Gabarito Séries Gradientes

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS – UNISINOS 
Disciplina: Análise de Investimentos 
Professora: Vanessa Martins Pires 
 
 
EXERCÍCIOS: SÉRIES DE PAGAMENTOS EM GRADIENTE 
 
 
1. Um investidor deseja fazer as seguintes aplicações ao final de cada mês: R$ 300,00; 
R$ 600,00; R$ 900,00 e R$ 1.200,00 em um fundo de investimentos. Considerando uma 
taxa de juros remuneratórios de 8% ao trimestre, indique o montante que será obtido ao 
final das aplicações. R$ 3.078,97 
 
 
ܙ ܜ
ܖܙ
ܖܜ 
 
 
୯
భ
య 
 
୯
଴,ଷଷଷଷଷ 
 
୯ 
 
୯ 
 
 
ܨܸ =
ܩ
݅
 ݔ ൜( 1 + ݅) ݔ ൤ 
(1 + ݅ )௡ − 1 
݅ ൨
− ݊ൠ 
 
ܨܸ =
300
0,02599
 ݔ ቊ( 1 + 0,02599) ݔ ቈ 
(1 + 0,02599 )ସ − 1 
0,02599 ቉
− 4ቋ 
 
ܨܸ = 11.544,87 ݔ ቊ( 1,02599) ݔ ቈ 
(1,02599 )ସ − 1 
0,02599 ቉
− 4ቋ 
 
ܨܸ = 11.544,87 ݔ ൜( 1,02599) ݔ ൤ 
1,10806 − 1 
0,02599 ൨
− 4ൠ 
 
ܨܸ = 11.544,87 ݔ ൜( 1,02599) ݔ ൤ 
0,10806 
0,02599൨
− 4ൠ 
 
ܨܸ = 11.544,87 ݔ ሼ( 1,02599) ݔ ሾ 4,15863ሿ − 4ሽ 
 
ܨܸ = 11.544,87 ݔ ሼ4,26670 − 4ሽ 
 
ܨܸ = 11.544,87 ݔ ሼ0,26670ሽ 
 
ࡲࢂ = ૜. ૙ૠૡ, ૢૠ 
 
 
 
2. Um bem será financiado em sete (7) parcelas mensais antecipadas, sendo que a 
primeira é R$ 100,00 e as demais crescem a razão de R$ 100,00. Considerando uma 
taxa de juros de 2,3% a.m., descreva o valor para aquisição deste bem na modalidade 
à vista. R$ 2.558,56 
 
 
 
ܸܲ = ܩ ݔ 
1
݅
 ݔ ( 1 + ݅ ) ݔ ൤(1 + ݅) ݔ ൜
(1 + ݅)௡ − 1
(1 + ݅ )௡ ݔ ݅ ൠ
− 
݊
(1 + ݅ )௡൨
 
 
 
 
ܸܲ = 100 ݔ 
1
0,023
 ݔ ( 1 + 0,023 ) ݔ ቈ(1 + 0,023) ݔ ቊ
(1 + 0,023)଻ − 1
(1 + 0,023 )଻ ݔ 0,023
ቋ − 
7
(1 + 0,023)଻
቉ 
 
 
ܸܲ = 100 ݔ 43,47826 ݔ ( 1,023 ) ݔ ቈ(1,023) ݔ ቊ
(1,023)଻ − 1
(1,023 )଻ ݔ 0,023
ቋ − 
7
(1,023)଻
቉ 
 
 
ܸܲ = 100 ݔ 43,47826 ݔ ( 1,023 ) ݔ ൤(1,023) ݔ ൜
1,17254 − 1
1,17254 ݔ 0,023
ൠ − 
7
1,17254
൨ 
 
 
ܸܲ = 100 ݔ 43,47826 ݔ ( 1,023 ) ݔ ൤(1,023) ݔ ൜
0,17254
0,02697
ൠ − 5,96992൨ 
 
 
ܸܲ = 100 ݔ 43,47826 ݔ ( 1,023 ) ݔሾ(1,023) ݔ ሼ6,39800ሽ − 5,96992ሿ 
 
 
ܸܲ = 100 ݔ 43,47826 ݔ ( 1,023 ) ݔሾ6,54516 − 5,96994ሿ 
 
 
ܸܲ = 100 ݔ 43,47826 ݔ ( 1,023 ) ݔ 0,57524 
 
 
ࡼࢂ = ૛. ૞૞ૡ, ૞૟ 
 
 
 
3. Uma máquina foi adquirida em seis (6) parcelas mensais decrescentes a razão de R$ 
100,00 sendo que a primeira parcela é R$ 600,00 e foi paga no ato da compra e a última 
parcela R$ 100,00. Indique o valor para aquisição da máquina na modalidade à vista, 
considerando uma taxa de juros de 2,2% a.m. R$ 2.026,26 
 
௡
௡ 
 
 
 
ܸܲ =
100
0,022
 ݔ( 1 + 0,022 ) ݔ ቈ 6 − 
(1 + 0,022 )଺ − 1
(1 + 0,022)଺ ݔ 0,022
቉ 
 
 
ܸܲ = 4.545,45 ݔ( 1,022 ) ݔ ቈ 6 − 
(1,022 )଺ − 1
(1,022)଺ ݔ 0,022
቉ 
 
 
ܸܲ = 4.545,45 ݔ( 1,022 ) ݔ ൤ 6 − 
1,13948 − 1
1,13948 ݔ 0,022
൨ 
 
 
ܸܲ = 4.545,45 ݔ( 1,022 ) ݔ ൤ 6 − 
0,13948
0,02507
൨ 
 
 
ܸܲ = 4.545,45 ݔ( 1,022 ) ݔሾ 6 − 5,56382ሿ 
 
 
ܸܲ = 4.545,45 ݔ( 1,022 ) ݔሾ 0,43618ሿ 
 
 
 
 
 
 
4. Um investidor deseja realizar aplicações bimestrais, antecipadas e seqüenciais de: 
R$ 300,00; R$ 500,00; R$ 700,00 e R$ 900,00. Considerando uma taxa de juros de 10% 
a.a., indique o montante que o investidor obterá ao final das aplicações. R$ 2.481,09 
 
 
 
 
ܙ ܜ
ܖܙ
ܖܜ 
 
 
 
ܙ
૛
૚૛ 
 
 
ܙ
૙,૚૟૟૟ૠ 
 
 
ܙ 
ܙ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
௡
 
 
 
ܨܸ =
200
0,01601
 ݔ ቊ( 1 + 0,01601) ݔ ቈ
(1 + 0,01601 )ସ − 1 
0,01601
቉ − 4ቋ ݔ ( 1 + 0,01601 ) 
 
 
ܨܸ = 12.490,74 ݔ ቊ( 1,01601) ݔ ቈ
(1,01601 )ସ − 1 
0,01601
቉ − 4ቋ ݔ ( 1,01601 ) 
 
 
൤ ݔ )10610,1 (൜ ݔ 47,094.21 = ܸܨ
 1 − 06560,1 
10610,0
 ) 10610,1 ( ݔ ൠ4 − ൨
 
൤ ݔ )10610,1 (൜ ݔ 47,094.21 = ܸܨ
 06560,0 
10610,0
 ) 10610,1 ( ݔ ൠ4 − ൨
 
 ) 10610,1 ( ݔሽ4 − ሿ01790,4ሾ ݔ )10610,1 (ሼ ݔ 47,094.21 = ܸܨ
 
 ) 10610,1 ( ݔሽ4 − 07261,4ሼ ݔ 47,094.21 = ܸܨ
 
 ) 10610,1 ( ݔሽ07261,0ሼ ݔ 47,094.21 = ܸܨ
 
 28,460.2 = ܸܨ
 
 
 
 ݔ ) ݅ + 1 ( ݔ ܶܯܲ = ܸܨ
1 − ௡) ݅ + 1 (
݅
 
 ݔ ) 10610,0 + 1 ( ݔ 001 = ܸܨ
1 − ସ) 10610,0 + 1 (
 10610,0
 
 
 ݔ ) 10610,1 ( ݔ 001 = ܸܨ
1 − 06560,1
 10610,0
 
 
 ݔ ) 10610,1 ( ݔ 001 = ܸܨ
06560,0
 10610,0
 
 
 01790,4 ݔ ) 10610,1 ( ݔ 001 = ܸܨ
 
 
 
ࡲࢂ = ૛. ૙૟૝, ૡ૛ + ૝૚૟, ૛ૠ = ૛. ૝ૡ૚, ૙ૢ 
 
 
5. Determine o montante proveniente da aplicação dos seguintes valores: R$ 2.500,00; 
R$ 2.000,00; R$ 1.500,00; R$ 1.000,00 e R$ 500,00. Sabe-se que a taxa de juros 
remuneratórios desta aplicação é de 12% ao semestre e que as aplicações serão 
antecipadas e mensais. R$ 8.040,05 
 
iq=(1+it)nq/nt –1 
iq=(1+0,12)1/6 –1 = 0,019067623 
 
 
 
ܨܸ = ܩ ݔ 
1
݅
 ݔ ൤݊ ݔ ( 1 + ݅ )௡ − 
(1 + ݅ )௡ − 1
݅
൨ ݔ ( 1 + ݅ ) 
ܨܸ = 500 ݔ 
1
0,019067623
 ݔ ቈ5 ݔ ( 1 + 0,019067623 )ହ − 
(1 + 0,019067623 )ହ − 1
0,019067623
቉ ݔ ( 1 + 0,019067623 ) 
ࡲࢂ = ૡ. ૙૝૙. ૙૞ 
6. Um investidor fará 10 aplicações mensais, postecipadas e consecutivas, sendo que 
a primeira aplicação será de R$ 500,00 e as demais aplicações crescerão a razão de 
500,00. Sabendo-se que a instituição financeira remunera as aplicações a uma taxa de 
juros de 6% ao trimestre, indique o valor do montante. R$ 29.183,30 
 
iq=(1+it)nq/nt –1 
iq=(1+0,06)1/3 –1 = 0,019612822 
 
 
ܨܸ =
ܩ
݅
 ݔ ൜( 1 + ݅) ݔ ൤ 
(1 + ݅ )௡ − 1 
݅ ൨
− ݊ൠ 
ܨܸ =
500
0,019612822
 ݔ ቊ( 1 + 0,019612822) ݔ ቈ 
(1 + 0,019612822 )ଵ଴ − 1 
0,019612822
቉ − 10ቋ 
ࡲࢂ = ૛ૢ. ૚ૡ૜, ૜૙ 
 
 
7. Um equipamento poderá ser adquirido através do pagamento das seguintes parcelas 
mensais: R$ 400,00; R$ 800,00; R$ 1.200,00 e R$ 1.600,00. Sabendo-se que o 
vencimento das parcelas será no início de cada período e que a taxa de juros praticada 
é de 13% a.a., indique o valor para aquisição deste equipamento na modalidade de 
pagamento à vista. R$ 3.919,55 
 
iq=(1+it)nq/nt –1 
iq=(1+0,13)1/12 –1 = 0,01024 
 
 
ܸܲ = ܩ ݔ 
1
݅
 ݔ ( 1 + ݅ ) ݔ ൤(1 + ݅) ݔ ൜
(1 + ݅)௡ − 1
(1 + ݅ )௡ ݔ ݅ ൠ
− 
݊
(1 + ݅ )௡൨
 
 
 
 
ܸܲ = 400 ݔ 
1
0,01024
 ݔ ( 1 + 0,01024 ) ݔ ቈ(1 + 0,01024) ݔ ቊ
(1 + 0,01024)ସ − 1
(1 + 0,01024 )ସ ݔ 0,01024ቋ
− 
4
(1 + 0,01024 )ସ
቉ 
 
 
 
ܸܲ = 400 ݔ 97,65625 ݔ ( 1,01024 ) ݔ ቈ(1,01024) ݔ ቊ
(1,01024)ସ − 1
(1,01024 )ସ ݔ 0,01024ቋ
− 
4
(1,01024 )ସ
቉ 
 
 
 
ܸܲ = 39.462,50 ݔ ൤(1,01024) ݔ ൜
1,041593 − 1
1,041593 ݔ 0,01024ൠ
− 
4
1,041593൨
 
 
 
 
ܸܲ = 39.462,50 ݔ ൤(1,01024) ݔ ൜
0,041593
0,010666ൠ
− 3,84027൨ 
 
 
 
ܸܲ = 39.462,50 ݔሾ(1,01024) ݔ ሼ3,89966ሽ − 3,84027ሿ 
 
 
 
ܸܲ = 39.462,50 ݔሾ3,939593 − 3,84027ሿ 
 
 
 
ܸܲ = 39.462,50 ݔሾ0,099323ሿ 
 
 
ࡼࢂ = ૜. ૢ૚ૢ, ૞૞ 
 
 
 
8. Adquire-se uma barraca, sem entrada, para pagamento em 8 parcelas mensais 
postecipadas, sendo a primeira parcela de R$ 850,00 e as demais variando a uma razão 
crescente de R$ 150,00. Sabendo-se que a loja cobra uma taxa de 5% ao mês, calcule 
o valor do preço à vista. R$ 8.639,22 
 
۾܄ = ۾ۻ܂ ܠ 
(૚ + ܑ )ܖ − ૚
( ૚ + ܑ )ܖ ܠ ܑ
 
۾܄ = ૠ૙૙ ܠ 
(૚ + ૙, ૙૞ )ૡ − ૚
( ૚ + ૙, ૙૞ )ૡ ܠ ૙, ૙૞
 
۾܄ = ૝. ૞૛૝, ૛૞ 
 
ܸܲ = ܩ ݔ 
1
݅
 ݔ ൤(1 + ݅) ݔ ൜
(1 + ݅)௡ − 1
(1 + ݅ )௡ ݔ ݅ ൠ
− 
݊
(1 + ݅ )௡൨
 
ܸܲ = 150 ݔ 
1
0,05
 ݔ ቈ(1 + 0,05) ݔ ቊ
(1 + 0,05)଼ − 1
(1 + 0,05 )଼ ݔ 0,05ቋ
− 
8
(1 + 0,05 )଼
቉ 
ܸܲ = 4.114,98 
 
 
ࡼࢂ = ૝. ૞૛૝, ૛૞ + ૝. ૚૚૝, ૢૡ = ૡ. ૟૜ૢ, ૛૛ 
 
 
9. Qual o montante no 6º mês, resultante de 6 aplicações mensais decrescentes a razão 
de R$ 3.000,00, sabendo-se que a primeira parcela no valor de R$ 25.000,00 é aplicada 
hoje, e a taxa é de 2% ao mês. R$ 113.714,58 
 
ܨܸ = ܲܯܶ ݔ (1 + ݅) ݔ 
( 1 + ݅ )௡ − 1
݅
 
ܨܸ = 7.000 ݔ (1 + 0,02) ݔ 
( 1 + 0,02 )଺ − 1
0,02
 
ܨܸ = 45.039,98 
 
ܨܸ = ܩ ݔ 
1
݅ݔ ൤݊ ݔ ( 1 + ݅ )௡ − 
(1 + ݅ )௡ − 1
݅ ൨
 ݔ ( 1 + ݅ ) 
ܨܸ = 3.000 ݔ 
1
0,02
 ݔ ቈ6 ݔ ( 1 + 0,02 )଺ − 
(1 + 0,02 )଺ − 1
0,02
቉ ݔ ( 1 + 0,02 ) 
ܨܸ = 68.674,59 
 
ࡲࢂ = ૝૞. ૙૜ૢ, ૢૡ + ૟ૡ. ૟ૠ૝, ૞ૢ = ૚૚૜. ૠ૚૝, ૞ૡ