Lista 6 IAL

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Lista de Exerc´ıcios 6 - IAL
Autovalores, Autovetores e Diagonalizac¸a˜o
Questa˜o 1. Determine os autovalores e os autovetores das seguintes transformac¸a˜oes li-
neares:
(a) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x− y, x);
(b) T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z);
(c) T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ y, x− y);
Questa˜o 2. Encontre os autovalores das seguintes matrizes:
(a)
 1 2
2 1

(b)
 1 3
3 1

(c)
 2 −3
−1 4

(d)

−1 0 −1
1 2 1
0 0 1

(e)

0 0 1
0 1 0
1 0 0

Questa˜o 3. Seja a, b, c ∈ R e a 6= 0. Ache os autovetores da matriz
a b c
a b c
a b c

Questa˜o 4. Determine os autovetores das matrizes da questa˜o 2.
1
Questa˜o 5. Mostre que o polinoˆmio caracter´ıstico de uma matriz 2×2A pode ser expresso
como λ2 − tr(A)λ+ det(A) = 0, onde tr(A) e´ o trac¸o de A.
Questa˜o 6. Use o resultado da questa˜o 5 para mostrar que se a b
c d

enta˜o
λ =
1
2
[
(a+ d)±
√
(a− d)2 + 4bc
]
sa˜o ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico de A.
Questa˜o 7. Determine nos itens abaixo se A e´ diagonaliza´vel. Em caso afirmativo, en-
contre uma matriz P que diagonaliza A e determine P−1AP .
(a) A =

4 0 0
1 4 0
0 1 4

(b) A =
 2 4
3 1

(c)

1 −2 −2
0 1 0
0 2 3

Questa˜o 8. Mostre que a matriz 
1 0 0
1 2 0
−3 5 2

na˜o e´ diagonaliza´vel.
Questa˜o 9. Seja a ≥ 0 um nu´mero real e A =
 a a2
1 a
.
(a) Mostre que A e´ diagonaliza´vel.
(b) Ache a matriz S tal que S−1AS seja uma matriz diagonal.
2
Questa˜o 10. Nos itens abaixo, encontre a matriz P que diagonaliza A e determine
P−1AP .
(a) A =

1 0 0
0 1 1
0 1 1

(b) A =
 −14 12
−20 17
.
Questa˜o 11. Dada a matriz A =
 1 0
−1 2
, calcule A10.
Questa˜o 12. Para quais valores de c as matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis?
(a) A =
 1 1
0 c
.
(b) A =
 1 c
0 1
.
3