2 δij . (2.15)
Observe que
G (x) =

4R4(
R2 + ‖x‖2
)2
. . .
4R4(
R2 + ‖x‖2
)2

=
4R4(
R2 + ‖x‖2
)2 I.
Usando a projec¸a˜o estereogra´fica a partir do polo sul obtemos duas cartas que cobrem toda a esfera. �
2.10 Exemplo (Espac¸o Hiperbo´lico). Considere o semiespac¸o superior de Rn
Hn =
{(
x1, . . . , xn
) ∈ Rn : xn > 0} .
Com a topologia induzida como aberto de Rn, Hn e´ uma superf´ıcie diferencia´vel de dimensa˜o n. Dado R > 0,
se definirmos em Hn a me´trica
gij
(
x1, . . . , xn
)
=
δijR
2
(xn)
2 , (2.16)
enta˜o Hn com esta me´trica, denotado HnR, e´ uma variedade riemanniana chamada o espac¸o hiperbo´lico
n-dimensional. Observe que
G =

R2
(xn)
2
. . .
R2
(xn)
2
 =
R2
(xn)
2 I.
�
2.11 Exemplo (Toros). O toro mergulhado em R3 e´ uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pelo c´ırculo.
Tomando o c´ırculo com centro em (R, 0) e raio r < R com parametrizac¸a˜o γ (t) = (R+ r cos t, r sen t)
obtemos a parametrizac¸a˜o para o toro bidimensional como superf´ıcie de revoluc¸a˜o
ϕ (t, θ) = ((R+ r cos t) cos θ, (R+ r cos t) sen θ, r sen t)
cuja respectiva me´trica e´ dada por
G (t, θ) =
[
r2 0
0 (R+ r cos t)
2
]
.
Outra me´trica induzida de RN importante para o toro, na˜o localmente isome´trica a` me´trica dada acima
(como veremos depois) e´ a me´trica plana do toro: considerando o toro como a superf´ıcie n-dimensional
Tn = S1 × . . . × S1 ⊂ R2n, a me´trica euclidiana de R2n induz uma me´trica no toro da seguinte forma.
Escrevendo
Tn = S1 × . . .× S1 =
{x ∈ R2n : (x1)2 + (x2)2 = (x3)2 + (x4)2 = . . . = (x2n−1)2 + (x2n)2 = 1} ,
Rodney Josue´ Biezuner 54
vemos que uma parametrizac¸a˜o ϕ : Rn −→ Tn para este toro e´ dada por
ϕ (θ) = ϕ
(
θ1, . . . , θn
)
=
(
cos θ1, sen θ1, . . . , cos θn, sen θn
)
.
Temos, portanto,
∂ϕk
∂θj
(θ) =
 − sen θ
j se k = 2j − 1,
cos θj se k = 2j,
0 se k 6= 2j − 1, 2j.
ou seja,
∂ϕ
∂θj
=
(
0, . . . , 0,− sen θj
2j−1
, cos θj
2j
, 0, . . . 0
)
Da´ı
gij (θ) =
〈
∂ϕ
∂θi
(θ) ,
∂ϕ
∂θj
(θ)
〉
ϕ(θ)
=
〈
∂ϕ
∂θi
(θ) ,
∂ϕ
∂θj
(θ)
〉
R2n
= δij , (2.17)
que sa˜o os mesmos componentes da me´trica euclidiana. Portanto, o toro plano e´ localmente isome´trico ao
plano Rn. Observe que considerando T2 como uma superf´ıcie de R3 ou como uma superf´ıcie de R4 define
duas me´tricas completamente diferentes para a mesma superf´ıcie. �
2.2 Comprimentos e Volumes
2.2.1 Comprimentos de Curvas Parametrizadas
Em variedades riemannianas podemos definir e calcular o comprimento de curvas parametrizadas, isto e´,
curvas diferencia´veis por partes γ : I −→M , onde I ⊂ R e´ um intervalo real; curvas parametrizadas podem
possuir autointersec¸o˜es e ate´ mesmo cu´spides ou quinas. Um segmento de uma curva parametrizada γ e´
uma restric¸a˜o de γ a um intervalo fechado [a, b] ⊂ I. Se M e´ uma variedade riemanniana, a norma ou
comprimento de um vetor v ∈ TpM e´ a norma induzida pelo produto interno:
‖v‖p =
√
〈v, v〉p. (2.18)
2.12 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade riemanniana e γ : I −→M uma curva parametrizada. O compri-
mento do segmento de γ definido no intervalo [a, b] ⊂ I e´ definido por
` (γ) =
∫ b
a
‖γ′ (t)‖γ(t) dt. (2.19)
�
2.13 Exemplo. Considere a curva parametrizada γ (t) = (0, t) no semiespac¸o positivo R2+; temos γ′ (t) =
(0, 1) = e2. Se R2+ e´ considerado uma subvariedade riemanniana do plano euclideano, enta˜o
` (γ) =
∫ b
a
‖e2‖(0,t) dt =
∫ b
a
dt = b− a.
Se R2+ e´ o plano hiperbo´lico H2, enta˜o (para a, b > 0)
` (γ) =
∫ b
a
‖e2‖(0,t) dt =
∫ b
a
1
t
dt = log b− log a.
Em particular, fixando b = 1 temos ` (γ)→ +∞ quando a→ 0. �
Rodney Josue´ Biezuner 55
2.2.2 Volumes em Variedades Riemannianas Orienta´veis
A me´trica riemanniana tambe´m permite definir uma noc¸a˜o de volume em variedades orientadas que permite
integrar func¸o˜es, na˜o apenas formas diferenciais. Seja M uma variedade riemanniana orientada. Dado
p ∈ M , seja Bp = {e1, . . . , en} uma base ortonormal positiva para TpM . Seja ϕ : U −→ ϕ (U) uma
parametrizac¸a˜o positiva (isto e´, na mesma orientac¸a˜o de M ; para detalhes, veja por exemplo [Carmo], p.
18) de uma vizinhanc¸a ϕ (U) de p em M e escreva os vetores da base coordenada de TpM associada a` carta
ϕ em coordenadas em relac¸a˜o a` base ortonormal positiva Bp na seguinte forma:
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
=
n∑
k=1
Aki ek
para i = 1, . . . , n. Enta˜o
gij (p) =
〈
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
,
∂
∂xj
∣∣∣∣
p
〉
p
=
〈
n∑
k=1
Aki ek,
n∑
l=1
Aljel
〉
p
=
n∑
k,l=1
AkiA
l
j 〈ek, el〉p =
n∑
k,l=1
δklA
k
iA
l
j
=
n∑
k=1
AkiA
k
j .
Ou seja, definindo as matrizes G = (gij) e A =
(
Aij
)
, temos
G (p) = ATA
donde
detG = (detA)
2
.
Denotando por vol [v1, . . . , vn] o volume do paralelep´ıpedo formado pelos vetores v1, . . . , vn, sabemos que
vol
[
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xn
∣∣∣∣
p
]
= detA vol [e1, . . . , en] = detA =
√
detG (p) ,
ja´ que vol [e1, . . . , en] = 1. Seja ψ : V −→ ψ (V ) outra carta positiva de uma vizinhanc¸a ψ (V ) de p em M
e escreva os vetores da base coordenada associada a` carta ϕ em termos dos vetores da base coordenada de
TpM associada a` parametrizac¸a˜o ψ
∂
∂xi
∣∣∣∣
p
=
n∑
j=1
Jji
∂
∂yj
∣∣∣∣
p
(2.20)
com Jji = ∂y
j/∂xi. Denote
hij (p) =
〈
∂
∂yi
∣∣∣∣
p
,
∂
∂yj
∣∣∣∣
p
〉
p
e
H = (hij) .
Segue que
√
detG (p) = vol
[
∂
∂x1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂xn
∣∣∣∣
p
]
= det J vol
[
∂
∂y1
∣∣∣∣
p
, . . . ,
∂
∂yn
∣∣∣∣
p
]
(2.21)
= det J
√
detH (p) .
Podemos agora definir o volume.
Rodney Josue´ Biezuner 56
2.14 Definic¸a˜o. Seja Mn uma variedade riemanniana e Ω ⊂ M um conjunto aberto, conexo e com fecho
compacto, tal que Ω esta´ contida em uma vizinhanc¸a coordenada ϕ (U) de uma parametrizac¸a˜o ϕ : U −→
ϕ (U) e a fronteira de ϕ−1 (Ω) tem medida nula em Rn. O volume de Ω e´ definido por
vol Ω =
∫
ϕ−1(Ω)
√
detGdx1 . . . dxn. (2.22)
Se Ω ⊂M e´ um compacto, tome qualquer cobertura finita {Vi}i=1,...,n de Ω por vizinhanc¸as parametrizadas
de M e considere uma partic¸a˜o da unidade {ρi}i=1,...,n subordinada a esta cobertura; se ϕi : Ui −→ Vi,
i = 1, . . . , n, sa˜o parametrizac¸o˜es destas vizinhanc¸as, definimos
vol Ω =
n∑
i=1
∫
ϕ−1i (Ω)
ρi
√
detGdx1 . . . dxn. (2.23)
Se f : M −→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua com suporte compacto Ω, definimos∫
M
f dVg =
n∑
i=1
∫
ϕ−1i (Ω)
f
(
ϕ−1i (x)
)√
detGdx1 . . . dxn. (2.24)
�
Segue da fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis para integrais mu´ltiplas e de (2.21) que o volume esta´ bem
definido, isto e´, na˜o depende da carta. Na linguagem de formas, o elemento de volume riemanniano
dVg =
√
detGdx1 . . . dxn =
√
detGdx1 ∧ . . . ∧ dxn (2.25)
e´ uma n-forma (para um tratamento usando formas, veja [Lee 2] e especialmente [Lee 1], Cap. 16, p. 422
em diante, que traz o teorema de Stokes e suas va´rias verso˜es para variedades riemannianas).
2.3 Grupos de Lie e A´lgebras de Lie
O grupo de isometrias de uma variedade Riemanniana e´ um grupo de Lie, como pode ser visto em [Kobayashi].
2.15 Definic¸a˜o. Um grupo de Lie G e´ uma variedade diferencia´vel que possui uma estrutura alge´brica
de grupo tal que a aplicac¸a˜o
G×G −→ G
(g, h) 7→ gh−1
e´ diferencia´vel. �
2.16 Proposic¸a˜o. Seja G um grupo que e´ uma variedade diferencia´vel. Enta˜o G e´ um grupo de Lie se e
somente se as aplicac¸o˜es
G −→ G
g 7→ g−1
e
G×G −→ G
(g, h) 7→ gh
sa˜o diferencia´veis.
Rodney Josue´ Biezuner 57
Prova: Suponha que G e´ um grupo de Lie. Enta˜o a primeira aplicac¸a˜o e´ diferencia´vel porque e´ a composta
das aplicac¸o˜es diferencia´veis
G −→ G×G −→ G
x 7→ (e, g) 7→ eg−1 = g−1
(lembre-se que a inclusa˜o na variedade produto sempre e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel). A segunda e´ dife-
rencia´vel porque e´ a composta das aplicac¸o˜es diferencia´veis
G×G −→ G×G −→ G
(g, h) 7→ (g, h−1) 7→ g (h−1)−1 = gh
(lembre-se que uma aplicac¸a˜o de G × G em G × G e´ uma aplicac¸a˜o diferencia´vel se e somente se cada
aplicac¸a˜o coordenada G ×G −→ G e´, e as projec¸o˜es da variedade produto sobre suas componentes sempre
sa˜o aplicac¸o˜es diferencia´veis). A rec´ıproca e´ o´bvia. �
2.17 Exemplo. As seguintes variedades diferencia´veis sa˜o grupos de Lie sob as operac¸o˜es indicadas.
a) Rn, adic¸a˜o vetorial.
b) C\ {0}, multiplicac¸a˜o.
c) S1, multiplicac¸a˜o induzida de C.
d) G×H, variedade produto de dois grupos de Lie G,H, com estrutura de grupo do produto direto dos
grupos (g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, h1h2).
e) Tn = S1 × . . .× S1, variedade produto e produto direto n vezes do grupo de Lie S1.
f) GL(Rn) (o grupo linear geral das matrizes reais invert´ıveis n×n, subvariedade de Rn2), multiplicac¸a˜o
matricial.
�
2.18 Proposic¸a˜o. Seja G um grupo de Lie. Dado g ∈ G, enta˜o as aplicac¸o˜es translac¸a˜o a` esquerda por g
Lg : G −→ G
g 7→ gh (2.26)
e translac¸a˜o a` direita por g
Rx : G −→ G
h 7→ yg (2.27)
sa˜o difeomorfismos.
Observando que
(Lg)
−1
= Lg−1 ,
(Rg)
−1
= Rg−1 ,
temos pela regra da cadeia [
(dLg)h
]−1
=
(
dL−1g
)
Lgh
=
(
dLg−1
)
gh
(2.28)
e similarmente [
(dRg)h
]−1
=
(
dRg−1
)
gh
. (2.29)
2.19 Definic¸a˜o. Uma a´lgebra de Lie (sobre R)e´ um espac¸o vetorial G munido de uma aplicac¸a˜o bilinear,
chamada o colchete de Lie,
[·, ·] : V × V −→ R
que satisfaz
(i) (anticomutatividade)
[X,Y ] = − [Y,X] ; (2.30)
(ii) (identidade de Jacobi)
[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0 (2.31)
para todos X,Y, Z ∈ G. �
Rodney Josue´ Biezuner 58
2.20 Exemplo. Seja M uma variedade diferencia´vel. O espac¸o vetorial T (M), equipado com o colchete de
Lie e´ uma a´lgebra de Lie. �
2.21 Exemplo. O espac¸o vetorial das matrizes reais n× n com a operac¸a˜o colchete definida por
[A,B] = AB −BA (2.32)
e´ uma a´lgebra de Lie. De fato, bilinearidade e anticomutatividade claramente valem e
[[A,B] , C] + [[B,C] , A] + [[C,A] , B]
= (AB −BA)C − C (AB −BA) + (BC − CB)A−A (BC − CB)
+ (CA−AC)B −B (CA−AC)
= ABC −BAC − CAB + CBA+BCA− CBA−ABC +ACB
+ CAB −ACB −BCA+BAC
= 0.
Esta a´lgebra de Lie e´ denotada por gl (Rn). �
2.22 Exemplo. R3 com o produto vetorial e´ uma a´lgebra de Lie. �
Veremos agora a relac¸a˜o entre grupos de Lie e a´lgebras de Lie. Primeiro algumas preliminares. Pela
Proposic¸a˜o 2.18, toda translac¸a˜o a` esquerda Lx em um grupo de Lie e´ um difeomorfismo.
2.23 Definic¸a˜o. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que um campo vetorial X ∈ T (G) e´ invariante a`
esquerda se
dLgX = X ◦ Lg (2.33)
para todo g ∈ G. �
Explicitando a definic¸a˜o acima, temos que para todo g ∈ G vale
(dLg)hXh = XLgh = Xgh. (2.34)
para todo h ∈ G. Em particular, um campo invariante a` esquerda fica completamente determinado pelo seu
valor em algum ponto qualquer de G. Por exemplo, se conhecemos o valor de Xe enta˜o, tomando h = e,
segue que
Xg = (dLg)eXe. (2.35)
O pro´ximo resultado garante a existeˆncia de um nu´mero infinito de campos invariantes a` esquerda em um
grupo de Lie.
2.24 Proposic¸a˜o. Seja G um grupo de Lie. Todo vetor tangente Xe no espac¸o tangente TeG possui uma
extensa˜o a um campo invariante a` esquerda X ∈ T (G).
Prova: Basta definir
Xg = (dLg)eXe.
Como Lg e´ um difeomorfismo C
∞, claramente X ∈ T (G). Para ver que X e´ um campo invariante a` esquerda,
seja h ∈ G qualquer. Como
Lh ◦ Lg = Lhg
segue que
(dLh)gXg = (dLh)g (dLg)eXg = [d (Lh ◦ Lg)]eXg = (dLhg)eXg = Xhg.
�
Rodney Josue´ Biezuner 59
2.25 Proposic¸a˜o. Seja G um grupo de Lie. Enta˜o o colchete de Lie de campos invariantes a` esquerda e´
invariante a` esquerda.
Em particular, o subespac¸o dos campos invariantes a` esquerda e´ uma a´lgebra de Lie.
Prova: Sejam X,Y ∈ T (G) campos invariantes a` esquerda. Temos, para toda f ∈ C∞ (G),
(dLg)h [X,Y ]h f = [X,Y ]h (f ◦ Lg)
= XYh (f ◦ Lg)− Y Xh (f ◦ Lg)
= X (dLg)h Yh (f)− Y (dLg)hXh (f)
= XYgh (f)− Y Xgh (f)
= [X,Y ]gh f.
Como o subconjunto dos campos invariantes a` esquerda e´ um subespac¸o vetorial de T (G), segue que ele
e´ uma (sub)a´lgebra de Lie. �
Podemos agora definir uma operac¸a˜o colchete de Lie no espac¸o tangente (espac¸o vetorial) TeG que o
transforma em uma a´lgebra de Lie:
2.26 Definic¸a˜o. Seja G um grupo de Lie. A a´lgebra de Lie G de G e´ o espac¸o tangente TeG munido do
colchete de Lie
[Xe, Ye] := [X,Y ]e . (2.36)
onde X,Y ∈ T (G) sa˜o quaisquer extenso˜es invariantes a` esquerda dos vetores tangentes Xe, Ye. �
Pode-se mostrar que a a´lgebra de Lie dos campos invariantes a` esquerda e´ isomorfa ao espac¸o tangente TeG,
em particular como espac¸o vetorial ela tem dimensa˜o finita, igual a` dimensa˜o de G (veja [Lee 1], Teorema
8.37, e [Warner], p.86, Definic¸a˜o 3.1).
Podemos agora introduzir uma me´trica em G com certas propriedades alge´bricas.
2.27 Definic¸a˜o. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que uma me´trica 〈·, ·〉g em G e´ invariante a` esquerda
se
〈v, w〉h =
〈
(dLg)h v, (dLg)h w
〉
Lgh
(2.37)
para todos g, h ∈ G e para todos v, w ∈ TeG. Analogamente, definimos uma me´trica invariante a` direita.
Uma me´trica que e´ ao mesmo tempo invariante a` esquerda e a` direita e´ chamada uma me´trica bi-
invariante. �
Em outras palavras, em uma me´trica invariante a` esquerda, toda translac¸a˜o a` esquerda Lg e´ uma isometria,
enquanto que em uma me´trica invariante a` direita, toda translac¸a˜o a` direita Rg e´ uma isometria. Em uma
me´trica bi-invariante todas as translac¸o˜es sa˜o isometrias. A existeˆncia de me´tricas bi-invariantes para grupos
de Lie compactos e´ estabelecida no Exerc´ıcio 7 de [Carmo]. A existeˆncia de me´trica invariantes a` esquerda
ou a` direita em qualquer grupo de Lie e´ estabelecida atrave´s da seguinte definic¸a˜o.
2.28 Proposic¸a˜o. Seja G um grupo de Lie. Suponha que 〈, 〉 e´ algum produto interno em TeG. Enta˜o a
me´trica em G definida por
〈v, w〉g =
〈(
dLg−1
)
g
v,
(
dLg−1
)
g
w
〉
e
(2.38)
para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e´ invariante a` esquerda.
Analogamente, a me´trica em G definida por
〈v, w〉g =
〈(
dRg−1
)
g
v,
(
dRg−1
)
g
w
〉
e
para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e´ invariante a` direita.
Rodney Josue´ Biezuner 60
Prova: Temos, por definic¸a˜o,
〈
(dLg)h v, (dLg)h w
〉
Lgh
=
〈(
dL(Lgh)−1
)
Lgh
(dLg)h v,
(
dL(Lgh)−1
)
Lgh
(dLg)h w
〉
e
=
〈(
dLh−1g−1
)
gh
(dLg)h v,
(
dLh−1g−1
)
gh
(dLg)h w
〉
e
= 〈(dLh−1)h v, (dLh−1)h w〉e
= 〈v, w〉h
lembrando que Lh−1g−1 ◦ Lg = Lh−1g−1g = Lh−1 . Analogamente prova-se a invariaˆncia a` direita da segunda
me´trica. �
Ha´ uma relac¸a˜o entre o produto interno e o colchete de Lie em G = TeG que caracteriza as me´tricas
bi-invariantes de G que enunciaremos sem prova.
2.29 Teorema. Seja G um grupo de Lie com a´lgebra de Lie G. A me´trica invariante a` esquerda definida
na proposic¸a˜o anterior e´ bi-invariante se e somente se o produto escalar 〈, 〉 em G = TeG usado para definir
a me´trica satisfaz
〈[V,X] ,W 〉 = −〈V, [W,X]〉
para todos V,W,X ∈ G.
2.4 Exerc´ıcios
2.30 Exerc´ıcio. Mostre que a me´trica produto e´ de fato uma me´trica. Porque
g(p1,p2) ((v1, w1) , (v2, w2)) = gp1 (v1, v2) gp2 (w1, w2)
na˜o define uma me´trica na variedade produto M1 ×M2?
Cap´ıtulo 3
Conexo˜es Riemannianas
E´ poss´ıvel definir geode´sicas e estudar suas propriedades sem falar de curvatura. Na verdade e´ ate´ poss´ıvel
falar em geode´sicas sem falar de me´trica. Geode´sicas sa˜o generalizac¸o˜es das retas da geometria euclideana.
Embora seja poss´ıvel definir geode´sicas como curvas que minimizam distaˆncias, pelo menos localmente (e
neste caso a noc¸a˜o de geode´sica estaria tambe´m fundamentalmente ligada a` noc¸a˜o de me´trica) esta proprie-
dade e´ tecnicamente dif´ıcil de trabalhar como definic¸a˜o. Ao inve´s, escolheremos uma propriedade diferente
das retas para generalizar: retas sa˜o caracterizadas como curvas com acelerac¸a˜o nula. Esta propriedade na˜o
faz nenhuma refereˆncia a` me´trica e pode ser utilizada mesmo em variedades diferencia´veis que na˜o tenham
uma estrutura riemanniana. Para usar esta propriedade, precisaremos primeiro definir o conceito de deriva-
das de campos tangentes a` curvas. Como em geral na˜o existe um espac¸o ambiente Rn onde a variedade esta´
mergulhada, na˜o e´ imediatamente o´bvio como defini-lo. Se α : I −→ M e´ uma curva diferencia´vel em uma
variedade M na˜o podemos simplesmente definir
α′′ (t0) = lim
t→t0
α′ (t)− α′ (t0)
t− t0
porque α′ (t) ∈ Tα(t)M e α′ (t0) ∈ Tα(t0)M vivem em diferentes espac¸os vetoriais, logo sua diferenc¸a na˜o
faz sentido. A definic¸a˜o do conceito de conexa˜o atende esta necessidade de definir uma noc¸a˜o de derivac¸a˜o
intr´ınseca para campos vetoriais. O nome conexa˜o se refere exatamente a` ide´ia de conectar localmente os
espac¸os tangentes de uma variedade.
3.1 Conexo˜es e Derivada Covariante
Consideremos o conjunto T (M) dos campos vetoriais diferencia´veis em uma variedade diferencia´vel M como
um mo´dulo sobre o anel C∞ (M) das func¸o˜es suaves definidas em M .
3.1 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel de dimensa˜o n. Uma conexa˜o ∇ em Me´ uma aplicac¸a˜o
∇ : T (M)× T (M) −→ T (M) ,
denotada por (X,Y ) 7→ ∇XY que satisfaz as seguintes propriedades:
(i) ∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z,
(ii) ∇X (Y + Z) = ∇XY +∇XZ,
(iii) ∇X (fY ) = f∇XY + (Xf)Y.
para todos os campos X,Y, Z ∈ T (M) e para todas as func¸o˜es f, g ∈ C∞ (M).
Dizemos que ∇XY e´ a derivada covariante do campo Y na direc¸a˜o de X. �
O s´ımbolo ∇XY deve ser interpretado como a derivada direcional do campo Y na direc¸a˜o X. O resultado a
seguir reforc¸a esta interpretac¸a˜o:
61
Rodney Josue´ Biezuner 62
3.2 Proposic¸a˜o (Conexa˜o em Coordenadas). Seja ∇ uma conexa˜o em uma variedade diferencia´vel M .
Se X,Y ∈ T (M) sa˜o campos vetoriais que se expressam em coordenadas locais por
X =
n∑
i=1
Xi∂i e Y =
n∑
j=1
Y j∂j ,
enta˜o
∇XY =
n∑
i,j=1
XiY j∇∂i∂j +
n∑
j=1
X
(
Y j
)
∂j . (3.1)
Em particular, (∇XY )p depende apenas do valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangente
a Xp.
Prova: Usando as propriedades de uma conexa˜o, obtemos
∇XY = ∇X
 n∑
j=1
Y j∂j
 = n∑
j=1
∇X
(
Y j∂j
)
=
n∑
j=1
Y j∇X∂j +
n∑
j=1
X
(
Y j
)
∂j
=
n∑
j=1
Y j∇∑n
i=1X
i∂i∂j +
n∑
j=1
X
(
Y j
)
∂j
=
n∑
i,j=1
XiY j∇∂i∂j +
n∑
j=1
X
(
Y j
)
∂j .
Em particular,
(∇XY )p =
n∑
i,j=1
Xi (p)Y j (p) (∇∂i∂j)p +
n∑
j=1
[
Xp
(
Y j
)]
(p) ∂j |p .
Os coeficientesX1 (p) , . . . , Xn (p) dependem apenas do valor deX em p; os coeficientesXp
(
Y 1
)
, . . . , Xp (Y
n),
por definic¸a˜o de vetor tangente, dependem apenas dos valores de Y ao longo de uma curva passando por p
cujo vetor tangente em p e´ Xp. �
Da expressa˜o (3.1), escrevendo os campos vetoriais ∇∂i∂j em termos dos campos base ∂k na forma
∇∂i∂j =
n∑
k=1
Γkij∂k, (3.2)
obtemos a seguinte expressa˜o local para o campo ∇XY :
∇XY =
n∑
k=1
X (Y k)+ n∑
i,j=1
XiY jΓkij
 ∂k. (3.3)
3.3 Definic¸a˜o. As func¸o˜es suaves Γkij definidas pela expressa˜o (3.3) sa˜o chamadas os s´ımbolos de Chris-
toffel associados a` carta particular utilizada. �
Observe que em princ´ıpio precisamos obter n3 s´ımbolos de Christoffel para determinar uma conexa˜o. No
caso de conexo˜es riemannianas, como veremos, a sua simetria diminuira´ o nu´mero de s´ımbolos diferentes.
3.4 Proposic¸a˜o. Toda variedade diferencia´vel possui uma conexa˜o.
Rodney Josue´ Biezuner 63
Prova: Se V e´ uma vizinhanc¸a coordenada de M , dadas n3 func¸o˜es arbitra´rias Γkij ∈ C∞ (V ), a fo´rmula (3.3)
define uma conexa˜o em V , vista como subvariedade de M . Se {Vα} e´ uma cobertura de M por vizinhanc¸as
coordenadas, cada uma com uma conexa˜o ∇α definida, enta˜o podemos definir uma conexa˜o global em M ,
usando uma partic¸a˜o da unidade {ρα} subordinada a esta cobertura, por
∇XY =
∑
α
ρα∇αXY.
As propriedades de uma conexa˜o sa˜o facilmente verificadas; apenas a regra do produto merece atenc¸a˜o
especial, ja´ que combinac¸o˜es lineares de conexo˜es na˜o sa˜o conexo˜es em geral, exatamente por deixarem de
satisfazer a regra do produto. Mas combinac¸o˜es lineares convexas de conexo˜es sa˜o conexo˜es e no nosso caso
temos
∇X (fY ) =
∑
α
ρα∇αX (fY ) =
∑
α
ρα [(Xf)Y + f∇αXY ]
= (Xf)Y
∑
α
ρα + f
∑
α
ρα∇αXY
= (Xf)Y + f∇XY.
�
3.5 Exemplo (Conexa˜o Euclideana). Identificando espac¸os tangentes em Rn com o pro´prio Rn, vetores
tangentes com vetores em Rn e campos vetoriais em Rn com aplicac¸o˜es suaves Rn −→ Rn, no´s definimos a
conexa˜o euclideana ∇ : T (Rn)× T (Rn) −→ T (Rn) por
(∇XY )p = dYp (Xp) , (3.4)
ou seja, a derivada direcional do campo Y em p na direc¸a˜o de Xp. Em coordenadas, usando a definic¸a˜o de
diferencial em Rn,
dYp (Xp) =
n∑
j=1
(
n∑
i=1
Xi
∂Y j
∂xi
)
ej ,
ou seja,
∇XY =
n∑
j=1
(
n∑
i=1
Xi
∂Y j
∂xi
)
∂
∂xj
. (3.5)
Outra maneira de obter a mesma expressa˜o em coordenadas, usando a regra da cadeia,
dYp (Xp) (f) = Xp (f ◦ Y ) =
n∑
i=1
Xi
∂ (f ◦ Y )
∂xi
=
n∑
i=1
Xi
n∑
j=1
∂f
∂xj
∂Y j
∂xi
=
n∑
j=1
(
n∑
i=1
Xi
∂Y j
∂xi
)
∂
∂xj
(f) .
Em notac¸a˜o mais sucinta, a expressa˜o em coordenadas da conexa˜o euclideana que obtemos a partir de (3.5)
e´
∇XY =
n∑
j=1
X
(
Y j
) ∂
∂xj
. (3.6)
Segue de (3.3) e da observac¸a˜o no in´ıcio da demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 3.4 que a conexa˜o euclideana e´ de
fato uma conexa˜o com s´ımbolos de Christoffel Γkij = 0. �
Rodney Josue´ Biezuner 64
3.2 Derivada Covariante ao longo de Curvas
A existeˆncia de uma conexa˜o em uma variedade diferencia´vel M permite derivar campos vetoriais ao longo
de curvas na variedade. Em particular, e´ poss´ıvel falar em acelerac¸a˜o de uma curva e portanto de geode´sicas
e, eventualmente, curvatura. Na pro´xima sec¸a˜o veremos que uma me´trica riemanniana define uma conexa˜o
u´nica em uma variedade riemanniana. Conexo˜es diferentes da conexa˜o induzida pela me´trica riemanniana
permitem a definic¸a˜o de estruturas geome´tricas em variedades diferencia´veis mais gerais que a dada pela
me´trica riemanniana; em particular, e´ poss´ıvel falar de geode´sicas sem uma noc¸a˜o de me´trica.
Veremos agora como a conexa˜o permite definir uma noc¸a˜o intr´ınseca de derivada de um campo vetorial
ao longo de uma curva na variedade.
3.6 Definic¸a˜o. Seja α : I −→ M uma curva diferencia´vel em uma variedade diferencia´vel M . Um campo
vetorial ao longo da curva α e´ um campo vetorial diferencia´vel V : I −→ TM tal que V (t) ∈ Tα(t)M
para todo t ∈ I.
O espac¸o vetorial dos campos vetoriais ao longo de uma curva α e´ denotado T (α). �
3.7 Proposic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel com uma conexa˜o ∇. Existe uma u´nica corres-
pondeˆncia que associa a cada campo vetorial diferencia´vel V ao longo de uma curva diferencia´vel α : I −→M
um outro campo diferencia´vel
DV
dt
ao longo de α tal que
D
dt
(V +W ) =
DV
dt
+
DW
dt
,
D
dt
(fV ) =
df
dt
V + f
DV
dt
para todos os campos diferencia´veis V,W ao longo de α e para toda func¸a˜o diferencia´vel f : I −→ R, e tal
que, se V e´ induzido por um campo de vetores X ∈ T (M), ou seja, V = X ◦ α, enta˜o
DV
dt
= ∇α′(t)X.
Localmente,
DV
dt
=
n∑
k=1
dV k
dt
+
n∑
i,j=1
dαi
dt
ΓkijV
j
 ∂k|t , (3.7)
Prova: Observe que para a expressa˜o ∇α′(t)X fazer sentido, devemos entender o subescrito α′ (t) neste
s´ımbolo como qualquer extensa˜o local do campo α′ (t) a um campo em M , ja´ que pela Proposic¸a˜o 3.2 so´
importa o valor da extensa˜o em α (t), isto e´, o vetor tangente α′ (t), e o valor de X em uma curva tangente
a α′ (t) em α (t), que pode ser tomada como sendo a pro´pria curva α.
Vamos provar primeiro a unicidade de
DV
dt
. Suponha que exista um tal campo
DV
dt
satisfazendo todas
as propriedades do enunciado. Seja
V (t) =
n∑
j=1
V j (t) ∂j |t
a expressa˜o local do campo V . Pelas primeiras duas propriedades do enunciado, temos
DV
dt
∣∣∣∣
t
=
n∑
j=1
dV j
dt
(t) ∂j |t +
n∑
j=1
V j (t)
D∂j
dt
∣∣∣∣
t
.
Rodney Josue´ Biezuner 65
Pela terceira propriedade,
D∂j
dt
∣∣∣∣
t
=
(∇α′(t)∂j)t = (∇∑ni=1 dαidt (t)∂i∂j)t =
n∑
i=1
dαi
dt
(t) ∇∂i∂j |t .
Portanto, localmente o campo
DV
dt
se escreve na forma
DV
dt
∣∣∣∣
t
=
n∑
k=1
dV k
dt
(t) +
n∑
i,j=1
dαi
dt
(t) Γkij (t)V
j (t)
 ∂k|t ,
o que mostra que o campo
DV
dt
e´ unicamente determinado.
Para determinar a existeˆncia de
DV
dt
, dada uma carta (ϕ,U) para uma vizinhanc¸a de α (t), defina o
campo
DV
dt
em ϕ (U) pela expressa˜o (3.7); e´ imediato verificar que um campo definido desta forma satisfaz
todas as propriedades do enunciado. �
3.8 Definic¸a˜o. O campo diferencia´vel
DV
dt
e´ chamado a derivada covariante de V ao longo da curva α.
�
3.3 TransporteParalelo
3.9 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel com uma conexa˜o ∇. Um campo vetorial diferencia´vel
V ao longo de uma curva diferencia´vel α : I −→M e´ chamado um campo paralelo ao longo de α se
DV
dt
≡ 0.
Um campo vetorial X ∈ T (M) e´ chamado um campo paralelo se ele e´ paralelo ao longo de qualquer curva.
�
E´ fa´cil ver que um campo vetorial X ∈ T (M) e´ paralelo se e somente se
∇YX = 0
para todo campo Y ∈ T (M).
3.10 Proposic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel com uma conexa˜o ∇. Seja α : I −→M uma curva
diferencia´vel e V0 um vetor tangente em α (t0), t0 ∈ I. Enta˜o existe um u´nico campo paralelo V definido ao
longo de α tal que Vt0 = V0.
Prova: Usando a expressa˜o (3.7) obtida na Proposic¸a˜o 3.7, o campo derivada covariante
DV
dt
em coordenadas
locais se escreve na forma
DV
dt
∣∣∣∣
t
=
n∑
k=1
dV k
dt
(t) +
n∑
i,j=1
dαi
dt
(t) Γkij (t)V
j (t)
 ∂k|t , (3.8)
Rodney Josue´ Biezuner 66
Logo, a existeˆncia local do campo V (t) satisfazendo
DV
dt
= 0 para todo t e V (t0) = V0 corresponde a uma
soluc¸a˜o do sistema linear de n equac¸o˜es diferenciais
dV 1
dt
(t) +
n∑
i,j=1
dαi
dt
(t) Γ1ij (t)V
j (t) = 0
...
dV n
dt
(t) +
n∑
i,j=1
dαi
dt
(t) Γnij (t)V
j (t) = 0
com condic¸a˜o inicial
V 1 (t0) = V
1
0 , . . . , V
n (t0) = V
n
0 .
Se α (I) esta´ inteiramente contida em uma vizinhanc¸a coordenada, enta˜o o teorema de existeˆncia e unicidade
para equac¸o˜es diferenciais lineares garante a existeˆncia de um u´nico campo V definido em todo o intervalo
I. Caso contra´rio, como α (I) e´ um conjunto compacto, ela pode ser coberta por um nu´mero finito de
vizinhanc¸as coordenadas, em cada uma das quais V pode ser definido de maneira u´nica usando o racioc´ınio
acima e esta unicidade garante que o campo e´ o mesmo nas intersec¸o˜es das vizinhanc¸as. �
3.11 Definic¸a˜o. O campo V obtido na Proposic¸a˜o 3.10 e´ chamado o transporte paralelo de V0 ao longo
de α.
A aplicac¸a˜o transporte paralelo e´ a aplicac¸a˜o linear
τt : Tα(t0)M −→ Tα(t)M
definida em cada vetor V0 ∈ Tα(t0)M por
τt (V0) = Vt,
isto e´, τt (V0) e´ o transporte paralelo do vetor V0 ao longo da curva α. �
Quando necessa´rio, para s, t ∈ I denotaremos a aplicac¸a˜o transporte paralelo de vetores em Tα(s)M para
vetores em Tα(t)M por
τs→t : Tα(s)M −→ Tα(t)M.
A aplicac¸a˜o transporte paralelo e´ linear porque o transporte paralelo e´ dado pela soluc¸a˜o de um sistema de
equac¸o˜es diferenciais lineares. Por unicidade, ela e´ um isomorfismo com
τ−1s→t = τt→s,
e da unicidade de soluc¸a˜o para um sistema de EDOs segue tambe´m que
τ0→0 = id,
τr→t ◦ τs→r = τs→t.
Em geral, o transporte paralelo de um vetor V em TpM para um vetor em TqM dependera´ da curva α
ligando p e q usada; isto e´, se α1, α2 : I −→M sa˜o duas curvas diferencia´veis tais que
α1 (s) = α2 (s) = p,
α1 (t) = α2 (t) = q,
enta˜o em geral
τα1s→t (V ) 6= τα2s→t (V )
para todo V ∈ TpM . Como veremos depois, o transporte paralelo sera´ o mesmo, independente do caminho
utilizado para ir de p ate´ q, se e somente se a curvatura riemanniana for nula.
Rodney Josue´ Biezuner 67
3.4 Conexo˜es Riemannianas
Como me´tricas riemannianas e conexo˜es definem cada uma uma estrutura geome´trica particular, o caso mais
relevante de variedade riemanniana dotada de uma conexa˜o e´ quando a estrutura geome´trica definida por
elas coincide. Para isso a conexa˜o deve satisfaz duas condic¸o˜es.
3.4.1 Conexa˜o Compat´ıvel com a Me´trica
A primeira delas e´ a chamada compatibilidade da conexa˜o com a me´trica, que pode ser definida de qualquer
um dos treˆs modos equivalentes a seguir.
3.12 Proposic¸a˜o. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexa˜o ∇. Enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es
sa˜o equivalentes:
(i) Para todos os campos paralelos V e W ao longo de qualquer curva diferencia´vel α em M vale
〈V,W 〉 ≡ constante. (3.9)
(ii) Para todos os campos vetoriais V e W ao longo de qualquer curva diferencia´vel α em M vale
d
dt
〈V,W 〉 =
〈
DV
dt
,W
〉
+
〈
V,
DW
dt
〉
. (3.10)
(iii) Para todos os campos X,Y, Z ∈ T (M) vale
X 〈Y,Z〉 = 〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 . (3.11)
Prova: (ii) ⇒ (i) Se V e W sa˜o campos paralelos, enta˜o
d
dt
〈V,W 〉 = 〈0,W 〉+ 〈V, 0〉 = 0
e portanto 〈V,W 〉 e´ constante.
(i) ⇒ (ii) Seja α : I −→ M uma curva diferencia´vel qualquer e para um ponto fixado t0 ∈ I escolha uma
base ortonormal
B0 =
{
E1|t0 , . . . , En|t0
}
para Tα(t0)M . Usando a Proposic¸a˜o 3.10, estenda cada um dos vetores E1|t0 , . . . , En|t0 paralelamente a
campos E1, . . . , En ao longo de α. Segue da definic¸a˜o de compatibilidade que
Bt = {E1|t , . . . , En|t}
e´ uma base ortonormal para Tα(t)M para cada t ∈ I. Dados campos diferencia´veis V e W ao longo de α,
podemos enta˜o escrever
V =
n∑
i=1
V i (t) Ei|t e W =
n∑
j=1
W j (t) Ej |t
com as func¸o˜es V i,W j diferencia´veis, pois
V i (t) = 〈V,Ei〉 e W j (t) = 〈W,Ej〉 .
Como os campos E1 (t) , . . . , En (t) sa˜o paralelos ao longo de α, temos
DE1
dt
= . . . =
DEn
dt
= 0,
Rodney Josue´ Biezuner 68
logo
DV
dt
∣∣∣∣
t
=
n∑
i=1
dV i
dt
(t) Ei|t +
n∑
i=1
V i (t)
DEi
dt
∣∣∣∣
t
=
n∑
i=1
dV i
dt
(t) Ei|t ,
e, similarmente,
DW
dt
∣∣∣∣
t
=
n∑
j=1
dW j
dt
(t) Ej |t .
Da´ı, 〈
DV
dt
,W
〉
+
〈
V,
DW
dt
〉
=
〈
n∑
i=1
dV i
dt
Ei,
n∑
j=1
W jEj
〉
+
〈
n∑
i=1
V iEi,
n∑
j=1
dW j
dt
Ej
〉
=
n∑
i,j=1
dV i
dt
W j 〈Ei, Ej〉+
n∑
i,j=1
V i
dW j
dt
〈Ei, Ej〉
=
n∑
i,j=1
(
dV i
dt
W j + V i
dW j
dt
)
δij
=
n∑
i=1
(
dV i
dt
W i + V i
dW i
dt
)
=
d
dt
n∑
i=1
V iW i
=
d
dt
〈V,W 〉 .
(ii) ⇒ (iii) Seja p ∈ M e α : I −→ M uma curva diferencia´vel com α (t0) = p e α′ (t0) = Xp. Enta˜o, por
definic¸a˜o de vetor tangente,
Xp 〈Y, Z〉 = d
dt
〈
Yα(t), Zα(t)
〉∣∣∣∣
t=t0
=
〈
DY
dt
∣∣∣∣
t0
, Zt0
〉
+
〈
Yt0 ,
DZ
dt
∣∣∣∣
t0
〉
=
〈(
∇
α′(t0)
Y
)
α(t0)
, Zt0
〉
+
〈
Yt0 ,
(
∇
α′(t0)
Z
)
α(t0)
〉
=
〈
(∇XY )p , Zp
〉
+
〈
Yp, (∇XZ)p
〉
.
(iii) ⇒ (ii) Se V,W sa˜o campos ao longo de uma curva diferencia´vel α em M com α (t0) = p e α′ (t0) = Xp,
enta˜o
d
dt
〈Vt,Wt〉
∣∣∣∣
t=t0
= Xp 〈Vt,Wt〉
=
〈
(∇XV )p ,Wt
〉
+
〈
Vt, (∇XW )p
〉
=
〈(
∇
α′(t0)
V
)
α(t0)
,Wt0
〉
+
〈
Vt0 ,
(
∇
α′(t0)
W
)
α(t0)
〉
=
〈
DV
dt
∣∣∣∣
t0
,Wt0
〉
+
〈
Vt0 ,
DW
dt
∣∣∣∣
t0
〉
.
�
A condic¸a˜o 〈V,W 〉 ≡ constante justifica o nome campos paralelos.
3.13 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexa˜o ∇. Dizemos que a conexa˜o e´
compat´ıvel com a me´trica, quando ela satisfaz qualquer uma das condic¸o˜es da proposic¸a˜o anterior. �
Rodney Josue´ Biezuner 69
3.4.2 Conexa˜o Sime´trica
A segunda condic¸a˜o para que a estrutura geome´trica definida pela conexa˜o seja a mesma definida pela me´trica
e´ a seguinte:
3.14 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade diferencia´vel com uma conexa˜o ∇. O tensor torc¸a˜o da conexa˜o ∇
e´ a aplicac¸a˜o
T : T (M)× T (M) −→ T (M)
definida por
T (X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X,Y ] .
Dizemos que a conexa˜o ∇ e´ sime´trica se T ≡ 0, isto e´, se para todos os campos X,Y ∈ T (M) vale
∇XY −∇YX = [X,Y ] . (3.12)
�
Apesar da conexa˜o na˜o ser um tensor, sua torc¸a˜o e´ de fato um (2, 1)-tensor, pois ela so´ depende do valor no
ponto. Em coordenadas, como
∇XY =
n∑
k=1
X (Y k)+ n∑
i,j=1
XiY jΓkij
 ∂k,
∇YX =
n∑
k=1
Y (Xk)+ n∑
i,j=1
Y iXjΓkij
 ∂k,
[X,Y ] =
n∑
k=1
(
X
(
Y k
)− Y (Xk)) ∂k,
o tensor torc¸a˜o e´ dado por
T (X,Y ) =
n∑
k=1
 n∑
i,j=1
(XiY j − Y iXj)Γkij
 ∂k, (3.13)
de onde vemos que T (X,Y ) e´ linear em relac¸a˜o a X e a Y , separadamente, e depende apenas de Xp e Yp.
3.15 Proposic¸a˜o. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexa˜o sime´trica ∇. Enta˜o
∇∂i∂j = ∇∂j∂i (3.14)
e
Γkij = Γ
k
ji. (3.15)
Prova: Como
[∂i, ∂j ] = ∇∂i∂j −∇∂j∂i =
n∑
k=1
(
Γkij − Γkji
)
∂k
e [∂i, ∂j ] = 0, seguem os resultados. �
Em particular, para conexo˜es riemannianas o nu´mero de s´ımbolos de Christoffel potencialmente diferentes
cai para
n2 (n+ 1)
2
.
Rodney Josue´ Biezuner 70
3.16 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexa˜o sime´trica ∇, compat´ıvel com a me´trica
de M . Enta˜o, para todos campos X,Y, Z ∈ T (M), vale
〈∇XY, Z〉 = 1
2
(X 〈Y, Z〉+ Y 〈X,Z〉 − Z 〈X,Y 〉 − 〈X, [Y,Z]〉 − 〈Y, [X,Z]〉+ 〈Z, [X,Y ]〉) . (3.16)
Em particular, uma conexa˜o sime´trica compat´ıvel com a me´trica e´ unicamente determinada pela me´trica.
Prova: Pela Proposic¸a˜o 3.12,
X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 ,
Y 〈X,Z〉 = 〈∇YX,Z〉+ 〈X,∇Y Z〉 ,
Z 〈X,Y 〉 = 〈∇ZX,Y 〉+ 〈X,∇ZY 〉 .
Logo, por simetria,
X 〈Y,Z〉+ Y 〈X,Z〉 − Z 〈X,Y 〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉+ 〈∇YX,Z〉+ 〈X,∇Y Z〉
− 〈∇ZX,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉
= 〈X,∇Y Z −∇ZY 〉+ 〈Y,∇XZ −∇ZX〉+ 〈∇XY, Z〉+ 〈∇YX,Z〉
= 〈X, [Y,Z]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈∇XY −∇YX,Z〉+ 2 〈∇XY, Z〉
= 〈X, [Y,Z]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈[X,Y ] , Z〉+ 2 〈∇XY,Z〉 ,
donde segue o resultado. �
3.17 Teorema. Seja M uma variedade riemanniana. Enta˜o existe uma u´nica conexa˜o sime´trica ∇ com-
pat´ıvel com a me´trica de M .
Prova: O lema anterior mostra como definir uma conexa˜o sime´trica compat´ıvel com a me´trica atrave´s da
expressa˜o (3.16). Ale´m disso, pelo lema, qualquer conexa˜o sime´trica compat´ıvel com a me´trica satisfara´ a
identidade (3.5), o que estabelece a unicidade. �
3.18 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade riemanniana. A u´nica conexa˜o sime´trica ∇ compat´ıvel com a
me´trica de M e´ chamada a conexa˜o riemanniana (ou conexa˜o de Levi-Civita) de M . �
Isometrias preservam conexo˜es riemannianas, como esperado:
3.19 Proposic¸a˜o. Sejam (M, g) e (M˜, g˜) variedades riemannianas isome´tricas com conexo˜es riemannianas
∇ e ∇˜, respectivamente. Se F : M −→ M˜ e´ uma isometria, enta˜o
F∗ (∇XY ) = ∇˜F∗X (F∗Y )
Em particular, se α : I −→M e´ uma curva diferencia´vel e V e´ um campo vetorial ao longo de α, enta˜o
F∗
(
DV
dt
)
=
D˜ (F∗V )
dt
.
Prova: Defina uma aplicac¸a˜o
∇ : T (M)× T (M) −→ T (M)
por
∇XY = F−1∗
[
∇˜F∗X (F∗Y )
]
.
Mostraremos que ∇ e´ uma conexa˜o riemanniana em M . A unicidade da conexa˜o riemanniana garantira´
enta˜o que
∇ = ∇,
Rodney Josue´ Biezuner 71
o que provara´ o resultado. De fato, temos
∇fX+gY Z = F−1∗
[
∇˜F∗(fX+gY ) (F∗Z)
]
= F−1∗
[
∇˜F∗(fX+gY ) (F∗Z)
]
= F−1∗
[
∇˜(f◦F−1)F∗X+(g◦F−1)F∗Y (F∗Z)
]
= F−1∗
[(
f ◦ F−1) ∇˜F∗X (F∗Z) + (g ◦ F−1) ∇˜F∗Y (F∗Z)]
= F−1∗
[(
f ◦ F−1) ∇˜F∗X (F∗Z)]+ F−1∗ [(g ◦ F−1) ∇˜F∗Y (F∗Z)]
= fF−1∗
[
∇˜F∗X (F∗Z)
]
+ gF−1∗
[
∇˜F∗Y (F∗Z)
]
= f∇XZ + g∇Y Z,
∇X (Y + Z) = F−1∗
[
∇˜F∗XF∗ (Y + Z)
]
= F−1∗
[
∇˜F∗XF∗Y + ∇˜F∗XF∗Z
]
= F−1∗
[
∇˜F∗XF∗Y
]
+ F−1∗
[
∇˜F∗XF∗Z
]
= ∇XY +∇XZ
e
∇X (fY ) = F−1∗
[
∇˜F∗XF∗ (fY )
]
= F−1∗
[
∇˜F∗X (fF∗Y )
]
= F−1∗
[(
f ◦ F−1) ∇˜F∗XF∗Y + [(F∗X) (f ◦ F−1)]F∗Y ]
= F−1∗
[(
f ◦ F−1) ∇˜F∗XF∗Y ]+ F−1∗ [[(F∗X) (f ◦ F−1)]F∗Y ]
= F−1∗
[(
f ◦ F−1) ∇˜F∗XF∗Y ]+ [(F∗X) (f ◦ F−1)]F−1∗ (F∗Y )
= fF−1∗
[
∇˜F∗XF∗Y
]
+
[
X
(
f ◦ F−1 ◦ F )]F−1∗ (F∗Y )
= f∇XY + (Xf)Y,
o que prova que ∇ e´ uma conexa˜o.
Agora verificaremos que ∇ e´ sime´trica:
∇XY −∇YX = F−1∗
[
∇˜F∗X (F∗Y )
]
− F−1∗
[
∇˜F∗Y (F∗X)
]
= F−1∗
[
∇˜F∗X (F∗Y )− ∇˜F∗Y (F∗X)
]
= F−1∗ [F∗X,F∗Y ]
= F−1∗ F∗ [X,Y ]
= [X,Y ] .
Observe que para provar que ∇ e´ uma conexa˜o sime´trica, foi suficiente usar o fato que F e´ um difeomorfismo.
Para estabelecer a compatibilidade de ∇ com a me´trica de M e´ necessa´rio usar o fato que F e´ uma
Rodney Josue´ Biezuner 72
isometria. Com efeito, dados X,Y, Z ∈ T (M), sejam V = F∗Y e W = F∗Z. Enta˜o temos
〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉
=
〈
F−1∗
[
∇˜F∗X (F∗Y )
]
, F−1∗ W
〉
+
〈
F−1∗ V, F
−1
∗
[
∇˜F∗X (F∗Z)
]〉
=
〈
∇˜F∗X (F∗Y ) ,W
〉
+
〈
V, ∇˜F∗X (F∗Z)
〉
=
〈
∇˜F∗X (F∗Y ) , F∗Z
〉
+
〈
F∗Y, ∇˜F∗X (F∗Z)
〉
= F∗X 〈F∗Y, F∗Z〉
= X 〈Y,Z〉 .
A u´ltima passagem merece ser mais detalhada: definindo f : N −→ R por
f (q) =
〈
(F∗Y )q , (F∗Z)q
〉
q
,
por isometria segue que se p = F−1 (q) enta˜o
f (q) = 〈Yp, Zp〉p =
〈
YF−1(q), ZF−1(q)
〉
F−1(q) ,
isto e´,
f = 〈Y,Z〉 ◦ F−1;
assim, usando a propriedade
(F∗X) f = X (f ◦ F ) ◦ F−1,
temos
F∗X 〈F∗Y, F∗Z〉 = X (f ◦ F ) ◦ F−1 = X 〈Y,Z〉 ◦ F−1,
ou seja,
[〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉] (p) = [X 〈Y,Z〉] (p) .
�
3.20 Exemplo (Conexa˜o riemanniana em Rn). A conexa˜o euclideana definida no Exemplo 3.4 e´ a
conexa˜o riemanniana de Rn com a me´trica usual. De fato, a conexa˜o e´ compat´ıvel com a me´trica pois se
α : I −→ Rn e´ uma curva diferencia´vel e V,W campos ao longo de α induzidos pelos campos vetoriais X,Y ,
respectivamente, enta˜o segue da regra da cadeia que
d
dt
〈
Vα(t),Wα(t)
〉
=
〈
d
dt
Vα(t),Wα(t)
〉
+
〈
Vα(t),
d
dt
Wα(t)
〉
=
〈
dXα(t) (α
′ (t)) ,Wα(t)
〉
+
〈
Vα(t), dYα(t) (α
′ (t))
〉
=
〈(∇α′(t)X)α(t) ,Wα(t)〉+ 〈Vα(t), (∇α′(t)Y )α(t)〉
=
〈
DV
dt
∣∣∣∣
α(t)
,Wα(t)
〉
+
〈
Vα(t),
DW
dt
∣∣∣∣
α(t)
〉
.
e ela e´ sime´trica porque, conforme (3.5),[
(∇XY )p − (∇YX)p
]
(f) =
n∑
j=1
(
n∑
i=1
Xi
∂Y j
∂xi
)
∂f
∂xj
−
n∑
j=1
(
n∑
i=1
Y i
∂Xj
∂xi
)
∂f
∂xj
=
n∑
j=1
n∑
i=1
(
Xi
∂Y j
∂xi
− Y i ∂X
j
∂xi
)
∂f
∂xj
= [X,Y ]p (f) .
Rodney Josue´ Biezuner 73
ou tambe´m, de forma mais sucinta, conforme (3.6),
∇XY −∇YX =
n∑
j=1
X
(
Y j
) ∂
∂xj
−
n∑
j=1
Y
(
Xj
) ∂
∂xj
=
n∑
j=1
(
X
(
Y j
)− Y (Xj)) ∂
∂xj
= [X,Y ] .
�
3.4.3 S´ımbolos de Christoffel da Conexa˜o Riemanniana
Vamos agora ver como os s´ımbolos de Christoffel de uma conexa˜o riemanniana podem ser calculados atrave´s
dos componentes gij da me´trica. Antes introduzimos a seguinte notac¸a˜o: a matriz G = (gij) e´ uma matriz
positiva definida, logo admite uma inversa, que denotaremos por
G−1 =
(
gij
)
. (3.17)
A justificativa para isso sera´ vista no Exemplo 5.11.
3.21 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexa˜o ∇. Enta˜o
〈∇∂i∂j , ∂k〉 =
n∑
m=1
Γmij gmk. (3.18)
Prova: Segue imediatamente da definic¸a˜o dos s´ımbolos de Christoffel:
∇∂i∂j =
n∑
m=1
Γmij∂m.
�
3.22 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexa˜o riemanniana ∇. Enta˜o
〈∇∂i∂j , ∂k〉 =
1
2
(∂igjk + ∂jgik − ∂kgij) . (3.19)
Prova: Por (3.16) temos que
〈∇∂i∂j , ∂k〉 =
1
2
(∂i 〈∂j , ∂k〉+ ∂j 〈∂i, ∂k〉 − ∂k 〈∂i, ∂j〉 − 〈∂i, [∂j , ∂k]〉 − 〈∂j , [∂i, ∂k]〉+ 〈∂k, [∂i, ∂j ]〉)
=
1
2
(∂jgik + ∂igjk − ∂kgij) ,
ja´ que [∂m, ∂l] = 0. �
3.23 Proposic¸a˜o. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexa˜o riemanniana ∇. Enta˜o
Γkij =
1
2
n∑
m=1
(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk. (3.20)
Rodney Josue´ Biezuner 74
Prova: Pelos lemas temos
n∑
l=1
Γlijglm =
1
2
(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) .
Logo
n∑
m=1
gmk
n∑
l=1
Γlijglm =
1
2
n∑
m=1
(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk.
O lado esquerdo desta equac¸a˜o e´
n∑
l=1
n∑
m=1
gkmgmlΓ
l
ij =
n∑
l=1
δklΓ
l
ij = Γ
k
ij .
�
3.24 Corola´rio. Se ∇ e´ a conexa˜o riemanniana de Rn enta˜o
Γkij = 0. (3.21)
Consequentemente,
∇XY =
n∑
k=1
X
(
Y k
)
∂k (3.22)
e
∇∂i∂j = 0. (3.23)
3.25 Corola´rio. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexa˜o riemanniana ∇. Enta˜o
∂kgij =
n∑
p=1
gipΓ
p
jk +
n∑
p=1
gpjΓ
p
ik (3.24)
e
∂kg
ij = −
n∑
p=1
gipΓjpk −
n∑
p=1
gpjΓipk. (3.25)Prova: Para provar a primeira identidade, usando a compatibilidade da me´trica temos
∂kgij =
∂
∂xk
〈∂i, ∂j〉 = 〈∇∂k∂i, ∂j〉+ 〈∂i,∇∂k∂j〉
=
〈
n∑
p=1
Γpki∂p, ∂j
〉
+
〈
∂i,
n∑
p=1
Γpkj∂p
〉
=
n∑
p=1
Γpki 〈∂p, ∂j〉+
n∑
p=1
Γpkj 〈∂i, ∂p〉
=
n∑
p=1
Γpkigpj +
n∑
p=1
Γpkjgip.
Para provar a segunda identidade, primeiro diferenciamos a identidade
n∑
p=1
glpg
pj = δjl ,
Rodney Josue´ Biezuner 75
obtendo
n∑
p=1
glp∂kg
pj = −
n∑
p=1
(∂kglp) g
pj .
Como
n∑
l=1
gil
n∑
p=1
glp∂kg
pj =
n∑
p=1
n∑
l=1
gilglp∂kg
pj
=
n∑
p=1
δip∂kg
pj
= ∂kg
ij ,
segue da primeira identidade que
∂kg
ij = −
n∑
l=1
gil
n∑
p=1
(∂kglp) g
pj = −
n∑
p=1
n∑
l=1
gilgpj∂kglp
= −
n∑
p=1
n∑
l=1
gilgpj
(
n∑
m=1
glmΓ
m
pk +
n∑
m=1
gmpΓ
m
lk
)
= −
n∑
p=1
n∑
m=1
gpj
n∑
l=1
gilglmΓ
m
pk −
n∑
l=1
n∑
m=1
gil
n∑
p=1
gpjgmpΓ
m
lk
= −
n∑
p=1
n∑
m=1
gpjδimΓ
m
pk −
n∑
l=1
n∑
m=1
gilδjmΓ
p
lk
= −
n∑
p=1
gpjΓipk −
n∑
l=1
gilΓjlk.
�
3.4.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica da Derivada Covariante
Usando a conexa˜o riemanniana, podemos dar uma interpretac¸a˜o geome´trica da derivada covariante em termos
do transporte paralelo.
3.26 Lema. Se M e´ uma variedade riemanniana com uma conexa˜o riemanniana ∇, enta˜o a aplicac¸a˜o
transporte paralelo e´ uma isometria que preserva orientac¸a˜o.
Prova: Seja α : I −→ M uma curva diferencia´vel passando por um ponto p ∈ M . Dados V,W ∈ TpM ,
considere a func¸a˜o real f : I −→ R definida por
f (t) = 〈τt (V ) , τt (W )〉 .
Pela compatibilidade da me´trica, segue que
f ′ (t) =
〈
D
dt
τt (V ) , τt (W )
〉
+
〈
τt (V ) ,
D
dt
τt (W )
〉
= 0,
ja´ que os campos τt (V ) , τt (W ) sa˜o paralelos ao longo de α por definic¸a˜o. Portanto, f (t) = f (0) para todo
t ∈ I, ou seja
〈τt (V ) , τt (W )〉 = 〈V,W 〉
Rodney Josue´ Biezuner 76
o que prova que τt e´ uma isometria.
Para provar que τt preserva orientac¸a˜o, seja
B = {E1, . . . , En}
uma base ortonormal positivamente orientada para TpM . Como τt e´ uma isometria,
Bt = {τt (E1) , . . . , τt (En)}
e´ uma base ortonormal de Tα(t)M para todo t ∈ I. A orientac¸a˜o positiva de Bt segue por continuidade da
func¸a˜o determinante. �
3.27 Proposic¸a˜o (Interpretac¸a˜o Geome´trica da Derivada Covariante). Seja M uma variedade ri-
emanniana com uma conexa˜o riemanniana ∇. Dado um campo X ∈ T (M), seja α : I −→ M uma curva
integral do campo X passando por p, ou seja,
α (0) = p,
α′ (t) = X (α (t)) para todo t ∈ I.
Se Y ∈ T (M), enta˜o
(∇XY )p = limt→0
τ−1t
(
Yα(t)
)− Yp
t
=
d
dt
τ−1t
(
Yα(t)
)∣∣∣∣
t=0
.
Prova: Seja B = {E1, . . . , En} uma base ortonormal para TpM . Pelo lema, Bt = {τt (E1) , . . . , τt (En)} e´
uma base ortonormal de Tα(t)M para todo t ∈ I. Como a aplicac¸a˜o transporte paralelo e´ linear, se
Yα(t) =
n∑
i=1
Y i (t) τt (Ei) ,
segue que
τ−1t
(
Yα(t)
)
=
n∑
i=1
Y i (t)Ei.
Logo,
d
dt
τ−1t
(
Yα(t)
)∣∣∣∣
t=0
=
n∑
i=1
dY i
dt
(0)Ei.
Por outro lado, pela Proposic¸a˜o 3.7, temos tambe´m
(∇XY )p =
D
dt
(
n∑
i=1
Y i (t) τt (Ei)
)∣∣∣∣∣
t=0
=
n∑
i=1
dY i
dt
(0) τ0 (Ei) +
n∑
i=1
Y i (t)
D
dt
(τt (Ei))
∣∣∣∣
t=0
=
n∑
i=1
dY i
dt
(0)Ei,
ja´ que os campos τt (E1) , . . . , τt (En) sa˜o paralelos ao longo de α por definic¸a˜o. �
Este resultado tambe´m vale para conexo˜es gerais em variedades diferencia´veis, mas o resultado requer um
pouco mais de conhecimento de fibrados (veja [Dodson-Poston], Theorem 4.05, pp. 226–227).
Cap´ıtulo 4
Geode´sicas
De agora em diante, sempre que nos referirmos a uma variedade riemanniana, estaremos supondo que ela
esta´ munida da sua conexa˜o riemanniana.
4.1 Definic¸a˜o – A Equac¸a˜o Geode´sica
4.1 Definic¸a˜o. Seja M uma variedade riemanniana. Dizemos que uma curva diferencia´vel γ : I −→ M e´
uma geode´sica se
Dγ′
dt
(t) = 0
para todo t ∈ I. �
Em outras palavras, uma geode´sica e´ uma curva cujo campo velocidade e´ paralelo ao longo da curva (uma
curva que transporta paralelamente o seu pro´prio vetor tangente). Ou seja, uma geode´sica e´ uma curva que
na˜o muda de direc¸a˜o. A`s vezes, por abuso de linguagem, a imagem γ (I) de uma geode´sica γ tambe´m e´
chamada geode´sica.
Note que o conceito de geode´sica pode ser definido para qualquer variedade diferencia´vel dotada de uma
conexa˜o. O resultado seguinte, no entanto, depende da compatibilidade da me´trica com a conexa˜o, ou seja,
requer uma conexa˜o riemanniana.
4.2 Proposic¸a˜o. Se γ : I −→M e´ uma geode´sica, enta˜o
‖γ′ (t)‖ ≡ constante. (4.1)
Consequentemente, uma reparametrizac¸a˜o γ ◦ h de uma geode´sica γ e´ uma geode´sica se e somente se
h (t) = at+ b
para algumas constantes a, b ∈ R.
Prova: Pois, como a conexa˜o e´ compat´ıvel com a me´trica e o campo velocidade γ′ e´ paralelo ao longo de γ
‖γ′ (t)‖2 = 〈γ′ (t) , γ′ (t)〉 ≡ constante.
Como
(γ ◦ h)′ (t) = h′ (t) γ′ (h (t)) ,
‖γ′ (t)‖ ≡ constante,
77
Rodney Josue´ Biezuner 78
e, como acabamos de provar, uma condic¸a˜o necessa´ria para que γ ◦ h seja uma geode´sica e´∥∥(γ ◦ h)′ (t)∥∥ ≡ constante,
conclu´ımos que uma condic¸a˜o necessa´ria para que a reparametrizac¸a˜o γ ◦ h seja uma geode´sica e´ que
h′ (t) ≡ constante,
ou seja,
h (t) = at+ b
para algumas constantes a, b ∈ R. Ale´m disso, escrevendo β (t) = γ ◦ h (t) = γ (at+ b), segue que
Dβ′
dt
(t) = a2
Dγ′
dt
(at+ b) = 0,
logo γ ◦ h e´ uma geode´sica. �
4.3 Definic¸a˜o. Uma geode´sica γ : I −→M e´ normalizada (ou unita´ria) se
‖γ′ (t)‖ ≡ 1.
�
Toda geode´sica que na˜o e´ um ponto (ou seja, ‖γ′ (t)‖ 6= 0) pode ser normalizada atrave´s de uma parame-
trizac¸a˜o por comprimento de arco: se γ : I −→ M e´ uma parametrizac¸a˜o qualquer para uma geode´sica,
ela pode ser reparametrizada para se tornar uma geode´sica normalizada escolhendo-se um ponto t0 ∈ I e
definindo o paraˆmetro comprimento de arco
s (t) =
∫ t
t0
‖γ′ (t)‖ dt. (4.2)
De fato, pela regra da cadeia
‖γ′ (s)‖ = ‖γ′ (t)‖ |t′ (s)| = ‖γ′ (t)‖ 1|s′ (t)| = ‖γ
′ (t)‖ 1‖γ′ (t)‖ = 1.
4.4 Teorema (Teorema de Existeˆncia e Unicidade de Geode´sicas). Seja M uma variedade rieman-
niana. Enta˜o para todos p ∈ M e v ∈ TpM , e para cada t0 ∈ R, existe um intervalo aberto I ⊂ R contendo
t0 e uma u´nica geode´sica γ : I −→M tal que γ (t0) = p e γ′ (t0) = v.
Prova: Seja V uma vizinhanc¸a coordenada de p, com
(
x1, . . . , xn
)
suas coordenadas. Pela expressa˜o em
coordenadas locais da derivada covariante de um campo ao longo de uma curva obtida no cap´ıtulo anterior,
uma curva γ (t) = x (t) =
(
x1 (t) , . . . , xn (t)
)
e´ uma geode´sica se e somente se as suas componentes satisfazem
o sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de segunda ordem na˜o linear (quasilinear), chamado a equac¸a˜o
geode´sica,
d2xk
dt2
+
n∑
i,j=1
Γkij
dxi
dt
dxj
dt
= 0, k = 1, . . . , n. (4.3)
Este sistema de segunda ordem pode ser transformado num sistema de primeira ordem introduzindo as n
equac¸o˜es de primeira ordem
vk =
dxk
dt
, k = 1, . . . , n,
de modo que estas equac¸o˜es juntamente com
dvk
dt
+
n∑
i,j=1
Γkijv
ivj = 0, k = 1, . . . , n,
Rodney Josue´ Biezuner 79
formam um sistema de primeira ordem equivalente ao primeiro. O resultado segue enta˜o do teorema de
existeˆncia e unicidade para soluc¸o˜es de sistemas de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem. �
Note que este teorema permanece va´lido para geode´sicas definidas em variedades diferencia´veis dotadas de
uma conexa˜o na˜o necessariamente riemanniana.
Isometrias preservam geode´sicas:
4.5 Proposic¸a˜o. Sejam M,N variedades riemannianas isome´tricas e seja F : M −→