Sistemas Numéricos

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Introdução aos Sistemas 
Computacionais 
Disciplina: 113468 
 
Prof. Marcus Vinicius Lamar 
 
2 
Sistemas Numéricos 
 
“42 
The Answer to the Ultimate Question of Life, 
the Universe, and Everything” 
Douglas Adams 
 
 
http://en.wikipedia.org/wiki/The_Hitchhiker’s_Guide_to_the_Galaxy 
UnB/CIC 113468– Introdução aos Sistemas Computacionais 
 Para podemos representar um número, devemos primeiramente definir 
uma base 
 
 
Em sistemas de numeração posicionais, a base pode ser qualquer número 
inteiro b ≥ 2 
 
 
 A forma geral de um número no sistema de numeração posicional é dada 
por 
 
 
 
 
 onde há p dígitos a esquerda da vírgula e n dígitos a direita. 
Sistemas Numéricos Posicionais 
1 2 1 0 1 2... , ...b p p nN d d d d d d d− − − − −=
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 O valor D correspondente a um número N, em uma base b, é dado pela 
soma do valor de cada dígito multiplicado pelo peso correspondente, 
naquela base: 
 
Sistemas Numéricos Posicionais 
1p
i
i
i n
D d b
−
=−
= ⋅∑
1 2 1 0 1 2... , ...p p nd d d d d d d− − − − −
Dígito mais significativo 
(Most Significant Digit) 
Dígito menos significativo 
(Least Significant Digit). 
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• Base Decimal: b=10 
 
• Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 
 
• Exemplos: 
3 2 1 0
10
3 2 1 0 1 2
10
4704 4 10 7 10 0 10 4 10
4704,08 4 10 7 10 0 10 4 10 0 10 8 10− −
= × + × + × + ×
= × + × + × + × + × + ×
• Usado naturalmente pelos humanos 
• As vezes representada pelo prefixo 0d : 0d4704 
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• Base Binária: b=2 
 
• Símbolos: 0,1 
 
• Exemplos: 
3 2 1 0
2 10
3 2 1 0 1 2
2 10
1101 1 2 1 2 0 2 1 2 13
1101,01 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 13,25− −
= × + × + × + × =
= × + × + × + × + × + × =
• Usado naturalmente pelos computadores. 
• Muitas vezes representada pelo prefixo 0b : 0b1101 
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• Base Octal: b=8 
 
• Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7 
 
• Exemplos: 
8 10
8
3 2 1 0
3 2 1 0 1
10
1074 1 572
1074,1 
8 0 8 7 8 4 8
8 0 8 7 81 572,128 5+4 1 8−
× + × + × + × =
× + × + × == × + ×
=
• Muito pouco usada atualmente. 
• As vezes representada pelo prefixo 0o : 0o1074 
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• Base Hexadecimal: b=16 
 
• Símbolos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 
 
• Exemplos: 
16 10
16
3 2 1 0
1
1
0
3 2 1 0
1B02 1 6914
1B02,1 1
16 11 16 0 16 2 16
16 11 16 0 16 2 16 6914,06251 16−
× + × + × + × =
× + × + × + × + × =
=
=
• Muito usada pelos humanos para representar dados digitais. 
• Representada pelo prefixo 0x : 0x1B02 
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• Conversão de Bases inteiros: Decimal x Binário x Octal x Hexadecimal 
Base-10 Base-2 Base-8 Base-16 
Decimal Binário Octal Hexadecimal 
00 0000 00 0 
01 0001 01 1 
02 0010 02 2 
03 0011 03 3 
04 0100 04 4 
05 0101 05 5 
06 0110 06 6 
07 0111 07 7 
08 1000 10 8 
09 1001 11 9 
10 1010 12 A 
11 1011 13 B 
12 1100 14 C 
13 1101 15 D 
14 1110 16 E 
15 1111 17 F 
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• Conversão de base qualquer para decimal 
 
 Calculo do valor do número na base decimal: 
 
 
 
 
 
1p
i
i
i n
D d b
−
=−
= ⋅∑
Obs.: Esta é a própria definição e pode ser usada para realizar a 
conversão de base qualquer para qualquer base, bastando que as 
operações aritméticas sejam feitas na base de destino. 
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• Conversão de decimal para base qualquer 
 
Ex.: 61,687510 para binário, octal e hexa 
 
 Parte Inteira: divisões sucessivas pela base 
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61 16 
3 16 
0 3 
61 8 
 5 7 8 
 7 0 
6110=01111012 6110=0758 6110=03D16 
61 2 
 1 30 2 
 0 15 2 
 1 7 2 
 1 3 2 
 1 1 
0 
2 
 1 
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 Parte Fracionária: multiplicações sucessivas da parte fracionária pela base 
0,6875×2 = ,375
0,375×2 = ,75
0,75×2 = ,5
0,5×2 = ,0
0,0×2
1
0
1
1
= 0,0
0,6875×8 = ,5
0,5×8 = ,0
0,0×8
5
4
= 0,0
0,6875×16 = ,0
0,0×
11
16 = 0,0
0,687510=0,101102 0,687510=0,5408 0,687510=0,B016 
Logo: 61,687510 = 111101,10112 = 75,548 = 3D,B16 
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Sinais Analógicos e Sinais Digitais 
 Sinal Analógico 
 São contínuos no tempo e 
amplitude. 
 Ex.: sinais da natureza 
 
 Sinal Digital 
 São discretos no tempo e na 
amplitude. 
 Ex.: chave liga-desliga 
110101011101010111 
 
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O Computador Digital 
 O Computador Analógico 
 Podem ser eletrônicos, hidráulicos, mecânicos, etc. 
 Processam sinais de entrada sinais de saída. 
 
Processamento eletrônico dos sinais: 
Operações mais comuns: 
+,-,*,/,log,exp,√x,x2, derivada, integral, filtros. 
 
Vantagens: Velocidade, permite processamento 
de sinais muito rápidos em tempo-real. 
Desvantagem: Não são facilmente programáveis. 
 
De uso muito comum até bem pouco tempo. 
Hoje os computadores digitais estão rápidos o suficiente 
para usar processamento digital com um custo razoável. 
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O Computador Digital 
 Os circuitos eletrônicos de um computador digital moderno operam com sinais de 
´apenas dois níveis distintos. 
 Motivo: solução simples, alta confiabilidade e baixo custo de implementação. 
 Dispositivo básico dos Processadores Digitais: Transistor 
 Componente básico criado a partir de materiais semicondutores. 
 Possui as propriedades de: 
 Amplificar linearmente um sinal (ex.: Aparelhos de som) 
 Atuar como uma chave liga-desliga eletricamente controlada 
 
TecnologiaMOS 
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Conceito de bit e seus múltiplos 
 Bit (Binary Digit): 
 representa a forma lógica de um estado “ligado/desligado” ou binário 
existente em dispositivos eletrônicos digitais. 
 bit “ligado” é representado pelo símbolo 1. 
 bit “desligado” é representado pelo símbolo 0. 
 
 Em seu nível mais baixo, TUDO (números inteiros, fracionários, letras, 
algarismos, sinais de pontuação, símbolos, sons, imagens (cores), instruções 
e programas) na memória do computador é representado por números 
binários. 
 
 Nibble: 4 bits 
 Byte: 8 bits 
 Word: 8, 16, 32, 64, 128… dependendo do processador 
BYTE BIT BIT BIT BIT BIT BIT BIT BIT 
BYTE 
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 Com 1 bit é possível representar 2 números binários diferentes: 
Apagada = 0 
 
Acesa = 1 
lâmpada 
Conjunto de 2 lâmpadas 
0 0 
22 = 4 combinações 
0 1 
1 1 
1 0 
Portanto, 
com 1 byte (8 bits) é 
possível representar 
28 = 256 números 
binários diferentes 
e 
com N bits é possível 
representar 2N números 
binários diferentes 
Conceito de bit e seus múltiplos 
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 Com 2 bits é possível representar 4 números binários diferentes: 
UnB/CIC 113468– Introdução aos Sistemas Computacionais• Bits, bytes e seus múltiplos são utilizados para quantificar 
capacidade de armazenamento e transmissão. 
Conceito de bit e seus múltiplos 
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Prefixo binário Prefixo decimal 
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	O Computador Digital
	O Computador Digital
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