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BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Prof. Ana Lucia de Sousa CONTEÚDO DESTA AULA BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU. FUNÇÃO EXPONENCIAL FUNÇÃO LOGARÍTMICA LIMITES FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Exercício 1 Determine a função afim sabendo que f(1) = 2 e f(4) = 5. BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Solução através da resolução de sistema de equações função afim → y = ax + b f(1) = 2 → 2 = a.(1) + b→ a + b = 2 f(4) = 5 → 5 = a.(4) + b→ 4a + b = 5 a + b = 2 x(-1) 4a + b = 5 -a - b = -2 4a + b = 5 3a = 3 → a = 1 a + b = 2 → 1 + b = 2 → b = 2 – 1 → b = 1 Logo, a função será y = 1.x + 1 → y = x + 1 BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Exercício 2 Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês. a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas). b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20.000,00? BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Solução: Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês. a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as vendas do representante). BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA a) Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x. b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20.000,00? BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Exercício 3 Os analistas de uma fábrica de calçados verificaram que, quando produzem 600 pares de chinelos por mês, o custo total de produção é de R$ 5600,00, e quando produzem 900 pares por mês, o custo mensal é de R$ 7400,00. Eles sabem também que a função que relaciona o custo total de produção e o número de pares produzidos, é uma função afim. Obtenha a expressão matemática da função que relaciona o custo mensal (C) com o número de pares produzidos (x). BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Solução: Custo y = ax+b, onde x representa a quantidade produzida. Quando x = 600, y = 5600 → (600,5600) Quando x = 900, y = 7400 → (900,7400) Cálculo do coeficiente a: a = (7400 – 5600)/(900 – 600). Logo, a =1800/300 → a = 6. Cálculo do coeficiente b: y = 6x + b → 5600 = 6.(600) + b → b = 2000 Função: y = 6x + 2000. FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Exercício Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura h (medida em metros) dada em função do tempo t decorrido após o lançamento (t medido em segundos) pela função h = 20t – 5t2. Vamos determinar: a) O tempo decorrido até a bola chegar à altura máxima; b) A altura máxima da bola; c) O tempo decorrido até a bola cair no solo. BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Solução: Seja h = 20t – 5t2 a) O tempo decorrido até a bola chegar à altura máxima; 2 10 20 )5(2 20 2 vv x a b x b) A altura máxima da bola; h = 20t – 5t2 h = 20(2) – 5(2)2 h = 40 – 5(4) → h = 20 metros 20 20 400 400)0).(5.(4)20( )5(4 400 ..4 4 2 2 v v v y y cab a y BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Seja h = 20t – 5t2 Vamos determinar: c) O tempo decorrido até a bola cair no solo. 20t – 5t2 = 0 t(20 – 5t) = 0 t = 0 20 – 5t = 0 -5t = -20 x(-1) → 5t = 20 → t = 4 seg FUNÇÃO EXPONENCIAL BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. (a) Qual o número de bactérias no inicio da pesquisa? (b) Qual o número de bactérias após 5 hora? (c) Após quantas horas, a partir do inicio, o numero de bactérias chegou a 12.800? Exercício BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. (a) Qual o número de bactérias no inicio da pesquisa? (b) Qual o número de bactérias após 5 hora? Solução: 200.3)5( 32100)5( 2100)5( 2100)( 5 B B B tB t BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Por meio de uma pesquisa de laboratório, verificou-se que, em certa cultura de bactérias, o seu número variava segundo a lei B(t)=100.2t, na qual t é o tempo em horas. (b) Após quantas horas, a partir do inicio, o numero de bactérias chegou a 12.800? 722 1282 2100800.122100)( 7 t tB t t tt FUNÇÃO LOGARÍTMICA BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA Exercício (UNESP) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado, em milhares de reais, pela função L(x)=log10(100+x)+k, com k constante real. (a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, determine k. (b) determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais. Solução BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA (a) Sabendo-se que não havendo produção não há lucro, determine k. 2 2 10log2 10log 100log0 )100log()( 2 k k k k k kxxL 2)100log()( xxL (b) determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais. BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 2)100log()( xxL 900100000.1 100000.110010)100log(3 )100log(212)100log(1 3 xx xxx xx LIMITE Exercícios 523)1(2)1(3)23(lim 22 1 xx x 4 1 8 2 8 42 )2(4 22 4 2 lim 22 2 t t t LIMITE Exercícios 8444lim 4 )4)(4( lim 4 16 lim 44 2 4 x x xx x x xxx 3 1 30 10 3 1 lim )3( )1( lim 3 lim 002 2 0 x x xx xx xx xx xxx
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